Фундаментальное решение

редактировать

В математике, А фундаментальное решение для линейного частичного дифференциального оператора L представляет собой композиция на языке теории распределения старшей идеи о функции Грина (хотя в отличие от функций Грина, фундаментальные решения не учитывают граничные условия).

В терминах дельта-«функции» Дирака δ ( x) фундаментальное решение F является решением неоднородного уравнения

LF = δ ( х).

Здесь Р является априори предполагается только быть распределение.

Эта концепция долгое время использовалась для лапласиана в двух и трех измерениях. Он был исследован для всех измерений лапласиана Марселем Риссом.

Существование фундаментального решения для любого оператора с постоянными коэффициентами - наиболее важный случай, напрямую связанный с возможностью использования свертки для решения произвольной правой части - было показано Бернаром Мальгранжем и Леоном Эренпрейсом. В контексте функционального анализа фундаментальные решения обычно разрабатываются с помощью альтернативы Фредгольма и исследуются в теории Фредгольма.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Пример
2 Мотивация
- 2.1 Приложение к примеру
- 2.2 Пример, который более наглядно работает
- 2.3 Доказательство того, что свертка является решением
3 Фундаментальные решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных
- 3.1 Уравнение Лапласа
- 3.2 Экранированное уравнение Пуассона
- 3.3 Бигармоническое уравнение
4 Обработка сигнала
5 См. Также
6 Ссылки

Пример

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение Lf = sin ( x) с

{\ displaystyle L = {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}}.}

{\ displaystyle L = {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}}.}

Фундаментальные решения могут быть получены путем решения LF = δ ( x) в явном виде:

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} F (x) = \ delta (x) ~.}

{\ гидроразрыва {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} F (x) = \ delta (x) ~.

Поскольку для функции Хевисайда H имеем

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} H (x) = \ delta (x) ~,}

{\ frac {d} {dx}} H (x) = \ delta (x) ~,

есть решение

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} F (x) = H (x) + C ~.}

{\ frac {d} {dx}} F (x) = H (x) + C ~.

Здесь C - произвольная постоянная, введенная интегрированием. Для удобства положим C = −1/2.

После интегрирования и выбора новой постоянной интегрирования равной нулю, мы имеем ${\ displaystyle {\ frac {dF} {dx}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dF} {dx}}}$

{\ Displaystyle F (x) = xH (x) - {\ frac {1} {2}} x = {\ frac {1} {2}} | x | ~.}

F (x) = xH (x) - {\ frac {1} {2}} x = {\ frac {1} {2}} | x | ~.

Мотивация

Как только фундаментальное решение найдено, легко найти решение исходного уравнения путем свертки фундаментального решения и желаемой правой части.

Фундаментальные решения также играют важную роль при численном решении уравнений в частных производных методом граничных элементов.

Приложение к примеру

Рассмотрим оператор L и дифференциальное уравнение, упомянутые в примере,

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} f (x) = \ sin (x) ~.}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} f (x) = \ sin (x) ~.}

Мы можем найти решение исходного уравнения путем свертки (обозначенной звездочкой) правой части с фундаментальным решением: ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ ${\ Displaystyle \ грех (х)}$ $\ грех (х)$ ${\ Displaystyle F (х) = {\ гидроразрыва {| х |} {2}}}$ ${\ Displaystyle F (х) = {\ гидроразрыва {| х |} {2}}}$

{\ displaystyle f (x) = (F * \ sin) (x): = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2}} | xy | \ sin (y) \ dy ~.}

{\ displaystyle f (x) = (F * \ sin) (x): = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2}} | xy | \ sin (y) \ dy ~.}

Это показывает, что необходимо проявлять осторожность при работе с функциями, которые не имеют достаточной регулярности (например, компактный носитель, интегрируемость L ¹), поскольку мы знаем, что искомым решением будет f ( x) = −sin ( x), в то время как указанное выше интеграл расходится при всех x. Однако два выражения для f равны как распределения.

Пример, который работает более четко

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} f (x) = I (x) ~,}

{\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} f (x) = I (x) ~,

где I - характеристическая (индикаторная) функция единичного интервала [0,1]. В этом случае легко проверить, что свертка I ∗ F с F ( x) = | х | / 2 является решением, то есть, имеет вторую производную равен I.

Доказательство того, что свертка является решением

Обозначим свертку функций F и g как F ∗ g. Допустим, мы пытаемся найти решение Lf = g ( x). Мы хотим доказать, что F ∗ g является решением предыдущего уравнения, т.е. мы хотим доказать, что L ( F ∗ g) = g. При применении дифференциального оператора L к свертке известно, что

{\ Displaystyle L (F * g) = (LF) * g ~,}

L (F * g) = (LF) * g ~,

при условии, что L имеет постоянные коэффициенты.

Если F - фундаментальное решение, правая часть уравнения сводится к

{\ displaystyle \ delta * g ~.}

\ delta * g ~.

Но поскольку дельта-функция является тождественным элементом свертки, это просто g ( x). Подводя итоги,

{\ Displaystyle L (F * g) = (LF) * g = \ delta (x) * g (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta (xy) g (y) dy = g (x) ~.}

L (F * g) = (LF) * g = \ delta (x) * g (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta (xy) g (y) dy = g ( х) ~.

Следовательно, если F - фундаментальное решение, свертка F ∗ g является одним из решений Lf = g ( x). Это не значит, что это единственное решение. Можно найти несколько решений для разных начальных условий.

Фундаментальные решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных

С помощью преобразования Фурье можно получить следующее: