Ступенчатая функция

Эта статья посвящена кусочно-постоянной функции. Для функции единичного шага см. Пошаговую функцию Хевисайда.

В математике функция на действительных чисел называется шаг функции (или лестницы функцию), если она может быть записана в виде конечной линейной комбинации из индикаторных функций из интервалов. Неформально говоря, ступенчатая функция - это кусочно- постоянная функция, состоящая только из конечного числа частей.

Пример ступенчатой ​​функции (красный график). Эта конкретная ступенчатая функция непрерывна справа.

• 1 Определение и первые следствия
  • 1.1 Варианты определения
• 2 Примеры
  • 2.1 Не примеры
• 3 свойства
• 4 См. Также
• 5 ссылки

Функция называется ступенчатой, если ее можно записать как ${\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle f (x) = \ sum \ limits _ {i = 0} ^ {n} \ alpha _ {i} \ chi _ {A_ {i}} (x)}$, для всех действительных чисел ${\ displaystyle x}$

где, действительные числа, являются интервалами, и является функцией индикатора из: ${\ Displaystyle п \ geq 0}$${\ displaystyle \ alpha _ {я}}$${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle \ chi _ {A}}$ ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ chi _ {A} (x) = {\ begin {case} 1 amp; {\ text {if}} x \ in A \\ 0 amp; {\ text {if}} x \ notin A \\\ end { случаи}}}$

В этом определении можно предположить, что интервалы имеют следующие два свойства: ${\ displaystyle A_ {i}}$

1. Интервалы попарно не пересекаются : при${\ Displaystyle A_ {i} \ cap A_ {j} = \ emptyset}$${\ displaystyle i \ neq j}$
2. Объединение интервалов является вся реальная линия:${\ displaystyle \ bigcup _ {i = 0} ^ {n} A_ {i} = \ mathbb {R}.}$

В самом деле, если это не так, можно выбрать другой набор интервалов, для которых выполняются эти предположения. Например, ступенчатая функция

${\ Displaystyle е = 4 \ чи _ {[- 5,1)} + 3 \ чи _ {(0,6)}}$

можно записать как

${\ displaystyle f = 0 \ chi _ {(- \ infty, -5)} + 4 \ chi _ {[- 5,0]} + 7 \ chi _ {(0,1)} + 3 \ chi _ { [1,6)} + 0 \ chi _ {[6, \ infty)}.}$

Варианты определения

Иногда требуется, чтобы интервалы открывались вправо или могли быть одноэлементными. Условие, что набор интервалов должен быть конечным, часто опускается, особенно в школьной математике, хотя он все еще должен быть локально конечным, что приводит к определению кусочно-постоянных функций.

Функция Хевисайда является часто используемым ступенчатой функцией.

• Постоянная функция является тривиальным примером ступенчатой функции. Тогда есть только один интервал,${\ displaystyle A_ {0} = \ mathbb {R}.}$
• Функция знака SGN ( х), который равен -1 для отрицательных чисел и 1 для положительных чисел, и является самой простой непостоянной функцией шага.
• Функция Хевисайда H ( x), которая равна 0 для отрицательных чисел и 1 для положительных чисел, эквивалентна функции знака с точностью до сдвига и масштабирования диапазона (). Это математическая концепция, лежащая в основе некоторых тестовых сигналов, например, используемых для определения переходной характеристики динамической системы. ${\ Displaystyle Н = (\ OperatorName {sgn} +1) / 2}$

Прямоугольная функция, следующий простой шаг функции.

• Прямоугольная функция, нормированная вагон функция, используется для моделирования единичного импульса.

Не примеры

• Функция целой части не является пошаговой функцией согласно определению в этой статье, поскольку она имеет бесконечное количество интервалов. Однако некоторые авторы также определяют ступенчатые функции с бесконечным числом интервалов.

• Сумма и произведение двух ступенчатых функций снова является ступенчатой ​​функцией. Произведение ступенчатой ​​функции на число также является ступенчатой ​​функцией. Таким образом, ступенчатые функции образуют алгебру над действительными числами.
• Шаговая функция принимает только конечное число значений. Если интервалы для в приведенном выше определении ступенчатой ​​функции не пересекаются и их объединение является действительной прямой, то для всех${\ displaystyle A_ {i},}$${\ Displaystyle я = 0,1, \ точки, п}$${\ Displaystyle е (х) = \ альфа _ {я}}$${\ displaystyle x \ in A_ {i}.}$
• Определенный интеграл от ступенчатой функции является кусочно - линейной функцией.
• Интеграл Лебега ступенчатой функции является где длина интервала, и предполагается, что все интервалы имеют конечную длину. Фактически, это равенство (рассматриваемое как определение) может быть первым шагом в построении интеграла Лебега.${\ displaystyle \ textstyle f = \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ alpha _ {i} \ chi _ {A_ {i}}}$${\ displaystyle \ textstyle \ int f \, dx = \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ alpha _ {i} \ ell (A_ {i}),}$${\ displaystyle \ ell (A)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A_ {i}}$
• Дискретная случайная величина иногда определяется как случайная величина которого кумулятивная функция распределения постоянна кусочно. В данном случае это локально ступенчатая функция (глобально она может иметь бесконечное количество шагов). Обычно, однако, любая случайная величина со счетным числом возможных значений называется дискретной случайной величиной, в этом случае их кумулятивная функция распределения не обязательно является локально ступенчатой ​​функцией, поскольку бесконечное количество интервалов может накапливаться в конечной области.

• Функция Кренеля
• Кусочно определенная функция
• Сигмовидная функция
• Простая функция
• Обнаружение шагов
• Единичная ступенчатая функция