Теорема Радона – Никодима

В математике теорема Радона – Никодима является результатом теория меры, которая выражает взаимосвязь между двумя мерами, определенными в одном и том же измеряемом пространстве. Мера - это функция набора , которая присваивает постоянную величину измеримым подмножествам измеримого пространства. Примеры меры включают площадь и объем, где подмножества представляют собой наборы точек; или вероятность события, которая является подмножеством возможных результатов в более широком вероятностном пространстве.

Один из способов вывести новую меру из уже заданной - присвоить плотность каждой точке пространства, затем интегрировать по измеряемому подмножеству интересующего. Это может быть выражено как

$\nu \; (A)\; =\; \int \; A\; fd\; \mu ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; (A)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{A\}\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu,\}$

где ν - новая мера определяется для любого измеримого подмножества A, а функция f - это плотность в данной точке. Интеграл относится к существующей мере μ, которая часто может быть канонической мерой Лебега на вещественной прямой ℝ или n-мерным евклидовым пространством ℝ (в соответствии с нашими стандартными представлениями о длине, площади и объеме). Например, если f представляет плотность массы, а μ является мерой Лебега в трехмерном пространстве ℝ, то ν (A) будет равняться общей массе в пространственной области A.

Теорема Радона – Никодима, по сути, утверждает что при определенных условиях любая мера ν может быть выражена таким образом относительно другой меры μ в том же пространстве. Затем функция f называется производной Радона – Никодима и обозначается как $d\; \nu \; d\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{d\; \backslash \; nu\}\; \{d\; \backslash \; mu\}\}\}$. Важное приложение находится в теории вероятностей, что приводит к функции плотности вероятности случайной величины.

Теорема названа в честь Иоганна Радона, который доказал теорему для частного случая, когда основным пространством является в 1913 году, и для Отто Никодима, который доказал общий случай в 1930 году. В 1936 году Ганс Фройденталь обобщил Радон – Никодим теорема путем доказательства спектральной теоремы Фройденталя, результат в теории пространства Рисса ; это содержит теорему Радона – Никодима как частный случай.

A Банахово пространство Y, как говорят, обладает свойством Радона – Никодима, если также выполняется обобщение теоремы Радона – Никодима, mutatis mutandis для функций со значениями в Y. Все гильбертовы пространства обладают свойством Радона – Никодима.

• 1 Формальное описание
  • 1.1 Теорема Радона – Никодима
  • 1.2 Производная Радона – Никодима
  • 1.3 Расширение на знаковые или комплексные меры
• 2 Примеры
• 3 Свойства
• 4 Приложения
  • 4.1 Теория вероятностей
  • 4.2 Финансовая математика
  • 4.3 Информационные расхождения
• 5 Предположение о σ-конечности
• 6 Доказательство
  • 6.1 Для конечных мер
  • 6.2 Для σ-конечных положительных меры
  • 6.3 Для комплексных мер со знаком
• 7 Теорема Лебега о разложении
• 8 См. также
• 9 Примечания
• 10 Ссылки

Теорема Радона – Никодима

Теорема Радона-Никодима включает в себя измеримое пространство $(X,\; \Sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; \{\backslash \; mathit\; \{\backslash \; Sigma\}\})\}$, на котором определены две σ-конечные меры, $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$и $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$. В нем говорится, что если $\nu \; \ll \; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \backslash \; ll\; \backslash \; mu\}$(т.е. $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$равно абсолютно непрерывный относительно $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$), тогда существует $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathit\; \{\backslash \; Sigma\}\}\}$-измеримая функция $f:\; X\; \to \; [0,\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; rightarrow\; [0,\; \backslash \; infty)\}$, такое, что для любого измеримого множества $A\; \subseteq \; X\; \{\; \backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; substeq\; X\}$,

$\nu \; (A)\; =\; \int \; A\; fd\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; (A)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{A\}\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\}$

производная Радона – Никодима

Функция f, удовлетворяющая вышеуказанному равенству, определяется однозначно от до a μ- null set, то есть, если g - другая функция, которая удовлетворяет тому же свойству, то f = g μ- почти везде. Функция f обычно записывается $d\; \nu \; d\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; nu\}\; \{d\; \backslash \; mu\}\}\}$и называется производной Радона – Никодима . Выбор обозначений и названия функции отражает тот факт, что функция аналогична производной в исчислении в том смысле, что она описывает скорость изменения плотности одного измерения. по отношению к другому (как детерминант Якоби используется в многомерном интегрировании).

