Распределение (математика)

редактировать

Распределения, также известные как Распределение Шварца или распределенные функции, являются объектами, которые обобщают классическое понятие функций в математическом анализе. Распределения позволяют дифференцировать функции производные, которые не существуют в классическом смысле. В частности, любая локально интегрируемая функция имеет производную по распределению. Распределения широко используются в теории дифференциальных систем в частных производных, где может быть проще установить существование распределительных решений, чем классические решения, либо классические решения не существовать. Распределения также важны в физике и инженерии, где многие проблемы другим естественным образом приводят к дифференциальным уравнениям, решениями или начальными условиями которых являются распределения, такие как дельта-функции Дирака.

A функция $f {\ displaystyle f}$ $f$ обычно рассматривается как действующая на точки в своем домене посредством «отправки» точки x в ее области определения до точки $f (x). {\ displaystyle f (x).}$ $f(x).$ Вместо воздействия на точки теория распределения интерпретирует такие функции, как $f {\ displaystyle f}$ $f$ , как действующие на тестовые функции в определенном пути. Тестовые функции обычно бесконечно дифференцируемые комплексные -значные (или иногда вещественные -значные) функции с компактными поддержка (функции сдвига являются примерами тестовых функций). Многие «стандартные функции» (означающие, например, функция, которая обычно встречается в курсе Calculus ), например, непрерывная карта $f: R → R, {\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R},}$ $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R},$ можно канонически интерпретировать как действие на тестовые функции (вместо их обычной интерпретации как действия на точки своей области) посредством известного действия как «интеграция с тестовой функцией »; явно это означает, что $f {\ displaystyle f}$ $f$ «действует» на тестовую функцию g, «отправляя» g на номер $∫ R f g d x. {\ displaystyle \ textstyle \ int _ {\ mathbb {R}} fg \, dx.}$ $\textstyle \int _{\mathbb {R} }fg\,dx.$ Это новое действие $f {\ displaystyle f}$ $f$ , таким образом, сложным (или реальная) -значная карта, обозначаемая $D f, {\ displaystyle D_ {f},}$ $D_{f},$ , домен является которой пробелом функции теста ; у этой карты есть два дополнительных свойства, которые превращают ее в так называемое распределение на $R. {\ displaystyle \ mathbb {R}.}$ $\mathbb {R}.$ Распределения, возникающие таким образом из "стандартных функций", прототипы примерами распределений. Но есть много распределений, которые не возникают таким образом, и эти распределения известны как «обобщенные функции». Примеры включают дельта-функцию Дирака или некоторые распределения, включающие в результате действия «интегрирования тестовых функций по мерам ». Используя различные методы, тем не менее, все еще возможно сократить любое произвольное распределение до более простых связанных распределений, которые действительно используются в результате таких интеграций.

В приложениях к физике и технике пространство тестовых функций обычно состоит из гладких функций с компактной опорой, которые используются на некотором заданном непустом открытом подмножестве $U ⊂ R п. {\ displaystyle U \ subset \ mathbb {R} ^ {n}.}$ $U\subset \mathbb {R} ^{n}.$ Это пространство тестовых функций обозначается $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} ( U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ или $D (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} (U)}$ ${\mathcal {D}}(U)$ и распределение на U по определению линейным функционалом на $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ то есть непрерывно когда $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ с заданной топологией, называемой канонической топологией LF . Это приводит к пространству (всех) распределений на U, обычно обозначаемого $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ (обратите внимание на prime ), который по определению является пробелом всех распределений на $U {\ displaystyle U}$ $U$ (то есть это непрерывный двойственный пробел из $С с ∞ (U) {\ Displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ ); именно этим дистрибутивам посвящена основная тема данной статьи.

Существуют и другие возможные варианты выбора пространства тестовых функций, которые приводят к другим пространствам распределений. Если $U = R n {\ displaystyle U = \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle U = \ mathbb {R} ^ {n}}$ , то использование функций Шварца в качестве тестовых функций приводит к определенному подпространству из $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ , элементы которого называются умеренными распределениями . Это важно, потому что они позволяют расширить преобразование Фурье от "стандартных функций" до умеренных распределений. Набор умеренных распределений формирует систему распределения пространства пространство распределений $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ и таким образом, является одним из примеров пространства распределений; есть много других пространств дистрибутивов.

Существуют также другие основные тестовые функции, которые не являются подмножествами $C c ∞ (U), {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U),}$ ${\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U),}$ , например, пространства аналитических тестовых функций, которые дают очень разные классы распределений. Теория таких распределений носит иной характер, чем предыдущая, поскольку не существует аналитических функций с непустым компактным носителем. Использование аналитических тестовых функций приводит к теории гиперфункций Сато .

Содержание

1 История
2 Нотация
3 Определения тестовых функций и распределений
- 3.1 Топология на C (U)
- 3.2 Топология на C (K)
  - 3.2.1 Тривиальные расширения и независимость топологии C (K) от U
- 3.3 Топология на пространствех пробных функций и распределений
  - 3.3.1 Каноническая топология LF
    - 3.3.1.1 Основные свойства
  - 3.3.2 Распределения
  - Локализация 3.3.3 Топология в пространстве распределений
  - 3.3.4 Топологические свойства
  - 3.3.5 Конвергентная последовательность
4 Распределение
- 4.1 Ограничения на открытое подмножество
- 4.2 Склеивание и исчезающие распределения в наборе
- 4.3 Поддержка распределения
- 4.4 Распределения с компактной поддержкой
- 4.5 Глобальные структуры распределений
  - 4.5.1 Разложение распределений в виде сумм производных непрерывных функций
5 Операции над распре делениями
- 5.1 Предварительные сведения: транспонирование линейный оператор
- 5.2 Дифференциальные операторы
  - 5.2.1 Дифференцирование распределений
  - 5.2.2 Дифференциальные операторы, действующие на гладкие функции
  - 5.2.3 Умножение распределений на гладкие функции
    - 5.2.3.1. Свертка умножения распределения
- 5.3 Композиция с гладкой функцией
- 5.4 Свертка
  - 5.4.1 Свертка тестовой функции с распределением
  - 5.4.2 Свертка гладкой функции с распределением
  - 5.4.3 Свертка распределений
  - 5.4.4 Свертка против умножения
- 5.5 Тензорное произведение распределений
  - 5.5.1 Теорема Шварца о ядре
6 Пространства распределений
- 6.1 Меры Радона
  - 6.1.1 Локально интегрируемые функции в видеосистеме распределений
- 6.2 Распределения с компактной опорой
- 6.3 Распределения конечного порядка
- 6.4 Закаленные распределения и преобразование Фурье
7 Использование роли голоморфных функций в тестовых функциях
8 См. также
9 Примечания
10 источников
11 Библиография
12 Fu Другое чтение

История

Практическое использование распределений можно проследить до использования функций Грина в 1830 -х решения обыкновенных дифференциальных уравнений, но формализована они были намного позже. Согласно Колмогорову и Фомину (1957), обобщенные функции возникли в работе Сергея Соболева (1936) по гиперболическим уравнениям в частных производных второго порядка, а идеи были развиты в несколько расширенной Лораном Шварцем в конце 1940-х. Согласно его автобиографии, Шварц ввел термин «распределение» по аналогии с распределением электрического заряда, возможно, включая не только точечные заряды, но и диполи и так далее. Гординг (1997) отмечает, что, хотя идеи в преобразующей книге Шварца (1951) не были полностью новыми, это была широкая атака и уверенность Шварца в том, что распределения будут полезны почти везде в анализ, который имеет значение.

Обозначение

В этой статье будут обозначены следующие обозначения:

$n {\ displaystyle n}$ $n$ - фиксированное положительное целое число, а $U {\ displaystyle U}$ $U$ - это фиксированное непустое открытое подмножество из евклидова пространства $R n. {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$ $\mathbb {R} ^{n}.$

$N = {0, 1, 2,…} {\ displaystyle \ mathbb {N} = \ {0,1,2, \ ldots \}}$ $\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}$ обозначает натуральные числа..

$k {\ displaystyle k}$ $к$ будет обозначать неотрицательное целое число или $∞. {\ displaystyle \ infty.}$ $\ infty.$

Если $f {\ displaystyle f}$ $f$ - это функция, то $Dom ⁡ (f) {\ displaystyle \ operatorname {Dom} (f)}$ $\operatorname {Dom} (f)$ будет обозначать его домен и support из $f, {\ displaystyle f,}$ $f,$ , обозначенное $supp ⁡ (f), {\ displaystyle \ operatorname {supp} (f),}$ ${\ displaystyle \ operatorname {supp} (f),}$ , определяется как закрытие набора ${ Икс ∈ Dom ⁡ (е): е (х) ≠ 0} {\ displaystyle \ {x \ in \ operatorname {Dom} (f): f (x) \ neq 0 \}}$ $\{x\in \operatorname {Dom} (f):f(x)\neq 0\}$ в $Дом (ж). {\ displaystyle \ operatorname {Dom} (f).}$ $\operatorname {Dom} (f).$

Для двух функций $f, g: U → C {\ displaystyle f, g: U \ to \ mathbb {C}}$ $f,g:U\to \mathbb {C}$ , следующие обозначения определяют каноническую пару :

⟨f, g⟩: = ∫ U f (x) g (x) dx. {\ displaystyle \ langle f, g \ rangle: = \ int _ {U} f (x) g (x) \, dx.}

\langle f,g\rangle :=\int _{U}f(x)g(x)\,dx.

A мультииндекс размера $n {\ displaystyle n }$ $n$ - элемент в $N n {\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {n}}$ $\mathbb {N} ^{n}$ (при условии, что $n {\ displaystyle n}$ $n$ является фиксированным, если размер мультииндексов опущен, тогда размер должен принимать равным $n {\ displaystyle n}$ $n$ ). длина мультииндекса $α = (α 1,…, α n) ∈ N n {\ displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}) \ в \ mathbb {N} ^ {n}}$ $\alpha =(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ определяется как $α 1 + ⋯ + α n {\ displaystyle \ alpha _ {1} + \ cdots + \ alpha _ {n}}$ $\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}$ и обозначается $| α |. {\ displaystyle | \ alpha |.}$ $|\alpha |.$ Мультииндексы особенно полезны при работе с несколькими числами, в частности, мы вводим следующие обозначения для данного мультииндекса $α = (α 1,…, Α N) ∈ NN {\ Displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}) \ in \ mathbb {N} ^ {n}}$ $\alpha =(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ :

x α = x 1 α 1 ⋯ xn α n ∂ α = ∂ | α | ∂ Икс 1 α 1 ⋯ ∂ xn α N {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} x ^ {\ alpha} = x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ cdots x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}} \\\ partial ^ {\ alpha} = {\ frac {\ partial ^ {| \ alpha |}} {\ partial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ cdots \ partial x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}} \ end {align}}}

{\begin{aligned}x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\\\partial ^{\alpha }={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\end{aligned}}

Мы также вводим частичный порядок всех мультииндексов на

β ≥ α {\ displaystyle \ beta \ geq \ alpha}

\beta \ge \alpha

тогда и только тогда, когда

β i ≥ α i {\ displaystyle \ beta _ {i} \ geq \ alpha _ {i}}

{\ displaystyle \ бета _ {я} \ geq \ альфа _ {я}}

для всех

1 ≤ я ≤ п. {\ displaystyle 1 \ leq i \ leq n.}

1\leq i\leq n.

Когда

β ≥ α {\ displaystyle \ beta \ geq \ alpha}

\beta \ge \alpha

, мы определяем их многоиндексный биномиальный коэффициент как:

(β α): = (β 1 α 1) ⋯ (β n α n). {\ Displaystyle {\ binom {\ beta} {\ alpha}}: = {\ binom {\ beta _ {1}} {\ alpha _ {1}}} \ cdots {\ binom {\ beta _ {n}} {\ alpha _ {n}}}.}

{\ displaystyle {\ binom {\ beta} {\ alpha}}: = {\ binom {\ beta _ {1}} {\ alpha _ {1}}} \ cdots {\ binom {\ beta _ {n}} {\ альфа _ {n}}}.}

$K {\ displaystyle \ mathbb {K}}$ $\mathbb {K}$ будет обозначать некий непустой набор компактных подмножеств $U {\ displaystyle U}$ $U$ (подробно описано ниже).

Определения тестовых функций и распределений

В этом разделе мы формально определим вещественные распределения на U. С небольшими изменениями можно также определить комплексные распределения, и можно заменить $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\mathbb {R} ^{n}$ любым (паракомпакт ) гладким разнообразием.

Обозначение : Предположим,

k ∈ {0, 1, 2,…, ∞}. {\ Displaystyle к \ в \ {0,1,2, \ ldots, \ infty \}.}

k\in \{0,1,2,\ldots,\infty \}.

Пусть $C k (U) {\ displaystyle C ^ {k} (U)}$ $C^{k}(U)$ обозначает любое пространство всех k-раз непрерывно дифференцируемых вещественнозначных функций на U.
Для компактного подмножества K ⊆ U, пусть С К ( К) {\ Displaystyle C ^ {k} (K)}и C k (K; U) {\ Displaystyle C ^ {k} (K; U)}оба обозначают пространство всех этих функций f ∈ C k (U) {\ displaystyle f \ in C ^ {k} (U)}таких, что supp ⁡ (f) ⊆ К. {\ displaystyle \ operatorname {supp} (f) \ substeq K.}
- Обратите внимание, что $C k (K) {\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ ${\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ зависит от обоих K и U, но мы будем указывать только K, где, в частности, $f ∈ C k (K) {\ displaystyle f \ in C ^ {k} (K)}$ ${\ displaystyle f \ in C ^ {k} (K)}$ , то область $f {\ displaystyle f}$ $f$ - это U, а не K. Мы будем использовать обозначение $C k (K; U) {\ display стиль C ^ {k} (K; U)}$ $C^{k}(K;U)$ только если запись $C k (K) {\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ ${\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ рискует оказаться двусмысленной.
- Очевидно, что каждый $C k (K) {\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ ${\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ отображает константы 0, даже если K = ∅.
Пусть C ck (U) {\ Displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}обозначает все f ∈ C k (U) {\ displaystyle f \ in C ^ {k} (U)}такой, что f ∈ C k (K) {\ displaystyle f \ in C ^ {k} (K)}для некоторого компактного подмножества K из U.
- Аналогично, $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ - это набор всех $е ∈ С К (U) {\ displaystyle f \ in C ^ {k} (U)}$ $f\in C^{k}(U)$ так, что $f {\ displaystyle f}$ $f$ имеет компактную опору
- $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ равно объединению всех $C k (K) {\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ ${\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ , поскольку K превышает 𝕂.
- Если $f {\ displaystyle f}$ $f$ - функция с действительным знаком на U, тогда $f {\ displaystyle f}$ $f$ является элементом $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ если и только если $f {\ displaystyle f}$ $f$ - это $C k {\ displaystyle C ^ {k}}$ $C^{k}$ функция сдвига. Каждая действующая тестовая функция на $U {\ displaystyle U}$ $U$ всегда также является комплексной тестовой функцией на $U. {\ displaystyle U.}$ $U.$

График функции удара

(x, y) ∈ R 2 ↦ Ψ (r), {\ displaystyle (x, y) \ in \ mathbf {R} ^ {2} \ mapsto \ Psi (r),}

(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\mapsto \Psi (r),

где

r = (x 2 + y 2) 1 2 {\ displaystyle r = (x ^ {2} + y ^ {2 }) ^ {\ frac {1} {2}}}

r=(x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}

Ψ (r) = e - 1 1 - r 2 ⋅ 1 {| г | < 1 }. {\displaystyle \Psi (r)=e^{-{\frac {1}{1-r^{2}}}}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}.}

\Psi (r)=e^{-{\frac {1}{1-r^{2}}}}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}.

Эта функция является тестовой функцией на

R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}

\R^2

и является элементом

C c ∞ (R 2). {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} \ left (\ mathbb {R} ^ {2} \ right).}

C_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{2}\right).

Поддержкой этой функции является закрытый единичный диск в

R 2. {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}.}

\mathbb {R} ^{2}.

Это ненулевое значение на открытом единичном диске, и оно равно 0 для всех вне его.

Обратите внимание, что для всех $j, k ∈ {0, 1, 2,…, ∞} {\ displaystyle j, k \ in \ {0,1,2, \ ldots, \ infty \} }$ $j,k\in \{0,1,2,\ldots,\infty \}$ и любые компактные подмножества K и L группы U имеем:

C k (K) ⊆ C ck (U) ⊆ C k (U) C k (K) ⊆ C k (L), если K ⊆ LC k (K) ⊆ C j (K), если j ≤ k C ck (U) ⊆ C cj (U), если j ≤ k CK (U) ⊆ C j (U), если j ≤ k {\ displaystyle {\ begin {align} C ^ {k} (K) \ substeq C_ {c} ^ {k} (U) \ substeq C ^ {k} (U) \\ C ^ {k} (K) \ substeq C ^ {k} (L) {\ text {if}} K \ substeq L \\ C ^ {k} (K) \ substeq C ^ {j} (K) {\ text { if}} j \ leq k \\ C_ {c} ^ {k} (U) \ substeq C_ {c} ^ {j} (U) {\ text {if}} j \ leq k \\ C ^ {k} (U) \ substeq C ^ {j} (U) {\ text {if}} j \ leq k \\\ end {align}}}

{\begin{aligned}C^{k}(K)\subseteq C_{c}^{k}(U)\subseteq C^{k}(U)\\C^{k}(K)\subseteq C^{k}(L){\text{if }}K\subseteq L\\C^{k}(K)\subseteq C^{j}(K){\text{if }}j\leq k\\C_{c}^{k}(U)\subseteq C_{c}^{j}(U){\text{if }}j\leq k\\C^{k}(U)\subseteq C^{j}(U){\text{if }}j\leq k\\\end{aligned}}

Определение : Элементы

C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}

C_{c}^{\infty }(U)

называются тестовыми функциями на U и

C c ∞ (U) { \ Displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}

C_{c}^{\infty }(U)

называется пространство тестовой фу нкции на U. Мы будем использовать как

D (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} (U)}

{\mathcal {D}}(U)

, так и

C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}

C_{c}^{\infty }(U)

для обозначения этого места.

Распределения на U как непрерывные линейные функционалы на $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ , когда это пространство наделено определенной топологией, называемой канонической LF-топологией . Таким образом, чтобы определить пространство распределений, мы должны сначала определить свою каноническую LF-топологию, которая, в свою очередь, требует, чтобы сначала были несколько других топологических векторных пространств (TVS). Сначала мы определим топологию на $C ∞ (U), {\ displaystyle C ^ {\ infty} (U),}$ $C^{\infty }(U),$ , а назначим каждому $C ∞ (K) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (K)}$ ${ \ displaystyle C ^ {\ infty} (K)}$ топология подпространства, индуцированная на нем $C ∞ (U), {\ displaystyle C ^ {\ infty} (U), }$ $C^{\infty }(U),$ и, наконец, мы определяем каноническую LF-топологию на $C c ∞ (U). {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U).}$ $C_{c}^{\infty }(U).$ Мы используем каноническую LF-топологию для определения топологии в распределениях, которая позволяет нам рассматривать такие вещи, как сходимость раздачи.

Выбор компактов 𝕂

На всем протяжении 𝕂 будет любой набор компактных подмножеств U такой, что (1) $U = ∪ K ∈ KK, {\ displaystyle U = \ cup _ {K \ in \ mathbb { K}} K,}$ ${\ displaystyle U = \ cup _ {K \ in \ mathbb {K}} K,}$ и (2) для любого компактного K ⊆ U существует некоторый K 2 ∈ 𝕂 такой, что K ⊆ K 2. Наиболее распространенный выбор для 𝕂:

Набор всех компактных подмножеств U или
Набор ${U 1 ¯, U 2 ¯,…} {\ displaystyle \ left \ {{\ overline {U_ {1 }}}, {\ overline {U_ {2}}}, \ ldots \ right \}}$ $\left\{{\overline {U_{1}}},{\overline {U_{2}}},\ldots \right\}$ где $U = ∪ i = 1 ∞ U i, {\ displaystyle U = \ cup _ {i = 1} ^ {\ infty} U_ {i},}$ $U=\cup _{i=1}^{\infty }U_{i},$ и для всех i $U i ¯ ⊆ U i + 1 {\ displaystyle {\ overline {U_ {i}}} \ substeq U_ {i + 1}}$ ${\overline {U_{i}}}\subseteq U_{i+1}$ и U i - относительно компактное непустое открытое подмножество U (то есть "относительно компактный" означает, что закрытие U i, либо в U, либо в $R n, {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$ $\mathbb {R} ^{n},$ компактно).

Мы превращаем 𝕂 в направленное множество, определяя K 1 ≤ K 2 тогда и только тогда, когда K 1 ⊆ K 2. Обратите внимание, что хотя определяемые топологий явно указаны на 𝕂, в действительности они зависят от выбора 𝕂; то есть, если 𝕂 1 и 𝕂 2 - любые два набора таких компактных подмножеств U, то топологии, верх на $C k (U) {\ displaystyle C ^ {k } (U)}$ $C^{k}(U)$ и $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ с помощью 𝕂 1 Самые самые популярные - те же самые, самые известные технологии с использованием 𝕂 2 вместо 𝕂.

Топология на C (U)

Теперь мы представим полунормы, которые будут определять топологию на $C k (U). {\ displaystyle C ^ {k} (U).}$ $C^{k}(U).$ Разные авторы иногда используют разные семейства полунорм, поэтому мы перечислим наиболее распространенные семейства ниже. Однако результирующая топология независимо от того, какое семейство используется.

Предположим,

k ∈ {0, 1, 2,…, ∞} {\ displaystyle k \ in \ {0,1,2, \ ldots, \ infty \}}

k\in \{0,1,2,\ldots,\infty \}

и K - произвольное компактное подмножество U. Предположим, что i - целое число такое, что 0 ≤ i ≤ k и p - мультииндекс с длиной | p | ≤ к. Для K ≠ ∅ определим:

s p, K (f): = sup x 0 ∈ K | ∂ p f (x 0) | q i, K (f): = sup | p | ≤ i (sup x 0 ∈ K | ∂ p f (x 0) |) = sup | p | ≤ i (s p, K (f)) r i, K (f): = sup x 0 ∈ K | p | ≤ я | ∂ p f (x 0) | ti, К (е): знак равно sup Икс 0 ∈ К (∑ | p | ≤ я | ∂ pf (x 0) |) {\ displaystyle {\ begin {align} s_ {p, K} (f) : = \ sup _ {x_ {0} \ in K} \ left | \ partial ^ {p} f (x_ {0}) \ right | \\ [4pt] q_ {i, K} (f) : = \ sup _ {| p | \ leq i} \ left (\ sup _ {x_ {0} \ in K} \ left | \ partial ^ {p} f (x_ {0}) \ right | \ right) = \ sup _ {| p | \ leq i} \ left (s_ {p, K} (f) \ right) \\ [4pt] r_ {i, K} (f) : = \ sup _ {\ stackrel {| p | \ leq i} {x_ {0} \ in K}} \ left | \ partial ^ {p} f (x_ {0}) \ right | \\ [4pt] t_ {i, K} (f) : = \ sup _ {x_ {0} \ in K} \ left (\ sum _ {| p | \ leq i} \ left | \ partial ^ {p} f (x_ {0}) \ right | \ right) \ end {выровнено}}}

{\begin{aligned}s_{p,K}(f):=\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]q_{i,K}(f):=\sup _{|p|\leq i}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)=\sup _{|p|\leq i}\left(s_{p,K}(f)\right)\\[4pt]r_{i,K}(f):=\sup _{\stackrel {|p|\leq i}{x_{0}\in K}}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]t_{i,K}(f):=\sup _{x_{0}\in K}\left(\sum _{|p|\leq i}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)\end{aligned}}

, а для K = ∅ мы определяем все вышеупомянутые функции как постоянное отображение 0.

Каждая из вышеперечисленных функций является неотрицательной-значной полунормой на $C k (U). {\ displaystyle C ^ {k} (U).}$ $C^{k}(U).$

Каждое из следующих семейств полунорм генерирует одинаковую локально выпуклую векторную топологию на $C k (U) {\ displaystyle C ^ {k} (U)}$ $C^{k}(U)$ :

(1) {qi, K: K ∈ K, i ∈ N, 0 ≤ i ≤ k} (2) {ri, K: K ∈ K, i ∈ N, 0 ≤ i ≤ k} (3) {ti, K: K ∈ K, i ∈ N, 0 ≤ i ≤ k} (4) {sp, K: K ∈ K, p ∈ N n, | p | ≤ к} {\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} (1) \ quad \ {q_ {i, K} : \; K \ in \ mathbb {K}, \; \; i \ in \ mathbb {N}, \; 0 \ leq i \ leq k \} \\ (2) \ quad \ {r_ {i, K} : \; K \ in \ mathbb {K}, \; \; i \ in \ mathbb {N}, \; 0 \ leq i \ leq k \} \\ (3) \ quad \ {t_ {i, K} : \; K \ in \ mathbb {K}, \; \; i \ in \ mathbb {N}, \; 0 \ leq i \ leq k \} \\ (4) \ quad \ {s_ {p, K} : \; K \ in \ mathbb {K}, \; \; p \ in \ mathbb {N} ^ {n}, \; | p | \ leq k \} \ end {alignat}}}

{\begin{alignedat}{4}(1)\quad \{q_{i,K}:\;K\in \mathbb {K},\;\;i\in \mathbb {N},\;0\leq i\leq k\}\\(2)\quad \{r_{i,K}:\;K\in \mathbb {K},\;\;i\in \mathbb {N},\;0\leq i\leq k\}\\(3)\quad \{t_{i,K}:\;K\in \mathbb {K},\;\;i\in \mathbb {N},\;0\leq i\leq k\}\\(4)\quad \{s_{p,K}:\;K\in \mathbb {K},\;\;p\in \mathbb {N} ^{n},\;|p|\leq k\}\end{alignedat}}

Предположение : впредь мы будем предполагать, что

C k (U) {\ displaystyle C ^ {k} (U)}

C^{k}(U)

наделен локально выпуклой топологией, определяемой любым (или, что эквивалентно, всеми) семействами из полунорм, описанных выше.

С этой топологией $C k (U) {\ displaystyle C ^ {k} (U)}$ $C^{k}(U)$ становится локально выпуклым (ненормируемым ) Пространство Фреше и все определенные выше полунормы непрерывны на этом пространстве. Все определенные выше полунормы являются непрерывными функциями на $C k (U). {\ displaystyle C ^ {k} (U).}$ $C^{k}(U).$ В этой топологии net $(fi) i ∈ I {\ displaystyle (f_ {i}) _ {i \ in I}}$ $(f_{i})_{i\in I}$ in $C k (U) {\ displaystyle C ^ {k} (U)}$ $C^{k}(U)$ сходится к $f ∈ C k ( U) {\ displaystyle f \ in C ^ {k} (U)}$ $f\in C^{k}(U)$ тогда и только тогда, когда для каждого мультииндекса p с | p | < k + 1 and every K ∈ 𝕂, the net $(∂ pfi) i ∈ I {\ displaystyle (\ partial ^ {p} f_ {i}) _ {i \ in I}}$ $(\partial ^{p}f_{i})_{i\in I}$ сходится к $∂ pf {\ displaystyle \ частичное ^ {p} f}$ $\partial ^{p}f$ равномерно на K. Для любого $k ∈ {0, 1, 2,…, ∞}, {\ displaystyle k \ in \ {0,1,2, \ ldots, \ infty \},}$ ${\ displaystyle k \ in \ {0,1,2, \ ldots, \ infty \},}$ любое ограниченное подмножество из $C k + 1 (U) {\ displaystyle C ^ {k + 1} (U)}$ $C^{k+1}(U)$ является относительно компактным подмножеством $C k (U). {\ displaystyle C ^ {k} (U).}$ $C^{k}(U).$ В частности, подмножество $C ∞ (U) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (U)}$ $C^{\infty }(U)$ ограничен тогда и только тогда, когда он ограничен в $C i (U) {\ displaystyle C ^ {i} (U)}$ $C^{i}(U)$ для всех $i ∈ N. {\ displaystyle i \ in \ mathbb {N}.}$ $i\in \mathbb {N}.$ Пространство $C k (U) {\ displaystyle C ^ {k} (U)}$ $C^{k}(U)$ - это пространство Монтеля тогда и только тогда, когда k = ∞.

