Линейная комбинация

В математике линейная комбинация - это выражение построенный из набора терминов путем умножения каждого члена на константу и сложения результатов (например, линейная комбинация x и y будет любым выражением формы ax + by, где a и b - константы). Концепция линейных комбинаций занимает центральное место в линейной алгебре и смежных областях математики. Большая часть этой статьи посвящена линейным комбинациям в контексте векторного пространства над полем , с некоторыми обобщениями, приведенными в конце статьи.

Содержание

• 1 Определение
• 2 Примеры и контрпримеры
  • 2.1 Евклидовы векторы
  • 2.2 Функции
  • 2.3 Полиномы
• 3 Линейная оболочка
• 4 Линейная независимость
• 5 Аффинная, конические и выпуклые комбинации
• 6 Теория операд
• 7 Обобщения
• 8 Приложение
• 9 Ссылки
• 10 Внешние ссылки

Определение

Предположим, что K - поле ( например, действительные числа), а V - векторное пространство над K. Как обычно, мы называем элементы V векторами, а элементы K скалярами. Если v 1,..., v n - векторы, а a 1,..., a n - скаляры, тогда линейная комбинация этих векторов с этими скалярами в качестве коэффициентов равна

$a\; 1\; v\; \to \; 1\; +\; a\; 2\; v\; \to \; 2\; +\; a\; 3\; v\; \to \; 3\; +\; \cdots \; +\; anv\; \to \; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\}\; \_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\}\; \_\; \{2\}\; +\; a\_\; \{3\}\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\}\; \_\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; \{\backslash \; vec\; \{v\}\}\; \_\; \{n\}.\; \backslash ,\}$

Есть некоторая двусмысленность в использовании термина "линейная комбинация" относительно того, относится ли он к выражению или к его ценность. В большинстве случаев значение подчеркивается, так как в утверждении «набор всех линейных комбинаций v 1,..., v n всегда образует подпространство». Однако можно также сказать, что «две разные линейные комбинации могут иметь одно и то же значение», и в этом случае ссылка делается на выражение. Тонкое различие между этими применениями заключается в сущности понятия линейной зависимости : семейство векторов F линейно независимо в точности, если любая линейная комбинация векторов в F (как значение) является уникальной, так что (как выражение). В любом случае, даже если рассматривать их как выражения, все, что имеет значение для линейной комбинации, - это коэффициент для каждого v i ; тривиальные модификации, такие как перестановка членов или добавление членов с нулевым коэффициентом, не создают четких линейных комбинаций.

В данной ситуации K и V могут быть указаны явно, или они могут быть очевидны из контекста. В этом случае мы часто говорим о линейной комбинации векторов v 1,..., v n с неопределенными коэффициентами (за исключением того, что они должны принадлежать K). Или, если S является подмножеством V, мы можем говорить о линейной комбинации векторов в S, где и коэффициенты, и векторы не определены, за исключением того, что векторы должны принадлежать множеству S (и коэффициенты должны принадлежать K). Наконец, мы можем просто говорить о линейной комбинации, где ничего не указано (за исключением того, что векторы должны принадлежать V, а коэффициенты должны принадлежать K); в этом случае, вероятно, имеется в виду выражение, поскольку каждый вектор в V определенно является значением некоторой линейной комбинации.

Обратите внимание, что по определению линейная комбинация включает только конечное множество векторов (за исключением случаев, описанных в Обобщения ниже). Однако набор S, из которого берутся векторы (если он упоминается), все еще может быть бесконечным ; каждая отдельная линейная комбинация будет включать только конечное число векторов. Кроме того, нет причин, по которым n не может быть нулем ; в этом случае мы по соглашению объявляем, что результатом линейной комбинации является нулевой вектор в V.

Примеры и контрпримеры

Евклидовы векторы

Пусть поле K будет набором R действительных чисел, и пусть векторное пространство V будет евклидовым пространством R. Рассмотрим векторы e 1 = (1,0,0), e 2 = (0,1,0) и e 3 = (0,0, 1). Тогда любой вектор в R является линейной комбинацией e 1, e 2 и e 3.