Расширение для знаковых или сложных мер

Аналогичная теорема может быть доказана для знаковых и сложных мер : а именно, что если μ является неотрицательным σ-конечная мера, а ν - конечнозначная знаковая или комплексная мера такая, что ν ≪ μ, т. е. ν абсолютно непрерывна по отношению к μ, тогда существует μ-интегрируемая вещественно- или комплексно- значная функция g на X такая, что для любого измеримого множества A

$\nu \; (A)\; =\; \int \; A\; gd\; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; (A)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{A\}\; g\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu.\}$

В следующих примерах набор X является действительным интервалом [0,1], а $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathit\; \{\backslash \; Sigma\}\}\}$- это сигма-алгебра Бореля на X.

1. $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$- мера длины на X. $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$присваивает каждому подмножеству Y X, удвоенную длину Y. Затем $d\; \nu \; d\; \mu \; =\; 2\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; nu\}\; \{d\; \backslash \; mu\}\}\; =\; 2\}$.
2. $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$- мера длины на X. $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$присваивает каждому подмножеству Y из X количество точек из набора {0,1,..., 0,9}, содержащихся в Y. Затем $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$не является абсолютно непрерывным по отношению к $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$, поскольку он присваивает ненулевую меру точкам нулевой длины. Действительно, нет производной $d\; \nu \; d\; \mu \; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; nu\}\; \{d\; \backslash \; mu\}\}\}$: нет конечной функции, которая при интегрировании, например, от $(0,1\; -\; ϵ)\; \{\backslash \; displaystyle\; (0,1-\; \backslash \; epsilon)\}$до $(0,1\; +\; ϵ)\; \{\backslash \; displaystyle\; (0,1+\; \backslash \; epsilon)\}$, дает $1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$для всех $ϵ>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon>0\}$.
3. $\mu \; =\; \nu \; +\; \delta \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; nu\; +\; \backslash \; delta\; \_\; \{0\}\}$, где $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$- мера длины по X, а $\delta \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{\; 0\}\}$- это мера Дирака на 0 (она присваивает меру 1 любому набору, содержащему 0, и меру 0 любому другому набору). Затем $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$абсолютно непрерывен по отношению к $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$и $d\; \nu \; d\; \mu \; =\; 1\; X\; \setminus \; \{0\}\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; nu\}\; \{d\; \backslash \; mu\}\}\; =\; 1\_\; \{X\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{0\; \backslash \}\}\}$- производная равна 0 при $x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 0\}$и 1 при $x>0\; \{\backslash \; displaystyle\; x>0\}$.

• Пусть ν, μ и λ - σ-конечные меры на одном и том же пространстве с мерой. Если ν ≪ λ и μ ≪ λ (ν и μ оба абсолютно непрерывны относительно λ), то

  $d\; (\nu \; +\; \mu )\; d\; \lambda \; =\; d\; \nu \; d\; \lambda \; +\; d\; \mu \; d\; \lambda \; \lambda \; -почти\; везде.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; (\backslash \; nu\; +\; \backslash \; mu)\}\; \{d\; \backslash \; lambda\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; nu\}\; \{d\; \backslash \; lambda\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mu\}\; \{d\; \backslash \; lambda\; \}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; lambda\; \{\backslash \; text\; \{-почти\; везде\}\}.\}$

• Если ν ≪ μ ≪ λ, то

  $d\; \nu \; d\; \lambda \; =\; d\; \nu \; d\; \mu \; d\; \mu \; d\; \lambda \; \lambda \; -почти\; везде.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; nu\}\; \{d\; \backslash \; lambda\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; nu\}\; \{d\; \backslash \; mu\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mu\}\; \{d\; \backslash \; lambda\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; lambda\; \{\backslash \; text\; \{-почти\; везде\}\}.\}$

• В частности, если μ ≪ ν и ν ≪ μ, то

  $d\; \mu \; d\; \nu \; =\; (d\; \nu \; d\; \mu )\; -\; 1\; \nu \; -почти\; везде.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mu\}\; \{d\; \backslash \; nu\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; nu\}\; \{d\; \backslash \; mu\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; nu\; \{\backslash \; text\; \{-почти\; всюду\}\}.\}$