Топология на $C ∞ (U) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (U)}$ $C^{\infty }(U)$ - это верхний предел топологий подпространств, индуцированных на $C ∞ (U) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (U)}$ $C^{\infty }(U)$ TVS $C я (U) {\ displaystyle C ^ {i} (U)}$ $C^{i}(U)$ , поскольку я пробегает неотрицательные целые числа. Подмножество W из $C ∞ (U) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (U)}$ $C^{\infty }(U)$ открыто в этой топологии тогда и только тогда, когда существует $i ∈ N {\ displaystyle i \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle i \ in \ mathbb {N}}$ так, что W открыто, когда $C ∞ (U) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (U)}$ $C^{\infty }(U)$ равно снабженный топологией подпространства , индуцированной $C i (U). {\ displaystyle C ^ {i} (U).}$ $C^{i}(U).$

Топология на C (K)

Как и раньше, зафиксируйте $k ∈ {0, 1, 2,…, ∞}. {\ displaystyle k \ in \ {0,1,2, \ ldots, \ infty \}.}$ $k\in \{0,1,2,\ldots,\infty \}.$ Напомним, что если $K {\ displaystyle K}$ $K$ любой компактный подмножество $U {\ displaystyle U}$ $U$ , затем $C k (K) ⊆ C k (U). {\ displaystyle C ^ {k} (K) \ substeq C ^ {k} (U).}$ $C^{k}(K)\subseteq C^{k}(U).$

Предположение : для любого компактного подмножества K ⊆ U в дальнейшем мы будем предполагать, что

C k ( K) {\ displaystyle C ^ {k} (K)}

{\ displaystyle C ^ {k} (K)}

наделен топологией подпространства, наследуемой от пространства Фреше

C k ( U). {\ displaystyle C ^ {k} (U).}

C^{k}(U).

Для любого компактного подмножества K ⊆ U, $C k (K) {\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ ${\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ является замкнутым подпространством пространства Фреше $C k (U) {\ displaystyle C ^ {k} (U)}$ $C^{k}(U)$ и, таким образом, также является пространством Фреше. Для всех компактных K, L ⊆ U, K ⊆ L, обозначим естественное включение через $In K L: C k (K) → C k (L). {\ displaystyle \ operatorname {In} _ {K} ^ {L}: C ^ {k} (K) \ to C ^ {k} (L).}$ $\operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L).$ Тогда эта карта является линейным вложением TVS (т. е. линейная карта, которая также является топологическим вложением ), диапазон которых закрыт в его кодомене ; говоря иначе, топология на $C k (K) {\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ ${\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ идентична топологии подпространства, которую она наследует от $C k (L), {\ displaystyle C ^ {k} (L),}$ $C^{k}(L),$ , а также $C k (K) {\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ ${\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ является закрытым подмножество $C k (L). {\ displaystyle C ^ {k} (L).}$ $C^{k}(L).$ внутренний из $C ∞ (K) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (K)}$ ${ \ displaystyle C ^ {\ infty} (K)}$ относительно $C ∞ (U) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (U)}$ $C^{\infty }(U)$ пусто.

Если $k {\ displaystyle k}$ $к$ конечно, тогда $C k (K) {\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ ${\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ - это банахово пространство с топология, которая может быть определена нормой

r K (f): = sup | p | < k ( sup x 0 ∈ K | ∂ p f ( x 0) |). {\displaystyle r_{K}(f):=\sup _{|p|

r_{K}(f):=\sup _{|p|<k}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right).

А когда k = 2, тогда $C k (K) {\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ ${\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ даже гильбертово пространство. Пространство $C ∞ (K) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (K)}$ ${ \ displaystyle C ^ {\ infty} (K)}$ - это выделенное Schwartz пространство Montel поэтому, если $C ∞ (K) ≠ {0} {\ displaystyle C ^ {\ infty} (K) \ neq \ {0 \}}$ $C^{\infty }(K)\neq \{0\}$ , то это не нормируемый и, следовательно, не банахово пространство (хотя, как и все другие $C k (K), {\ displaystyle C ^ {k} (K),}$ ${\ displaystyle C ^ {k} ( K),}$ , это Fréchet пробел ).

Тривиальные расширения и независимость топологии C (K) от U

Определение $C k (K) {\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ ${\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ зависит от U, поэтому мы будем обозначать $C k (K; U) {\ displaystyle C ^ {k} (K; U)}$ $C^{k}(K;U)$ топологическое пространство $C k (K), {\ displaystyle C ^ {k} (K),}$ ${\ displaystyle C ^ {k} ( K),}$ который по определению является топологическим подпространством в $C k (U). {\ displaystyle C ^ {k} (U).}$ $C^{k}(U).$ Предположим, V является открытым подмножеством $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\mathbb {R} ^{n}$ содержащий $U. {\ displaystyle U.}$ $U.$ Учитывая $f ∈ C ck (U), {\ displaystyle f \ in C_ {c} ^ {k} (U),}$ $f\in C_{c}^{k}(U),$ его тривиальное расширение для V по определению, функция $F: V → C {\ displaystyle F: V \ to \ mathbb {C}}$ $F:V\to \mathbb {C}$ определяется следующим образом:

F (x) = {е (x) x ∈ U 0 в противном случае, {\ displaystyle F (x) = {\ begin {cases} f (x) x \ in U \\ 0 {\ text {else}} \ end {case}},}

{\ displaystyle F (x) = {\ begin {cases} f (x) x \ in U \\ 0 {\ text {иначе }} \ end {case}},}

так, чтобы $F ∈ C k (V). {\ displaystyle F \ in C ^ {k} (V).}$ $F\in C^{k}(V).$ Пусть $I: C ck (U) → C k (V) {\ displaystyle I: C_ {c} ^ { k} (U) \ to C ^ {k} (V)}$ ${\ displaystyle I: C_ {c} ^ {k} (U) \ to C ^ {k} ( V)}$ обозначает карту, которая отправляет функцию в $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} ( U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ до его тривиального расширения на V. Это отображение является линейным инъекцией, и для любого компактного подмножества K ⊆ U мы имеем $I (C k (K; U)) = С К (К; V), {\ Displaystyle I (C ^ {k} (K; U)) = C ^ {k} (K; V),}$ $I(C^{k}(K;U))=C^{k}(K;V),$ где $C k (K; V) {\ displaystyle C ^ {k} (K; V)}$ $C^{k}(K;V)$ - топологическое подпространство $C k (V) {\ displaystyle C ^ {k} (V)}$ $C^{k}(V)$ , состоящие из отображений с носителем, содержащимся в K (поскольку K ⊆ U ⊆ V, K также является компактным подмножеством V). Отсюда $I (C c k (U)) ⊆ C c k (V). {\ displaystyle I \ left (C_ {c} ^ {k} (U) \ right) \ substeq C_ {c} ^ {k} (V).}$ $I\left(C_{c}^{k}(U)\right)\subseteq C_{c}^{k}(V).$ Если я ограничен $C k (K; U) {\ displaystyle C ^ {k} (K; U)}$ $C^{k}(K;U)$ то следующее индуцированное линейное отображение является гомеоморфизмом (и, следовательно, TVS-изоморфизмом) :

C k (K; U) → C k (K; V) {\ displaystyle C ^ {k} (K; U) \ to C ^ {k} (K; V)}

C^{k}(K;U)\to C^{k}(K;V)

и, следовательно, следующие две карты (которые, как и предыдущая, определены как $f ↦ I (f) {\ displaystyle f \ mapsto I (f)}$ ${\ displaystyle f \ mapsto I (f)}$ ), являются топологическими вложениями :

C к (К; U) → С К (V), {\ Displaystyle C ^ {k} (K; U) \ к C ^ {k} (V),}

C^{k}(K;U)\to C^{k}(V),

C k (K; U) → C ck (V), {\ displaystyle C ^ {k} (K; U) \ to C_ {c} ^ {k} (V),}

{\ displaystyle C ^ {k} (K; U) \ to C_ {c} ^ {k} (V),}

(топология на $C ck (V) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (V)}$ $C_{c}^{k}(V)$ - каноническая топология LF, которая определена позже). Используя $C ck (U) ∋ е ↦ I (f) ∈ C ck (V) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U) \ ni f \ mapsto I (f) \ in C_ {c } ^ {k} (V)}$ $C_{c}^{k}(U)\ni f\mapsto I(f)\in C_{c}^{k}(V)$ мы идентифицируем $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ с его изображением в $C ck (V) ⊆ C k (V). {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (V) \ substeq C ^ {k} (V).}$ $C_{c}^{k}(V)\subseteq C^{k}(V).$ Поскольку $C k (K; U) ⊆ C ck (U), {\ displaystyle C ^ {k} (K; U) \ substeq C_ {c} ^ {k} (U),}$ $C^{k}(K;U)\subseteq C_{c}^{k}(U),$ через этот идентификатор $C k (K; U) {\ displaystyle C ^ {k} (K; U)}$ $C^{k}(K;U)$ также можно рассматривать как подмножество $C k (V). {\ displaystyle C ^ {k} (V).}$ $C^{k}(V).$ Важно отметить, что топология подпространства $C k (K; U) {\ displaystyle C ^ {k} (K; U)}$ $C^{k}(K;U)$ наследуется от $C k (U) {\ displaystyle C ^ {k} (U)}$ $C^{k}(U)$ (когда он рассматривается как подмножество $C k (U) { \ displaystyle C ^ {k} (U)}$ $C^{k}(U)$ ) идентична топологии подпространства, наследуемой от $C k (V) {\ displaystyle C ^ {k} (V)}$ $C^{k}(V)$ (когда $C k (K; U) {\ displaystyle C ^ {k} (K; U)}$ $C^{k}(K;U)$ вместо этого рассматривается как подмножество $C k (V) {\ displaystyle C ^ {k} (V)}$ $C^{k}(V)$ через идентификацию). Таким образом, топология на $C k (K; U) {\ displaystyle C ^ {k} (K; U)}$ $C^{k}(K;U)$ не зависит от открытого подмножества U в $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\mathbb {R} ^{n}$ , который содержит K. Это оправдывает нашу практику использования $C k (K) {\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ ${\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ вместо $C k (K; U). {\ displaystyle C ^ {k} (K; U).}$ $C^{k}(K;U).$

Топология на пространствах тестовых функций и распределений

Напомним, что $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^{k}(U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ denote all those functions in $C k ( U) {\displaystyle C^{k}(U)}$ $C^{k}(U)$ that have compact support in U, where note that $C ck ( U) {\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ is the union of all $C k ( K) {\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ as K ranges over 𝕂. Moreover, for every k, $C c k ( U) {\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ is a dense subset of $C k ( U). {\displaystyle C^{k}(U).}$ $C^{k}(U).$ The special case when k = ∞ gives us the space of test functions.

C c ∞ ( U) {\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}

C_{c}^{\infty }(U)

is called the space of test functionson U and it may also be denoted by

D ( U). {\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}

{\ displaystyle {\ mathcal {D}} (U).}

Canonical LF topology

We now define the canonical LF topology as a direct limit. It is also possible to define this topology in terms of its neighborhoods of the origin, which is described afterwards.

For any two sets K and L, we declare that K ≤ L if and only if K ⊆ L, which in particular makes the collection 𝕂 of compact subsets of U into a directed set (we say that such a collection is directed by subset inclusion). For all compact K, L ⊆ U with K ⊆ L, there are natural inclusions

In K L : C k ( K) → C k ( L) and In K U : C k ( K) → C c k ( U). {\displaystyle \operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L)\quad {\text{and}}\quad \operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{c}^{k}(U).}

\operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L)\quad {\text{and}}\quad \operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{c}^{k}(U).

Recall from above that the map $In K L : C k ( K) → C k ( L) {\displaystyle \operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {In} _ {K} ^ {L}: C ^ {k} (K) \ to C ^ {k} (L)}$ is a topological embedding. The collection of maps

{ In K L : K, L ∈ K and K ⊆ L } {\displaystyle \left\{\operatorname {In} _{K}^{L}\;:\;K,L\in \mathbb {K} \;{\text{ and }}\;K\subseteq L\right\}}

\left\{\operatorname {In} _{K}^{L}\;:\;K,L\in \mathbb {K} \;{\text{ and }}\;K\subseteq L\right\}

forms a direct system in the category of locally convex topological vector spaces that is directed by 𝕂 (under subset inclusion). This system's direct limit (in the category of locally convex TVSs) is the pair $( C c k ( U), In ∙ U) {\displaystyle (C_{c}^{k}(U),\operatorname {In} _{\bullet }^{U})}$ $(C_{c}^{k}(U),\operatorname {In} _{\bullet }^{U})$ where $In ∙ U := ( In K U) K ∈ K {\displaystyle \operatorname {In} _ {\ bullet} ^ {U}: = \ left (\ operatorname {In} _ {K} ^ {U} \ right) _ {K \ in \ mathbb {K}}}$ $\operatorname {In} _{\bullet }^{U}:=\left(\operatorname {In} _{K}^{U}\right)_{K\in \mathbb {K} }$ являются естественные включения и где $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ теперь наделен (уникальным) сильнейшим локально выпуклым топология, составляющая все карты включения $In ∙ U = (In KU) K ∈ K {\ displaystyle \ operatorname {In} _ {\ bullet} ^ {U} = \ left (\ operatorname {In} _ {K } ^ {U} \ right) _ {K \ in \ mathbb {K}}}$ $\operatorname {In} _{\bullet }^{U}=\left(\operatorname {In} _{K}^{U}\right)_{K\in \mathbb {K} }$ непрерывно.

каноническая топология LF на

C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}

C_{c}^{k}(U)

является лучшим локально выпуклая топология на

C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}

C_{c}^{k}(U)

создание всех карт включения

В KU: C k (K) → C ck (U) {\ displaystyle \ operatorname {In} _ {K} ^ {U}: C ^ {k} (K) \ to C_ {c} ^ {k} ( U)}

\operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{c}^{k}(U)

непрерывный (где K превышает 𝕂). Допущение : Как это часто бывает в литературе по математике, в данной статье впредь предполагается, что

C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}

C_{c}^{k}(U)

наделен своей канонической ЛФ топологией (если явно не указано иное).

Окрестности источника

Если U является выпуклым подмножеством $C ck (U), {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U),}$ ${\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U),}$ , то U является окрестностью начала координат в канонической LF-топологии тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующему условию:

Для всех K ∈ 𝕂,

U ∩ C k ( K) {\ displaystyle U \ cap C ^ {k} (K)}

U\cap C^{k}(K)

- окрестность начала координат в

C k (K). {\ displaystyle C ^ {k} (K).}

C^{k}(K).

(CN)

Обратите внимание, что любое выпуклое множество, удовлетворяющее этому условию, обязательно поглощает в $C c k (U). {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U).}$ $C_{c}^{k}(U).$ Поскольку топология любого топологического векторного пространства инвариантна относительно трансляции, любая TVS-топология полностью определяется множество окрестностей начала координат. Это означает, что можно фактически определить каноническую топологию LF, объявив, что выпуклое сбалансированное подмножество U является окрестностью начала координат тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию CN.

. дифференциальный оператор в U с гладкими коэффициентами представляет собой сумму
$P: = ∑ α ∈ N nc α ∂ α {\ displaystyle P: = \ sum _ {\ alpha \ in \ math bb {N} ^ {n }} c _ {\ alpha} \ partial ^ {\ alpha}}$ $P:=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }$
где $c α ∈ C ∞ (U) {\ displaystyle c _ {\ alpha} \ in C ^ {\ infty} (U)}$ $c_{\alpha }\in C^{\infty }(U)$ и все, кроме конечного числа, из $c α {\ displaystyle c _ {\ alpha}}$ $c_{{\alpha }}$ идентичны 0. Целое число $sup {| α | : с α ≠ 0} {\ Displaystyle \ sup \ {| \ alpha |: c _ {\ alpha} \ neq 0 \}}$ $\sup\{|\alpha |:c_{\alpha }\neq 0\}$ называется порядком дифференциального оператора $П. {\ displaystyle P.}$ $P.$ Если $P {\ displaystyle P}$ $P$ является линейным дифференциальным оператором порядка k, то он индуцирует каноническое линейное отображение $C k (U) → C 0 (U) {\ displaystyle C ^ {k} (U) \ to C ^ {0} (U)}$ ${\ displaystyle C ^ {k}(U)\to C^{0}(U)}$ , определенно как $ϕ ↦ P ϕ, {\ displaystyle \ phi \ mapsto P \ phi,}$ $\phi \mapsto P\phi,$ где мы будем повторно использовать обозначения, а также обозначить эту карту $P. {\ displaystyle P.}$ $P.$

Для любого 1 ≤ k ≤ ∞ каноническая топология LF на $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ - это самая слабая локально выпуклая топология TVS, переводящая все линейные дифференциальные операторы в U порядка < k + 1 into continuous maps from $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ в $C c 0 (U). {\ displaystyle C_ {c} ^ {0} (U).}$ $C_{c}^{0}(U).$
Основные свойства
Независимость канонической топологии LF от 𝕂
Одно из преимуществ определения канонической топологии LF как прямого ограничения прямая система заключается в том, что мы можем сразу использовать универсальное свойство прямых ограничений. Другое преимущество состоит в том, что мы можем использовать известные результаты из категорий теории, чтобы сделать вывод, что каноническая LF-топология фактически не зависит от конкретного выбора направленного набора 𝕂 компактных множеств. И, рассматривая разные коллекции 𝕂 (в частности, те, которые упомянуты в начале статьи), мы можем вывести эти свойства топологии. В частности, мы можем сделать вывод, что каноническая топология LF $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ в Hausdorff локально выпуклое строгое LF-пространство (а также строгое LB-пространство, если k ≠ ∞), что, конечно, является причиной того, что эта топология называется "каноническая топология LF» (подробнее см. в этой сноске).
Универсальное свойство
Из универсальных свойств прямых ограничений мы знаем, что if $u: C ck (U) → Y {\ displaystyle u: C_ {c} ^ {k} (U) \ to Y}$ $u:C_{c}^{k}(U)\to Y$ является линейным отображением в локально выпуклое пространство Y (не обязательно по Хаусдорфу), тогда u непрерывно, если и только если u ограничено тогда и только тогда, когда для каждого K ∈ 𝕂 ограничение u до $C k (K) {\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ ${\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ является непрерывным (
Зависимость канонической топологии LF от U
Предположим, что V - о ткрытое подмножество $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\mathbb {R} ^{n}$ обеспечивается $U. {\ displaystyle U.}$ $U.$ Пусть $I: C ck (U) → C ck (V) {\ displaystyle I: C_ {c} ^ {k} (U) \ to C_ {c } ^ {k} (V)}$ $I:C_{c}^{k}(U)\to C_{c}^{k}(V)$ обозначает карту, которая отправляет функцию в $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ до его тривиального расширения на V (это было определено выше). Эта карта представляет собой непрерывную линейную карту. Если (и только если) U ≠ V, то $I (C c ∞ (U)) {\ displaystyle I (C_ {c} ^ {\ infty} (U))}$ $I(C_{c}^{\infty }(U))$ не является плотное подмножество $C c ∞ (V) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (V)}$ $C_{c}^{\infty }(V)$ и $I: C c ∞ (U) → C c ∞ ( V) {\ displaystyle I: C_ {c} ^ {\ infty} (U) \ to C_ {c} ^ {\ infty} (V)}$ $I:C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(V)$ не является топологическим вложением . Следовательно, если U ≠ V, то транспонирование $I: C c ∞ (U) → C c ∞ (V) {\ displaystyle I: C_ {c} ^ {\ infty} (U) \ в C_ {c} ^ {\ infty} (V)}$ $I:C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(V)$ не является ни взаимно однозначным, ни на.
Ограниченные подмножества
Подмножество B из $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ ограничено в $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ тогда и только тогда, когда существует некоторый K ∈ 𝕂 такой, что $B ⊆ C k (K) {\ displaystyle B \ substeq C ^ {k} (K)}$ $B\subseteq C^{k}(K)$ и B является ограниченным подмножеством $C k (K). {\ displaystyle C ^ {k} (K).}$ $C^{k}(K).$ Кроме того, если K ⊆ U компактно и $S ⊆ C k (K) {\ displaystyle S \ substeq C ^ {k} ( K)}$ ${\ displaystyle S \ substeq C ^ {k} (K)}$ , тогда S ограничена в $C k (K) {\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ ${\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ тогда и только тогда, когда она ограничена в $C k (U). {\ displaystyle C ^ {k} (U).}$ $C^{k}(U).$ Для любого 0 ≤ k ≤ ∞, любого ограниченного подмножества $C ck + 1 (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k + 1} (U)}$ ${\ displaystyle C_ {c} ^ {k + 1} (U)}$ (соответственно $C k + 1 (U) {\ displaystyle C ^ {k + 1} (U)}$ $C^{k+1}(U)$ ) является относительно компактный подмножество $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ (соответственно $C k (U) {\ displaystyle C ^ {k} (U)}$ $C^{k}(U)$ ), где ∞ + 1 = ∞.
Неметризуемость
Для всех компактных K ⊆ U внутренняя часть $C к (К) {\ Displaystyle C ^ {k} (K)}$ ${\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ в $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ пуст, поэтому $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ сам по себе относится к первой категории. Из теоремы Бэра следует, что $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ не метризуемо и следовательно, также не нормируемый (см. эту сноску для объяснения того, как неметризуемое пространство $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ может быть полным, даже если не допускает метрики). Тот факт, что $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ является ядерным Montel space компенсирует неметризуемость $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ (см. эту сноску для более подробного объяснения).
Взаимосвязь между пробелами
Использование универсальных свойств прямых границ и того факта, что естественные включения $в KL: C k (K) → C k (L) {\ displaystyle \ operatorname { In} _ {K} ^ {L}: C ^ {k} (K) \ to C ^ {k} (L)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {In} _ {K} ^ {L}: C ^ {k} (K) \ to C ^ {k} (L)}$ все топологическое вложение, можно показать, что все карты $в KU: C k (K) → C ck (U) {\ displaystyle \ operatorname {In} _ {K} ^ {U}: C ^ {k} (K) \ to C_ {c} ^ {k} (U)}$ $\operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{c}^{k}(U)$ также являются топологическими вложениями. Иными словами, топология на $C k (K) {\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ ${\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ идентична топологии подпространства , наследуемой от $C ck (U), {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U),}$ ${\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U),}$ где напомним, что $C k (K) {\ displaystyle C ^ {k} (K)} Топология$ ${\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ была определена как топология подпространства, индуцированная на нем $C k (U). {\ displaystyle C ^ {k} (U).}$ $C^{k}(U).$ В частности, оба $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ и $C k (U) {\ displaystyle C ^ {k} (U)}$ $C^{k}(U)$ индуцирует ту же топологию подпространства на $C k (K). {\ displaystyle C ^ {k} (K).}$ $C^{k}(K).$ Однако это не не означает, что каноническая топология LF на $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c } ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ равно топологии подпространства, индуцированной на $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ по $С k (U) {\ displaystyle C ^ {k} (U)}$ $C^{k}(U)$ ; эти две топологии на $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ на самом деле никогда не равны друг другу, поскольку канонический Топология LF никогда не метризуема, индуцированная на ней $C k (U) {\ displaystyle C ^ {k} (U)}$ $C^{k}(U)$ , метризуема (поскольку напомним, что $C k (U) {\ displaystyle C ^ {k} (U)}$ $C^{k}(U)$ является метризуемым). Каноническая топология LF на $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ на самом деле строго тоньше, чем топология подпространства, которую она наследуется от $C k (U) {\ displaystyle C ^ {k} (U)}$ $C^{k}(U)$ (таким образом, естественное включение $C ck (U) → C k (U) { \ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U) \ to C ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(U)$ является непрерывным, но не топологическим вложением ).