. Чтобы убедиться, что это так, возьмите произвольный вектор (a 1,a2,a3) в R и напишите:

$(a\; 1,\; a\; 2,\; a\; 3)\; =\; (a\; 1,\; 0,\; 0)\; +\; (0,\; a\; 2,\; 0)\; +\; (0,\; 0,\; a\; 3)\; =\; a\; 1\; (1,\; 0,\; 0)\; +\; a\; 2\; (0,\; 1,\; 0)\; +\; a\; 3\; (0,\; 0,\; 1)\; =\; a\; 1\; e\; 1\; +\; a\; 2\; е\; 2\; +\; а\; 3\; е\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; (a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\},\; a\_\; \{3\})\; =\; (a\_\; \{1\},\; 0,0)\; +\; (0,\; a\_\; \{2\},\; 0)\; +\; (\; 0,0,\; a\_\; \{3\})\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; a\_\; \{1\}\; (1,0,0)\; +\; a\_\; \{2\}\; (0,1,0)\; +\; a\_\; \{3\}\; (0,0,1)\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; a\_\; \{1\}\; e\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; e\_\; \{2\}\; +\; a\_\; \{3\}\; e\_\; \{3\}.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Функции

Пусть K будет набором C всех комплексных чисел, и пусть V будет набором C C(R) всех непрерывных функций из вещественная линия Rна комплексную плоскость C. Рассмотрим векторы (функции) f и g, определенные как f (t): = e и g (t): = e. (Здесь e - основание натурального логарифма, примерно 2,71828..., а i - мнимая единица, квадратный корень из -1.) Некоторые линейные комбинации f и g:

• $cos\; cos\; t\; =\; 1\; 2\; eit\; +\; 1\; 2\; e\; -\; it\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; t\; =\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; e\; ^\; \{it\}\; +\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; e\; ^\; \{-\; it\}\; \backslash ,\}$
• $2\; sin\; \; t\; =\; (-\; i)\; eit\; +\; (i)\; е\; -\; это.\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; sin\; t\; =\; (-\; i)\; e\; ^\; \{it\}\; +\; (i)\; e\; ^\; \{-\; it\}.\; \backslash ,\}$

С другой стороны, постоянная функция 3 не является линейной комбинацией f и г. Чтобы убедиться в этом, предположим, что 3 можно записать как линейную комбинацию e и e. Это означает, что существуют комплексные скаляры a и b такие, что ae + be = 3 для всех действительных чисел t. Положив t = 0 и t = π, получим уравнения a + b = 3 и a + b = −3, и, очевидно, этого не может произойти. См. тождество Эйлера.

Полиномы

Пусть K будет R, Cили любым полем, и пусть V будет набором P всех полиномов с коэффициентами, взятыми из поля K Рассмотрим векторы (многочлены) p 1 : = 1, p 2 : = x + 1 и p 3 : = x + x + 1.

Является ли многочлен x - 1 линейной комбинацией p 1, p 2 и p 3 ? Чтобы выяснить это, рассмотрите произвольную линейную комбинацию этих векторов и попытайтесь увидеть, когда она равна желаемому вектору x - 1. Выбирая произвольные коэффициенты a 1, a 2 и a 3, мы хотим

$a\; 1\; (1)\; +\; a\; 2\; (x\; +\; 1)\; +\; a\; 3\; (x\; 2\; +\; x\; +\; 1)\; =\; x\; 2\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; (\; 1)\; +\; a\_\; \{2\}\; (x\; +\; 1)\; +\; a\_\; \{3\}\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; x\; +\; 1)\; =\; x\; ^\; \{2\}\; -1.\; \backslash ,\}$