• Если μ ≪ λ и g является μ-интегрируемой функцией, то

  $\int \; X\; gd\; \mu \; =\; \int \; X\; gd\; \mu \; d\; \lambda \; d\; \lambda .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{X\}\; g\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{X\}\; g\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mu\}\; \{d\; \backslash \; lambda\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; lambda.\}$

• Если ν равно конечная знаковая или комплексная мера, тогда

  $d\; |\; \nu \; |\; d\; \mu \; =\; |\; d\; \nu \; d\; \mu \; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{d\; |\; \backslash \; nu\; |\; \backslash \; over\; d\; \backslash \; mu\}\; =\; \backslash \; left\; |\; \{d\; \backslash \; nu\; \backslash \; over\; d\; \backslash \; mu\}\; \backslash \; right\; |.\}$

Теория вероятностей

Теорема очень важна для расширения идеи теории вероятностей от масс вероятностей и плотностей вероятностей, определенных над действительными числами, до мер вероятности, определенных над произвольными наборами. Он сообщает, можно ли и как перейти от одной вероятностной меры к другой. В частности, функция плотности вероятности случайной величины является производной Радона – Никодима индуцированной меры по некоторой базовой мере (обычно мера Лебега для непрерывные случайные величины ).

Например, его можно использовать для доказательства существования условного ожидания для вероятностных мер. Последнее само по себе является ключевым понятием в теории вероятностей, поскольку условная вероятность является лишь частным ее случаем.

Финансовая математика

Среди других областей, финансовая математика широко использует теорему, в частности, с помощью теоремы Гирсанова. Такие изменения вероятностной меры являются краеугольным камнем рационального ценообразования производных и используются для преобразования фактических вероятностей в те из вероятностей, нейтральных к риску.

Информационные расхождения

Если μ и ν - меры над X, и μ ≪ ν

• Дивергенция Кульбака – Лейблера от μ к ν определяется как

  $D\; KL\; (\mu \; \parallel \; \nu )\; =\; \int \; X\; журнал\; \; (d\; \mu \; d\; \nu )\; d\; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; text\; \{KL\}\}\; (\backslash \; mu\; \backslash \; parallel\; \backslash \; nu)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{X\}\; \backslash \; log\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mu\}\; \{d\; \backslash \; nu\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ;\; d\; \backslash \; mu.\}$

• Для α>0, α ≠ 1 дивергенция Реньи порядка α от μ до ν определяется как

  $D\; \alpha \; (\mu \; \parallel \; \nu )\; =\; 1\; \alpha \; -\; 1\; журнал\; \; (\int \; X\; (d\; \mu \; d\; \nu )\; \alpha \; -\; 1\; d\; \mu ).\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (\backslash \; mu\; \backslash \; parallel\; \backslash \; nu)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; alpha\; -1\}\}\; \backslash \; log\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{X\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mu\}\; \{d\; \backslash \; nu\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; alpha\; -1\}\; \backslash ;\; d\; \backslash \; mu\; \backslash \; right).\}$

Теорема Радона – Никодима делает предположение, что мера μ, относительно которой вычисляется скорость изменения ν, σ-конечна. Вот пример, когда μ не σ-конечно и теорема Радона – Никодима не выполняется.

Рассмотрим σ-алгебру Бореля на вещественной прямой. Пусть считающая мера, μ, борелевского множества A определяется как количество элементов A, если A конечно, и ∞ в противном случае. Можно проверить, что μ действительно мера. Оно не является σ-конечным, поскольку не каждое борелевское множество является не более чем счетным объединением конечных множеств. Пусть ν - обычная мера Лебега на этой борелевской алгебре. Тогда ν абсолютно непрерывно относительно μ, поскольку для множества A μ (A) = 0, только если A является пустым множеством, и тогда ν (A) также равно нулю.

Предположим, что выполняется теорема Радона – Никодима, то есть для некоторой измеримой функции f

$\nu \; (A)\; =\; \int \; A\; fd\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; (A)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\; A\}\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\}$

для всех борелевских множеств. Принимая A за одноэлементный набор, A = {a}, и используя указанное выше равенство, мы получаем

$0\; =\; f\; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; =\; f\; (a)\}$

для всех действительных чисел a. Отсюда следует, что функция f, а значит, и мера Лебега ν, равны нулю; противоречие.