В самом деле, каноническая топология LF такова отлично, что если $C c ∞ (U) → X {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U) \ to X}$ $C_{c}^{\infty }(U)\to X$ обозначает некоторую линейную карту, которая «естественное включение» (например, $C c ∞ (U) → C k (U), {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U) \ to C ^ {k} (U),}$ $C_{c}^{\infty }(U)\to C^{k}(U),$ или $C c ∞ (U) → L p (U), {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U) \ to L ^ {p} (U),}$ ${\ displaystyle C_ {c} ^ {\ inf ty} (U) \ к L ^ {p} (U),}$ или карты, обсуждаемые ниже), то эта карта обычно ниже будет непрерывной, что, как показано, в конечном итоге является п. ричиной того, почему локально интегрируемые функции, меры Радона и т.д. все индуцируют распределение (через транспонирование такого «естественного включения»). Иными словами, причина, по которой существует так много разных способов определения из других пространств, в конечном итоге проистекает из того, насколько прекрасна каноническая LF-топология. Более того, как распределение обеспечивает просто непрерывными линейными функциями на $C c ∞ (U), {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U),}$ ${\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U),}$ , тонкая природа канонической LF топология означает, что более линейные функции на $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ в конечном итоге непрерывными («больше» означает по сравнению по с более грубую топологию, которую мы могли бы связать на $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ , такую как, например, топология подпространства, индуцированная некоторые $C k (U), {\ displaystyle C ^ {k} (U),}$ ${\ displaystyle C ^ {k} (U),}$ , что, хотя и сделало бы $C c ∞ (U) { \ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ метризуемый, это также привело к меньшему количеству линейных функционалов на $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ является непрерывным и, следовательно, было бы меньше распределений; кроме того, эта конкретная более грубая топология также имеет недостаток в том, что не делает $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ в полный TVS ).
Другие
Карта дифференциации $C c ∞ (U) → C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U) \ to C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(U)$ - сюръективный непрерывный линейный оператор.
отображение билинейного умножения $C ∞ (R m) × C c ∞ (Р N) → С с ∞ (р м + N) {\ Displaystyle C ^ {\ infty } (\ mathbb {R} ^ {m}) \ раз C_ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ to C_ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R } ^ {m + n})}$ $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\times C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{m+n})$ задано как $(f, g) ↦ fg {\ displaystyle (f, g) \ mapsto fg}$ ${\ displaystyle (f, g) \ mapsto fg}$ не является непрерывным; однако это гипоконтинуальный.
Распределения
Как обсуждалось ранее, непрерывные линейные функционалы на $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty } (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ известны как распределение на U. Таким образом, множество всех распределений на U - это непрерывное двойное пространство для $C c ∞ (U), {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U),}$ ${\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U),}$ который при наделении сильной двойной топологией обозначается $D '(U). {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U).}$ ${\mathcal {D}}'(U).$
По определению, распределение в U определяется как непрерывный линейный функционал на $C c ∞ (U). {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U).}$ $C_{c}^{\infty }(U).$ Иначе говоря, распределение на U является элементом непрерывного двойного пространства из $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ когда $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ наделен своей канонической LF-топологией.
У нас есть каноническое двойное соединение между распределением T на U и тестовой функцией $f ∈ C c ∞ (U), {\ displaystyle f \ in C_ {c} ^ {\ infty} (U),}$ $f\in C_{c}^{\infty }(U),$ , который обозначается с помощью угловых скобок как
${D ′ (U) × C c ∞ (U) → R (T, f) ↦ ⟨ T, е⟩: знак равно T (е) {\ Displaystyle {\ begin {case} {\ mathcal {D}} '(U) \ times C_ {c} ^ {\ infty} (U) \ to \ mathbb { R} \\ (T, f) \ mapsto \ langle T, f \ rangle: = T (f) \ end {cases}}}$ ${\begin{cases}{\mathcal {D}}'(U)\times C_{c}^{\infty }(U)\to \mathbb {R} \\(T,f)\mapsto \langle T,f\rangle :=T(f)\end{cases}}$
Это обозначение интерпретируется как распределение T, действующее на тестовую функцию $f { \ displaystyle f}$ $f$ , чтобы дать скаляр, или симметрично как тестовая функция $f {\ displaystyle f}$ $f$ , действующая на распределение T.
Характеристики распределений
Предложение. Если T - линейный функционал на $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ , то следующие эквиваленты :
T - распределение;
(определение ) T - непрерывное ;
T - непрерывное при начале координат;
T равномерно непрерывный ;
T ограниченный оператор ;
T последовательно непрерывный ;
явно для каждой последовательности $(fi) я знак 1 ∞ {\ displaystyle \ left (f_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty } (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ , который сходится в $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ некоторым $е ∈ С с ∞ (U), {\ displaystyle f \ in C_ {c} ^ {\ infty} (U),}$ $f\in C_{c}^{\infty }(U),$ $lim i → ∞ T (fi) = T (е); {\ displaystyle \ lim _ {i \ to \ infty} T \ left (f_ {i} \ right) = T (f);}$ ${\ displaystyle \ lim _ {я \ to \ infty} T \ left (f_ {i} \ right) = T (f);}$
T - непрерывно в начале координат; T отображает нулевые другие на нулевые примеры;
явно для каждой последовательности $(fi) i = 1 ∞ {\ displaystyle \ left (f_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ , который сходится в $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ в начало координат (такая последовательность называется пустой последовательностью), $lim i → ∞ T (fi) = 0; {\ displaystyle \ lim _ {i \ to \ infty} T \ left (f_ {i} \ right) = 0;}$ ${\ displaystyle \ lim _ {i \ to \ infty} T \ left (f_ {i} \ right) = 0;}$
нулевая последовательность по определению последовательностью, сходящейся к началу координат;
T отображает нулевые установленные в ограниченные подмножества;
явно для каждой последовательности $(fi) i = 1 ∞ {\ displaystyle \ left (f_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ , который сходится в $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ в начало координат, последовательность $(T (fi)) я = 1 ∞ {\ displaystyle \ left (T \ left (f_ {i) } \ right) \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ $\left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$ ограничено;
T отображает нулевые следовать сходимости Макки в ограниченные подмножества;
явно для каждой конвергентной нулевой ввод Макки $(fi) i = 1 ∞ {\ displaystyle \ left (f_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $C c ∞ (U), {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U),}$ ${\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U),}$ последовательность $(T (fi)) я знак равно 1 ∞ {\ displaystyle \ left (T \ left (f_ {i} \ right) \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ $\left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$ ограничен;
последовательность f • = (f i). i = 1 называется сходящейся по Макки к 0, если существует расходящаяся последовательность r • = (r i). i = 1 → ∞ положительного действительного числа, такая что последовательность (r ifi). i = 1 ограничена; каждая последовательность, сходящаяся по Макки к 0, обязательно сходится к началу координат (в обычном смысле);
Ядро T - замкнутое подпространство $C c ∞ (U); {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U);}$ $C_{c}^{\infty }(U);$
график T является замкнутым;
Для каждого компактного подмножества $K ⊆ U {\ displaystyle K \ substeq U}$ $K\subseteq U$ существуют константы $C>0 {\ displaystyle C>0}$ $C>0$ и $N ∈ N { \ displaystyle N \ в \ mathbb {N}}$ $N\in \mathbb {N}$ такой, что для всех $f ∈ C ∞ (K), {\ displaystyle f \ in C ^ {\ infty} (K),}$ $f\in C^{\infty }(K),$
$| T (f) | ≤ C sup {| ∂ p f (x) | : x ∈ U, | α | ≤ N}; {\ displaystyle | T (f) | \ leq C \ sup \ {| \ partial ^ {p} f (x) |: x \ in U, | \ альфа | \ leq N \};}$ ${\ displaystyle | T (f) | \ leq C \ sup \ {| \ partial ^ {p} f (х) |: х \ в U, | \ альфа | \ leq N \};}$
Для каждого компактного подмножества $K ⊆ U {\ displaystyle K \ substeq U}$ $K\subseteq U$ существуют константы $CK>0 {\ displaystyle C_ {K}>0}$ $C_{K}>0$ и $NKyle ∈ N {\ display N_ {K} \ in \ mathbb {N}}$ $N_{K}\in \mathbb {N}$ такое, что для всех $f ∈ C c ∞ (U) {\ displaystyle f \ в C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $f\in C_{c}^{\infty }(U)$ с опорой, содержащейся в $K, {\ displaystyle K,}$ $K,$
$| T (f) | ≤ CK sup {| ∂ α е (Икс) |: Икс ∈ К, | α | ≤ NK}; {\ Displaystyle | T (е) | \ Leq C_ {K} \ sup \ {| \ partial ^ {\ alpha} f (x) |: х \ в K, | \ альфа | \ Leq N_ {K} \};}$ $|T(f)|\leq C_{K}\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in K,|\alpha |\leq N_{K}\};$
Для любого компактного подмножества $K ⊆ U {\ displaystyle K \ substeq U}$ $K\subseteq U$ и любой следовать ${fi} я = 1 ∞ {\ displaystyle \ {е_ {я} \} _ {я = 1} ^ {\ infty}}$ $\{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ в $C ∞ (K), {\ Displaystyle C ^ {\ infty} (К),}$ $C^{\infty }(K),$ если ${∂ pfi} i = 1 ∞ {\ displaystyle \ {\ partial ^ {p} f_ {i} \} _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ $\{\partial ^{p}f_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ сходится равномерно до нуля для всех мультииндексов p, $T (fi) → 0; {\ displaystyle T (f_ {i}) \ to 0;}$ $T(f_{i})\to 0;$
Любой из трех операторов, приведенных непосредственно выше (т. е. операторов 10, 11 и 12), но с дополнительным требованием, чтобы компакт K принадлежал к.
существует набор каноническая топология LF является локально выпуклой, на $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U) наборов (обязательно непрерывных) полунорм. }$ $C_{c}^{\infty }(U)$ , которые определяют каноническую LF-топологию $C c ∞ (U). {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U).}$ $C_{c}^{\infty }(U).$

Предложение. Если T - линейный функционал на $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ то следующие эквивалентны:
$T {\ displaystyle T}$ $T$ is непрерывно ;
Существует непрерывная полунорма g на $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} ( U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ такая, что $| Т | ≤ г; {\ displaystyle | Т | \ leq g;}$ $|T|\leq g;$
Существует константа C>0, набор непрерывных полунорм, $P, {\ displaystyle {\ mathcal {P}},}$ ${\mathcal {P}},$ , который определяет каноническую топологию LF для $C c ∞ (U), {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U),}$ ${\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U),}$ и конечного подмножества ${g 1,…, gm} ⊆ P {\ displaystyle \ {g_ {1}, \ ldots, g_ {m} \} \ substeq {\ mathcal {P}}}$ $\{g_{1},\ldots,g_{m}\}\subseteq {\mathcal {P}}$ такой, что $| Т | ≤ C (g 1 + ⋯ g m); {\ displaystyle | Т | \ leq C (g_ {1} + \ cdots g_ {m});}$ $|T|\leq C(g_{1}+\cdots g_{m});$
Топология в пространстве распределений
Определение и обозначение : пространство распределений на U, обозначается $D '(U), {\ displaystyle {\ mathcal {D}}' (U),}$ ${\mathcal {D}}'(U),$ - это непрерывное двойное пространство of $C c ∞ (U) { \ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ с топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах из $C c ∞ (U). {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U).}$ $C_{c}^{\infty }(U).$ Более кратко, пространство распределений на U равно $D ′ (U): = (C c ∞ (U)) b ′. {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U): = (C_ {c} ^ {\ infty} (U))' _ {b}.}$ ${\mathcal {D}}'(U):=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}.$
Топология равномерной сходимости на ограниченных подмножествах также называется сильной двойной топологией. Эта топология выбрана потому, что именно с этой топологией $D '(U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}}' (U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ становится ядерным пространство Монтеля, и именно этой топологией выполняется теорема о ядрах Шварца. Независимо от того, какая двойная топология размещена на $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ , последовательность распределений сходится в этой топологии тогда и только тогда, когда он сходится точечно (хотя это не обязательно для сети ). Независимо от выбранной топологии $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ не будет метризуемым, локально выпуклое топологическое векторное пространство. Пространство $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ разделимо и имеет сильные стороны, но не является k-пространство, ни последовательное пространство, что, в частности, подразумевает, что он не метризуемый, а также что его топология не может быть определена с использованием только последовательностей.
Топологические свойства
Категории топологического векторного пространства
Каноническая топология LF составляет $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ в полное выделенное строгое LF-пространство (и строгое LB-пространство тогда и только тогда, когда k ≠ ∞), что означает, что $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ является скудным подмножеством самого себя. Кроме того, $C ck (U), {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U),}$ ${\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U),}$ , а также его сильное двойственное пространство, является полным Хаусдорф локально выпуклый стволовый борнологический пространство Макки. сильное двойственное число для $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ является пробелом Фреше, если и только если k ≠ ∞, так, в частности, сильное двойственное к $C c ∞ (U), {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U),}$ ${\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U),}$ которое является пространство $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ распределений на U не является метризуемым (обратите внимание, что weak- * топология на $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ также не является метризуемым и, кроме того, ему не хватает почти всех хороших свойств, которые сильная двойная топология дает $D '(U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}}' (U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ ).

Три пробела $C c ∞ (U), {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U),}$ ${\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U),}$ $C ∞ (U), {\ displaystyle C ^ {\ infty} (U),}$ $C^{\infty }(U),$ и пространство Шварца $S (R n), {\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n}),}$ ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}),$ , а также сильные двойники каждого из этих трех пространств, являются полными ядерными Montel борнологические пространства, из чего следует, что все шесть из этих локально выпуклых пространств также являются паракомпактными рефлексивными цилиндрическими пространствами Макки. Пробелы $C ∞ (U) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (U)}$ $C^{\infty }(U)$ и $S (R n) {\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ оба выделенных пробелов Фреше. Кроме того, как $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ , так и $S (R n) {\ displaystyle {\ mathcal { S}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ - это ТВП Шварца.
Сходящиеся последовательности
Сходящиеся последовательности и их недостаточность для описания топологий
Сильные двойственные пространства из $C ∞ (U) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (U)}$ $C^{\infty }(U)$ и $S (R n) {\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ - это последовательные пробелы, но не пробелы Фреше-Урысона. Более того, ни пространство тестовых функций $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ , ни его сильное двойственное $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ - это последовательное пространство (даже не an), что, в частности, означает, что их топологии не могут быть определены полностью в терминах сходящихся последовательностей.

Последовательность $(fi) i = 1 ∞ {\ displaystyle (f_ {i}) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ ${ \ displaystyle (f_ {i}) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ в $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ сходится в $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ тогда и только тогда, когда существует некоторый K ∈ 𝕂 такой, что $C k (K) {\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ ${\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ содержит эту последовательность и эту последовательность сходится в $C k (K) {\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ ${\ displaystyle C ^ {k} (K)}$ ; эквивалентно, он сходится тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:
Существует компакт K ⊆ U, содержащий носители всех $f i. {\ displaystyle f_ {i}.}$ $f_{i}.$
Для каждого мультииндекса α последовательность частных производных $∂ α fi {\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha} f_ {i} }$ ${\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha} f_ {i}}$ стремится равномерно к $∂ α f. {\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha} f.}$ $\partial ^{\alpha }f.$
Ни пробел $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ ни его сильное двойственное $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ не является последовательным пространством, и, следовательно, их топологии могут, а не полностью определять в терминах сходящихся последовательностей. По этой причине приведенной выше характеристики того, когда последовательность сходится, недостаточно для определения канонической LF-топологии на $C c ∞ (U). {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U).}$ $C_{c}^{\infty }(U).$ То же самое можно сказать о сильной двойственной топологии на $D ′ (U). {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U).}$ ${\mathcal {D}}'(U).$
Какие последовательности действительно характеризуют
Тем не менее, как мы сейчас обсудим, последовательности действительно характеризуют многие важные свойства. Известно, что в двойном пространстве любого пространства Монтеля последовательность сходится в сильной двойной топологии тогда и только тогда, когда она сходится в слабой * топологии, что, в частности, является причиной того, что последовательность распределений сходится (в сильной двойственной топологии) тогда и только тогда, когда она сходится поточечно (это заставляет многих авторов использовать поточечную сходимость для фактического определения сходимости последовательности распределений; это отлично подходит для последовательностей, но не распространяется на сходимость сетей распределений, поскольку сеть может сходиться поточечно, но не может достигать сходимости в сильной дуальной топологии).

Последовательности характеризуют непрерывность линейных отображений со значениями в локально выпуклом пространстве. Предположим, что X - локально выпуклое борнологическое пространство (такое как любое из шести TVS, упомянутых ранее). Тогда линейное отображение F: X → Y в локально выпуклое пространство Y непрерывно тогда и только тогда, когда оно отображает нулевые последовательности в X в ограниченные подмножества в Y. В более общем смысле такое линейное отображение F: X → Y является непрерывным тогда и только тогда, когда он отображает конвергентные нулевые последовательности Mackey в ограниченные подмножества $Y. {\ displaystyle Y.}$ $Y.$ Так, в частности, если линейное отображение F: X → Y в локально выпуклое пространство последовательно непрерывно в начале координат, то оно непрерывно. Однако это не обязательно распространяется на нелинейные отображения и / или на отображения, которые имеют значения в топологических пространствах, которые не являются локально выпуклыми TVS.

Для каждого $k ∈ {0, 1,…, ∞}, C c ∞ (U) {\ displaystyle k \ in \ {0,1, \ ldots, \ infty \}, C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $k\in \{0,1,\ldots,\infty \},C_{c}^{\infty }(U)$ - это последовательно плотный в $C ck (U). {\ Displaystyle C_ {c} ^ {k} (U).}$ $C_{c}^{k}(U).$ Кроме того, ${D ϕ: ϕ ∈ C c ∞ (U)} {\ displaystyle \ {D _ {\ phi} : \ phi \ in C_ {c} ^ {\ infty} (U) \}}$ $\{D_{\phi }:\phi \in C_{c}^{\infty }(U)\}$ - это последовательно плотное подмножество $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ (с его сильной двойственной топологией), а также секвенциально плотное подмножество сильного двойственного пространства в $C ∞ (U). {\ displaystyle C ^ {\ infty} (U).}$ $C^{\infty }(U).$
Последовательности распределений
Последовательность распределений $(T i) i = 1 ∞ {\ displaystyle (T_ {i}) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ $(T_{i})_{i=1}^{\infty }$ сходится относительно топологии weak- * на $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ до распределения T тогда и только тогда, когда
$⟨T i, f⟩ → ⟨T, f⟩ {\ displaystyle \ langle T_ {i}, f \ rangle \ to \ langle T, f \ rangle}$ $\langle T_{i},f\rangle \to \langle T,f\rangle$
для каждой тестовой функции $f ∈ D (U). {\ displaystyle f \ in {\ mathcal {D}} (U).}$ $f\in {\mathcal {D}}(U).$ Например, если $fm: R → R {\ displaystyle f_ {m}: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ $f_{m}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ - это функция
$fm (x) = {m if x ∈ [0, 1 m] 0 в противном случае {\ displaystyle f_ {m} (x) = {\ begin {case} m {\ text {if}} x \ in [0, {\ frac {1} {m}}] \\ 0 {\ text {else}} \ end {ases}}}$ ${\ displaystyle f_ {m} (x) = {\ begin {cases} m {\ text {if}} x \ в [0, {\ frac {1} {m}}] \\ 0 {\ text {else}} \ end {cases}}}$
и T m - распределение, соответствующее $fm, {\ displaystyle f_ {m},}$ $f_{m},$ , затем
$⟨T m, f⟩ = m ∫ 0 1 mf ( Икс) dx → е (0) знак равно ⟨δ, е⟩ {\ displaystyle \ langle T_ {m}, f \ rangle = m \ int _ {0} ^ {\ frac {1} {m}} f (x) \, dx \ to f (0) = \ langle \ delta, f \ rangle}$ $\langle T_{m},f\rangle =m\int _{0}^{\frac {1}{m}}f(x)\,dx\to f(0)=\langle \delta,f\rangle$
при m → ∞, поэтому T m → δ в $D ′ (R). {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(\ mathbb {R}).}$ ${\mathcal {D}}'(\mathbb {R}).$ Таким образом, для большого m функция $fm {\ displaystyle f_ {m}}$ $f_ {m}$ можно рассматривать как приближение дельта-распределения Дирака.
Другие свойства
Сильное двойственное пространство $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ изоморфно $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ через канонический TVS-изоморфизм $C c ∞ (U) → (D ′ (U)) b ′ {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U) \ to ({\ mathcal {D}} '(U))' _ {b}}$ $C_{c}^{\infty }(U)\to ({\mathcal {D}}'(U))'_{b}$ определяется отправкой $f ∈ C c ∞ (U) {\ displaystyle f \ in C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $f\in C_{c}^{\infty }(U)$ для значения $f {\ displaystyle f}$ $f$ (то есть к линейному функционалу на $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ , определенному отправкой $d ∈ D ′ (U) {\ displaystyle d \ in {\ mathcal {D}} '(U)}$ $d\in {\mathcal {D}}'(U)$ to $d (f) {\ displaystyle d (f)}$ $d(f)$ );
На любом ограниченном подмножестве $D ′ (U), {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U),}$ ${\mathcal {D}}'(U),$ слабая и сильная топологии подпространств совпадают; то же самое верно для $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ ;
Каждая слабо сходящаяся последовательность в $D ′ (U) {\ disp laystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ сильно сходится (хотя это не распространяется на сети ).
Локализация распределений
Нет возможности определить значение распределения в $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ в определенной точке U. Однако, как и в случае с функции, распределения на U ограничивают, чтобы дать распределения на открытых подмножествах U. Кроме того, распределения определяются локально в том смысле, что распределение на всем U может быть собрано из распределения на открытом покрытии U, удовлетворяющем некоторым условиям совместимости на перекрытиях. Такая структура известна как связка.
Ограничения на открытое подмножество
Пусть U и V - открытые подмножества $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} }$ $\mathbb {R} ^{n}$ с V ⊆ U. Пусть $EVU: D (V) → D (U) {\ displaystyle E_ {VU}: {\ mathcal {D}} (V) \ to {\ mathcal {D}} (U)}$ $E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U)$ - оператор, который расширяет с помощью нуля заданную гладкую функцию с компактным носителем в V до гладкой функции с компактным носителем в большом множестве U. транспонирует $EVU {\ displaystyle E_ {VU}}$ $E_{VU}$ называется отображением ограничений и обозначается $ρ VU: = t EVU: D ′ (U) → D ′ (V). {\ displaystyle \ rho _ {VU}: = {} ^ {t} E_ {VU}: {\ mathcal {D}} '(U) \ to {\ mathcal {D}}' (V).} <1915 г.>Карта EVU: D (V) → D (U) {\ displaystyle E_ {VU}: {\ mathcal {D}} (V) \ to {\ mathcal {D}} (U)}$ $E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U)$ - это непрерывная инъекция, где, если V ⊆ U, это не топологическое вложение и его диапазон не является плотным в $D (U), {\ displaystyle {\ mathcal {D}} (U),}$ ${\mathcal {D}}(U),$ что подразумевает, что транспонирование этой карты не является ни инъективным, ни сюръективным и что топология, которую $EVU {\ displaystyle E_ {VU}}$ $E_{VU}$ передает из $D (V) {\ displaystyle { \ mathcal {D}} (V)}$ ${\mathcal {D}}(V)$ на его изображение строго тоньше, чем топология подпространства, $D (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} (U)}$ ${\mathcal {D}}(U)$ индуцирует на этом же множестве. Распределение $S ∈ D ′ (V) {\ displaystyle S \ in {\ mathcal {D}} '(V)}$ $S\in {\mathcal {D}}'(V)$ называется расширяемым до U, если он принадлежит к диапазону транспонирования $EVU {\ displaystyle E_ {VU}}$ $E_{VU}$ и называется расширяемым, если его можно расширить до $R n. {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$ $\mathbb{R} ^{n}.$

Для любого распределения $T ∈ D ′ (U), {\ displaystyle T \ in {\ mathcal {D}} '(U),}$ $T\in {\mathcal {D}}'(U),$ ограничение ρ VU (T) является распределением в $D ′ (V) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(V)}$ ${\mathcal {D}}'(V)$ определяется как:
$⟨ρ VUT, ϕ⟩ = ⟨T, EVU ϕ⟩ для всех ϕ ∈ D (V). {\ displaystyle \ qquad \ langle \ rho _ {VU} T, \ phi \ rangle = \ langle T, E_ {VU} \ phi \ rangle \ quad {\ text {для всех}} \ phi \ in {\ mathcal { D}} (V).}$ $\qquad \langle \rho _{VU}T,\phi \rangle =\langle T,E_{VU}\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(V).$
Если U = V, ограничение на V не является ни инъективным, ни сюръективным. Отсутствие сюръективности следует из-за того, что распределения могут взорваться к границе V. Например, если U = ℝ и V = (0, 2), то распределение
$T (x) = ∑ n = 1 ∞ n δ ( Икс - 1 п) {\ Displaystyle Т (х) = \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} п \, \ дельта \ влево (х - {\ гидроразрыва {1} {п}} \ вправо)}$ $T(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n\,\delta \left(x-{\frac {1}{n}}\right)$
находится в $D '(V) {\ displaystyle {\ mathcal {D}}' (V)}$ ${\mathcal {D}}'(V)$ , но не допускает расширения до $D '(U). {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U).}$ ${\mathcal {D}}'(U).$
Склеивание и исчезающие распределения в множестве
Теорема - Пусть $(U i) i ∈ I {\ displaystyle ( U_ {i}) _ {i \ in I}}$ ${\ displaystyle (U_ {i}) _ {i \ in I}}$ быть набором открытых подмножеств $R n. {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$ $\mathbb{R} ^{n}.$ Для каждого $i ∈ I, {\ displaystyle i \ in I,}$ $i\in I,$ пусть $T i ∈ D ′ (U i) {\ displaystyle T_ {i} \ in {\ mathcal {D}} '(U_ {i})}$ $T_{i}\in {\mathcal {D}}'(U_{i})$ и предположим, что для всех $i, j ∈ I, {\ displaystyle i, j \ in I,}$ $i,j\in I,$ ограничение $T i {\ displaystyle T_ {i}}$ $T_{i}$ на $U i ∩ U j { \ displaystyle U_ {i} \ cap U_ {j}}$ ${\ displaystyle U_ {i} \ cap U_ {j}}$ равно ограничению от $T j {\ displaystyle T_ {j}}$ $T_{j}$ до $U i ∩ U j {\ displaystyle U_ {i} \ cap U_ {j}}$ ${\ displaystyle U_ {i} \ cap U_ {j}}$ (обратите внимание, что оба ограничения являются элементами $D ′ (U i ∩ U j) {\ displaystyle {\ mathcal { D}} '(U_ {i} \ cap U_ {j})}$ ${\mathcal {D}}'(U_{i}\cap U_{j})$ ). Тогда существует единственный $T ∈ D ′ (∪ i ∈ IU i) {\ displaystyle T \ in {\ mathcal {D}} '(\ cup _ {i \ in I} U_ {i})}$ $T\in {\mathcal {D}}'(\cup _{i\in I}U_{i})$ так, что для всех $i ∈ I, {\ displaystyle i \ in I,}$ $i\in I,$ ограничение T до $U i {\ displaystyle U_ {i}}$ $U_ {i}$ равно $T i. {\ displaystyle T_ {i}.}$ $T_{i}.$

Пусть V будет открытым подмножеством U. $T ∈ D ′ (U) {\ displaystyle T \ in {\ mathcal {D}} '(U)} <Считается, что 1312>$ $T\in {\mathcal {D}}'(U)$ исчезает в V, если для всех $f ∈ D (U) {\ displaystyle f \ in {\ mathcal {D}} (U)}$ $f\in {\mathcal {D}}(U)$ такое, что $supp ⁡ (f) ⊆ V {\ displaystyle \ operatorname {supp} (f) \ substeq V}$ ${\ dis playstyle \ operatorname {supp} (f) \ substeq V}$ , мы имеем $T f = 0. {\ displaystyle Tf = 0.}$ $Tf=0.$ T исчезает в V тогда и только тогда, когда ограничение T на V равно 0, или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда T лежит в ядре карты ограничений ρ VU.
Следствие. Пусть $(U i) i ∈ I {\ displaystyle (U_ {i}) _ {i \ in I}}$ ${\ displaystyle (U_ {i}) _ {i \ in I}}$ будет набором открытых подмножеств $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\mathbb {R} ^{n}$ и пусть $T ∈ D ′ (∪ i ∈ IU i). {\ displaystyle T \ in {\ mathcal {D}} '(\ cup _ {i \ in I} U_ {i}).}$ $T\in {\mathcal {D}}'(\cup _{i\in I}U_{i}).$ T = 0 тогда и только тогда, когда для каждого $i ∈ I, {\ displaystyle i \ in I,}$ $i\in I,$ ограничение T значением $U i {\ displaystyle U_ {i}}$ $U_ {i}$ равно 0.
Следствие. Объединение всех открытых подмножеств U, в которых распределение T обращается в нуль, является открытым подмножеством U, в котором T обращается в нуль.
Поддержка распределения
Из этого последнего следствия следует, что для любого распределение T на U, существует единственное наибольшее подмножество V в U такое, что T обращается в нуль в V (и не обращается в нуль ни в каком открытом подмножестве U, которое не содержится в V); дополнение в U этого единственного наибольшего открытого подмножества называется опорой T. Таким образом,
$supp ⁡ (T) = U ∖ ⋃ {V ∣ ρ V U T = 0}. {\ displaystyle \ operatorname {supp} (T) = U \ setminus \ bigcup \ {V \ mid \ rho _ {VU} T = 0 \}.}$ $\operatorname {supp} (T)=U\setminus \bigcup \{V\mid \rho _{VU}T=0\}.$
Если $f {\ displaystyle f}$ $f$ - локально интегрируемая функция на U, и если $D f {\ displaystyle D_ {f}}$ $D_ {f}$ является ассоциированным с ней распределением, то поддержка $D f {\ displaystyle D_ {f}}$ $D_ {f}$ - наименьшее замкнутое подмножество U, в дополнении которого $f {\ displaystyle f}$ $f$ равно почти всюду равным 0. Если $f {\ displaystyle f}$ $f$ является непрерывным, то поддержка $D f {\ displaystyle D_ {f}}$ $D_ {f}$ равна закрытию набора точек в U, при которых не исчезает $f {\ displaystyle f}$ $f$ . Поддержкой распределения, связанного с мерой Дирака является точкой $x 0 {\ displaystyle x_ {0}}$ $x_{0}$ , набор ${x 0}. {\ displaystyle \ {x_ {0} \}.}$ $\{x_{0}\}.$ Если поддержка тестовой функции $f {\ displaystyle f}$ $f$ не пересекает поддержку распределения T тогда Tf = 0. Распределение T равно 0 тогда и только тогда, когда его носитель пуст. Если $f ∈ C ∞ (U) {\ displaystyle f \ in C ^ {\ infty} (U)}$ $f\in C^{\infty }(U)$ тождественно 1 на некотором открытом множестве, содержащем носитель распределения T, то fT = T. Если носитель распределения T компактный, то он имеет конечный порядок и, кроме того, существуют постоянные C и неотрицательное целое число N такие, что:
$| T ϕ | ≤ C ‖ ϕ ‖ N: = C sup {| ∂ α ϕ (x) | : x ∈ U, | α | ≤ N} для всех ϕ ∈ D (U). {\ displaystyle \ qquad | Т \ фи | \ leq C \ | \ фи \ | _ {N}: = C \ sup \ left \ {\ left | \ partial ^ {\ alpha} \ phi (x) \ right | : х \ в U, | \ альфа | \ leq N \ right \} \ quad {\ text {для всех}} \ phi \ in {\ mathcal {D}} (U).}$ $\qquad |T\phi |\leq C\|\phi \|_{N}:=C\sup \left\{\left|\part ial ^{\alpha }\phi (x)\right|:x\in U,|\alpha |\leq N\right\}\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).$
Если T имеет компактный поддержка, то он имеет уникальное расширение до непрерывного линейного функционала $T ^ {\ displaystyle {\ widehat {T}}}$ ${\widehat {T}}$ на $C ∞ (U) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (U)}$ $C^{\infty }(U)$ ; этот функционал можно определить следующим образом: $T ^ (f): = T (ψ f), {\ displaystyle {\ widehat {T}} (f): = T (\ psi f),}$ ${\ displaystyle {\ widehat {T}} (f): = T (\ psi f),}$ где $ψ ∈ D (U) {\ displaystyle \ psi \ in {\ mathcal {D}} (U)}$ $\psi \in {\mathcal {D}}(U)$ - любая функция, которая тождественно 1 на открытом множестве, содержащем носитель T.