Умножая многочлены, это означает

$(a\; 1)\; +\; (a\; 2\; x\; +\; a\; 2)\; +\; (a\; 3\; x\; 2\; +\; a\; 3\; x\; +\; a\; 3)\; =\; x\; 2\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{1\})\; +\; (a\_\; \{2\}\; x\; +\; a\_\; \{2\})\; +\; (a\_\; \{3\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; a\_\; \{3\}\; x\; +\; a\_\; \{3\})\; =\; x\; ^\; \{2\}\; -1\; \backslash ,\}$

и собирая подобные степени x, получаем

$a\; 3\; x\; 2\; +\; (a\; 2\; +\; a\; 3)\; x\; +\; (a\; 1\; +\; a\; 2\; +\; a\; 3)\; =\; 1\; x\; 2\; +\; 0\; x\; +\; (-\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{3\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; (a\_\; \{2\}\; +\; a\_\; \{3\})\; x\; +\; (a\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; +\; a\_\; \{3\})\; =\; 1x\; ^\; \{2\}\; +\; 0x\; +\; (\; -1).\; \backslash ,\}$

Два полинома равны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты равны, поэтому мы можем заключить

$a\; 3\; =\; 1,\; a\; 2\; +\; a\; 3\; =\; 0,\; a\; 1\; +\; a\; 2\; +\; a\; 3\; =\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{3\}\; =\; 1,\; \backslash \; quad\; a\_\; \{2\}\; +\; a\_\; \{3\}\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; a\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; +\; a\_\; \{\; 3\}\; =\; -\; 1.\; \backslash ,\}$

Эту систему линейных уравнений легко решить. Во-первых, первое уравнение просто говорит, что a 3 равно 1. Зная это, мы можем решить второе уравнение для a 2, которое дает -1. Наконец, последнее уравнение говорит нам, что 1 также равно -1. Следовательно, единственный возможный способ получить линейную комбинацию - это использовать эти коэффициенты. Действительно,

$x\; 2\; -\; 1\; =\; -\; 1\; -\; (x\; +\; 1)\; +\; (x\; 2\; +\; x\; +\; 1)\; =\; -\; p\; 1\; -\; p\; 2\; +\; p\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; -1\; =\; -1\; -\; (x\; +\; 1)\; +\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; x\; +\; 1)\; =\; -\; p\_\; \{1\}\; -p\_\; \{2\}\; +\; p\_\; \{3\}\; \backslash ,\}$

, поэтому x - 1 является линейной комбинацией p 1, p 2 и p 3.

С другой стороны, как насчет полинома x - 1? Если мы попытаемся сделать этот вектор линейной комбинацией p 1, p 2 и p 3, то, следуя тому же процессу, что и раньше, мы получим уравнение

$0\; x\; 3\; +\; a\; 3\; x\; 2\; +\; (a\; 2\; +\; a\; 3)\; x\; +\; (a\; 1\; +\; a\; 2\; +\; a\; 3)\; =\; 1\; x\; 3\; +\; 0\; x\; 2\; +\; 0\; x\; +\; (-\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; 0x\; ^\; \{3\}\; +\; a\_\; \{3\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; (a\_\; \{2\}\; +\; a\_\; \{3\})\; x\; +\; (a\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; +\; a\_\; \{\; 3\})\; \backslash \backslash \; [5pt]\; =\; \{\}\; 1x\; ^\; \{3\}\; +\; 0x\; ^\; \{2\}\; +\; 0x\; +\; (-\; 1).\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Однако, когда мы устанавливаем соответствующие коэффициенты равными в этом случае, уравнение для x:

$0\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; =\; 1\; \backslash ,\}$

, что всегда неверно. Следовательно, это невозможно, и x - 1 не является линейной комбинацией p 1, p 2 и p 3.

