Мера со знаком

редактировать

В математике мера со знаком является обобщением концепции измерьте, разрешив ему иметь отрицательные значения. В теории мер мера со знаком иногда называется начислением .

Содержание

1 Определение
2 Примеры
3 Свойства
4 Использование
5 Пространство мер со знаком
6 См. Также
7 Примечания
8 Ссылки

Определение

Существуют две немного разные концепции подписанной меры, в зависимости от того, позволяет ли она принимать бесконечные значения. Знаковые меры обычно могут принимать только конечные действительные значения, в то время как некоторые учебники позволяют им принимать бесконечные значения. Чтобы избежать путаницы, в этой статье эти два случая будут называться «конечные подписанные меры» и «расширенные подписанные меры».

Дано измеримое пространство (X, Σ) (то есть множество X с сигма-алгеброй Σ на нем), расширенная мера со знаком - это функция

μ: Σ → R ∪ {∞, - ∞} {\ displaystyle \ mu: \ Sigma \ to \ mathbb {R} \ cup \ {\ infty, - \ infty \}}

{\ displaystyle \ mu: \ Sigma \ to \ mathbb {R} \ чашка \ {\ infty, - \ infty \}}

такой, что $μ (∅) = 0 {\ displaystyle \ mu (\ emptyset) = 0}$ $\ mu (\ emptyset) = 0$ и $μ {\ displaystyle \ mu }$ $\ mu$ является σ-аддитивным, то есть удовлетворяет равенству

μ (⋃ n = 1 ∞ A n) = ∑ n = 1 ∞ μ (A n). {\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ right) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mu (A_ {n}).}

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty } A_ {n} \ right) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mu (A_ {n}).}

Ряд справа должен сходиться абсолютно для любой последовательности A1, A 2,..., A n,... из непересекающихся множеств в Σ, когда значение левой части конечно. Одним из следствий этого является то, что любая расширенная мера со знаком может принимать + ∞ как значение или -∞ как значение, но оба они недоступны. Выражение ∞ - ∞ не определено, и его следует избегать.

A конечная мера со знаком (также известная как реальная мера ) определяется таким же образом, за исключением того, что она может принимать только реальные значения. То есть не может принимать + ∞ или −∞.

Конечные меры со знаком образуют реальное векторное пространство, в то время как расширенные меры со знаком - нет, потому что они не закрываются при добавлении. С другой стороны, меры - это расширенные подписанные меры, но, как правило, это не конечные подписанные меры.

Примеры

Рассмотрим неотрицательный показатель $ν {\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ в пространстве (X, Σ) и измеримая функция f: X → R такая, что

∫ X | f (x) | d ν (x) < ∞. {\displaystyle \int _{X}\!|f(x)|\,d\nu (x)<\infty.}

{\ displaystyle \ int _ {X} \! | f (x) | \, d \ nu (x) <\ infty.}

Тогда конечная мера со знаком определяется выражением

μ (A) = ∫ A f (x) d ν (x) {\ displaystyle \ mu (A) = \ int _ {A } \! f (x) \, d \ nu (x)}

{\ displaystyle \ mu (A) = \ int _ {A} \! F (x) \, d \ nu (x)}

для всех A в Σ.

Эта мера со знаком принимает только конечные значения. Чтобы позволить ему принимать + ∞ в качестве значения, нужно заменить предположение об абсолютной интегрируемости f на более мягкое условие

∫ X f - (x) d ν (x) < ∞, {\displaystyle \int _{X}\!f^{-}(x)\,d\nu (x)<\infty,}

{\ displaystyle \ int _ {X} \! е ^ {-} (х) \, d \ nu (x) <\ infty,}

где f (x) = max (−f (x), 0) - это отрицательная часть f.

Свойства

Ниже приведены два результата, из которых следует, что расширенная мера со знаком - это разность двух неотрицательных мер, а конечная мера со знаком - разность двух конечных неотрицательных мер. меры.

Теорема разложения Хана утверждает, что для данной меры со знаком μ существуют два измеримых множества P и N, такие что:

P∪N = X и P∩N = ∅;
μ (E) ≥ 0 для каждого E в Σ, такого что E ⊆ P - другими словами, P является положительным множеством ;
μ (E) ≤ 0 для каждого E в Σ, такого что E ⊆ N, то есть N является отрицательным множеством.

Более того, это разложение уникально от до, добавляя / вычитая μ- нулевые наборы из P и N.