Если $S, T ∈ D ′ (U) {\ displaystyle S, T \ in {\ mathcal {D}} '(U)}$ $S,T\in {\mathcal {D}}'(U)$ и $λ ≠ 0 {\ displaystyle \ lambda \ neq 0}$ $\lambda \neq 0$ , затем $supp ⁡ (S + T) ⊆ supp ⁡ (S) ∪ supp ⁡ (T) {\ displaystyle \ operatorname {supp} (S + T) \ substeq \ operatorname {supp} (S) \ cup \ operatorname {supp} (T)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {supp} (S + T) \ substeq \ operatorname {supp} (S) \ cup \ operatorname {supp} (T)}$ и $supp ⁡ (λ T) = supp ⁡ (T). {\ displaystyle \ operatorname {supp} (\ lambda T) = \ operatorname {supp} (T).}$ $\operatorname {supp} (\lambda T)=\operatorname {supp} (T).$ Таким образом, распределение с поддержкой в данном подмножестве $A ⊆ U {\ displaystyle A \ subteq U}$ $A\subseteq U$ формирует новое подпространство $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ ; такое подпространство слабо замкнуто в $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ тогда и только тогда, когда A замкнуто в U. Кроме того, если $P {\ displaystyle P}$ $P$ - дифференциальный оператор в U, тогда для всех распределений T в U и всех $f ∈ C ∞ (U) {\ displaystyle f \ in C ^ {\ infty } (U)}$ $f\in C^{\infty }(U)$ имеем $супп ⁡ (P (x, ∂) T) ⊆ supp ⁡ (T) {\ displaystyle \ operatorname {supp} (P (x, \ partial) T) \ substeq \ operatorname {supp} (T)}$ $\operatorname {supp} (P(x,\partial)T)\subseteq \operatorname {supp} (T)$ и $supp ⁡ (f T) ⊆ supp ⁡ (f) ∩ supp ⁡ (T). {\ displaystyle \ operatorname {supp} (fT) \ substeq \ operatorname {supp} (f) \ cap \ operatorname {supp} (T).}$ $\operatorname {supp} (fT)\subseteq \operatorname {supp} (f)\cap \operatorname {supp} (T).$
Распределение с компактной поддержкой
Поддержка в наборе точек и Дирака меры
Для любого $x ∈ U, {\ displaystyle x \ in U,}$ $x\in U,$ пусть $δ x ∈ D ′ (U) {\ displaystyle \ delta _ {x} \ in {\ mathcal {D}} '(U)}$ $\delta _{x}\in {\mathcal {D}}'(U)$ обозначают распределение, индуцированное мерой Дирака в точке x. Для любого $x 0 ∈ U {\ displaystyle x_ {0} \ in U}$ $x_0 \in U$ и распределения $T ∈ D ′ (U), {\ displaystyle T \ in {\ mathcal {D }} '(U),}$ $T\in {\mathcal {D}}'(U),$ поддержка T содержится в ${x 0} {\ displaystyle \ {x_ {0} \}}$ $\{x_{0}\}$ тогда и только тогда, когда T - конечная линейная комбинация производных мер Дирака при $x 0. {\ displaystyle x_ {0}.}$ $x_{0}.$ Если общий порядок T равен $≤ k {\ displaystyle \ leq k}$ $\leq k$ , тогда существуют константы $α p {\ displaystyle \ alpha _ {p}}$ $\ alpha _ {p}$ такой, что:
$T = ∑ | p | ≤ К α п ∂ п δ Икс 0. {\ displaystyle T = \ sum _ {| p | \ leq k} \ alpha _ {p} \ partial ^ {p} \ delta _ {x_ {0}}.}$ ${\ displaystyle T = \ sum _ {| p | \ leq k} \ alpha _ {p} \ partial ^ {p} \ delta _ {x_ {0} }.}$
Иначе говоря, если T имеет поддержку в единственной точке ${P}, {\ displaystyle \ {P \},}$ $\{P\},$ , то есть T на самом деле является конечной линейной комбинацией производных функций по распределению функций в точке P. То есть существует целое число m и комплексные константы a α такие, что
$T = ∑ | α | ≤ ма α ∂ α (τ п δ) {\ displaystyle T = \ sum _ {| \ альфа | \ leq m} a _ {\ alpha} \ partial ^ {\ alpha} (\ tau _ {P} \ delta)}$ ${\ displaystyle T = \ sum _ {| \ alpha | \ leq m} a _ {\ alpha} \ partial ^ { \ alpha} (\ tau _ {P} \ delta)}$
где $τ P {\ displaystyle \ tau _ {P}}$ $\tau _{P}$ - оператор перевода.
Распределение с компактным носителем
Теорема - Предположим, что T - распределение на U с компактным носителем K. Существует непрерывная функция $f {\ displaystyle f}$ $f$ , определенная на U и мультииндекс p такой, что
$T = ∂ pf, {\ displaystyle T = \ partial ^ {p} f,}$ $T=\partial ^{p}f,$
, где производные понимаются в смысле распределений. То есть для всех тестовых функций $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ на U,
$T ϕ = (- 1) | p | ∫ U f (x) (∂ p ϕ) (x) d x. {\ Displaystyle T \ phi = (- 1) ^ {| p |} \ int _ {U} f (x) (\ partial ^ {p} \ phi) (x) \, dx.}$ ${\ displaystyle T \ phi = (- 1) ^ {| p |} \ int _ {U} е (х) (\ partial ^ {p} \ phi) (x) \, dx.}$
Распределение конечный порядок с носителем в открытом подмножестве
Теорема - Предположим, что T - это распределенное устройство на U с компактным носителем K, и пусть V - распределенное подмножество U, содержащее K. Бесплатное устройство K. Бесплатное распределение N быть порядком T и определить $P: = {0, 1,…, N + 2} n. {\ displaystyle P: = \ {0,1, \ ldots, N + 2 \} ^ {n}.}$ $P:=\{0,1,\ldots,N+2\}^{n}.$ Существует семейство непрерывных функций $(fp) p ∈ P {\ displaystyle (f_ {p}) _ {p \ in P}}$ $(f_{p})_{p\in P}$ , определенная на U поддержка в V, так что
$T = ∑ p ∈ P ∂ pfp, {\ displaystyle T = \ sum _ {p \ in P} \ partial ^ {p} f_ {p},}$ $T=\sum _{p\in P}\partial ^{p}f_{p},$
где производные понимаются в смысле распределений. То есть для всех тестовых функций $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ на U,
$T ϕ = ∑ p ∈ P (- 1) | p | ∫ U f p (x) (∂ p ϕ) (x) d x. {\ displaystyle T \ phi = \ sum _ {p \ in P} (- 1) ^ {| p |} \ int _ {U} f_ {p} (x) (\ partial ^ {p} \ phi) (x) \, dx.}$ $T\phi =\sum _{p\in P}(-1)^{|p|}\int _{U}f_{p}(x)(\partial ^{p}\phi)(x)\,dx.$
Глобальная структура распределений
Формальное определение распределений показывает их как подпространство очень большого пространства, а именно топологическое двойное к $D (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} (U)}$ ${\mathcal {D}}(U)$ (или пространство Шварца $S (R n) {\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ для умеренных дистрибутивов). Из определения не сразу ясно. Чтобы ответить на этот вопрос, поучительно увидеть распределения, построенные из меньшего пространства, а именно из непрерывных функций. Грубо говоря, любое распределение локально (кратной) производной непрерывной функции. Точная версия этого результата, приведенная ниже, верна для распределений с компактным носителем, умеренных распределений общих и распределений. Вообще говоря, никакое собственное подмножество распределения не содержит всех непрерывных функций и не замкнуто относительно дифференцирования. Это говорит о том, что распределения не являются важными экзотическими объектами; они настолько сложны, насколько это необходимо.
Распределения в виде пучков
Теорема - Пусть T будет распределением на U. Существует последовательность $(T i) i = 1 ∞ {\ displaystyle (T_ {i}) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ $(T_{i})_{i=1}^{\infty }$ в $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ так, что каждый T i имеет компактный носитель, и каждое компактное подмножество K ⊆ U пересекает носитель только конечного числа T i и обеспечивает частичных сумм $(S j) j = 1 ∞, {\ displaystyle (S_ {j}) _ {j = 1} ^ {\ infty},}$ $(S_{j})_{j=1}^{\infty },$ , определенно как $S j: = T 1 + ⋯ + T j, {\ displaystyle S_ {j} : = T_ {1} + \ cdots + T_ {j},}$ $S_{j}:=T_{1}+\cdots +T_{j},$ сходится в $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ в Т; другими словами, мы имеем:
$T = ∑ i = 1 ∞ T i. {\ displaystyle T = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} T_ {i}.}$ $T=\sum _{i=1}^{\infty }T_{i}.$
Напомним, что последовательность сходится в $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D} } '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ (с его сильной двойной топологией) тогда и только тогда, когда он сходится поточечно.
Разложение распределений в виде сумм производных непрерывных функций
Комбинируя приведенные выше результаты, можно выразить любое распределение на U как сумму распределений с компактным носителем, где каждый из этих распределений может в свою очередь, может быть записана как конечная сумма производных по распределению непрерывных функций на U. Другими словами, для произвольного $T ∈ D ′ (U) {\ displaystyle T \ in {\ mathcal {D}} '(U)}$ $T\in {\mathcal {D}}'(U)$ мы можно написать:
$T = ∑ я = 1 ∞ ∑ p ∈ P i ∂ pfip, {\ displaystyle T = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {p \ in P_ {i} } \ partial ^ {p} f_ {ip},}$ $T=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{p\in P_{i}}\partial ^{p}f_{ip},$
где $P 1, P 2,… {\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}, \ ldots}$ $P_{1},P_{2},\ldots$ - конечные наборы мультииндексов, а функции $fip {\ displaystyle f_ {ip}}$ $f_{ip}$ непрерывными.

Теорема - Пусть T - распределение на U. Для каждого мультииндекса p непрерывная функция g p на U такая, что
любое компактное подмножество K в U пересекает поддержку только конечного числа g p и
$T = ∑ p ∂ pgp. {\ displaystyle T = \ sum \ nolimits _ {p} \ partial ^ {p} g_ {p}.}$ ${\ displaystyle T = \ sum \ nolimits _ {p} \ partial ^ {p} g_ {p}.}$
Более того, если T имеет конечный порядок, то можно выбрать g p в таком способ, которому только конечное число из них ненулевое.

Обратите внимание, что указанная выше бесконечная сумма четко определена как распределение. Значение T для данного $f ∈ D (U) {\ displaystyle f \ in {\ mathcal {D}} (U)}$ $f\in {\mathcal {D}}(U)$ может быть вычислено с использованием конечного числа g α, которые пересекают опору $f. {\ displaystyle f.}$ $f.$
Операции над распределениями
Многие операции, которые используются для гладких функций с компактной опорой, также могут быть для распределений. Обычно, если $A: D (U) → D (U) {\ displaystyle A: {\ mathcal {D}} (U) \ to {\ mathcal {D}} (U)}$ $A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)$ - это линейное отображение, которое является непрерывным относительно слабой топологии, тогда можно продолжить A до отображения $A: D ′ (U) → D ′ (U) {\ displaystyle A: {\ mathcal { D}} '(U) \ to {\ mathcal {D}}' (U)}$ $A:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$ , переход к пределу.
Предварительные сведения: транспонирование линейного оператора
Операции над распределениями и пространственными распределениями часто используются с помощью линейного оператора, поскольку он обеспечивает единый подход, который позволяет использовать различные определения в теории распределений и из-за его многих известных топологических свойств. В общем случае транспонирование непрерывной линейной карты $A: X → Y {\ displaystyle A: X \ to Y}$ $A: X \ to Y$ - это линейная карта $t A: Y ′ → X ′ {\ displaystyle { } ^ {t} A: Y '\ to X'}$ ${}^{t}A:Y'\to X'$ определяется как $t A (y '): = y' ∘ u, {\ displaystyle {} ^ {t} A (y '): = y' \ circ u,}$ ${}^{t}A(y'):=y'\circ u,$ или, что эквивалентно, это уникальное отображение, удовлетворяющее $⟨y ′, A (x)⟩ = ⟨t A (y ′), x⟩ {\ Displaystyle \ langle y ', A (x) \ rangle = \ left \ langle {} ^ {t} A (y'), x \ right \ rangle}$ $\langle y',A(x)\rangle =\left\langle {}^{t}A(y'),x\right\rangle$ для всех $x ∈ Икс {\ Displaystyle х \ in X}$ $x\in X$ и все $y ′ ∈ Y ′. {\ displaystyle y '\ in Y'.}$ $y'\in Y'.$ Установка A непрерывно, транспонирование $t A: Y ′ → X ′ {\ displaystyle {} ^ {t} A: Y '\ to X' }$ ${}^{t}A:Y'\to X'$ также непрерывно, когда оба дуальных объекта наделены сильными двойными топологиями; он также является непрерывным, если оба двойных устройства наделены стать топологиями weak * (более подробную информацию см. вях полярная топология и двойная система ).

В контексте распределений характеристика транспонирования может быть немного уточнена. Пусть $A: D (U) → D (U) {\ displaystyle A: {\ mathcal {D}} (U) \ to {\ mathcal {D}} (U)}$ $A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)$ будет непрерывное линейное отображение. Тогда по определению транспонирование A является единственным линейным оператором $A t: D ′ (U) → D ′ (U) {\ displaystyle A ^ {t}: {\ mathcal {D}} '(U) \ to {\ mathcal {D}} '(U)}$ $A^{t}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$ , который удовлетворяет:
$⟨t A (T), ϕ⟩ = ⟨T, A (ϕ)⟩ {\ displaystyle \ langle {} ^ { t} A (T), \ phi \ rangle = \ langle T, A (\ phi) \ rangle}$ $\langle {}^{t}A(T),\phi \rangle =\langle T,A(\phi)\rangle$ для всех $ϕ ∈ D (U) {\ displaystyle \ phi \ в {\ mathcal {D}} (U)}$ $\phi \in {\mathcal {D}}(U)$ и всех $T ∈ D ′ (U). {\ displaystyle T \ in {\ mathcal {D}} '(U).}$ $T\in {\mathcal {D}}'(U).$
Однако, поскольку изображение $D (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} (U)}$ ${\mathcal {D}}(U)$ плотно в $D ′ (U), {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U),}$ ${\mathcal {D}}'(U),$ , достаточно, чтобы указанное выше равенство выполнялось для всех распределений формы $Т = D ψ {\ Displaystyle T = D _ {\ psi}}$ $T=D_{\psi }$ , где $ψ ∈ D (U). {\ displaystyle \ psi \ in {\ mathcal {D}} (U).}$ $\psi \in {\mathcal {D}}(U).$ В явном виде это означает, что указанное выше условие выполнено тогда и только тогда, когда будет выполнено следующее условие:
$⟨ t A (D ψ), ϕ⟩ знак равно ⟨D ψ, A (ϕ)⟩ = ⟨ψ, A (ϕ)⟩ = ∫ U ψ (A ϕ) dx {\ displaystyle \ langle {} ^ {t} A (D _ {\ psi}), \ phi \ rangle = \ langle D _ {\ psi}, A (\ phi) \ rangle = \ langle \ psi, A (\ phi) \ rangle = \ int _ {U} \ psi (A \ phi) \, dx}$ $\langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle D_{\psi },A(\phi)\rangle =\langle \psi,A(\phi)\rangle =\int _{U}\psi (A\phi)\,dx$ для всех $ϕ, ψ ∈ D (U). {\ displaystyle \ phi, \ psi \ in {\ mathcal {D}} (U).}$ $\phi,\psi \in {\mathcal {D}}(U).$
Дифференциальные операторы
Дифференцирование распределений
Пусть $A: D (U) → D (U) {\ displaystyle A: {\ mathcal {D}} (U) \ to {\ mathcal {D}} (U)}$ $A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)$ - оператор частной производной $∂ ∂ xk. {\ displaystyle {\ tfrac {\ partial} {\ partial x_ {k}}}.}$ ${\tfrac {\partial }{\partial x_{k}}}.$ Чтобы расширить $A {\ displaystyle A}$ $A$ , мы вычисляем его транспонирование:
$⟨t A (D ψ), ϕ⟩ = ∫ U ψ (A ϕ) dx См. Выше = ∫ U ψ ∂ ϕ ∂ xkdx = - ∫ U ϕ ∂ ψ ∂ xkdx Интегрирование по частям = - ⟨∂ ψ ∂ xk, ϕ⟩ знак равно - ⟨A ψ, ϕ⟩ {\ displaystyle {\ begin {align} \ langle {} ^ {t} A (D _ {\ psi}), \ phi \ rangle = \ int _ {U} \ psi (A \ phi) \, dx {\ text {См. выше}} \\ = \ int _ {U} \ psi {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {k}}} \, dx \\ [4pt] = - \ int _ {U} \ phi {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x_ {k}}} \, dx {\ text {Интеграция по частям}} \\ [4pt] = - \ left \ langle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x_ {k}}}, \ phi \ right \ rangle \\ [4pt] = - \ langle A \ psi, \ phi \ rangle \ end {align}}}$ ${\begin{aligned}\langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle =\int _{U}\psi (A\phi)\,dx{\text{See above}}\\=\int _{U}\psi {\frac {\partial \phi }{\partial x_{k}}}\,dx\\[4pt]=-\int _{U}\phi {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}}\,dx{\text{Integration by parts}}\\[4pt]=-\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}},\phi \right\rangle \\[4pt]=-\langle A\psi,\phi \rangle \end{aligned}}$
Следовательно, $t A = - A. {\ displaystyle {} ^ {t} A = -A.}$ ${}^{t}A=-A.$ Следовательно, частная производная от $T {\ displaystyle T}$ $T$ по координате $xk {\ displaystyle x_ {k}}$ $x_ {k}$ определяет формулой
$⟨∂ T ∂ xk, ϕ⟩ = - ⟨T, ∂ ϕ ∂ xk⟩ для всех ϕ ∈ D (U). {\ displaystyle \ left \ langle {\ frac {\ partial T} {\ partial x_ {k}}}, \ phi \ right \ rangle = - \ left \ langle T, {\ frac {\ partial \ phi} {\ частичный x_ {k}}} \ right \ rangle \ qquad {\ text {for all}} \ phi \ in {\ mathcal {D}} (U).}$ $\left\langle {\frac {\partial T}{\partial x_{k}}},\phi \right\rangle =-\left\langle T,{\frac {\partial \phi }{\partial x_{k}}}\right\rangle \qquad {\text{for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).$
Согласно этому определению каждого распределения бесконечно дифференцируемо, и производная в направлении $xk {\ displaystyle x_ {k}}$ $x_ {k}$ является линейным оператором на $D '(U). {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U).}$ ${\mathcal {D}}'(U).$

В более общем смысле, если $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\alpha$ является произвольным мультииндексным тогда частная производная $∂ α T {\ Displaystyle \ partial ^ {\ alpha} T}$ $\partial ^{\alpha }T$ распределения $T ∈ D '(U) {\ displaystyle T \ in {\ mathcal {D }} '(U)}$ $T\in {\mathcal {D}}'(U)$ определяется как
$⟨∂ α T, ϕ⟩ = (- 1) | α | ⟨T, ∂ α ϕ⟩ для всех ϕ ∈ D (U). {\ Displaystyle \ langle \ partial ^ {\ alpha} T, \ phi \ rangle = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ langle T, \ partial ^ {\ alpha} \ phi \ rangle \ qquad {\ text {для всех}} \ phi \ in {\ mathcal {D}} (U).}$ ${ \ Displaystyle \ langle \ partial ^ {\ alpha} T, \ phi \ rangle = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ langle T, \ partial ^ {\ alpha} \ phi \ rangle \ qquad {\ text {для всех}} \ phi \ in {\ mathcal {D}} (U).}$
Дифференцирование распределений - это непрерывный оператор на $D ′ (U); {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U);}$ ${\mathcal {D}}'(U);$ это важное и желаемое свойство, которое не разделяется большинством других понятийных дифференциаций.

