Упорядоченное кольцо

вещественные числа - это упорядоченное кольцо, которое также является упорядоченным полем. целые числа, подмножество действительных чисел, представляют собой упорядоченное кольцо, которое не является упорядоченным полем.

В абстрактной алгебре упорядоченное кольцо является a (обычно коммутативный ) кольцо R с общим порядком ≤ таким, что для всех a, b и c в R:

• , если a ≤ b тогда a + c ≤ b + c.
• если 0 ≤ a и 0 ≤ b, то 0 ≤ ab.

• 1 Примеры
• 2 Положительные элементы
• 3 Абсолютное значение
• 4 Дискретно упорядоченные кольца
• 5 Основные свойства
• 6 См. Также
• 7 Примечания

Упорядоченные кольца знакомы из арифметики. Примеры включают целые числа, рациональные и действительные числа. (Рациональные числа и действительные числа на самом деле образуют упорядоченные поля.) Напротив, комплексные числа не образуют упорядоченное кольцо или поле, потому что между элементами нет присущего отношения порядка. 1 и я.

По аналогии с действительными числами, мы называем элемент c упорядоченного кольца R положительным, если 0 < c, and отрицательным, если c < 0. 0 is considered to be neither positive nor negative.

Набор положительных элементов упорядоченного кольца R часто обозначается R +. Альтернативная нотация, предпочтительная в некоторых дисциплинах, заключается в использовании R + для набора неотрицательных элементов и R ++ для набора положительных элементов.

Если $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$является элементом упорядоченного кольца R, то абсолютное значение из $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, обозначено $|\; а\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; a\; |\}$определяется так:

$|\; а\; |\; :\; =\; \{a,\; если\; 0\; \le \; a,\; -\; a,\; в\; противном\; случае,\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; a\; |:\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; a,\; \{\backslash \; t\_dv\; \{if\}\}\; 0\; \backslash \; leq\; a,\; \backslash \backslash \; -\; a,\; \{\backslash \; t\_dv\; \{иначе\}\},\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

где $-\; \{\backslash \; displaystyle\; -a\}$- аддитивный обратный к $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$и 0 - аддитивный элемент идентичности.

A дискретное упорядоченное кольцо или дискретно упорядоченное кольцо - упорядоченное кольцо, в котором нет элементов между 0 и 1. Целые числа представляют собой дискретное упорядоченное кольцо, а рациональные числа - нет.

Для всех a, b и c в R:

• Если a ≤ b и 0 ≤ c, то ac ≤ bc. Это свойство иногда используется для определения упорядоченных колец вместо второго свойства в приведенном выше определении.
• | ab | = | а | | b |.
• Упорядоченное кольцо, которое не является тривиальным, является бесконечным.
• Верно одно из следующих утверждений: a положительно, -a положительно или a = 0. Это свойство следует из того факта, что упорядоченные кольца являются абелевыми, линейно упорядоченными группами относительно сложения.
• В упорядоченном кольце нет отрицательного элемента это квадрат. Это потому, что если a ≠ 0 и a = b, то b ≠ 0 и a = (-b); поскольку либо b, либо -b положительно, a должно быть неотрицательным.

• Частично упорядоченное кольцо

В приведенный ниже список включены ссылки на теоремы, формально подтвержденные IsarMathLib проект.