Рассмотрим две неотрицательные меры μ и μ, определенные формулой

μ + (E) = μ (P ∩ E) {\ displaystyle \ mu ^ {+} (E) = \ mu (P \ cap E)}

\ mu ^ {+} (E) = \ mu ( P \ cap E)

μ - (E) = - μ (N ∩ E) {\ displaystyle \ mu ^ {-} (E) = - \ mu (N \ cap E)}

\ mu ^ {-} (E) = - \ mu (N \ cap E)

для всех измеримых множеств E, т.е. E в Σ.

Можно проверить, что и μ, и μ являются неотрицательными мерами, одна из которых принимает только конечные значения, и называются положительной и отрицательной частью μ соответственно. Получается, что μ = μ - μ. Мера | μ | = μ + μ называется вариацией μ, а его максимально возможное значение || μ || = | μ | (X), называется полным изменением μ.

Это следствие теоремы Хана о разложении называется разложением Жордана. Меры μ, μ и | μ | не зависят от выбора P и N в теореме о разложении Хана.

Использование

Мера задается функцией area в областях декартовой плоскости. В определенных случаях эта мера становится платной. Например, когда натуральный логарифм определяется площадью под кривой y = 1 / x для x в положительных вещественных числах, область с 0 < x< 1 is considered negative.

определенная область с помощью непрерывной функции y = f (x), ось x и прямые x = a и x = b могут быть вычислены с помощью интегрирования Римана. В этом случае оценка - это заряд, знак заряда которого соответствует знаку y.

При определении направленных гиперболических углов в терминах площади гиперболического сектора линия y = x делит квадрант I на положительную и отрицательную области для меры со знаком.

Пространство мер со знаком

Сумма двух конечных мер со знаком является конечной мерой со знаком, как и произведение конечной меры со знаком на действительное число, т. Е. Они замкнуты под линейными комбинациями. Отсюда следует, что множество конечных мер со знаком на измеримом пространстве (X, Σ) является вещественным векторным пространством ; это контрастирует с положительными мерами, которые замыкаются только под коническими комбинациями и, таким образом, образуют выпуклый конус, но не векторное пространство. Кроме того, полная вариация определяет норму, относительно которой пространство конечных мер со знаком становится банаховым пространством. Это пространство имеет еще большую структуру, поскольку может быть показано как полная по Дедекинду банахова решетка, и тем самым может быть показана теорема Радона – Никодима быть частным случаем спектральной теоремы Фрейденталя.

. Если X - компактное сепарабельное пространство, то пространство конечных мер Бэра со знаком является двойственным вещественному банахову пространству всех непрерывных вещественных -значные функции на X, по теореме о представлении Рисса – Маркова – Какутани.

См. также

Примечания

^Бхаскара Рао 1983
^Дополнительную информацию см. В статье «Строка с расширенными действительными числами ».
^Логарифм, определенный как интеграл из Калифорнийского университета, Дэвис

Ссылки

Бартл, Роберт Г. (1966), Элементы интеграции, Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья, Zbl 0146.28201
Бхаскара Рао, КПС; Бхаскара Рао, М. (1983), Теория зарядов: исследование конечно-аддитивных мер, Чистая и прикладная математика, Лондон: Academic Press, ISBN 0-12-095780-9, Zbl 0516.28001
Кон, Дональд Л. (1997) [1980], Теория меры, Бостон: Birkhäuser Verlag, ISBN 3-7643-3003-1, Zbl 0436.28001
Diestel, JE; Уль, Дж. Дж. Младший (1977), Векторные меры, Mathematical Surveys and Monographs, 15, Providence, RI: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-1515-6, Zbl 0369.46039
Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1959), Линейные операторы. Часть I: Общая теория. Часть II: Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Часть III: Спектральные операторы., Чистая и прикладная математика, 6, Нью-Йорк и Лондон: Interscience Publishers, стр. XIV + 858, ISBN 0-471-60848-3, Zbl 0084.10402
Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1963), Линейные операторы. Часть I: Общая теория. Часть II: Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Часть III: Спектральные операторы., Чистая и прикладная математика, 7, Нью-Йорк и Лондон: Interscience Publishers, стр. IX + 859–1923, ISBN 0-471-60847-5, Zbl 0128.34803
Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1971), Линейные операторы. Часть I: Общая теория. Часть II: Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Часть III: Спектральные операторы., Чистая и прикладная математика, 8, Нью-Йорк и Лондон: Interscience Publishers, стр. XIX + 1925–2592, ISBN 0-471-60846-7, Zbl 0243.47001
Заанен, Адриан К. (1996), Введение в теорию операторов в пространствах Рисса, Springer Publishing, ISBN 3-540-61989-5

Эта статья включает материалы из следующих статей PlanetMath, которые находятся под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License : Мера со знаком, теорема Хана о разложении, разложение Джордана.