В этом разделе дается теоретико-мерное доказательство теоремы. Существует также функционально-аналитическое доказательство с использованием методов гильбертова пространства, которое впервые было дано фон Нейманом.

. Для конечных мер μ и ν идея состоит в том, чтобы рассмотреть функции f с f dμ ≤ dν. Верхняя грань всех таких функций вместе с теоремой о монотонной сходимости затем дает производную Радона – Никодима. Тот факт, что оставшаяся часть μ является сингулярной относительно ν, следует из технического факта о конечных мерах. После того, как результат установлен для конечных мер, расширение до σ-конечных, знаковых и сложных мер может быть выполнено естественным образом. Подробности приведены ниже.

Для конечных мер

Построение расширеннозначного кандидата Сначала предположим, что μ и ν являются конечнозначными неотрицательными мерами. Пусть F будет набором таких измеримых функций f: X → [0, ∞), что:

$\forall \; A\; \in \; \Sigma :\; \int \; A\; fd\; \mu \; \le \; \nu \; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; A\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathit\; \{\; \backslash \; Sigma\}\}:\; \backslash \; qquad\; \backslash \; int\; \_\; \{A\}\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; \backslash \; leq\; \backslash \; nu\; (A)\}$

F ≠ ∅, поскольку он содержит по крайней мере нулевую функцию. Теперь пусть f 1, f 2 ∈ F, и предположим, что A - произвольное измеримое множество, и определим:

$A\; 1\; =\; \{x\; \in \; A:\; f\; 1\; (x)>е\; 2\; (х)\},\; A\; 2\; =\; \{x\; \in \; A:\; f\; 2\; (x)\; \ge \; f\; 1\; (x)\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; A\_\; \{1\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{x\; \backslash \; в\; A:\; f\_\; \{1\}\; (x)>f\_\; \{2\}\; (x)\; \backslash \; right\; \backslash \},\; \backslash \backslash \; A\_\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; A:\; f\_\; \{2\}\; (x)\; \backslash \; geq\; f\_\; \{1\}\; (x)\; \backslash \; right\; \backslash \},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Тогда будет

$\int \; A\; max\; \{f\; 1,\; f\; 2\}\; d\; \mu \; =\; \int \; A\; 1\; f\; 1\; d\; \mu \; +\; \int \; A\; 2\; е\; 2\; d\; \mu \; \le \; \nu \; (A\; 1)\; +\; \nu \; (A\; 2)\; =\; \nu \; (A),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{A\}\; \backslash \; max\; \backslash \; left\; \backslash \; \{f\_\; \{1\},\; f\_\; \{2\; \}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{A\_\; \{1\}\}\; f\_\; \{1\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{A\_\; \{2\}\}\; f\_\; \{2\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; \backslash \; leq\; \backslash \; nu\; \backslash \; left\; (A\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; nu\; \backslash \; left\; (A\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; nu\; (A),\}$

и, следовательно, max {f 1, f 2 } ∈ F.

Теперь пусть {f n } - последовательность функций из F такая, что

$lim\; n\; \to \; \infty \; \int \; X\; f\; n\; d\; \mu \; =\; sup\; f\; \in \; F\; \int \; X\; f\; d\; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; int\; \_\; \{X\}\; f\_\; \{n\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; sup\; \_\; \{f\; \backslash \; in\; F\}\; \backslash \; int\; \_\; \{X\}\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu.\}$

Заменяя f n на максимум из первых n функций, можно предположить, что последовательность {f n } увеличивается. Пусть g - функция с расширенными значениями, определенная как

$g\; (x):\; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; f\; n\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (x):\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; f\_\; \{n\}\; (x).\}$

Согласно теореме о монотонной сходимости Лебега, мы имеем

$lim\; n\; \to \; \infty \; \int \; A\; fnd\; \mu \; знак\; равно\; \int \; A\; lim\; n\; \to \; \infty \; fn\; (x)\; d\; \mu \; (x)\; =\; \int \; A\; gd\; \mu \; \le \; \nu \; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; int\; \_\; \{A\; \}\; f\_\; \{n\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{A\}\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; f\_\; \{n\}\; (x)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{A\}\; g\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; \backslash \; leq\; \backslash \; nu\; (A)\}$