Если T является распределением в ℝ, то
$lim x → 0 T - τ x T x = T ′ ∈ D ′ (R), {\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} { \ frac {T- \ tau _ {x} T} {x}} = T '\ in {\ mathcal {D}}' (\ mathbb {R}),}$ $\lim _{x\to 0}{\frac {T-\tau _{x}T}{x}}=T'\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R}),$
где $T ′ {\ displaystyle T '}$ $T'$ - производная от T, а τ x - перевод на x; таким образом, производная T может рассматривать как предел частных.
Дифференые операторы, действующие на гладкие функции
Линейный дифференциальный оператор в U с гладкими коэффициентами пространственных функций на $U. {\ Displaystyle U.}$ $U.$ Дано $P: = ∑ α c α ∂ α {\ displaystyle \ textstyle P: = \ sum \ nolimits _ {\ alpha} c _ {\ alpha} \ partial ^ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ textstyle P: = \ sum \ nolimits _ {\ alpha} c _ {\ alpha} \ partial ^ {\ alpha}}$ мы хотели бы определить непрерывную линейную карту, $DP {\ displaystyle D_ {P}}$ $D_{P}$ , которая расширяет действие $P {\ displaystyle P }$ $P$ на $C ∞ (U) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (U)}$ $C^{\infty }(U)$ в распределении на $U. {\ displaystyle U.}$ $U.$ Другими словами, мы хотели бы определить $DP {\ displaystyle D_ {P}}$ $D_{P}$ так, чтобы следующая диаграмма коммутировала:
$D ′ ( U) ⟶ DPD ′ (U) ↑ ↑ C ∞ (U) ⟶ PC ∞ (U) {\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ mathcal {D}} '(U) {\ stackrel {D_ {P} } {\ longrightarrow}} {\ mathcal {D}} '(U) \\\ uparrow \ uparrow \\ C ^ {\ infty} (U) {\ stackrel {P} {\ longrightarrow}} и C ^ {\ infty} (U) \ end {matrix}}}$ ${\begin{matrix}{\mathcal {D}}'(U){\stackrel {D_{P}}{\longrightarrow }}{\mathcal {D}}'(U)\\\uparrow \uparrow \\C^{\infty }(U){\stackrel {P}{\longrightarrow }}C^{\infty }(U)\end{matrix}}$
Если вертикальные карты задаются назначением $f ∈ C ∞ (U) {\ displaystyle f \ in C ^ {\ infty} (U)}$ $f\in C^{\infty }(U)$ его каноническое распределение $D f ∈ D ′ (U), {\ displaystyle D_ {f} \ in {\ mathcal {D}} '(U),}$ $D_{f}\in {\mathcal {D}}'(U),$ , который определяется следующим образом: $D f (ϕ) = ⟨f, ϕ⟩ {\ displaystyle D_ {f} (\ phi) = \ langle f, \ phi \ rangle}$ $D_{f}(\phi)=\langle f,\phi \rangle$ для всех $ϕ ∈ D (U). {\ displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {D}} (U).}$ $\phi \in {\mathcal {D}}(U).$ В этом обозначении коммутация диаграммы эквивалентна:
$DP (f) = DPD f для всех f ∈ C ∞ (U). {\ displaystyle D_ {P (f)} = D_ {P} D_ {f} \ qquad {\ text {for all}} f \ in C ^ {\ infty} (U).}$ $D_{P(f)}=D_{P}D_{f}\qquad {\text{ for all }}f\in C^{\infty }(U).$
Чтобы найти $DP {\ displaystyle D_ {P}}$ $D_{P}$ мы рассматриваем транспонирование $t P: D ′ (U) → D ′ (U) {\ displaystyle {} ^ {t} P: {\ mathcal {D}} '(U) \ to {\ mathcal {D}}' (U)}$ ${}^{t}P:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$ непрерывного индуцированного отображения $P: D (U) → D (U) {\ displaystyle P: {\ mathcal {D}} (U) \ to {\ mathcal {D}} (U)}$ ${\ displaystyle P: {\ mathcal {D}} (U) \ to {\ mathcal {D}} (U)}$ определяется как $ϕ ↦ P (ϕ). {\ displaystyle \ phi \ mapsto P (\ phi).}$ $\phi \mapsto P(\phi).$ Как обсуждалось выше, для любого $ϕ ∈ D (U), {\ displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {D}} (U),}$ $\phi \in {\mathcal {D}}(U),$ транспонирование может быть вычислено следующим образом:
$⟨t P (D f), ϕ⟩ = ∫ U f (x) P (ϕ) (x) dx = ∫ U f (x) [∑ α c α (x) (∂ α ϕ) (x)] dx = ∑ α ∫ U f (x) c α (x) (∂ α ϕ) (x) dx = ∑ α (- 1) | α | ∫ U ϕ (x) (∂ α (c α f)) (x) dx {\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle {} ^ {t} P (D_ {f}), \ phi \ right \ rangle = \ int _ {U} f (x) P (\ phi) (x) \, dx \\ = \ int _ {U} f (x) \ left [\ sum \ nolimits _ {\ alpha } c _ {\ alpha} (x) (\ partial ^ {\ alpha} \ phi) (x) \ right] \, dx \\ = \ sum \ nolimits _ {\ alpha} \ int _ {U} f ( x) c _ {\ alpha} (x) (\ partial ^ {\ alpha} \ phi) (x) \, dx \\ = \ sum \ nolimits _ {\ alpha} (- 1) ^ {| \ альфа | } \ int _ {U} \ phi (x) (\ partial ^ {\ alpha} (c _ {\ alpha} f)) (x) \, dx \ end {align}}}$ ${\begin{aligned}\left\langle {}^{t}P(D_{f}),\phi \right\rangle =\int _{U}f(x)P(\phi)(x)\,dx\\=\int _{U}f(x)\left[\sum \nolimits _{\alpha }c_{\alpha }(x)(\partial ^{\alpha }\phi)(x)\right]\,dx\\=\sum \nolimits _{\alpha }\int _{U}f(x)c_{\alpha }(x)(\partial ^{\alpha }\phi)(x)\,dx\\=\sum \nolimits _{\alpha }(-1)^{|\alpha |}\int _{U}\phi (x)(\partial ^{\alpha }(c_{\alpha }f))(x)\,dx\end{aligned}}$
Для последней строки мы использовалось интегрирование по частям в сочетании с тем, что $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ и, следовательно, все функции $f (x) c α (x) ∂ α ϕ (x) {\ displaystyle f (x) c _ {\ alpha} (x) \ partial ^ {\ alpha} \ phi (x)}$ $f(x)c_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }\phi (x)$ имеют компактную опору. Продолжая вычисления выше, мы имеем для всех $ϕ ∈ D (U): {\ displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {D}} (U):}$ $\phi \in {\mathcal {D}}(U):$
$⟨t P (D f), ϕ⟩ = ∑ α (- 1) | α | ∫ U ϕ (x) (∂ α (c α f)) (x) d x Как показано выше = ∫ U ϕ (x) ∑ α (- 1) | α | (∂ α (c α f)) (x) dx = ∫ U ϕ (x) ∑ α [∑ γ ≤ α (α γ) (∂ γ c α) (x) (∂ α - γ f) (x) ] dx правило Лейбница = ∫ U ϕ (x) [∑ α ∑ γ ≤ α (- 1) | α | (α γ) (∂ γ c α) (x) (∂ α - γ f) (x)] d x = ∫ U ϕ (x) [∑ α [∑ β ≥ α (- 1) | β | (β α) (∂ β - α c β) (x)] (∂ α f) (x)] dx Группирование членов по производным от f = ∫ U ϕ (x) [∑ α b α (x) (∂ α f) (x)] dxb α: = ∑ β ≥ α (- 1) | β | (β α) ∂ β - α с β знак равно ⟨(∑ α б α ∂ α) (е), ϕ⟩ {\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle {} ^ {t} P (D_ {f }), \ phi \ right \ rangle = \ sum \ nolimits _ {\ alpha} (- 1) ^ {| \ alpha |} \ int _ {U} \ phi (x) (\ partial ^ {\ alpha} (c _ {\ alpha} f)) (x) \, dx {\ text {Как показано выше}} \\ [4pt] = \ int _ {U} \ phi (x) \ sum \ nolimits _ {\ alpha } (- 1) ^ {| \ alpha |} (\ partial ^ {\ alpha} (c _ {\ alpha} f)) (x) \, dx \\ [4pt] = \ int _ {U} \ phi (x) \ sum _ {\ alpha} \ left [\ sum _ {\ gamma \ leq \ alpha} {\ binom {\ alpha} {\ gamma}} (\ partial ^ {\ gamma} c _ {\ alpha}) (x) (\ partial ^ {\ alpha - \ gamma} f) (x) \ right] \, dx {\ text {правило Лейбница}} \\ = \ int _ {U} \ phi (x) \ left [\ sum _ {\ alpha} \ sum _ {\ gamma \ leq \ alpha} (- 1) ^ {| \ alpha |} {\ binom {\ alpha} {\ gamma}} (\ partial ^ {\ gamma} c _ {\ alpha}) (x) (\ partial ^ {\ alpha - \ gamma} f) (x) \ right] \, dx \\ = \ int _ {U} \ phi (x) \ left [\ сумма _ {\ alpha} \ left [\ sum _ {\ beta \ geq \ alpha} (- 1) ^ {| \ beta |} {\ binom {\ beta} {\ alpha}} \ left (\ partial ^ { \ beta - \ alpha} c _ {\ beta} \ right) (x) \ right] (\ partial ^ {\ alpha} f) (x) \ right] \, dx {\ text {Группировка терминов по der варианты}} f \\ = \ int _ {U} \ phi (x) \ left [\ sum \ nolimits _ {\ alpha} b _ {\ alpha} (x) (\ partial ^ {\ alpha} f) (x) \ right] \, dx b _ {\ alpha}: = \ sum _ {\ beta \ geq \ alpha} (- 1) ^ {| \ beta |} {\ binom {\ beta} {\ alpha}} \ partial ^ {\ beta - \ alpha} c _ {\ beta} \\ = \ left \ langle \ left (\ sum \ nolimits _ {\ alpha} b _ {\ alpha} \ partial ^ {\ alpha} \ right) ( f), \ phi \ right \ rangle \ end {align}}}$ ${\begin{aligned}\left\langle {}^{t}P(D_{f}),\phi \right\rangle =\sum \nolimits _{\alpha }(-1)^{|\alpha |}\int _{U}\phi (x)(\partial ^{\alpha }(c_{\alpha }f))(x)\,dx{\text{As shown above}}\\[4pt]=\int _{U}\phi (x)\sum \nolimits _{\alpha }(-1)^{|\alpha |}(\partial ^{\alpha }(c_{\alpha }f))(x)\,dx\\[4pt]=\int _{U}\phi (x)\sum _{\alpha }\left[\sum _{\gamma \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\gamma }}(\partial ^{\gamma }c_{\alpha })(x)(\partial ^{\alpha -\gamma }f)(x)\right]\,dx{\text{Leibniz rule}}\\=\int _{U}\phi (x)\left[\sum _{\alpha }\sum _{\gamma \leq \alpha }(-1)^{|\alpha |}{\binom {\alpha }{\gamma }}(\partial ^{\gamma }c_{\alpha })(x)(\partial ^{\alpha -\gamma }f)(x)\right]\,dx\\=\int _{U}\phi (x)\left[\sum _{\alpha }\left[\sum _{\beta \geq \alpha }(-1)^{|\beta |}{\binom {\beta }{\alpha }}\left(\partial ^{\beta -\alpha }c_{\beta }\right)(x)\right](\partial ^{\alpha }f)(x)\right]\,dx{\text{Grouping terms by derivatives of }}f\\=\int _{U}\phi (x)\left[\sum \nolimits _{\alpha }b_{\alpha }(x)(\partial ^{\alpha }f)(x)\right]\,dxb_{\alpha }:=\sum _{\beta \geq \alpha }(-1)^{|\beta |}{\binom {\beta }{\alpha }}\partial ^{\beta -\alpha }c_{\beta }\\=\left\langle \left(\sum \nolimits _{\alpha }b_{\alpha }\partial ^{\alpha }\right)(f),\phi \right\rangle \end{aligned}}$
Определите формальное транспонирование из $P, {\ displaystyle P,}$ $P,$ которое мы ' ll обозначают как $P ∗ {\ displaystyle P _ {*}}$ $P_{*}$ , чтобы избежать путаницы с преобразованием транспонирования, как следующий дифференциальный оператор на U:
$P ∗: = ∑ α b α ∂ α {\ displaystyle P _ {*}: = \ sum \ nolimits _ {\ alpha} b _ {\ alpha} \ partial ^ {\ alpha}}$ $P_{*}:=\sum \nolimits _{\alpha }b_{\alpha }\partial ^{\alpha }$
Вычисленные выше вычисления показали, что:
Лемма. Пусть $P {\ displaystyle P}$ $P$ будет линейным дифференциальным оператором с гладкими коэффициентами в $U. {\ displaystyle U.}$ $U.$ Тогда для всех $ϕ ∈ D (U) {\ displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {D}} (U)}$ $\phi \in {\mathcal {D}}(U)$ мы имеем
$⟨T п (D е), ϕ⟩ знак равно ⟨DP * (е), ϕ⟩, {\ displaystyle \ left \ langle {} ^ {t} P (D_ {f}), \ phi \ right \ rangle = \ left \ langle D_ {P _ {*} (f)}, \ phi \ right \ rangle,}$ ${\ displaystyle \ le ft \ langle {} ^ {t} P (D_ {f}), \ phi \ right \ rangle = \ left \ langle D_ {P _ {*} (f)}, \ phi \ right \ rangle,}$
, что эквивалентно:
$t P (D f) = DP ∗ (f). {\ displaystyle {} ^ {t} P (D_ {f}) = D_ {P _ {*} (f)}.}$ ${}^{t}P(D_{f})=D_{P_{*}(f)}.$
Лемма в сочетании с тем фактом, что формальное транспонирование формального транспонирования является исходным дифференциалом оператор, т.е. $P ∗ ∗ = P, {\ displaystyle P _ {**} = P,}$ $P_{**}=P,$ , позволяет нам прийти к правильному определению: формальное транспонирование индуцирует (непрерывный) канонический линейный оператор $P ∗: C c ∞ (U) → C c ∞ (U) {\ displaystyle P _ {*}: C_ {c} ^ {\ infty} (U) \ to C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ ${\ displaystyle P _ {*}: C_ {c} ^ {\ infty} (U) \ к C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ определяется как $ϕ ↦ P ∗ (ϕ). {\ displaystyle \ phi \ mapsto P _ {*} (\ phi).}$ $\phi \mapsto P_{*}(\phi).$ Мы утверждаем, что транспонирование этой карты $t P ∗: D ′ (U) → D ′ (U), {\ displaystyle {} ^ {t} P _ {*}: {\ mathcal {D}} '(U) \ to {\ mathcal {D}}' (U),}$ ${}^{t}P_{*}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U),$ можно взять как $DP. {\ displaystyle D_ {P}.}$ $D_{P}.$ Чтобы увидеть это, для каждого $ϕ ∈ D (U) {\ displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {D}} (U)}$ $\phi \in {\mathcal {D}}(U)$ , вычислить его действие на распределение вида $D f {\ displaystyle D_ {f}}$ $D_ {f}$ с $f ∈ C ∞ (U) {\ displaystyle f \ in C ^ {\ infty} (U)}$ $f\in C^{\infty }(U)$ :
$⟨t P ∗ (D f), ϕ⟩ = ⟨DP ∗ ∗ (f), ϕ⟩ Используя лемму выше с P ∗ вместо P = ⟨DP (f), ϕ⟩ P ∗ ∗ = P {\ Displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle {} ^ {t} P _ {*} (D_ {f}), \ phi \ right \ rangle = \ left \ langle D_ {P _ {**} (f)}, \ phi \ right \ rangle {\ text {Используя лемму выше с}} P _ {*} {\ text {вместо}} P \\ = \ left \ langle D_ {P (f)}, \ phi \ right \ rangle P _ {**} = P \ end {align}}}$ ${\begin{aligned}\left\langle {}^{t}P_{*}(D_{f}),\phi \right\rangle =\left\langle D_{P_{**}(f)},\phi \right\rangle {\text{Using Lemma above with }}P_{*}{\text{ in place of }}P\\=\left\langle D_{P(f)},\phi \right\rangle P_{**}=P\end{aligned}}$
Мы называем непрерывный линейный оператор $DP: = t P ∗: D ′ (U) → D ′ (U) {\ displaystyle D_ {P}: = {} ^ {t} P _ {*}: {\ mathcal {D}} '(U) \ to {\ mathcal {D}} '(U)}$ $D_{P}:={}^{t}P_{*}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$ дифференциальный оператор для распределений, расширяющих P . Его действие на произвольное распределение $S {\ displaystyle S}$ $S$ определяется с помощью:
$DP (S) (ϕ) = S (P ∗ (ϕ)) для всех ϕ ∈ D ( U). {\ Displaystyle D_ {P} (S) (\ phi) = S (P _ {*} (\ phi)) \ quad {\ text {для всех}} \ phi \ in {\ mathcal {D}} (U).}$ $D_{P}(S)(\phi)=S(P_{*}(\phi))\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).$
Если $(T i) i = 1 ∞ {\ displaystyle (T_ {i}) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ $(T_{i})_{i=1}^{\infty }$ сходится к $T ∈ D ′ (U) {\ displaystyle T \ in {\ mathcal {D}} '(U)}$ $T\in {\mathcal {D}}'(U)$ , тогда для каждого мультииндекса $α, (∂ α T i) i = 1 ∞ {\ displaystyle \ alpha, (\ partial ^ {\ alpha} T_ {i}) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ alpha, (\ partial ^ {\ alpha} T_ {i}) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ сходится к $∂ α T ∈ D ′ ( U). {\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha} T \ in {\ mathcal {D}} '(U).}$ $\partial ^{\alpha }T\in {\mathcal {D}}'(U).$
Умножение распределений на гладкие функции
Дифференциальный оператор порядка 0 - это просто умножение гладкой функцией. И наоборот, если $f {\ displaystyle f}$ $f$ - гладкая функция, то $P: = f (x) {\ displaystyle P: = f (x)}$ $P:=f(x)$ - дифференциальный оператор порядка 0, формальное транспонирование которого есть само по себе (т.е. $P ∗ = P {\ displaystyle P _ {*} = P}$ $P_{*}=P$ ). Индуцированный дифференциальный оператор $DP: D ′ (U) → D ′ (U) {\ displaystyle D_ {P}: {\ mathcal {D}} '(U) \ to {\ mathcal {D}}' ( U)}$ $D_{P}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$ отображает распределение T в распределение, обозначенное $f T: = DP (T). {\ displaystyle fT: = D_ {P} (T).}$ $fT:=D_{P}(T).$ Таким образом, мы определили умножение распределения на гладкую функцию.

Теперь дадим альтернативное представление умножения на гладкую функцию. Если $m: U → R {\ displaystyle m: U \ to \ mathbb {R}}$ $m:U\to \mathbb {R}$ - гладкая функция, а T - распределение на U, то произведение mT определяется как
$⟨M T, ϕ⟩ = ⟨T, m ϕ⟩ для всех ϕ ∈ D (U). {\ displaystyle \ langle mT, \ phi \ rangle = \ langle T, m \ phi \ rangle \ qquad {\ text {для всех}} \ phi \ in {\ mathcal {D}} (U).}$ $\langle mT,\phi \rangle =\langle T,m\phi \rangle \qquad {\text{for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).$
Это определение совпадает с определением транспонирования, поскольку если $M: D (U) → D (U) {\ displaystyle M: {\ mathcal {D}} (U) \ to {\ mathcal {D}} (U) }$ $M:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)$ - оператор умножения на функцию m (т. Е. $(M ϕ) (x) = m (x) ϕ (x) {\ displaystyle (M \ phi) (x) = m (x) \ phi (x)}$ $(M\phi)(x)=m(x)\phi (x)$ ), то
$∫ U (M ϕ) (x) ψ (x) dx = ∫ U m (x) ϕ (x) ψ (x) dx знак равно ∫ U ϕ (x) м (x) ψ (x) dx = ∫ U ϕ (x) (M ψ) (x) dx, {\ displaystyle \ int _ {U} (M \ phi) (x) \ psi (x) \, dx = \ int _ {U} m (x) \ phi (x) \ psi (x) \, dx = \ int _ {U} \ phi (x) m (x) \ psi (x) \, dx = \ int _ {U} \ phi (x) (M \ psi) (x) \, dx,}$ $\int _{U}(M\phi)(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}m(x)\phi (x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)m(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)(M\psi)(x)\,dx,$
, так что $t M = M. {\ displaystyle {} ^ {t} M = M.}$ ${}^{t}M=M.$

При умножении на гладкие функции $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ - это модуль над кольцом $C ∞ ( U). {\ displaystyle C ^ {\ infty} (U).}$ $C^{\infty }(U).$ При таком определении умножения на гладкую функцию обычное правило произведения исчисления остается в силе. Однако возникает и ряд необычных идентичностей. Например, если δ ′ - дельта-распределение Дирака на ℝ, то mδ = m (0) δ, а если δ ′ - производная от дельта-распределения, то
$m δ ′ = m (0) δ ′ - m ′ δ = m (0) δ ′ - m ′ (0) δ. {\ displaystyle m \ delta '= m (0) \ delta' -m '\ delta = m (0) \ delta' -m '(0) \ delta.}$ $m\delta '=m(0)\delta '-m'\delta =m(0)\delta '-m'(0)\delta.$
Карта билинейного умножения $C ∞ (R n) × D ′ (R n) → D ′ (R n) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ times {\ mathcal {D}} '(\ mathbb {R} ^ {n}) \ to {\ mathcal {D}} '(\ mathbb {R} ^ {n})}$ $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$ определяется как $(f, T) ↦ f T {\ displaystyle (f, T) \ mapsto fT}$ ${\ displaystyle (f, T) \ mapsto fT}$ не является непрерывным; однако это гипоконтинуальный.

Пример. Для любого распределения T произведение T на функцию, которая тождественно 1 на U, равно T.

Пример. Предположим $(fi) i = 1 ∞ {\ displaystyle (f_ {i}) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ ${ \ displaystyle (f_ {i}) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ - последовательность тестовых функций на U, которая сходится к постоянной функции $1 ∈ C ∞ (U). {\ displaystyle 1 \ in C ^ {\ infty} (U).}$ $1\in C^{\infty }(U).$ Для любого распределения T на U последовательность $(fi T) i = 1 ∞ {\ displaystyle (f_ {i } T) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ $(f_{i}T)_{i=1}^{\infty }$ сходится к $T ∈ D ′ (U). {\ displaystyle T \ in {\ mathcal {D}} '(U).}$ $T\in {\mathcal {D}}'(U).$

Если $(T i) i = 1 ∞ {\ displaystyle (T_ {i}) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ $(T_{i})_{i=1}^{\infty }$ сходится к $T ∈ D ′ (U) {\ displaystyle T \ in {\ mathcal {D}} '(U)}$ $T\in {\mathcal {D}}'(U)$ и $(fi) я знак равно 1 ∞ {\ displaystyle (f_ {i}) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ ${ \ displaystyle (f_ {i}) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ сходится к $f ∈ C ∞ (U) {\ displaystyle е \ в C ^ {\ infty} (U)}$ $f\in C^{\infty }(U)$ , затем $(fi T i) i = 1 ∞ {\ displaystyle (f_ {i} T_ {i}) _ {i = 1 } ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle (f_ {i} T_ {i }) _ {я = 1} ^ {\ infty}}$ сходится к $f T ∈ D ′ (U). {\ displaystyle fT \ in {\ mathcal {D}} '(U).}$ $fT\in {\mathcal {D}}'(U).$
Проблема умножения Распределение
Легко определить распределение с гладкой функцией, или в более общем смысле произведение двух распределений. Приложив больше, можно определить несколько распределений с хорошим поведением при условии, что их наборы волновых фронтов в каждой точке соответствия. Ограничением теории распределений (и гиперфункций) является то, что не существует распределения на гладкую функцию, как было доказано Лораном Шварцем в 1950-х годах. Например, если p.v. 1 / x - это распределение, полученное с помощью главных значений Коши
$(p. V. 1 x) (ϕ) = lim ε → 0 + ∫ | х | ≥ ε ϕ (x) x d x для всех ϕ ∈ S (R). {\ displaystyle \ left (\ operatorname {pv} {\ frac {1} {x}} \ right) (\ phi) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+}} \ int _ {| х | \ geq \ varepsilon} {\ frac {\ phi (x)} {x}} \, dx \ quad {\ text {для всех}} \ phi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R}).}$ $\left(\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\right)(\phi)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|\geq \varepsilon }{\frac {\phi (x)}{x}}\,dx\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R}).$
Если δ - дельта-распределение Дирака, то
$(δ × x) × p. v. ⁡ 1 Икс знак равно 0 {\ Displaystyle (\ дельта \ раз х) \ раз \ OperatorName {pv} {\ frac {1} {х}} = 0}$ $(\delta \times x)\times \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}=0$
, но
$δ × (х × р. V. ⁡ 1 Икс) знак равно δ {\ Displaystyle \ delta \ times \ left (x \ times \ operatorname {pv} {\ frac {1} {x}} \ right) = \ delta}$ $\delta \times \left(x\times \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\right)=\delta$
, поэтому произведение с помощью гладкой функции не может быть расширено до ассоциативного произведения на распределений.

Таким образом, нелинейные задачи не могут быть поставлены в целом и, следовательно, не могут быть решены в рамках одного распределения распределения. Однако в контексте квантовой теории поля решения могут быть найдены. В более чем измерениях пространства-времени проблема связана с регуляризацией расхождений. Здесь и Владимир Глейзер разработал математически строгую (но чрезвычайно техническую) теорию возмущений. В других ситуациях это не решает проблемы. Многие другие интересные нелинейны, например, уравнения Навье - Стокса в гидродинамике.

Разработаны несколько не совсем удовлетворительных теорий алгебр обобщенных функций, среди которых (упрощенная) алгебра Коломбо, возможно, является наиболее популярной в настоящее время.

Вдохновленный теорией Лайонса грубого пути, Мартин Хайрер предложил последовательный способ умножения распределений с определенной структурой (структуры регулярности ), доступный во многих примерах из стохастического анализа, особенно в стохастических уравнениях в частных производных. См. Также Gubinelli – Imkeller – Perkowski (2015) для связанной разработки, основанной на парапродукте из анализа Фурье Bony.
Композиция с гладкой функцией
Пусть T будет распределением на $U. {\ displaystyle U.}$ $U.$ Пусть V - открытое множество в $R n, {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$ $\mathbb {R} ^{n},$ и F: V → U. Если F - это погружение, можно определить
$T ∘ F ∈ D ′ (V). {\ displaystyle T \ circ F \ in {\ mathcal {D}} '(V).}$ $T\circ F\in {\mathcal {D}}'(V).$
Это композиция распределения T с F, которая также называется откат T вдоль F, иногда пишется
$F ♯: T ↦ F ♯ T = T ∘ F. {\ displaystyle F ^ {\ sharp}: T \ mapsto F ^ {\ sharp} T = T \ circ F.}$ $F^{\sharp }:T\mapsto F^{\sharp }T=T\circ F.$
Откат часто обозначается F *, хотя это обозначение не следует путать с использованием ' * 'для обозначения сопряженного к линейному отображению.

Условие того, что F является субмерсией, эквивалентно требованию, чтобы якобиан производная dF (x) функции F была сюръективным линейным отображением для любого x ∈ V.. Необходимым (но не достаточным) условием для расширения F до распределений является то, что F было открытым отображением. Теорема об обратной функции гарантирует, что субмерсия удовлетворяет этому условию.

Если F является погружением, то F определяется в распределениях путем нахождения карты транспонирования. Единственность этого расширения гарантируется, поскольку F - непрерывный линейный оператор на $D (U). {\ displaystyle {\ mathcal {D}} (U).}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} (U).}$ Существование, однако, требует использования формулы замены переменных, теоремы об обратной функции (локально) и разделение единицы аргумент.

В особом случае, когда F является диффеоморфизмом из открытого подмножества V в $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\mathbb {R} ^{n}$ на открытое подмножество U из $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\mathbb {R} ^{n}$ замена переменных под интегралом дает
$∫ V ϕ ∘ F (x) ψ (x) dx = ∫ U ϕ (x) ψ (F - 1 (x)) | det d F - 1 (x) | d x. {\ Displaystyle \ int _ {V} \ phi \ circ F (x) \ psi (x) \, dx = \ int _ {U} \ phi (x) \ psi \ left (F ^ {- 1} (x) \ right) \ left | \ det dF ^ {- 1} (x) \ right | \, dx.}$ $\int _{V}\phi \circ F(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)\psi \left(F^{-1}(x)\right)\left|\det dF^{-1}(x)\right|\,dx.$
В этом конкретном случае F определяется формулой транспонирования:
$⟨F ♯ T, ϕ⟩ = ⟨T, | det d (F - 1) | ϕ ∘ F - 1⟩. {\ displaystyle \ left \ langle F ^ {\ sharp} T, \ phi \ right \ rangle = \ left \ langle T, \ left | \ det d (F ^ {- 1}) \ right | \ phi \ circ F ^ {- 1} \ right \ rangle.}$ $\left\langle F^{\sharp }T,\phi \right\rangle =\left\langle T,\left|\det d(F^{-1})\right|\phi \circ F^{-1}\right\rangle.$
Свертка
При некоторых обстоятельствах можно определить свертку функции с распределением или даже сверткой две раздачи. Напомним, что если $f {\ displaystyle f}$ $f$ и g являются функциями на $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\mathbb {R} ^{n}$ , то мы обозначаем по $f * g {\ displaystyle f \ ast g}$ $f\ast g$ на свертку из $f {\ displaystyle f}$ $f$ и g, определенных в $x ∈ R n {\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ в качестве интеграла
$(f ∗ g) (x): = ∫ R nf ( x - y) g (y) dy знак равно ∫ R nf (y) g (x - y) dy {\ displaystyle (f \ ast g) (x): = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n} } f (xy) g (y) \, dy = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (y) g (xy) \, dy}$ ${\ displaystyle (f \ ast g) (x): = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (xy) g (y) \, dy = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (y) g (xy) \, dy}$
при условии, что интеграл существует. Если $1 ≤ p, q, r ≤ ∞ {\ displaystyle 1 \ leq p, q, r \ leq \ infty}$ $1\leq p,q,r\leq \infty$ таковы, что 1 / r = (1 / p) + (1 / q) - 1, тогда для любых функций $f ∈ L p (R n) {\ displaystyle f \ in L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle f \ in L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ и $g ∈ L q (R n) {\ displaystyle g \ in L ^ {q} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $g\in L^{q}(\mathbb {R} ^{n})$ мы имеем $f ∗ g ∈ L р (р п) {\ Displaystyle е \ аст г \ в L ^ {r} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $f\ast g\in L^{r}(\mathbb {R} ^{n})$ и $‖ f * g ‖ L r ≤ ‖ е ‖ L p ‖ g ‖ L q. {\ displaystyle \ | f \ ast g \ | _ {L ^ {r}} \ leq \ | f \ | _ {L ^ {p}} \ | g \ | _ {L ^ {q}}.}$ ${\ displaystyle \ | f \ ast g \ | _ {L ^ {r}} \ leq \ | f \ | _ {L ^ {p}} \ | g \ | _ {L ^ {q}}.}$ Если $f {\ displaystyle f}$ $f$ и g являются непрерывными функциями на $R n, {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$ $\mathbb {R} ^{n},$ хотя бы один из которых имеет компактную опору, тогда $supp ⁡ (f ∗ g) ⊆ supp ⁡ (f) + supp ⁡ (g) {\ displaystyle \ operatorname {supp} (f \ ast g) \ Substeq \ operatorname {supp} (f) + \ operatorname {supp} (g)}$ $\operatorname {supp} (f\ast g)\subseteq \operatorname {supp} (f)+\operatorname {supp} (g)$ и если $A ⊆ R n {\ displaystyle A \ substeq \ mathbb {R} ^ {n}}$ $A\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ тогда значение $f * g {\ displaystyle f \ ast g}$ $f\ast g$ на A не зависит от значений $f {\ displaystyle f}$ $f$ вне суммы Минковского $A - supp ⁡ (g) = {a - s: a ∈ A, s ∈ supp ⁡ (g)}. {\ displaystyle A- \ operatorname {supp} (g) = \ {as: a \ in A, s \ in \ operatorname {supp} (g) \}.}$ ${\ displaystyle A- \ ope ratorname {supp} (g) = \ {as: a \ in A, s \ in \ operatorname {supp} (g) \}.}$