. Линейный диапазон

Возьмем произвольное поле K, произвольное векторное пространство V и пусть v 1,..., v n будут векторами (в V). Интересно рассмотреть множество всех линейных комбинаций этих векторов. Этот набор называется линейным диапазоном (или просто диапазоном) векторов, скажем, S = {v 1,..., v n }. Запишем промежуток S как span (S) или sp (S):

$Sp\; \; (v\; 1,\dots ,\; vn):\; =\; \{a\; 1\; v\; 1\; +\; \cdots \; +\; anvn:\; a\; 1,\dots ,\; an\; \in \; K\; \}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Sp\}\; (v\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; v\_\; \{n\}):\; =\; \backslash \; \{a\_\; \{1\}\; v\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; v\_\; \{n\}:\; a\_\; \{1\; \},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{n\}\; \backslash \; in\; K\; \backslash \}.\; \backslash ,\}$

Линейная независимость

Для некоторых наборов векторов v 1,..., v n, один вектор может быть записан двумя разными способами как их линейная комбинация:

$v\; =\; \sum \; aivi\; =\; \sum \; bivi,\; где\; (ai)\; \ne \; (bi).\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \backslash \; sum\; a\_\; \{i\}\; v\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; sum\; b\_\; \{i\}\; v\_\; \{i\}\; \{\backslash \; text\; \{where\}\}\; (a\_\; \{i\})\; \backslash \; neq\; (b\_\; \{i\}).\}$

Аналогично, вычитая эти ($ci:\; =\; ai\; -\; bi\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{i\}:\; =\; a\_\; \{i\}\; -b\_\; \{i\}\}$) нетривиальная комбинация равна нулю :

$0\; =\; \sum \; civi.\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; =\; \backslash \; sum\; c\_\; \{i\}\; v\_\; \{i\}.\}$

Если это возможно, то вызываются v 1,..., v n линейно зависимый ; в противном случае они линейно независимы. Точно так же можно говорить о линейной зависимости или независимости произвольного множества векторов S.

Если S линейно независима и диапазон S равен V, то S является базисом для V.

Аффинные, конические и выпуклые комбинации

Ограничивая коэффициенты, используемые в линейных комбинациях, можно определить связанные понятия аффинной комбинации, конической комбинации и выпуклой комбинации, а также связанных понятий. множеств, закрытых по этим операциям.

Тип комбинации	Ограничения на коэффициенты	Имя набора	Пространство модели
Линейное сочетание	без ограничений	Векторное подпространство	$R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$
Аффинная комбинация	$\sum \; ai\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; a\_\; \{i\}\; =\; 1\}$	Аффинное подпространство	Аффинная гиперплоскость
Коническая комбинация	$ai\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\; \backslash \; geq\; 0\}$	Выпуклый конус	Квадрант, октант или orthant
Выпуклая комбинация	$ai\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\; \backslash \; geq\; 0\}$и $\sum \; ai\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; a\_\; \{i\}\; =\; 1\; \}$	Выпуклое множество	Симплекс

Поскольку это более ограниченные операции, под ними будет замкнуто больше подмножеств, поэтому аффинные подмножества, выпуклые конусы и выпуклые множества являются обобщениями векторных подпространств: векторное подпространство также является аффинное подпространство, выпуклый конус и выпуклое множество, но выпуклое множество не обязательно должно быть векторным подпространством, аффинным или выпуклым конусом.

Эти концепции часто возникают, когда можно брать определенные линейные комбинации объектов, но не любые: например, распределения вероятностей замкнуты относительно выпуклой комбинации (они образуют выпуклое множество), но не конические или аффинные комбинации (или линейные) и положительные меры замкнуты относительно конической комбинации, но не аффинны или линейны - следовательно, знаковые меры определяются как линейное замыкание.

Линейные и аффинные комбинации могут быть определены над любым полем (или кольцом), но коническая и выпуклая комбинации требуют понятия «положительный», и, следовательно, могут быть определены только над упорядоченным полем (или заказанное кольцо ), как правило, реальные числа.

Если разрешено только скалярное умножение, но не сложение, получается (не обязательно выпуклый) конус ; часто ограничивают определение, разрешая только умножение на положительные скаляры.

Все эти концепции обычно определяются как подмножества внешнего векторного пространства (за исключением аффинных пространств, которые также рассматриваются как «векторные пространства, забывающие начало координат»), а не аксиоматизируются независимо.