для каждого A ∈ Σ, а значит, g ∈ F. Кроме того, по построению g

$\int \; X\; gd\; \mu \; =\; sup\; f\; \in \; F\; \int \; X\; fd\; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{X\}\; g\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; sup\; \_\; \{f\; \backslash \; in\; F\}\; \backslash \; int\; \_\; \{X\}\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu.\}$

Доказательство равенства Теперь, поскольку g ∈ F,

$\nu \; 0\; (A):\; =\; \nu \; (A)\; -\; \int \; A\; gd\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{0\}\; (A):\; =\; \backslash \; nu\; (A)\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{A\}\; g\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\}$

определяет неотрицательную меру на Σ. Чтобы доказать равенство, мы показываем, что ν 0 = 0.

Предположим, что ν 0 ≠ 0; так что, в частности, существует множество B ∈ Σ такое, что ν 0 (B)>0. Тогда, поскольку μ конечно, μ (B) < ∞, so there is an ε>0 такой, что ν 0 (B)>ε μ (B). Следовательно,

$\nu \; (B)\; =\; \int \; B\; gd\; \mu \; +\; \nu \; 0\; (B)\; \ge \; \int \; B\; gd\; \mu \; +\; \epsilon \; \mu \; (B)\; =\; \int \; B\; (g\; +\; \epsilon \; 1\; B)\; d\; \mu ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; \backslash \; nu\; (B)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{B\}\; g\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; +\; \backslash \; nu\; \_\; \{0\}\; (B)\; \backslash \backslash \; \backslash \; geq\; \backslash \; int\; \_\; \{B\}\; g\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; +\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; mu\; (B)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; int\; \_\; \{B\}\; \backslash \; left\; (g\; +\; \backslash \; varepsilon\; 1\_\; \{B\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где 1 B - это индикаторная функция для B. Также обратите внимание, что μ (B)>0; ибо если μ (B) = 0, то (поскольку ν абсолютно непрерывно по отношению к μ) ν 0 (B) ≤ ν (B) = 0; поэтому ν 0 (B) = 0; противоречие. Тогда, поскольку

g + ε 1 B ∈ F и удовлетворяет

$\int \; X\; (g\; +\; \epsilon \; 1\; Б)\; d\; \mu >\int \; X\; gd\; \mu \; =\; sup\; f\; \in \; F\; \int \; X\; fd\; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{X\}\; \backslash \; left\; (g\; +\; \backslash \; varepsilon\; 1\_\; \{B\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu>\backslash \; int\; \_\; \{X\}\; g\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; sup\; \_\; \{f\; \backslash \; in\; F\}\; \backslash \; int\; \_\; \{X\}\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu.\}$

Это невозможно ; поэтому предположение, что ν 0 ≠ 0 должно быть ложным. Следовательно, ν 0 = 0, что и нужно.

. Ограничение конечные значения Теперь, поскольку g является μ-интегрируемым, множество {x ∈ X: g (x) = ∞} равно μ- null. Следовательно, если af определяется как

, то f обладает требуемыми свойствами.

Единственность Что касается уникальности, пусть f, g: X → [0, ∞) измеримы. функции, удовлетворяющие

$\nu \; (A)\; =\; \int \; A\; fd\; \mu \; =\; \int \; A\; gd\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; (A)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{A\}\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{A\}\; g\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\}$

для любого измеримого множества A. Тогда g - f является μ-интегрируемым и

$\int \; A\; (g\; -\; f)\; d\; \mu \; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{A\}\; (gf)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; 0.\}$

В частности, для A = {x ∈ X: f (x)>g (x)} или {x ∈ X: f (x) < g(x)}. It follows that

$\int \; X\; (g\; -\; f)\; +\; d\; \mu \; знак\; равно\; 0\; знак\; равно\; \int \; Икс\; (g\; -\; е)\; -\; d\; \mu ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{X\}\; (gf)\; ^\; \{+\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; 0\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{X\}\; (gf)\; ^\; \{-\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu,\}$

и, значит, (g - f) = 0 μ-почти всюду; то же самое верно для (g - f), и, таким образом, f = g μ-почти всюду, как и требовалось.