Важно отметить, что если $g ∈ L 1 (R n) {\ displaystyle g \ in L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ имеет компактную опору, тогда для любого $0 ≤ k ≤ ∞, {\ displaystyle 0 \ leq k \ leq \ infty,}$ ${\ displaystyle 0 \ leq k \ leq \ infty,}$ карта свертки $f ↦ f ∗ g {\ displaystyle f \ mapsto f \ ast g}$ $f\mapsto f\ast g$ является непрерывным, если рассматривать его как карту $C k (R n) → C k (R n) {\ displaystyle C ^ {k} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ to C ^ {k} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle C ^ {k} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ к C ^ {k} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ или как карту $C ck (R n) → C ck (R n). {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ to C_ {c} ^ {k} (\ mathbb {R} ^ {n}).}$ $C_{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C_{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n}).$
Перевод и симметрия
Для данного $a ∈ R n, {\ displaystyle a \ in \ mathbb {R} ^ {n},}$ ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R} ^ {n},}$ оператор перевода τ a отправляет $е: р N → C {\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {C}}$ $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ до $τ af: R n → C, {\ displaystyle \ tau _ {a} f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {C},}$ ${\ displaystyle \ tau _ {a} f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {C },}$ определяется как $τ af (y) = f (y - a). {\ displaystyle \ tau _ {a} f (y) = f (ya).}$ $\tau _{a}f(y)=f(y-a).$ Это может быть расширено путем транспонирования в дистрибутивы следующим образом: для данного распределения T перевод из $T {\ displaystyle T}$ $T$ по $a {\ displaystyle a}$ $a$ - это распределение $τ a T: D (R n) → C {\ displaystyle \ tau _ {a} T: {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ to \ mathbb {C}}$ $\tau _{a}T:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C}$ определено $τ a T (ϕ) : = ⟨T, τ - a ϕ⟩. {\ Displaystyle \ tau _ {a} T (\ phi): = \ left \ langle T, \ tau _ {- a} \ phi \ right \ rangle.}$ $\tau _{a}T(\phi):=\left\langle T,\tau _{-a}\phi \right\rangle.$

Учитывая $f: R n → C, {\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {C},}$ $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C},$ определите функцию $f ~: R n → C {\ displaystyle {\ tilde {f }}: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {C}}$ ${\tilde {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ на $f ~ (x): = f (- x). {\ displaystyle {\ tilde {f}} (x): = f (-x).}$ ${\tilde {f}}(x):=f(-x).$ Учитывая распределение T, пусть $T ~: D (R n) → C {\ displaystyle { \ tilde {T}}: {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ to \ mathbb {C}}$ ${\tilde {T}}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C}$ быть распределением, определенным $T ~ (ϕ): = T (ϕ ~). {\ displaystyle {\ tilde {T}} (\ phi): = T \ left ({\ tilde {\ phi}} \ right).}$ ${\tilde {T}}(\phi):=T\left({\tilde {\phi }}\right).$ Оператор $T ↦ T ~ {\ displaystyle T \ mapsto {\ tilde {T}}}$ $T\mapsto {\tilde {T}}$ называется симметрией относительно начала координат .
Свертка тестовой функции с распределением
Свертка с $f ∈ D (R n) {\ displaystyle f \ in {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle f \ in {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ определяет линейную карту:
${C е: D (р п) → D (р п) С е (г): знак равно е * г {\ displaystyle {\ begin {cases} C_ {f}: {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ to { \ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n}) \\ C_ {f} (g): = f \ ast g \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} C_ {f }: {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ to {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n}) \\ C_ {f} (g): = е \ аст г \ конец {случаи}}}$
которая является непрерывной по отношению к канонической топологии LF-пространства на $D (R n). {\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n}).}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n}).}$

Свертка $f {\ displaystyle f}$ $f$ с распределением $T ∈ D ′ (R n) {\ displaystyle T \ in {\ mathcal {D}} '(\ mathbb {R} ^ {n})}$ $T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$ можно определить путем транспонирования C f относительно пары двойственности $D (R n) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ с пробелом $D ′ (R n) { \ displaystyle {\ mathcal {D}} '(\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$ распределений. Если $f, g, ϕ ∈ D (R n), {\ displaystyle f, g, \ phi \ in {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n}),}$ $f,g,\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}),$ то по теореме Фубини
$C fg, ϕ⟩ = ∫ R n ϕ (x) ∫ R nf (x - y) g (y) dydx = ⟨g, C f ∼ ϕ⟩. {\ displaystyle \ langle C_ {f} g, \ phi \ rangle = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ phi (x) \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (xy) g (y) \, dy \, dx = \ left \ langle g, C _ {\ tilde {f}} \ phi \ right \ rangle.}$ $\langle C_{f}g,\phi \rangle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)\,dy\,dx=\left\langle g,C_{\tilde {f}}\phi \right\rangle.$
Продолжение по непрерывности, свертка $f { \ displaystyle f}$ $f$ с распределением T определяется как
$⟨f ∗ T, ϕ⟩ = ⟨T, f ~ ∗ ϕ⟩, {\ displaystyle \ langle f \ ast T, \ phi \ rangle = \ left \ langle T, {\ tilde {f}} \ ast \ phi \ right \ rangle,}$ ${\ displaystyle \ langle f \ ast T, \ phi \ rangle = \ left \ langle T, {\ tilde {f}} \ ast \ phi \ right \ rangle,}$
для всех $ϕ ∈ D (R n). {\ displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n}).}$ $\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).$

Альтернативный способ определения свертки тестовой функции $f {\ displaystyle f}$ $f$ и распределение T должно использовать оператор преобразования τ a. Свертка функции с компактным носителем $f {\ displaystyle f}$ $f$ и распределение T - функция, определенная для каждого $x ∈ R n {\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ { n}}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ по
$(f ∗ T) (x) = ⟨T, τ xf ~⟩. {\ displaystyle (f \ ast T) (x) = \ left \ langle T, \ tau _ {x} {\ tilde {f}} \ right \ rangle.}$ $(f\ast T)(x)=\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle.$
Можно показать, что свертка гладкая функция с компактным носителем, распределение - гладкая функция. Если размер T имеет компактный носитель, то, если $f {\ displaystyle f}$ $f$ является полиномом (соответственно аналитической функции, ограничением целой аналитической функции на $C n {\ displaystyle \ mathbb { C} ^ {n}}$ $\mathbb {C} ^{n}$ до $R n, {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$ $\mathbb {R} ^{n},$ ограничение целая функция экспоненциального типа в $C n {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\mathbb {C} ^{n}$ to $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\mathbb {R} ^{n}$ ), то то же самое верно и для $T ∗ f. {\ displaystyle T \ ast f.}$ $T\ast f.$ Если распределение T также имеет компактную поддержку, тогда $f ∗ T {\ displaystyle f \ ast T}$ ${\ displaystyle f \ ast T}$ является компактно поддерживаемой функцией, а из теоремы о свертке Титчмарша Хёрмандера (1983, теорема 4.3.3) следует, что
$ch ⁡ (supp ⁡ (f ∗ T)) = ch ⁡ (supp ⁡ ( е)) + ч (SUP ⁡ (T)) {\ Displaystyle \ OperatorName {ch} (\ OperatorName {Supp} (F \ Ast T)) = \ OperatorName {ch} (\ Operatorname {Supp} (е)) + \ operatorname {ch} (\ operatorname {supp} (T))}$ $\operatorname {ch} (\operatorname {supp} (f\ast T))=\operatorname {ch} (\operatorname {supp} (f))+\operatorname {ch} (\operatorname {supp} (T))$
где ch обозначает выпуклую оболочку, а supp обозначает опору.
Свертка гладкой функцией с распределением
Пусть $f ∈ C ∞ (R n) {\ displaystyle f \ in C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n })}$ $f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ и $T ∈ D ′ (R n) {\ displaystyle T \ in {\ mathcal {D}} '(\ mathbb {R} ^ {n})}$ $T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$ и предположим, что хотя бы один из $f {\ displaystyle f}$ $f$ и T имеет компактную опору. свертка из $f {\ displaystyle f}$ $f$ и T, обозначенная как $f ∗ T {\ displaystyle f \ ast T}$ ${\ displaystyle f \ ast T}$ или по $T ∗ f, {\ displaystyle T \ ast f,}$ $T\ast f,$ является гладкой функцией:
${f ∗ T: R n → C (f ∗ T) (x): = ⟨T τ xf ~⟩ {\ displaystyle {\ begin {cases} f \ ast T: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {C} \\ (f \ ast T) (x): = \ left \ langle T, \ tau _ {x} {\ tilde {f}} \ right \ rangle \ end {cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {case} f \ ast T: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {C} \\ (f \ ast T) (х): = \ влево \ langle T, \ тау _ {x} {\ тильда {f}} \ right \ rangle \ end {cases}}}$
удовлетворяет всем $p ∈ N n {\ displaystyle p \ in \ mathbb {N} ^ {n}}$ $p\in \mathbb {N} ^{n}$ :
$supp ⁡ (f ∗ T) ⊆ supp ⁡ (f) + supp ⁡ (T) для всех p ∈ N n: {∂ p ⟨T, τ xf ~⟩ = ⟨T, ∂ p τ xf ~⟩ ∂ p (T ∗ f) = (∂ p T) ∗ f = T ∗ (∂ pf). {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {supp} (f \ ast T) \ substeq \ operatorname {supp} (f) + \ operatorname {supp} (T) \\ [6pt] {\ text { для всех}} p \ in \ mathbb {N} ^ {n}: \ quad {\ begin {cases} \ partial ^ {p} \ left \ langle T, \ tau _ {x} {\ tilde {f}} \ right \ rangle = \ left \ langle T, \ partial ^ {p} \ tau _ {x} {\ tilde {f}} \ right \ rangle \\\ partial ^ {p} (T \ ast f) = ( \ partial ^ {p} T) \ ast f = T \ ast (\ partial ^ {p} f) \ end {cases}}. \ end {align}}}$ ${\begin{aligned}\operatorname {supp} (f\ast T)\subseteq \operatorname {supp} (f)+\operatorname {supp} (T)\\[6pt]{\text{ for all }}p\in \mathbb {N} ^{n}:\quad {\begin{cases}\partial ^{p}\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle =\left\langle T,\partial ^{p}\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle \\\partial ^{p}(T\ast f)=(\partial ^{p}T)\ast f=T\ast (\partial ^{p}f)\end{cases}}.\end{aligned}}$
Если T - распределение, то карта $е ↦ T ∗ f {\ displaystyle f \ mapsto T \ ast f}$ ${\ displaystyle f \ mapsto T \ ast f}$ непрерывно как карта $D ( R N) → С ∞ (R N) {\ Displaystyle {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ к C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n}) }$ ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ где, например, у T есть компактная опора, то он также непрерывен, как отображение $C ∞ (R n) → C ∞ (R n) {\ displaystyle C ^ {\ infty} ( \ mathbb {R} ^ {n}) \ to C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ и непрерывно, как отображение $D (R n) → D (R n). {\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ to {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n}).}$ ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).$

Если $L: D (р N) → С ∞ (R n) {\ displaystyle L: {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ к C ^ {\ infty} (\ mathbb {R } ^ {n})}$ $L:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ - это непрерывная линейная карта, такая что $L ∂ α ϕ = ∂ α L ϕ {\ displaystyle L \ partial ^ {\ alpha} \ phi = \ partial ^ {\ альфа} L \ phi}$ $L\partial ^{\alpha }\phi =\partial ^{\alpha }L\phi$ для всех $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\alpha$ и всех $ϕ ∈ D (R n) {\ displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$ тогда существует распределение $T ∈ D ′ (R n) {\ displaystyle T \ in {\ mathcal { D}} '(\ mathbb {R} ^ {n})}$ $T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$ такой, что $L ϕ = T ∘ ϕ {\ displaystyle L \ phi = T \ circ \ phi}$ ${\ displaystyle L \ phi = T \ circ \ phi}$ для всех $ϕ ∈ D (R n). {\ displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n}).}$ $\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).$

Пример. Пусть H будет функция Хевисайда на ℝ. Для любого $ϕ ∈ D (R), {\ displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R}),}$ $\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R}),$
$(H ∗ ϕ) (x) = ∫ - ∞ x ϕ (t) dt. {\ displaystyle (H \ ast \ phi) (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {x} \ phi (t) \, dt.}$ ${\ displaystyle (H \ ast \ phi) (x) = \ int _ { - \ infty} ^ {x} \ phi (t) \, dt.}$
Пусть $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\delta$ - мера Дирака в 0 и $δ ′ {\ displaystyle \ delta '}$ $\delta '$ ее производная в виде распределения. Тогда $δ ′ ∗ H = δ {\ displaystyle \ delta '\ ast H = \ delta}$ $\delta '\ast H=\delta$ и $1 ∗ δ ′ = 0. {\ displaystyle 1 \ ast \ delta' = 0.}$ $1\ast \delta '=0.$ Важно отметить, что не выполняется транзакционный закон:
$1 = 1 ∗ δ = 1 ∗ (δ ′ ∗ H) ≠ (1 ∗ δ ′) ∗ H = 0 ∗ H = 0. {\ displaystyle 1 = 1 \ ast \ delta = 1 \ ast (\ delta '\ ast H) \ neq (1 \ ast \ delta') \ ast H = 0 \ ast H = 0.}$ $1=1\ast \delta =1\ast (\delta '\ast H)\neq (1\ast \delta ')\ast H=0\ast H=0.$
Свертка распределения
Также возможно определить свертку двух распределений S и T на $R n, {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$ $\mathbb {R} ^{n},$ при условии, что одно из них имеет компактную опору. Неформально, чтобы определить S ∗ T, где T имеет компактный носитель, идея состоит в том, чтобы расширить определение свертки ∗ до линейной операции над распределителями так, чтобы формула ассоциативности
$S ∗ (T ∗ ϕ) = (S ∗ T) ∗ ϕ {\ displaystyle S \ ast (T \ ast \ phi) = (S \ ast T) \ ast \ phi}$ $S\ast (T\ast \phi)=(S\ast T)\ast \phi$
продолжает выращивать для всех тестовых функций $ϕ. {\ displaystyle \ phi.}$ $\phi.$

Также возможно предоставить более явную характеристику свертки распределений. Предположим, что S и T - распределение и S имеет компактный носитель. Тогда линейные отображения
${∙ ∗ S ~: D (R n) → D (R n) f ↦ f ∗ S ~ {∙ ∗ T ~: D (R n) → C ∞ (R n) f ↦ е * Т ~ {\ Displaystyle {\ begin {case} \ bullet \ ast {\ tilde {S}}: {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ to {\ mathcal {D} } (\ mathbb {R} ^ {n}) \\ f \ mapsto f \ ast {\ tilde {S}} \ end {cases}} \ qquad {\ begin {cases} \ bullet \ ast {\ tilde {T }}: {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ to C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n}) \\ f \ mapsto f \ ast {\ тильда {T}} \ end {case}}}$ ${\begin{cases}\bullet \ast {\tilde {S}}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\\f\mapsto f\ast {\tilde {S}}\end{cases}}\qquad {\begin{cases}\bullet \ast {\tilde {T}}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\\f\mapsto f\ast {\tilde {T}}\end{cases}}$
непрерывны. Перестановки этих отображений,
$t (∙ ∗ S ~): D ′ (R n) → D ′ (R n) t (∙ ∗ T ~): E ′ (R n) → D ′ (R n) { \ displaystyle {} ^ {t} \ left (\ bullet \ ast {\ tilde {S}} \ right): {\ mathcal {D}} '(\ mathbb {R} ^ {n}) \ to {\ mathcal {D}} '(\ mathbb {R} ^ {n}) \ qquad {} ^ {t} \ left (\ bullet \ ast {\ tilde {T}} \ right): {\ mathcal {E}}' (\ mathbb {R} ^ {n}) \ to {\ mathcal {D}} '(\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {S}}\right):{\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\qquad {}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {T}}\right):{\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$
, следовательно, непрерывны, и можно показать, что
$t (∙ ∗ S ~) (T) = t (∙ ∗ T ~) (S). {\ displaystyle {} ^ {t} \ left (\ bullet \ ast {\ tilde {S}} \ right) (T) = {} ^ {t} \ left (\ bullet \ ast {\ tilde {T}} \ right) (S).}$ ${\ displaystyle {} ^ {t} \ left (\ bullet \ ast {\ tilde {S}} \ right) (T) = {} ^ {t} \ left (\ bullet \ ast {\ tilde {T}} \ right) (S).}$
Это общее значение называется сверткой S и T, и это распределение обозначается как $S ∗ T {\ displaystyle S \ ast T}$ $S\ast T$ или $T ∗ S. {\ displaystyle T \ ast S.}$ $T\ast S.$ Он удовлетворяет $supp ⁡ (S ∗ T) ⊆ supp ⁡ (S) + supp ⁡ (T). {\ displaystyle \ operatorname {supp} (S \ ast T) \ substeq \ operatorname {supp} (S) + \ operatorname {supp} (T).}$ ${\ displaystyle \ operatorname {supp} (S \ ast T) \ substeq \ operatorname {supp} (S) + \ operatorname {supp} (T).}$ Если S и T - два распределения, в хотя бы один из которых имеет компактную опору, то для любого $a ∈ R n, {\ displaystyle a \ in \ mathbb {R} ^ {n},}$ ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R} ^ {n},}$ $τ a (S ∗ T) = (τ a S) ∗ T = S ∗ (τ a T). {\ displaystyle \ tau _ {a} (S \ ast T) = \ left (\ tau _ {a} S \ right) \ ast T = S \ ast \ left (\ tau _ {a} T \ right). }$ $\tau _{a}(S\ast T)=\left(\tau _{a}S\right)\ast T=S\ast \left(\tau _{a}T\right).$ Если T является распределением в $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\mathbb {R} ^{n}$ и если $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\delta$ - это мера Дирака, тогда $T ∗ δ = T. {\ displaystyle T \ ast \ delta = T.}$ ${\ displaystyle T \ ast \ delta = T.}$

Предположим, что именно T имеет компактную опору. Для $ϕ ∈ D (R n) {\ displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$ рассмотрим функцию
$ψ ( x) = ⟨T, τ - x ϕ⟩. {\ displaystyle \ psi (x) = \ langle T, \ tau _ {- x} \ phi \ rangle.}$ $\psi (x)=\langle T,\tau _{-x}\phi \rangle.$
Легко показать, что это определяет гладкую функцию x, которая, кроме того, имеет компактную опору. Свертка S и T определяется как
$⟨S ∗ T, ϕ⟩ = ⟨S, ψ⟩. {\ displaystyle \ langle S \ ast T, \ phi \ rangle = \ langle S, \ psi \ rangle.}$ $\langle S\ast T,\phi \rangle =\langle S,\psi \rangle.$
Это обобщает классическое понятие свертки функций и совместимо с дифференцированием в следующем смысле: для любого мультииндекса α
$∂ α (S ∗ T) = (∂ α S) ∗ T = S ∗ (∂ α T). {\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha} (S \ ast T) = (\ partial ^ {\ alpha} S) \ ast T = S \ ast (\ partial ^ {\ alpha} T).}$ $\partial ^{\alpha }(S\ast T)=(\partial ^{\alpha }S)\ast T=S\ast (\partial ^{\alpha }T).$
свертка конечного числа распределений, все из которых (кроме, возможно, одного) имеют компактную опору, ассоциативна.

Это определение свертки остается в силе при менее ограничительных предположениях относительно S и T.

свертка распределений с компактным носителем индуцирует непрерывное билинейное отображение $E ′ × E ′ → E ′ {\ displaystyle {\ mathcal {E}} '\ times {\ mathcal {E}}' \ to {\ mathcal {E}} '}$ ${\mathcal {E}}'\times {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}'$ определяется как $(S, T) ↦ S ∗ T, {\ displaystyle (S, T) \ mapsto S * T,}$ ${\ displaystyle (S, T) \ mapsto S * T,}$ где $E ′ {\ displaystyle { \ mathcal {E}} '}$ ${\mathcal {E}}'$ обозначает пространство распределений с компактной опорой. Однако карта свертки как функция $E ′ × D ′ → D ′ {\ displaystyle {\ mathcal {E}} '\ times {\ mathcal {D}}' \ to {\ mathcal {D}} '}$ ${\mathcal {E}}'\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'$ не является непрерывным, хотя и является непрерывным по отдельности. Свертка отображает $D (R n) × D ′ → D ′ {\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ times {\ mathcal {D}} '\ в { \ mathcal {D}} '}$ ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'$ и $D (R n) × D ′ → D (R n) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ { n}) \ times {\ mathcal {D}} '\ to {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$ задано как $(f, T) ↦ е * T {\ displaystyle (f, T) \ mapsto f * T}$ $(f,T)\mapsto f*T$ оба не могут быть непрерывными. Однако каждая из этих прерывистых карт является и непостоянной.
сверткой по сравнению с умножением
В общем, регулярность требуется для произведений умножения и локальность для сверточных продуктов. Это выражается в следующем расширении теоремы о свертке, гарантирует существование как свертки, так и произведений умножения. Пусть $F (α) = f ∈ OC ′ {\ displaystyle F (\ alpha) = f \ in {\ mathcal {O}} '_ {C}}$ $F(\alpha)=f\in {\mathcal {O}}'_{C}$ будет быстро убывающим умеренным распределением. или, что то же самое, $F (f) = α ∈ OM {\ displaystyle F (f) = \ alpha \ in {\ mathcal {O}} _ {M}}$ $F(f)=\alpha \in {\mathcal {O}}_{M}$ быть обычным (медленно растущая, сглаженная) функция в пространстве умеренных распределений, и пусть $F {\ displaystyle F}$ $F$ будет нормализованным (унитарная, обычная частота) преобразованием Фурье тогда, согласно Шварц (1951),
$F (f * g) = F (f) ⋅ F (g) {\ displaystyle F (f * g) = F (f) \ cdot F (g)}$ $F(f*g)=F(f)\cdot F(g)$
$F ( α ⋅ g) знак равно F (α) ∗ F (g) {\ displaystyle F (\ alpha \ cdot g) = F (\ alpha) * F (g)}$ ${\ displaystyle F (\ alpha \ cdot g) = F (\ alpha) * F (g)}$
удерживается в пространстве умеренных распределений. В частности, эти навыки становятся Формулой суммирования Пуассона, если $g ≡ Ø {\ displaystyle g \ Equiv \ operatorname {\ text {Ш}}}$ $g\equiv \operatorname {\text{Ш}}$ является Гребень Дирака. Пространство быстро убитых темперированных распределений также называется пространством операторов свертки $OC ′ {\ displaystyle {\ mathcal {O}} '_ {C}}$ ${\mathcal {O}}'_{C}$ и пространством всех обычных функций пространства умеренных распределений также называется пространством умножения $ОМ. {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {M}.}$ ${\mathcal {O}}_{M}.$ В более общем смысле, $F (OC ′) = OM {\ displaystyle F ({\ mathcal {O}} ' _ {C}) = {\ mathcal {O}} _ {M}}$ $F({\mathcal {O}}'_{C})={\mathcal {O}}_{M}$ и $F (OM) = OC ′. {\ displaystyle F ({\ mathcal {O}} _ {M}) = {\ mathcal {O}} '_ {C}.}$ $F({\mathcal {O}}_{M})={\mathcal {O}}'_{C}.$ Частным случаем является Пэли-Винер- Теорема Шварца, которая утверждает, что $F (E ') = PW {\ displaystyle F ({\ mathcal {E}}') = \ operatorname {PW}}$ $F({\mathcal {E}}')=\operatorname {PW}$ и $F (PW) = E ′. {\ displaystyle F (\ operatorname {PW}) = {\ mathcal {E}} '.}$ $F(\operatorname {PW})={\mathcal {E}}'.$ Это потому, что $E ′ ⊆ OC ′ {\ displaystyle {\ mathcal {E}} ' \ substeq {\ mathcal {O}} '_ {C}}$ ${\mathcal {E}}'\subseteq {\mathcal {O}}'_{C}$ и $PW ⊆ OM. {\ displaystyle \ operatorname {PW} \ substeq {\ mathcal {O}} _ {M}.}$ $\operatorname {PW} \subseteq {\mathcal {O}}_{M}.$ Другими словами, умеренные распределения с компактной поддержкой $E ′ {\ displaystyle {\ mathcal {E }} '}$ ${\mathcal {E}}'$ принадлежат пространству операторов свертки $OC ′ {\ displaystyle {\ mathcal {O}}' _ {C}}$ ${\mathcal {O}}'_{C}$ и функций Пэли-Винера $PW, {\ displaystyle \ operatorname {PW},}$ $\operatorname {PW},$ , более известные как функции с ограничением полосы пропускания, относятся к пространству операторов умножения $OM. {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {M}.}$ ${\mathcal {O}}_{M}.$

