Прямоугольная функция

Функция, график которой равен 0, затем 1, затем снова 0, в почти везде непрерывный путь Прямоугольная функция

Прямоугольная функция (также известная как прямоугольная функция, прямоугольная функция, функция Пи, стробирующая функция, единичный импульс или нормализованная функция периодичности ) определяется как

Альтернативные определения функции define $rect\; \; (\pm \; 1\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{rect\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; pm\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}$равным 0, 1 или неопределенному.

• 1 Связь с функцией товарного цикла
• 2 Преобразование Фурье прямоугольной функции
• 3 Отношение к треугольной функции
• 4 Использование в вероятности
• 5 Рациональное приближение
  • 5.1 Демонстрация достоверности
• 6 См. также
• 7 Ссылки

Прямоугольная функция является частным случаем более общей функции товарных вагонов :

$rect\; \; (t\; -\; XY)\; =\; u\; (t\; -\; (X\; -\; Y\; /\; 2))\; -\; u\; (t\; -\; (X\; +\; Y\; /\; 2))\; =\; u\; (t\; -\; X\; +\; Y\; /\; 2)\; -\; u\; (t\; -\; X\; -\; Y\; /\; 2).)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{rect\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{tX\}\; \{Y\}\}\; \backslash \; right)\; =\; u\; (t-\; (XY\; /\; 2))\; -\; u\; (t-\; (X\; +\; Y\; /\; 2))\; =\; u\; (t-X\; +\; Y\; /\; 2)\; -u\; (tXY\; /\; 2)\}$

где $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$- функция Хевисайда ; функция центрируется в $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и имеет продолжительность $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$, от $X\; -\; Y\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; XY\; /\; 2\}$to $X\; +\; Y\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; +\; Y\; /\; 2\}$.

унитарное преобразование Фурье преобразования прямоугольной функции имеют вид

$\int \; -\; \infty \; \infty \; rect\; (t)\; \cdot \; e\; -\; i\; 2\; \pi \; ftdt\; =\; sin\; \; (\pi \; f)\; \pi \; f\; =\; sinc\; (\pi \; f),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; mathrm\; \{rect\}\; (t)\; \backslash \; cdot\; e\; ^\; \{-\; i2\; \backslash \; pi\; ft\}\; \backslash ,\; dt\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; (\backslash \; pi\; f)\}\; \{\backslash \; pi\; f\}\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{sinc\}\; \{(\backslash \; pi\; f)\},\; \backslash ,\}$

с использованием обычной частоты f и

$1\; 2\; \pi \; \int \; -\; \infty \; \infty \; rect\; (t)\; \cdot \; e\; -\; i\; \omega \; tdt\; =\; 1\; 2\; \pi \; \cdot \; грех\; (\omega \; /\; 2)\; \omega \; /\; 2\; знак\; равно\; 1\; 2\; \pi \; sinc\; (\omega \; /\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; mathrm\; \{rect\}\; (t)\; \backslash \; cdot\; e\; ^\; \{-\; i\; \backslash \; omega\; t\}\; \backslash ,\; dt\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{sin\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; omega\; /\; 2\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; omega\; /\; 2\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; mathrm\; \{sinc\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; omega\; /\; 2\; \backslash \; right),\; \backslash ,\}$

График функции sinc (x) иона с его частотными спектральными компонентами.

с использованием угловой частоты ω, где $sinc\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{sinc\}\}$ - ненормализованная форма функции sinc.

Примечание что до тех пор, пока определение импульсной функции мотивируется только ее поведением во временной области, нет оснований полагать, что осциллирующая интерпретация (т. е. функция преобразования Фурье) должна быть интуитивно понятной или понятной человеку. Однако некоторые аспекты теоретического результата можно понять интуитивно, поскольку конечность во временной области соответствует бесконечной частотной характеристике. (И наоборот, конечное преобразование Фурье будет соответствовать бесконечному отклику во временной области.)

Мы можем определить треугольную функцию как свертка двух прямоугольных функций:

$tri\; =\; rect\; \ast \; rect.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{tri\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{rect\}\; *\; \backslash \; mathrm\; \{rect\}.\; \backslash ,\}$

Просмотр прямоугольной функции как функции плотности вероятности, это частный случай непрерывного равномерного распределения с $a\; =\; -\; 1/2,\; b\; =\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; -1\; /\; 2,\; b\; =\; 1/2\}$. характеристической функцией является

$\phi \; (k)\; =\; sin\; \; (k\; /\; 2)\; k\; /\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (k)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; (k\; /\; 2)\}\; \{k\; /\; 2\}\},\}$

и его функция, генерирующая момент, равна

$M\; (k)\; =\; sinh\; \; (k\; /\; 2)\; k\; /\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; (k)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sinh\; (k\; /\; 2)\}\; \{k\; /\; 2\}\},\}$

где $sinh\; \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sinh\; (t)\}$- это гиперболический синус функция.

Импульсная функция также может быть выражена как предел рациональной функции :

$\Pi \; (t)\; =\; lim\; n\; \to \; \infty ,\; n\; \in \; (Z)\; 1\; (2\; T)\; 2\; N\; +\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Pi\; (t)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty,\; n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{(\}\; Z)\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2t)\; ^\; \{\; 2n\}\; +1\}\}\}$

Демонстрация достоверности

Сначала мы рассмотрим случай, когда . Обратите внимание, что выражение $(2\; t)\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; (2t)\; ^\; \{2n\}\}$всегда положительно для целого числа $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$. Однако и, следовательно, $(2\; t)\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; (2t)\; ^\; \{2n\}\}$стремится к нулю для больших $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \}$.

Отсюда следует, что:

Во-вторых, мы рассматриваем случай, когда $|\; т\; |>1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; t\; |>\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}$. Обратите внимание, что термин $(2\; t)\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; (2t)\; ^\; \{2n\}\; \}$всегда положительно для целого числа $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$. Однако $2\; t>1\; \{\backslash \; displaystyle\; 2t>1\}$и, следовательно, $(2\; т.)\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; (2t)\; ^\; \{2n\}\}$становится очень большим для больших $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$.

Отсюда следует, что:

$lim\; n\; \to \; \infty ,\; n\; \in \; (Z)\; 1\; (2\; t)\; 2\; n\; +\; 1\; =\; 1\; +\; \infty \; +\; 1\; =\; 0,\; |\; т\; |>1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty,\; n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{(\}\; Z)\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2t)\; ^\; \{2n\}\; +1\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{+\; \backslash \; infty\; +1\}\}\; =\; 0,\; |\; t\; |>\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}$

В-третьих, мы рассматриваем случай, когда $|\; t\; |\; =\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; t\; |\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}$. Мы можем просто подставить в наше уравнение:

$lim\; n\; \to \; \infty ,\; n\; \in \; (Z)\; 1\; (\; 2\; t)\; 2\; N\; +\; 1\; знак\; равно\; lim\; n\; \to \; \infty ,\; n\; \in \; (Z)\; 1\; 1\; 2\; n\; +\; 1\; =\; 1\; 1\; +\; 1\; =\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty,\; n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{(\}\; Z)\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2t)\; ^\; \{2n\}\; +1\}\}\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty,\; n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{(\}\; Z)\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{1\; ^\; \{2n\}\; +1\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; 1\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}$

Мы видим, что он удовлетворяет определению импульса функция.

• преобразование Фурье
• прямоугольная волна
• ступенчатая функция
• фильтр в виде цилиндра