Для σ-конечных положительных мер

Если μ и ν σ-конечны, то X можно записать как объединение последовательности {B n}nиз непересекающихся множеств в Σ, каждое из которых имеет конечную меру как при μ, так и при ν. Для каждого n в конечном случае существует Σ-измеримая функция f n : B n → [0, ∞) такая, что

$\nu \; n\; (A)\; =\; \int \; A\; fnd\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{n\}\; (A)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{A\}\; f\_\; \{n\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\}$

для каждого Σ-измеримого подмножества A из B n. Сумма $(\sum \; nfn\; 1\; B\; n):\; =\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; f\_\; \{n\}\; 1\_\; \{B\_\; \{n\}\}\; \backslash \; right):\; =\; f\}$из этих функций является требуемой функцией, такой что $\nu \; (A)\; =\; \int \; A\; fd\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; (A)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{A\}\; fd\; \backslash \; mu\}$.

Что касается уникальности, поскольку каждое из f n является μ-почти всюду уникальным, то же самое и f.

Для комплексных мер со знаком

Если ν является σ-конечной мерой со знаком, то ее можно разложить по Хану – Жордану как ν = ν - ν, где одна из мер конечна. Применяя предыдущий результат к этим двум мерам, мы получаем две функции g, h: X → [0, ∞), удовлетворяющие теореме Радона – Никодима для ν и ν соответственно, по крайней мере одна из которых является μ-интегрируемой (т. Е. его интеграл по μ конечен). Тогда ясно, что f = g - h удовлетворяет требуемым свойствам, включая единственность, поскольку и g, и h единственны с точностью до μ-почти всюду равенства.

Если ν является комплексной мерой, ее можно разложить как ν = ν 1 + iν 2, где оба ν 1 и ν 2 - конечнозначные меры со знаком. Применяя приведенное выше рассуждение, получаем две функции g, h: X → [0, ∞), удовлетворяющие требуемым свойствам для ν 1 и ν 2 соответственно. Ясно, что искомая функция f = g + ih.

Теорема Лебега о разложении показывает, что предположения теоремы Радона-Никодима можно найти даже в ситуации, которая кажется более общей. Рассмотрим σ-конечную положительную меру $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$в пространстве меры $(X,\; \Sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; \{\backslash \; mathit\; \{\backslash \; Sigma\}\})\; \}$и σ-конечная мера со знаком $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$на $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathit\; \{\backslash \; Sigma\}\}\}$, не предполагая абсолютной непрерывности. Тогда существуют уникальные меры со знаком $\nu \; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{a\}\}$и $\nu \; s\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{s\}\}$на $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathit\; \{\backslash \; Sigma\}\}\}$так, что $\nu \; =\; \nu \; a\; +\; \nu \; s\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; =\; \backslash \; nu\; \_\; \{a\}\; +\; \backslash \; nu\; \_\; \{s\}\}$, $\nu \; a\; \ll \; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{a\}\; \backslash \; ll\; \backslash \; mu\}$и $\nu \; s\; \perp \; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{s\}\; \backslash \; perp\; \backslash \; mu\}$. Затем теорему Радона-Никодима можно применить к паре $\nu \; a,\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{a\},\; \backslash \; mu\}$.

• теорема Гирсанова
• множество Радона-Никодима

• Ланг, Серж (1969). Анализ II: Реальный анализ. Addison-Wesley. Содержит доказательство того, что векторные меры принимают значения в банаховом пространстве.
• Royden, H.L. ; Фитцпатрик, П. М. (2010). Реальный анализ (4-е изд.). Пирсон. Содержит ясное доказательство в случае, если мера ν не является σ-конечной.
• Шилов Г.Е.; Гуревич, Б. Л. (1978). Интеграл, мера и производная: единый подход. Ричард А. Сильверман, пер. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.
• Stein, Elias M.; Шакарчи, Рами (2005). Реальный анализ: теория меры, интегрирование и гильбертовы пространства. Принстонские лекции по анализу. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-11386-9.Содержит доказательство обобщения.
• Тешл, Джеральд. «Темы реального и функционального анализа». (конспект лекции).

Эта статья включает материал из теоремы Радона – Никодима о PlanetMath, которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.