Например, пусть $g ≡ Ш ∈ S ′ {\ displaystyle g \ Equiv \ operatorname {\ text {Ш}} \ in { \ mathcal {S}} '}$ $g\equiv \operatorname {\text{Ш}} \in {\mathcal {S}}'$ гребенка Дирака и $f ≡ δ ∈ E ′ {\ displaystyle f \ Equiv \ delta \ in {\ mathcal {E}}'}$ $f\equiv \delta \in {\mathcal {E}}'$ дельта Дирака, тогда $α ≡ 1 ∈ PW {\ displaystyle \ alpha \ Equiv 1 \ in \ operatorname {PW}}$ $\alpha \equiv 1\in \operatorname {PW}$ функция, которая постоянно одно и оба уравнения дают тождество гребешка Дирака. Другой пример: пусть $g {\ displaystyle g}$ $g$ будет гребенкой Дирака, а $f ≡ rect ∈ E ′ {\ displaystyle f \ Equiv \ operatorname {rect} \ in {\ mathcal {E}} '}$ $f\equiv \operatorname {rect} \in {\mathcal {E}}'$ будет прямоугольной функцией, тогда $α ≡ sinc ∈ PW {\ displaystyle \ alpha \ Equiv \ operatorname {sinc} \ in \ operatorname {PW} }$ $\alpha \equiv \operatorname {sinc} \in \operatorname {PW}$ - это функция sinc, и оба уравнения дают классическую теорему выборки для подходящего $rect {\ displaystyle \ operatorname {rect}}$ $\operatorname {rect}$ функций. В более общем смысле, если $g {\ displaystyle g}$ $g$ - гребешок Дирака и $f ∈ S ⊆ OC ′ ∩ OM {\ displaystyle f \ in {\ mathcal {S}} \ substeq {\ mathcal {O}} '_ {C} \ cap {\ mathcal {O}} _ {M}}$ $f\in {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {O}}'_{C}\cap {\mathcal {O}}_{M}$ - это гладкая оконная функция ( функция Шварца ), например Гаусса, затем $α ∈ S {\ displaystyle \ alpha \ in {\ mathcal {S}}}$ $\alpha \in {\mathcal {S}}$ - еще одна гладкая оконная функция (функция Шварца). Они известны как успокоители, особенно в теории уравнений в частных производных, или как регуляризаторы в физике, потому что они позволяют превращать обобщенные функции в обычные функции.
Тензорное произведение распределений
Пусть $U ⊆ R m {\ displaystyle U \ substeq \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle U \ substeq \ mathbb {R} ^ {m}}$ и $V ⊆ R n {\ displaystyle V \ substeq \ mathbb {R} ^ {n}}$ $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ быть открытыми наборами. Предположим, что все векторные пространства находятся над полем $F, {\ displaystyle \ mathbb {F},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F},}$ , где $F = R {\ displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {R }}$ $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ или $C. {\ displaystyle \ mathbb {C}.}$ $\mathbb {C}.$ для $f ∈ D (U × V) {\ displaystyle f \ in {\ mathcal {D}} (U \ times V)}$ $f\in {\mathcal {D}}(U\times V)$ мы определяем следующее семейство функций:
${{fx: V → F y ↦ f (x, y) | x ∈ U}, {{f y: U → F x ↦ f (x, y) | y ∈ V}. {\ Displaystyle \ left \ {\ left. {\ begin {cases} f_ {x}: V \ to \ mathbb {F} \\ y \ mapsto f (x, y) \ end {cases}} \ right | x \ in U \ right \}, \ qquad \ left \ {\ left. {\ begin {cases} f ^ {y}: U \ to \ mathbb {F} \\ x \ mapsto f (x, y) \ end {case}} \ right | y \ in V \ right \}.}$ $\left\{\left.{\begin{cases}f_{x}:V\to \mathbb {F} \\y\mapsto f(x,y)\end{cases}}\right|x\in U\right\},\qquad \left\{\left.{\begin{cases}f^{y}:U\to \mathbb {F} \\x\mapsto f(x,y)\end{cases}}\right|y\in V\right\}.$
Дано $S ∈ D ′ (U) {\ displaystyle S \ in {\ mathcal {D}} '(U)}$ $S\in {\mathcal {D}}'(U)$ и $T ∈ D ′ (V) {\ displaystyle T \ in {\ mathcal {D}} '(V)}$ $T\in {\mathcal {D}}'(V)$ мы определяем следующие функции:
${ ⟨S, f ∙⟩: V → F y ↦ ⟨S, fy⟩ {⟨T, f ∙⟩: U → F x ↦ ⟨T, fx⟩ {\ displaystyle {\ begin {align} {\ begin {cases} \ langle S, f ^ {\ bullet} \ rangle: V \ to \ mathbb {F} \\ y \ mapsto \ langle S, f ^ {y} \ rangle \ end {cases}} \\ [8pt] {\ begin {case} \ langle T, f _ {\ bullet} \ rangle: U \ to \ mathbb {F} \\ x \ mapsto \ langle T, f_ {x} \ rangle \ end {cases}} \ end {выровнено} }}$ ${\begin{aligned}{\begin{cases}\langle S,f^{\bullet }\rangle :V\to \mathbb {F} \\y\mapsto \langle S,f^{y}\rangle \end{cases}}\\[8pt]{\begin{cases}\langle T,f_{\bullet }\rangle :U\to \mathbb {F} \\x\mapsto \langle T,f_{x}\rangle \end{cases}}\end{aligned}}$
Обратите внимание, что $⟨T, f ∙⟩ ∈ D (U) {\ displaystyle \ langle T, f _ {\ bullet} \ rangle \ in {\ mathcal {D}} (U)}$ $\langle T,f_{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(U)$ и $⟨S, f ∙⟩ ∈ D (V). {\ displaystyle \ langle S, f ^ {\ bullet} \ rangle \ in {\ mathcal {D}} (V).}$ $\langle S,f^{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(V).$ Теперь мы определяем следующие непрерывные линейные карты, связанные с $S { \ Displaystyle S}$ $S$ и $T {\ displaystyle T}$ $T$ :
$D ′ (U) ∋ S ⟶ {D (U × V) → D (V) f ↦ ⟨S, f ∙ ⟩ D ′ (V) ∋ T ⟶ {D (U × V) → D (U) е ↦ ⟨T, f ∙⟩ {\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {D}} '(U) \ ni S \ longrightarrow {\ begin {cases} {\ mathcal {D}} (U \ times V) \ to {\ mathcal {D}} (V) \\ f \ mapsto \ langle S, f ^ {\ bullet} \ rangle \ end {cases}} \\ [8pt] {\ mathcal {D}} '(V) \ ni T \ longrightarrow {\ begin {cases} {\ mathcal {D}} (U \ times V) \ to {\ mathcal {D}} (U) \\ f \ mapsto \ langle T, f _ {\ bullet} \ rangle \ end {cases}} \ end {align}}}$ ${\begin{aligned}{\mathcal {D}}'(U)\ni S\longrightarrow {\begin{cases}{\mathcal {D}}(U\times V)\to {\mathcal {D}}(V)\\f\mapsto \langle S,f^{\bullet }\rangle \end{cases}}\\[8pt]{\mathcal {D}}'(V)\ni T\longrightarrow {\begin{cases}{\mathcal {D}}(U\times V)\to {\mathcal {D}}(U)\\f\mapsto \langle T,f_{\bullet }\rangle \end{cases}}\end{aligned}}$
Более того, если либо $S { \ displaystyle S}$ $S$ (соответственно $T {\ displaystyle T}$ $T$ ) имеет компактную опору, тогда он также индуцирует непрерывное линейное отображение $C ∞ (U × V) → C ∞ (V) {\ displays tyle C ^ {\ infty} (U \ times V) \ to C ^ {\ infty} (V)}$ $C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(V)$ (соответственно $C ∞ (U × V) → C ∞ (U) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (U \ times V) \ to C ^ {\ infty} (U)}$ $C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(U)$ ).

Теорема Фубини для распределений - Пусть $S ∈ D ′ (U) {\ displaystyle S \ in {\ mathcal {D}} '(U)}$ $S\in {\mathcal {D}}'(U)$ и $T ∈ D ′ (V). {\ displaystyle T \ in {\ mathcal {D}} '(V).}$ $T\in {\mathcal {D}}'(V).$ Для каждого $f ∈ D (U × V) {\ displaystyle f \ in {\ mathcal {D} } (U \ times V)}$ $f\in {\mathcal {D}}(U\times V)$ имеем: $⟨S, ⟨T, f ∙⟩⟩ = ⟨T, ⟨S, f ∙⟩⟩. {\ displaystyle \ langle S, \ langle T, f _ {\ bullet} \ rangle \ rangle = \ langle T, \ langle S, f ^ {\ bullet} \ rangle \ rangle.}$ $\langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle.$

Определение. тензорное произведение из $S ∈ D ′ (U) {\ displaystyle S \ in {\ mathcal {D}} '(U)}$ $S\in {\mathcal {D}}'(U)$ и $T ∈ D '(V), {\ displaystyle T \ in {\ mathcal {D}}' (V),}$ $T\in {\mathcal {D}}'(V),$ обозначается $S ⊗ T {\ displaystyle S \ otimes T}$ $S\otimes T$ или $T ⊗ S, {\ displaystyle T \ otimes S,}$ $T\otimes S,$ - это распределение в $U × V {\ displaystyle U \ times V}$ ${\ displaystyle U \ times V}$ и определяется следующим образом:
$(S ⊗ T) (f): = ⟨S, ⟨T, f ∙⟩⟩ = ⟨T, ⟨S, f ∙⟩⟩. {\ displaystyle (S \ otimes T) (f): = \ langle S, \ langle T, f _ {\ bullet} \ rangle \ rangle = \ langle T, \ langle S, f ^ {\ bullet} \ rangle \ rangle.}$ $(S\otimes T)(f):=\langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle.$
Теорема Шварца о ядре
Тензорное произведение определяет билинейное отображение
${D ′ (U) × D ′ (V) → D ′ (U × V) (S, T) ↦ S ⊗ T {\ displaystyle {\ begin {cases} {\ mathcal {D}} '(U) \ times {\ mathcal {D}}' (V) \ to {\ mathcal {D}} '(U \ times V) \\ (S, T) \ mapsto S \ otimes T \ end {ases}}}$ ${\begin{cases}{\mathcal {D}}'(U)\times {\mathcal {D}}'(V)\to {\mathcal {D}}'(U\times V)\\(S,T)\mapsto S\otimes T\end{cases}}$
диапазон диапазона этого отображения является плотным подпространством его кодобласти. Кроме того, $supp ⁡ (S ⊗ T) = supp ⁡ (S) × supp ⁡ (T). {\ displaystyle \ operatorname {supp} (S \ otimes T) = \ operatorname {supp} (S) \ times \ operatorname {supp} (T).}$ $\operatorname {supp} (S\otimes T)=\operatorname {supp} (S)\times \operatorname {supp} (T).$ Кроме того, $(S, T) ↦ S ⊗ T {\ displaystyle (S, T) \ mapsto S \ otimes T}$ $(S,T)\mapsto S\otimes T$ индуцирует непрерывные билинейные отображения:
$E ′ (U) × E ′ (V) → E ′ (U × V) S ′ (R m) × S ′ (R n) → S ′ (R m + n) {\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {E}} '(U) \ times {\ mathcal { E}} '(V) \ to {\ mathcal {E}}' (U \ times V) \\ {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {m}) \ times {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {n}) \ to {\ mathcal {S}}' (\ mathbb {R} ^ {m + n}) \ end {align}}}$ ${\begin{aligned}{\mathcal {E}}'(U)\times {\mathcal {E}}'(V)\to {\mathcal {E}}'(U\times V)\\{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{m})\times {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{m+n})\end{aligned}}$
где $E ′ {\ displaystyle {\ mathcal {E}} '}$ ${\mathcal {E}}'$ обозначает пространство распределений с компактной поддержкой, а $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\mathcal {S}}$ - это пространство Шварца быстро убывающих функций.

Теорема о ядре Шварца - У нас есть канонические изоморфизмы TVS:
$S ′ (R m + n) ≅ S ′ (R m) ⊗ ^ S ′ (R n) ≅ L b (S (R m); S ′ (R n)) E ′ (U × V) ≅ E ′ (U) ⊗ ^ E ′ (V) ≅ L b (C ∞ (U); E ′ (V)) D ′ (U × V) ≅ D ′ (U) ⊗ ^ D ′ (V) ≅ L b (D (U); D ′ (V)) {\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {m + n}) \ cong {\ mathcal {S}}' (\ mathbb {R} ^ {m}) \ {\ widehat {\ otimes }} \ {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {n}) \ cong L_ {b} ({\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {m}); {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {n})) \\ {\ mathcal {E}}' (U \ times V) \ cong {\ mathcal {E}} '(U) \ { \ widehat {\ otimes}} \ {\ mathcal {E}} '(V) \ cong L_ {b} (C ^ {\ infty} (U); {\ mathcal {E}}' (V)) \\ {\ mathcal {D}} '(U \ times V) \ cong {\ mathcal {D}}' (U) \ {\ widehat {\ otimes}} \ {\ mathcal {D}} '(V) \ cong L_ {b} ({\ mathcal {D}} (U); {\ mathcal {D}} '(V)) \ end {align}}}$ ${\begin{aligned}{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{m+n})\cong {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{m})\ {\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\cong L_{b}({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m});{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}))\\{\mathcal {E}}'(U\times V)\cong {\mathcal {E}}'(U)\ {\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {E}}'(V)\cong L_{b}(C^{\infty }(U);{\mathcal {E}}'(V))\\{\mathcal {D}}'(U\times V)\cong {\mathcal {D}}'(U)\ {\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {D}}'(V)\cong L_{b}({\mathcal {D}}(U);{\mathcal {D}}'(V))\end{aligned}}$
Здесь $⊗ ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ otimes}}}$ $\ widehat {\ otimes}$ представляет собой за вершение инъективного тензорного произведения (которое в данном случае идентично завершению проективного тензорного произведения, поскольку эти пробелы ядерный ) и $L b (X; Y) {\ displaystyle L_ {b} (X; Y)}$ $L_{b}(X;Y)$ имеет топологию unifo rm сходимость на ограниченных подмножествах.

Этот результат неверен для гильбертовых пространств, таких как $L 2 {\ displaystyle L ^ {2}}$ $L^{2}$ и его двойственное пространство. Почему такой результат верен для пространства распределений и тестовых функций, но не для других «хороших» пространств, таких как гильбертово пространство $L 2 {\ displaystyle L ^ {2}}$ $L^{2}$ ? Этот вопрос привел к открытию Александра Гротендика ядерных пространств, ядерных карт и инъективного тензорного произведения. В конечном итоге он показал, что именно потому, что $D (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} (U)}$ ${\mathcal {D}}(U)$ является ядерным пространством, теорема о ядре Шварца держит.
Пространства распределений
Для всех 0 < k < ∞ and all 1 < p < ∞, all of the following canonical injections are continuous and have a range that is dense in their codomain:
$C c ∞ (U) → C ck (U) → C c 0 (U) → L c ∞ (U) → L cp (U) → L c 1 (U) ↓ ↓ ↓ C ∞ (U) → C K (U) → C 0 (U) {\ displaystyle {\ begin {matrix} C_ {c} ^ {\ infty} (U) \ to C_ {c} ^ {k} (U) \ to C_ {c} ^ {0} (U) \ to L_ {c} ^ {\ infty} (U) \ to L_ {c } ^ {p} (U) \ to L_ {c} ^ {1} (U) \\\ downarrow \ downarrow \ downarrow \\ C ^ {\ infty} (U) \ to C ^ { k} (U) \ to C ^ {0} (U) \\\ end {matrix}}}$ ${\begin{matrix}C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{k}(U)\to C_{c}^{0}(U)\to L_{c}^{\infty }(U)\to L_{c}^{p}(U)\to L_{c}^{1}(U)\\\downarrow \downarrow \downarrow \\C^{\infty }(U)\to C^{k}(U)\to C^{0}(U)\\\end{matrix}}$
где топологии на $L cq (U) {\ displaystyle L_ {c} ^ { q} (U)}$ ${\ displaystyle L_ {c} ^ {q} (U)}$ ( $1 ≤ q ≤ ∞ {\ displaystyle 1 \ leq q \ leq \ infty}$ $1 \leq q \leq \infty$ ) определяются как прямые границы пространств $L cq (K) { \ displaystyle L_ {c} ^ {q} (K)}$ $L_{c}^{q}(K)$ аналогично топологии на $C ck (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ были определены (в частности, они не являются обычными топологиями нормы). Диапазон каждой из приведенных выше карт плотен в кодобласти. На самом деле, $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ даже с последовательной плотностью в каждом $C ck (U). {\ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U).}$ $C_{c}^{k}(U).$ Все канонические инъекции $C c ∞ (U) → L p (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U) \ к L ^ {p} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)\to L^{p}(U)$ ( $1 ≤ p ≤ ∞ {\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ ) постоянно непрерывными, а диапазон этой инъекции плотно в кодене тогда и только тогда, когда $p ≠ ∞ {\ displaystyle p \ neq \ infty}$ $p\neq \infty$ (здесь $L p (U) {\ displaystyle L ^ {p} (U)}$ $L^{p}(U)$ имеет свою обычную топологию нормы ).

Предположим, что $X {\ displaystyle X}$ $X$ является одним из пробелов $C ck (U) { \ displaystyle C_ {c} ^ {k} (U)}$ $C_{c}^{k}(U)$ ( $k ∈ {0, 1,…, ∞} {\ displaystyle k \ in \ {0,1, \ ldots, \ infty \}}$ $k\in \{0,1,\ldots,\infty \}$ ) или $L cp (U) {\ displaystyle L_ {c} ^ {p} (U)}$ $L_{c}^{p}(U)$ ( $1 ≤ p ≤ ∞ {\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ ) или $L p (U) {\ displaystyle L ^ {p} (U)}$ $L^{p}(U)$ ( $1 ≤ p < ∞ {\displaystyle 1\leq p<\infty }$ $1 \leq p <\infty$ ). Каноническая инъекция $в X: C c ∞ (U) → X {\ displaystyle \ operatorname {In} _ {X}: C_ {c} ^ {\ infty} (U) \ to X}$ $\operatorname {In} _{X}:C_{c}^{\infty }(U)\to X$ - это непрерывная инъекция, изображение которой плотно в кодомене, транспозиция $t In X: X b ′ → D ′ (U) = (C c ∞ (U)) b ′ {\ displaystyle {} ^ {t} \ operatorname {In} _ {X}: X '_ {b} \ to {\ mathcal {D}}' (U) = (C_ {c} ^ {\ infty} (U)) '_ {b}}$ ${}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}$ - непрерывное впрыскивание. Таким образом, это транспонирование позволяет нам идентифицировать $X '{\ displaystyle X'}$ $X'$ с определенным векторным подпространством пространства распределений. Эта транспонированная карта не обязательно является TVS-встраиванием, поэтому топология, которую эта карта переносит на изображение $Im ⁡ (t In X) {\ displaystyle \ operatorname {Im} \ left ({} ^ {t} \ operatorname {In } _ {X} \ right)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} \ left ({} ^ {t} \ operatorname {In} _ {X} \ right)}$ тоньше, чем топология подпространства, которую это пространство наследует от $D '(U). {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U).}$ ${\mathcal {D}}'(U).$ Линейное подпространство $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}}' (U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ с локально выпуклой топологией, более тонкой, чем топология подпространства, индуцированная $D ′ (U) = (C c ∞ (U)) b ′ {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U) = (C_ {c} ^ {\ infty} (U)) '_ {b}}$ ${\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}$ называется пространством распределений . Почти все распределений, упомянутых в этой статье, таким образом (например, умеренное распределение, ограничения пространства, порядка $≤ {\ displaystyle \ leq}$ $\leq$ некоторого целого числа, распределения, индуцированные положительным значением Радона мера, распределения, индуцированные $L p {\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ -функция и т. д.) и любая теорема представления о двойном пространстве X может через транспонирование $t В X: Икс b ′ → D ′ (U), {\ displaystyle {} ^ {t} \ operatorname {In} _ {X}: X '_ {b} \ to {\ mathcal {D}}' (U),}$ ${}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U),$ переноситься непосредственно на элементы пространства $Im ⁡ (t In X). {\ displaystyle \ operatorname {Im} \ left ({} ^ {t} \ operatorname {In} _ {X} \ right).}$ $\operatorname {Im} \left({}^{t}\operatorname {In} _{X}\right).$
Радоновые меры
Естественное включение $В: C c ∞ (U) → C c 0 (U) {\ displaystyle \ operatorname {In}: C_ {c} ^ {\ infty} (U) \ to C_ {c} ^ {0} (U)}$ $\operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{0}(U)$ - это непрерывная инъекция, изображение которой плотно в его кодомене, поэтому transpose $t In: (C c 0 (U)) b ′ → D ′ (U) = (C с ∞ (U)) b ′ {\ displaystyle {} ^ {t} \ operatorname {In}: (C_ {c} ^ {0} (U)) '_ {b} \ to {\ mathcal {D}}' ( U) = (C_ {c} ^ {\ infty} (U)) '_ {b}}$ ${}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{0}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}$ также является непрерывным впрыском.

Обратите внимание, что непрерывное двойное пространство $(C c 0 (U)) b ′ {\ displaystyle (C_ {c} ^ {0} (U)) '_ {b}}$ $(C_{c}^{0}(U))'_{b}$ можно идентифицировать как пространство мер Радона, где существует взаимно однозначное соответствие между непрерывными линейными функционалами $T ∈ (C c 0 (U)) b ′ {\ displaystyle T \ in (C_ {c} ^ {0} (U)) '_ {b}}$ $T\in (C_{c}^{0}(U))'_{b}$ и интеграл по мере Радона; то есть
если $T ∈ (C c 0 (U)) b ′ {\ displaystyle T \ in (C_ {c} ^ {0} (U)) '_ {b}}$ $T\in (C_{c}^{0}(U))'_{b}$ тогда существует мера Радона $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\mu$ на U такая, что для всех $f ∈ C c 0 (U), T (f) = ∫ U fd μ, {\ displaystyle f \ in C_ {c} ^ {0} (U), T (f) = \ textstyle \ int _ {U} f \, d \ mu,}$ $f\in C_{c}^{0}(U),T(f)=\textstyle \int _{U}f\,d\mu,$ и
если $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\mu$ - мера Радона на U, то линейный функционал на $C c 0 (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {0} (U)}$ $C_{c}^{0}(U)$ определено $C c 0 (U) ∋ е ↦ ∫ U fd μ {\ displaystyle C_ {c} ^ {0} (U) \ ni f \ mapsto \ textstyle \ int _ {U} f \, d \ mu}$ ${\ displaystyle C_ {c} ^ {0} (U) \ ni f \ mapsto \ textstyle \ int _ {U} f \, d \ mu}$ непрерывно.
Через впрыск $t In: (C c 0 (U)) b ′ → D ′ (U), {\ displaystyle {} ^ {t} \ operatorname {In}: (C_ {c} ^ {0} (U)) '_ {b} \ to {\ mathcal {D}}' (U),}$ ${}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{0}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U),$ каждая мера Радона становится распределением на U. Если $f {\ displaystyle f}$ $f$ является локально интегрируемой функцией на U, то распределение $ϕ ↦ ∫ U f (x) ϕ (x) dx {\ di splaystyle \ phi \ mapsto \ textstyle \ int _ {U} f (x) \ phi (x) \, dx}$ $\phi \mapsto \textstyle \int _{U}f(x)\phi (x)\,dx$ - мера Радона; Таким образом, меры Радона образуют большое и важное пространство распределений.

Ниже приводится теорема о структуре распределений мер Радона, которая показывает, что каждая мера Радона может быть записана как сумма производных локально $L ∞ {\ displaystyle L ^ {\ infty}}$ $L^{{\infty }}$ функции в U:
Теорема. Предположим, $T ∈ D ′ (U) {\ displaystyle T \ in {\ mathcal {D}} ' (U)}$ $T\in {\mathcal {D}}'(U)$ - мера Радона, V ⊆ U - окрестность носителя T, и $I = {p ∈ N n: | p | ≤ k}. {\ displaystyle I = \ {p \ in \ mathbb {N} ^ {n}: | p | \ leq k \}.}$ $I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq k\}.$ Существует семейство локально $L ∞ {\ displaystyle L ^ {\ infty}}$ $L^{{\infty }}$ функции в U такие, что
$T = ∑ | p | ≤ К ∂ п μ п {\ Displaystyle T = \ sum _ {| p | \ leq k} \ partial ^ {p} \ mu _ {p}}$ $T=\sum _{|p|\leq k}\partial ^{p}\mu _{p}$
и для очень $p ∈ I, supp ⁡ μ p ⊆ V. {\ displaystyle p \ in I, \ operatorname {supp} \ mu _ {p} \ substeq V.}$ $p\in I,\operatorname {supp} \mu _{p}\subseteq V.$
Положительные меры Радона
Линейная функция T на пространстве функций называется положительной если всякий раз, когда функция $f {\ displaystyle f}$ $f$ , которая принадлежит домену T, неотрицательна (т.е. $f {\ displaystyle f}$ $f$ реально -значное и $f ≥ 0 {\ displaystyle f \ geq 0}$ $f\geq 0$ ), затем $T (f) ≥ 0. {\ displaystyle T (f) \ geq 0.}$ $T(f)\geq 0.$ Можно показать, что каждый положительный линейный функционал на $C c 0 (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {0} (U)}$ $C_{c}^{0}(U)$ обязательно является непрерывным (т.е. обязательно радоновым Обратите внимание, что мера Лебега является примером положительной меры Радона.
Локально интегрируемые функции как распределения
Одним особенно важным классом радоновских мер являются те, которые индуцируются локально интегрируемыми функциями. Функция $f: U → R {\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R}}$ $f:U\to \mathbb {R}$ называется локально интегрируемой, если она интегрируема по Лебегу по каждому компактному подмножеству K в U. Это большой класс функций, который включает в себя все непрерывные функции и все L-функции. Топология на $D (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} (U)}$ ${\mathcal {D}}(U)$ определена таким образом, что любая локально интегрируемая функция $f {\ displaystyle f}$ $f$ дает непрерывный линейный функционал на $D (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} (U)}$ ${\mathcal {D}}(U)$ - то есть элемент $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ - здесь обозначается T f, значение которого в тестовой функции $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ задается интегралом Лебега:
$⟨T f, ϕ⟩ = ∫ U f ϕ dx. {\ displaystyle \ langle T_ {f}, \ phi \ rangle = \ int _ {U} f \ phi \, dx.}$ $\langle T_{f},\phi \rangle =\int _{U}f\phi \,dx.$
Обычно злоупотребляет обозначением, идентифицируя T f с $f, {\ displaystyle f,}$ $f,$ при условии, что не может возникнуть путаницы, и, следовательно, соединение между T f и $ϕ {\ displaystyle \ phi }$ $\phi$ часто записывается как
$⟨f, ϕ⟩ = ⟨T f, ϕ⟩. {\ displaystyle \ langle f, \ phi \ rangle = \ langle T_ {f}, \ phi \ rangle.}$ $\langle f,\phi \rangle =\langle T_{f},\phi \rangle.$
Если $f {\ displaystyle f}$ $f$ и g два локально интегрируемых функции, то связанные распределения T f и T g равны одному и тому же элементу $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '( U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ тогда и только тогда, когда $f {\ displaystyle f}$ $f$ и g равны почти везде (см., Например, Hörmander (1983, теорема 1.2.5)). Аналогичным образом каждая мера Радона $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\mu$ на U определяет элемент $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ , значение которого в тестовой функции $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ равно $∫ ϕ d μ. {\ displaystyle \ textstyl e \ int \ phi \, d \ mu.}$ $\textstyle \int \phi \,d\mu.$ Как указано выше, запрещено использовать обозначения и записывать пары между мерой Радона $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\mu$ и тестовая функция $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ как $⟨μ, ϕ⟩. {\ displaystyle \ langle \ mu, \ phi \ rangle.}$ $\langle \mu,\phi \rangle.$ И наоборот, как показано в теореме Шварца (аналогичной теореме о представлении Рисса ), каждое распределение, которое не является отрицательным на рицательных функциях имеет такой вид для некоторой (положительной) меры Радона.
Тестовые функции как распределения
Тестовые функции сами по себе являются локально интегрируемыми и поэтому определяют функции распределения. Пространство тестовых функций $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ последовательно плотно в $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ относительно сильной топологии на $D ′ (U). {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U).}$ ${\mathcal {D}}'(U).$ Это означает, что для любого $T ∈ D ′ (U) {\ displaystyle T \ in {\ mathcal {D} } '(U),}$ $T\in {\mathcal {D}}'(U),$ существует последовательность тестовых функций, $(ϕ i) i = 1 ∞, {\ displaystyle (\ phi _ {i}) _ {i = 1} ^ {\ infty},}$ $(\phi _{i})_{i=1}^{\infty },$ , который сходится к $T ∈ D ′ (U) {\ displaystyle T \ in {\ mathcal {D}} '(U)}$ $T\in {\mathcal {D}}'(U)$ (в сильной двойной топологии), если рассматривать ее как последовательность распределений. Или, что то же самое,
$ϕ i, ψ⟩ → ⟨T, ψ⟩ для всех ψ ∈ D (U). {\ displaystyle \ langle \ phi _ {i}, \ psi \ rangle \ to \ langle T, \ psi \ rangle \ qquad {\ text {для всех}} \ psi \ in {\ mathcal {D}} (U).}$ $\langle \phi _{i},\psi \rangle \to \langle T,\psi \rangle \qquad {\text{ for all }}\psi \in {\mathcal {D}}(U).$
Кроме того, $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ также последовательно в плотно в сильном двойном пространстве $C ∞ (U). {\ displaystyle C ^ {\ infty} (U).}$ $C^{\infty }(U).$
Распределение с компактной опорой
Естественное включение $В: C c ∞ (U) → C ∞ (U) {\ displaystyle \ имя оператора {In}: C_ {c} ^ {\ infty} (U) \ to C ^ {\ infty} (U)}$ $\operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C^{\infty }(U)$ - это непрерывная инъекция, изображение которой плотно в его кодомене, поэтому транспонировать $t In: (C ∞ (U)) b ′ → D ′ (U) = (C c ∞ (U)) b ′ {\ displaystyle {} ^ {t} \ operatorname {In }: (C ^ {\ infty} (U)) '_ {b} \ to {\ mathcal {D}}' (U) = (C_ {c} ^ {\ infty} (U)) '_ {b }}$ ${}^{t}\operatorname {In} :(C^{\infty }(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}$ также является непрерывным впрыском. Таким образом, изображение транспонирования, обозначенное $E '(U), {\ displaystyle {\ mathcal {E}}' (U),}$ ${\mathcal {E}}'(U),$ , образует пространство распределений, когда оно наделено сильная двойная топология $(C ∞ (U)) b ′ {\ displaystyle (C ^ {\ infty} (U)) '_ {b}}$ $(C^{\infty }(U))'_{b}$ (перенесена в него через транспонирование карты $t В: (C ∞ (U)) b ′ → E ′ (U), {\ displaystyle {} ^ {t} \ operatorname {In}: (C ^ {\ infty} (U)) '_ {b} \ to { \ mathcal {E}} '(U),}$ ${}^{t}\operatorname {In} :(C^{\infty }(U))'_{b}\to {\mathcal {E}}'(U),$ , поэтому топология $E' (U) {\ displaystyle {\ mathcal {E}} '(U)}$ ${\mathcal {E}}'(U)$ тоньше топологии подпространства, который этот набор наследует от $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ ).