Теория операд

Более абстрактно, на языке теории операд, можно рассматривать векторные пространства как алгебры над операдой $R\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\}$(бесконечная прямая сумма, поэтому только конечное число членов ненулевое; это соответствует только конечному sums), который параметризует линейные комбинации: например, вектор $(2,\; 3,\; -\; 5,\; 0,\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; (2,3,\; -5,0,\; \backslash \; dots)\}$соответствует линейной комбинации $2\; v\; 1\; +\; 3\; v\; 2\; -\; 5\; v\; 3\; +\; 0\; v\; 4\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; 2v\_\; \{1\}\; +\; 3v\_\; \{2\}\; -5v\_\; \{3\}\; +\; 0v\_\; \{4\}\; +\; \backslash \; cdots\; \}$. Точно так же можно рассматривать аффинные комбинации, конические комбинации и выпуклые комбинации, чтобы соответствовать подоперадам, где сумма членов равна 1, все члены неотрицательны или и то, и другое, соответственно. Графически это бесконечная аффинная гиперплоскость, бесконечный гипероктант и бесконечный симплекс. Это формализует то, что имеется в виду под $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$, являющимся или стандартным симплексом, являющимся модельными пространствами, и такие наблюдения, как то, что каждое ограниченное выпуклое многогранник - это изображение симплекса. Здесь подоперации соответствуют более ограниченным операциям и, следовательно, более общим теориям.

С этой точки зрения мы можем рассматривать линейные комбинации как наиболее общий вид операции над векторным пространством - утверждение, что векторное пространство является алгеброй над операдой линейных комбинаций, является в точности утверждением, что все возможные алгебраические операции в векторном пространстве являются линейными комбинациями.

Базовые операции сложения и скалярного умножения, вместе с существованием аддитивной идентичности и аддитивных обратных, не могут быть объединены каким-либо более сложным способом, чем обычная линейная комбинация: основные операции - это генерирование установить для операции всех линейных комбинаций.

В конечном счете, этот факт лежит в основе полезности линейных комбинаций при изучении векторных пространств.

Обобщения

Если V является топологическим векторным пространством, тогда может быть способ понять некоторые бесконечные линейные комбинации, используя топологию V. Например, мы могли бы говорить о 1v1+ a 2v2+ a 3v3+..., продолжающемся вечно. Такие бесконечные линейные комбинации не всегда имеют смысл; мы называем их конвергентными, когда они это делают. Разрешение более линейных комбинаций в этом случае также может привести к другой концепции диапазона, линейной независимости и базиса. В статьях о различных разновидностях топологических векторных пространств более подробно рассказывается об этом.

Если K представляет собой коммутативное кольцо вместо поля, то все, что было сказано выше о линейных комбинациях, обобщается на этот случай без изменений. Единственная разница в том, что мы называем такие пространства V модулями вместо векторных пространств. Если K - некоммутативное кольцо, то эта концепция по-прежнему обобщается, с одним предостережением: поскольку модули над некоммутативными кольцами бывают левой и правой версий, наши линейные комбинации также могут входить в любую из этих версий, независимо от того, что подходит для данного модуля. Это просто вопрос выполнения скалярного умножения с правильной стороны.

Более сложный поворот происходит, когда V является бимодулем над двумя кольцами, K L и K R. В этом случае наиболее общая линейная комбинация выглядит как

$a\; 1\; v\; 1\; b\; 1\; +\; \cdots \; +\; anvnbn\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; v\_\; \{1\}\; b\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; v\_\; \{n\; \}\; b\_\; \{n\}\; \backslash ,\}$

где a 1,..., a n принадлежат K L, b 1,..., b n принадлежат K R, а v 1,..., v n принадлежат V.

Приложение

Важным применением линейных комбинаций является волновые функции в квантовой механике.

Ссылки

Внешние ссылки

• Линейные комбинации и интервал: понимание линейных комбинаций и интервалов векторов, khanacademy.org.