Элементы $E ′ (U) = (C ∞ (U)) b ′ {\ displaystyle {\ mathcal {E}} '(U) = (C ^ {\ infty} (U))' _ {b}}$ ${\mathcal {E}}'(U)=(C^{\infty }(U))'_{b}$ можно идентифицировать как пространство распределений с компактным носителем. Явно, если T является распределением на U, то следующие эквивалентны:
$T ∈ E ′ (U) {\ displaystyle T \ in {\ mathcal {E}} '(U)}$ $T\in {\mathcal {E}}'(U)$ ;
поддержка T компактно;
ограничение $T {\ displaystyle T}$ $T$ на $C c ∞ (U), {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U),}$ ${\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U),}$ когда это пространство оснащено топологией подпространства, унаследованной от $C ∞ (U) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (U)}$ $C^{\infty }(U)$ (более грубая топология чем каноническая топология LF), непрерывна ;
существует компактное подмножество K в U такое, что для каждой тестовой функции $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ , поддержка которой полностью вне K, у нас есть $T (ϕ) = 0. {\ displaystyle T (\ phi) = 0.}$ $T(\phi)=0.$
Распределения с компактными носителями определяют непрерывные линейные функции в пространстве $C ∞ (U) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (U)}$ $C^{\infty }(U)$ ; напомним, что топология на $C ∞ (U) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (U)}$ $C^{\infty }(U)$ определена так, что последовательность тестовых функций $ϕ k {\ displaystyle \ phi _ {k}}$ $\phi _{k}$ тогда сходится к 0 тогда и только, когда все производные от $ϕ k {\ displaystyle \ phi _ {k}}$ $\phi _{k}$ равномерно сходятся к 0 в каждом компакте подмножество U. И наоборот, можно показать, что каждый непрерывный функционал на этом пространстве определяет распределение компактного носителя. Таким образом, распределение с компактным носителем можно отождествить с такими распределителями, которые можно расширить с $C c ∞ (U) {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$ $C_{c}^{\infty }(U)$ до $C ∞ (U). {\ displaystyle C ^ {\ infty} (U).}$ $C^{\infty }(U).$
Распределение конечного порядка
Пусть $k ∈ N. {\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}.}$ $k\in \mathbb {N}.$ Естественное включение $In: C c ∞ (U) → C ck (U) {\ displaystyle \ operatorname {In}: C_ {c} ^ {\ infty} (U) \ to C_ {c} ^ {k} (U)}$ $\operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{k}(U)$ - это непрерывная инъекция, изображение которой плотно в его кодомене, поэтому транспонирует $t In: (C ck (U)) b ′ → D ′ (U) знак равно (C c ∞ (U)) b ′ {\ displaystyle {} ^ {t} \ operatorname {In}: (C_ {c} ^ {k} (U)) '_ {b} \ to {\ mathcal {D}} '(U) = (C_ {c} ^ {\ infty} (U))' _ {b}}$ ${}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{k}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}$ также является непрерывным впрыском. Следовательно, изображение $t In, {\ displaystyle {} ^ {t} \ operatorname {In},}$ ${}^{t}\operatorname {In},$ обозначается $D ′ k (U), {\ displaystyle {\ mathcal {D }} '^ {k} (U),}$ ${\mathcal {D}}'^{k}(U),$ образует пространство распределений, когда оно наделено сильной двойной топологией $(C ck (U)) b ′ {\ displaystyle (C_ {c} ^ { k} (U)) '_ {b}}$ $(C_{c}^{k}(U))'_{b}$ (передано ему через карту транспонирования $t In: (C ∞ (U)) b ′ → D ′ К (U), {\ displaystyle {} ^ {t} \ operatorname {In}: (C ^ {\ infty} (U)) '_ {b} \ to {\ mathcal {D}}' ^ {k} (U),}$ ${}^{t}\operatorname {In} :(C^{\infty }(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'^{k}(U),$ так что $D ′ m (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '^ {m} (U)}$ Топология ${\mathcal {D}}'^{m}(U)$ более тонкая, чем топология подпространства, которую этот набор наследует от $D '(U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}}' (U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ ). Элементы $D ′ k (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '^ {k} (U)}$ ${\mathcal {D}}'^{k}(U)$ - это распределения порядка ≤ k . Распределения порядка ≤ 0, которые также называют распределителями порядка 0, в точности являются распределителями, которые являются мерами Радона (описанными выше).

Для $0 ≠ k ∈ N, {\ displaystyle 0 \ neq k \ in \ mathbb {N},}$ $0\neq k\in \mathbb {N},$ a распределение порядка k является распределением порядка ≤ k, которое не является распределением порядка ≤ k - 1.

Распределение называется конечным порядком, если существует некоторое целое число k такое, что это распределение порядка ≤ k, и множество распределений конечного порядка обозначается $D ′ F (U). {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '^ {F} (U).}$ ${\mathcal {D}}'^{F}(U).$ Обратите внимание, что если k ≤ l, то $D ′ k (U) ⊆ D ′ l ( U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '^ {k} (U) \ substeq {\ mathcal {D}}' ^ {l} (U)}$ ${\mathcal {D}}'^{k}(U)\subseteq {\mathcal {D}}'^{l}(U)$ , так что $D ′ F (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '^ {F} (U)}$ ${\mathcal {D}}'^{F}(U)$ - Новое подпространство в $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal { D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ и, более того, если и только если $D ′ F (U) = D ′ (U). {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '^ {F} (U) = {\ mathcal {D}}' (U).}$ ${\mathcal {D}}'^{F}(U)={\mathcal {D}}'(U).$
Структура распределений конечного порядка
Каждое распределение с компактным носителем в U - распределение конечного порядка. В следующем смысле размер V - открытое и относительно компактное подмножество U и если $ρ VU {\ displaystyle \ rho _ {VU}}$ $\rho _{VU}$ - размер ограничения от U до V, тогда изображение $D ′ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ ${\mathcal {D}}'(U)$ под $ρ VU {\ displaystyle \ rho _ {VU }}$ $\rho _{VU}$ содержится в $D ′ F (V). {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '^ {F} (V).}$ ${\mathcal {D}}'^{F}(V).$

Ниже представлена теорема о структуре распределенного конечного порядка, которая показывает, что любое распределение конечного порядка может быть записано как сумма производных мер Радона :
Теорема. Предположим, $T ∈ D ′ (U) {\ displaystyle T \ in {\ mathcal {D}} '(U)}$ $T\in {\mathcal {D}}'(U)$ имеет конечный порядок ≤ k и $I = {p ∈ N n: | p | ≤ k}. {\ displaystyle I = \ {p \ in \ mathbb {N} ^ {n}: | p | \ leq k \}.}$ $I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq k\}.$ Для любого открытого подмножества V в U, содержащего носитель T, существует семейством радоновых мер в U, $(μ p) p ∈ I, {\ displaystyle (\ mu _ {p}) _ {p \ in I},}$ $(\mu _{p})_{p\in I},$ таких, что для очень $p ∈ I, supp ⁡ (μ p) ⊆ V {\ displaystyle p \ in I, \ operatorname {supp} (\ mu _ {p}) \ substeq V}$ $p\in I,\operatorname {supp} (\mu _{p})\subseteq V$ и
$T = ∑ | p | ≤ k ∂ p μ p. {\ Displaystyle Т = \ сумма _ {| p | \ leq k} \ partial ^ {p} \ mu _ {p}.}$ $T=\sum _{|p|\leq k}\partial ^{p}\mu _{p}.$
Пример. (Распределения бесконечного порядка) Пусть U: = (0, ∞) и для каждой тестовой функции $f, {\ displaystyle f,}$ $f,$ пусть
$S f: = ∑ m = 1 ∞ (∂ mf) (1 м). {\ displaystyle Sf: = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} (\ partial ^ {m} f) \ left ({\ frac {1} {m}} \ right).}$ $Sf:=\sum _{m=1}^{\infty }(\partial ^{m}f)\left({\frac {1}{m}}\right).$
Тогда S является распределением бесконечного порядка на U. Более того, S не может быть продолжен до распределения на U. То есть не существует такого распределения T на ℝ, что ограничение T на U равно T.
Умеренные распределения и преобразование Фурье
Ниже умеренные распределения, которые образуют подпространство $D ′ (R n), {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(\ mathbb {R} ^ {n}),}$ ${\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),$ пространство распределений по $R n. {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$ $\mathbb{R} ^{n}.$ Это правильное подпространство: в то время как каждое умеренное распределение является распределением по элементу $D '(R n), {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(\ mathbb {R} ^ {n}),}$ ${\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),$ обратное неверно. Умеренные распределения полезны при изучении преобразования имеют Фурье, поскольку все умеренные распределения преобразование Фурье, что неверно для произвольных распределений в $D '(R n). {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(\ mathbb {R} ^ {n}).}$ ${\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}).$
пространство Шварца
пространство Шварца, $S (R n), {\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n}),}$ ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}),$ - это пространство всех гладких функций, которые быстро убывают на бесконечности вдоль со всеми частными производными. Таким образом, $ϕ: R n → R {\ displaystyle \ phi: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ $\phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ находится в пространстве Шварца при условии, что любая производная от $ϕ, {\ displaystyle \ phi,}$ $\phi,$ , умноженное на любую степень | x |, сходится к 0 как | х | → ∞. Эти функции образуют полную TVS с надлежащим определенным семейством полунорм. Точнее, для любых мультииндексов $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\alpha$ и $β {\ displaystyle \ beta}$ $\beta$ определите:
$p α, β (ϕ) = sup x ∈ R n | x α ∂ β ϕ (x) |. {\ displaystyle p _ {\ alpha, \ beta} (\ phi) ~ = ~ \ sup _ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}} \ left | x ^ {\ alpha} \ partial ^ {\ beta} \ phi (x) \ right |.}$ $p_{\alpha,\beta }(\phi)~=~\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|.$
Тогда $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ находится в пространстве Шварца, если все значения удовлетворяют:
$p α, β (ϕ) < ∞. {\displaystyle p_{\alpha,\beta }(\phi)<\infty.}$ $p_{\alpha,\beta }(\phi)<\infty.$
Семейство полунорм p α, β определяет локально выпуклую топологию на пространстве Шварца. При n = 1 полунормы фактически являются нормой в пространстве Шварца. Также для определения топологии можно использовать следующее семейство полунорм:
$| f | m, k = sup | p | ≤ м (sup x ∈ R N {(1 + | x |) k | (∂ α f) (x) |}), k, m ∈ N. {\ Displaystyle | е | _ {м, к} = \ sup _ {| p | \ leq m} \ left (\ sup _ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}} \ left \ {(1 + | x |) ^ {k} \ left | (\ partial ^ {\ alpha} f) (x) \ right | \ right \} \ right), \ qquad k, m \ in \ mathbb {N}.}$ $|f|_{m,k}=\sup _{|p|\leq m}\left(\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left\{(1+|x|)^{k}\left|(\partial ^{\alpha }f)(x)\right|\right\}\right),\qquad k,m\in \mathbb {N}.$
В противном случае можно определить норму для $S (R n) {\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ через
$‖ Φ ‖ k = max | α | + | β | ≤ k sup x ∈ R n | x α ∂ β ϕ (x) | К ≥ 1. {\ Displaystyle \ | \ фи \ | _ {к} ~ = ~ \ макс _ {| \ альфа | + | \ бета | \ leq k} \ sup _ {х \ in \ mathbb {R} ^ {n}} \ left | x ^ {\ alpha} \ partial ^ {\ beta} \ phi (x) \ right |, \ qquad k \ geq 1.}$ $\|\phi \|_{k}~=~\max _{|\alpha |+|\beta |\leq k}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|,\qquad k\geq 1.$
Пространство Шварца - это Fréchet пространство (т.е. полное метризуемое локально выпуклое пространство). Преобразование времени Фурье меняет $∂ α {\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha}}$ $\partial ^{\alpha }$ на умножение на $x α {\ displaystyle x ^ {\ alpha}}$ $x^{\alpha }$ и наоборот, эта симметрия означает, что преобразование Фурье функции Шварца также является функцией Шварца.

Последовательность ${fi} {\ displaystyle \ {f_ {i} \}}$ $\ {f_ {i} \}$ в $S (R n) {\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ сходится к 0 в $S (R n) {\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ тогда и только тогда, когда функции $(1 + | x |) k (∂ pfi) (x) {\ displaystyle (1+ | x |) ^ {k} (\ partial ^ {p} f_ {i}) (x)}$ $(1+|x|)^{k}(\partial ^{p}f_{i})(x)$ сходятся к 0 равномерно на всем $R n, {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$ $\mathbb {R} ^{n},$ , что означает, что такая последовательность должна сходиться к нулю в $C ∞ (R n). {\ displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n}).}$ $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).$

$D (R n) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n})))}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ плотно в $S (R n). {\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n}).}$ ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).$ Подмножество всех аналитических функций Шварца плотно в $S (R n) {\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ также.

Пространство Шварца ядерное и тензорное изображение два дисплея индуцируют канонические сюръективные TVS-изоморфизмы
$S (R m) ⊗ ^ S (R n) → S (R m + n), {\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {m}) \ {\ widehat {\ otimes}} \ {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ в {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {m + n}),}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {m}) \ {\ widehat {\ otimes}} \ {\ mathbb {S}} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ to {\ mathbb {S}} (\ mathbb {R} ^ {m + n}),}$
где $⊗ ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ otimes}}}$ $\ widehat {\ otimes}$ представляет собой завершение инъективного тензорного произведения (которое в этот случай идентичен завершению проективного тензорного произведения ).
Закаленные распределения
Естественное включение $In: D (R n) → S (R n) {\ displaystyle \ operatorname {In }: {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ to {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $\operatorname {In} :{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ является непрерывным инъекции кто Изображение е плотно в его кодомене, поэтому transpose $t In: (S (R n)) b ′ → D ′ (R n) {\ displaystyle { } ^ {t} \ operatorname {In}: ({\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n})) '_ {b} \ to {\ mathcal {D}}' (\ mathbb {R} ^ {n}) }$ ${}^{t}\operatorname {In} :({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$ также является непрерывным впрыском. Таким образом, изображение транспонированной карты, обозначенное $S '(R n), {\ displaystyle {\ mathcal {S}}' (\ mathbb {R} ^ {n}),}$ ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}),$ образует пространство распределений, когда оно наделено сильной двойственной топологией $(S (R n)) b ′ {\ displaystyle ({\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n})) '_ {b}}$ $({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}$ (перенесено в него с помощью транспонированной карты $t In: (S (R n)) b' → D '(R n), {\ displaystyle {} ^ {t} \ operatorname {In}: ({\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n})) '_ {b} \ to {\ mathcal {D}}' (\ mathbb {R} ^ {n}),}$ ${}^{t}\operatorname {In} :({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),$ , поэтому топология $S ′ (R n) {\ displaystyle {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$ тоньше, чем топология подпространства, которую этот набор наследует от $D ′ (R n) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$ ).

Пространство $S ′ (R n) {\ displaystyle {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$ называется пространством из умеренных распределений является непрерывным двойным пространством Шварца. Эквивалентно, распределение T является умеренным тогда и только тогда, когда
$(для всех α, β ∈ N n: lim m → ∞ p α, β (ϕ m) = 0) ⟹ lim m → ∞ T (ϕ m) = 0. {\ displaystyle \ left ({\ text {для всех}} \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {N} ^ {n}: \ lim _ {m \ to \ infty} p _ {\ alpha, \ beta} (\ phi _ {m}) = 0 \ right) \ Longrightarrow \ lim _ {m \ to \ infty} T (\ phi _ {m}) = 0.}$ ${\ displaystyle \ left ({\ text {для всех}} \ alpha, \ бета \ in \ mathbb {N} ^ {n}: \ lim _ {m \ to \ infty} p _ {\ alpha, \ beta} (\ phi _ {m}) = 0 \ right) \ Longrightarrow \ lim _ { м \ к \ infty} T (\ phi _ {m}) = 0.}$
Производная умеренного распределения снова умеренное распределение. Закаленные распределения обобщают ограниченные (или медленно растущие) локально интегрируемые функции; все дистрибутивы с компактной поддержкой и все интегрируемые с квадратом функции являются умеренными дистрибутивами. В более общем смысле, все функции, являющиеся произведением многочленов с элементами $L p (R n) {\ displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ для p ≥ 1 - умеренные распределения.

Умеренные распределения также можно охарактеризовать как медленно растущие, что означает, что каждая производная от T растет не более чем так же быстро, как некоторый полином . Эта характеристика двойственна быстрому падению производных функции в пространстве Шварца, где каждая производная $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ убывает быстрее, чем каждая обратная степень | х |. Пример быстро падающей функции: $| х | n ехр ⁡ (- λ | x | β) {\ displaystyle | х | ^ {n} \ exp (- \ lambda | x | ^ {\ beta})}$ $|x|^{n}\exp(-\lambda |x|^{\beta })$ для любого положительного n, λ, β.
Преобразование Фурье
Для изучения преобразования Фурье лучше всего рассматривать комплексные пробные функции и комплексно-линейные распределения. Обычное непрерывное преобразование Фурье $F: S (R n) → S (R n) {\ displaystyle F: {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ to {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $F:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ - это TVS- автоморфизм пространства Шварца, а преобразование Фурье определяется как его транспонирование $t F: S ′ (R n) → S ′ (R n), {\ displaystyle {} ^ {t} F: {\ mathcal { S}} '(\ mathbb {R} ^ {n}) \ to {\ mathcal {S}}' (\ mathbb {R} ^ {n}),}$ ${}^{t}F:{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}),$ который (при неправильном обозначении) будет снова обозначим F. Таким образом, преобразование Фурье умеренного распределения T определяется как (FT) (ψ) = T (Fψ) для каждой функции Шварца ψ. Таким образом, FT снова является умеренным распределением. Преобразование Фурье представляет собой изоморфизм TVS из пространства умеренных распределений на себя. Эта операция совместима с дифференцированием в том смысле, что
$F d T dx = ix FT {\ displaystyle F {\ dfrac {dT} {dx}} = ixFT}$ ${\ displaystyle F {\ dfrac {dT} {dx}} = ixFT}$
, а также со сверткой: если T - умеренный распределение, а ψ - медленно растущая гладкая функция на $R n, {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$ $\mathbb {R} ^{n},$ ψT снова является умеренным распределением, а
$F (ψ T) = F ψ ∗ FT {\ displaystyle F (\ psi T) = F \ psi * FT}$ $F(\psi T)=F\psi *FT$
- свертка FT и Fψ. В частности, преобразование Фурье постоянной функции, равной 1, является распределением δ.
Выражение умеренных распределений в виде сумм производных
Если $T ∈ S ′ (R n) {\ displaystyle T \ in {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {n}) }$ $T\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$ - умеренное распределение, тогда существует постоянная C>0 и положительные целые числа M и N такие, что для всех функций Шварца $ϕ ∈ S (R n) { \ displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$
$⟨T, ϕ⟩ ≤ C ∑ | α | ≤ N, | β | ≤ M sup x ∈ R n | x α ∂ β ϕ (x) | = C ∑ | α | ≤ N, | β | ≤ M p α, β (ϕ). {\ displaystyle \ langle T, \ phi \ rangle \ leq C \ sum \ nolimits _ {| \ альфа | \ leq N, | \ beta | \ leq M} \ sup _ {x \ in \ mathbb {R} ^ { n}} \ left | x ^ {\ alpha} \ partial ^ {\ beta} \ phi (x) \ right | = C \ sum \ nolimits _ {| \ альфа | \ leq N, | \ beta | \ leq M } p _ {\ alpha, \ beta} (\ phi).}$ $\langle T,\phi \rangle \leq C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|=C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}p_{\alpha,\beta }(\phi).$
Эта оценка вместе с некоторыми методами функционального анализа может использоваться, чтобы показать, что существует непрерывная медленно растущая функция F и мультииндекс α такие, что <1912 год>Т = ∂ α F. {\ displaystyle T = \ partial ^ {\ alpha} F.} ${\ displaystyle T = \ partial ^ {\ alpha} F.}$

Ограничение распределений компактными множествами

Если $T ∈ D ′ (R n), {\ displaystyle T \ in { \ mathcal {D}} '(\ mathbb {R} ^ {n}),}$ $T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),$ тогда для любого компакта $K ⊆ R n, {\ displaystyle K \ substeq \ mathbb {R} ^ {n},}$ $K\subseteq \mathbb {R} ^{n},$ существует непрерывная функция F, компактно поддерживаемая в $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\mathbb {R} ^{n}$ (возможно, на более крупном установлен, чем сам K) и мультииндекс α такой, что $T = ∂ α F {\ displaystyle T = \ partial ^ {\ alpha} F}$ $T=\partial ^{\alpha }F$ на $C c ∞ (K). {\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (K).}$ $C_{c}^{\infty }(K).$
Использование голоморфных функций в качестве тестовых
Успех теории привел к исследованию идеи гиперфункции, в котором в качестве тестовых функций используются пространства голоморфных функций. Была разработана уточненная теория, в частности, Микио Сато, алгебраический анализ, использующий теорию пучков и несколько комплексных переменных. Это расширяет спектр символических методов, которые могут быть превращены в строгую математику, например интегралы Фейнмана.
См. Также
алгебра Коломбо
Текущее (математика)
Распределение (теория чисел)
Распределение на линейной алгебраической группе
тройка Гельфанда
Обобщенная функция
Однородное распределение
Гиперфункция
Лапласиан индикатора
Предел распределения
Линейная форма
Мальгранж – Эренпрейс теорема
Псевдодифференциальный оператор
Теорема о представлении Рисса
Неясная топология
Слабое решение
Примечания
Ссылки
Библиография
Баррос-Нето, Хосе (1973). Введение в теорию распределений. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Деккер.
Бенедетто, Дж. Дж. (1997), Гармонический анализ и приложения, CRC Press.
Folland, G.B. (1989). Гармонический анализ в фазовом пространстве. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.
Friedlander, F.G.; Джоши, М. (1998). Введение в теорию распределений. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета..
Гординг, Л. (1997), Некоторые моменты анализа и их история, Американское математическое общество.
Гельфанд, И.М. ; Шилов, Г. (1966–1968), Обобщенные функции, 1–5, Academic Press.
Grubb, G. (2009), Distributions and Operators, Springer.
Hörmander, L. (1983), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I, Grundl. Математика. Wissenschaft., 256, Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-96750-4, ISBN 3 -540-12104-8, MR 0717035.
(1966). Топологические векторные пространства и распределения. Ряд Аддисона-Уэсли по математике. 1 . Ридинг, Массачусетс: издательство Издательство Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0201029857.
Колмогоров Андрей ; Фомин, Сергей В. (1957). Элементы теории функций и функционального анализа. Дуврские книги по математике. Нью-Йорк: Dover Books. ISBN 978-1-61427-304-2. OCLC 912495626.
; (2011). Топологические информационные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Петерсен, Бент Э. (1983). Введение в преобразование Фурье и псевдодифференциальные операторы. Бостон, Массачусетс: Pitman Publishing..
Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
Шефер, Гельмут Х. ; (1999). Топологические информационные пространства. GTM. 8(Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Шварц, Лоран (1954), "Sur l'impossibilité de la multiplications des distributions", C.R. Acad. Sci. Paris, 239 : 847–848.
Schwartz, Laurent (1951), Théorie des distributions, 1–2, Hermann.
Соболев, SL (1936), "Новый метод решения проблемы Коши для нормальных нормальных гиперболических уравнений", Матем. Сборник, 1 : 39–72.
Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах, Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
Strichartz, R. ( 1994), Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье, CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4.
Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические системы пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
Вудворд, П.М. (1953). Теория вероятностей и информации в приложениях к радарам. Оксфорд, Великобритания: Pergamon Press.
Дополнительная литература
M. Дж. Лайтхилл (1959). Введение в анализ Фурье и обобщенные функции. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-09128-4 (требует очень небольшого знания анализа; определяет распределения как пределы последовательностей функций под интегралами)
В.С. Владимиров (2002). Методы теории обобщенных функций. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 0-415-27356-0
Владимиров В.С. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press.
Владимиров В.С. (2001) [1994], Математическая энциклопедия, EMS Press.
Владимиров В.С. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press.
Владимиров, VS (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press.
Обергуггенбергер, Майкл (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press.

Распределение (математика)

Топология на C (U)

Топология на C (K)

Тривиальные расширения и независимость топологии C (K) от U

Топология на пространствах тестовых функций и распределений

Canonical LF topology

Основные свойства

Распределения

Топология в пространстве распределений

Топологические свойства

Сходящиеся последовательности

Ограничения на открытое подмножество

Склеивание и исчезающие распределения в множестве

Поддержка распределения

Распределение с компактной поддержкой

Глобальная структура распределений

Разложение распределений в виде сумм производных непрерывных функций

Предварительные сведения: транспонирование линейного оператора

Дифференциальные операторы

Дифференцирование распределений

Дифференые операторы, действующие на гладкие функции

Умножение распределений на гладкие функции

Проблема умножения Распределение

Композиция с гладкой функцией

Свертка

Свертка тестовой функции с распределением

Свертка гладкой функцией с распределением

Свертка распределения

сверткой по сравнению с умножением

Тензорное произведение распределений

Теорема Шварца о ядре

Радоновые меры

Локально интегрируемые функции как распределения

Распределение с компактной опорой

Распределение конечного порядка

Умеренные распределения и преобразование Фурье