В математике, A - пространство, решетки упорядоченного векторного пространства или векторная решетка является частично упорядоченным векторным пространством, где структура порядка является решеткой.
Пространства Рисса названы в честь Фриджеса Рисса, который первым определил их в своей статье 1928 года Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires.
Пространства Рисса имеют широкое применение. Они важны в теории меры, поскольку важные результаты являются частными случаями результатов для пространств Рисса. Например, теорема Радона – Никодима следует как частный случай спектральной теоремы Фрейденталя. Пространства Рисса также нашли применение в математической экономике в работах греко-американского экономиста и математика Хараламбоса Д. Алипрантиса.
Если X - упорядоченное векторное пространство (которое по определению является векторным пространством над вещественными числами ) и если S является подмножеством X, то элемент b ∈ X является верхней границей (соответственно нижней границей) S, если s ≤ b ( соответственно с ≥ б) для всех s ∈ S. Элемент a в X является точной верхней границей или супремумом (соответственно большей нижней границей или инфимумом ) S, если он является верхней границей (соответственно нижней границей) S и если для любой верхней границы (соответственно любой нижней границы)) b группы S имеем a ≤ b (соответственно a ≥ b).
Предупорядоченное векторная решетка представляет собой предварительно упорядоченное векторное пространство Е, в котором каждая пара элементов имеет верхнюю грань.
Более точно, A предупорядоченное векторная решетка является векторное пространство, снабженное предпорядке, ≤, такое, что для любого х, у, г ∈ E:
Предварительный заказ вместе с элементами 1 и 2, которые делают его «совместимым со структурой векторного пространства», делают E предварительно упорядоченным векторным пространством. Пункт 3 говорит, что предпорядок является полурешеткой соединения. Поскольку предварительный порядок совместим со структурой векторного пространства, можно показать, что любая пара также имеет нижнюю грань, что делает E также полурешеткой пересечения, следовательно, решеткой.
Предварительно упорядоченное векторное пространство E является предварительно упорядоченной векторной решеткой тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных свойств:
Линеал или векторная решетка является предупорядоченной векторной решеткой которого предзаказ представляет собой частичный порядок. Эквивалентно, это упорядоченное векторное пространство, для которого порядок является решеткой.
Обратите внимание, что многие авторы требовали, чтобы векторная решетка была частично упорядоченным векторным пространством (а не просто предварительно упорядоченным векторным пространством), в то время как другие требовали только, чтобы это было предварительно упорядоченное векторное пространство. В дальнейшем мы будем предполагать, что каждое пространство Рисса и каждая векторная решетка является упорядоченным векторным пространством, но что предварительно упорядоченная векторная решетка не обязательно частично упорядочена.
Если E - упорядоченное векторное пространство, над которым порождает положительный конус C (элементы ≥0) (т. Е. Такое, что E = C - C), и если для каждого x, y ∈ C существует либо или, то E - векторная решетка.
Порядковый интервал в частично упорядоченном векторном пространстве - это выпуклое множество вида [ a, b ] = { x : a ≤ x ≤ b }. В упорядоченном вещественном векторном пространстве каждый интервал вида [- x, x ] сбалансирован. Из аксиом 1 и 2 выше следует, что x, y в [ a, b ] и λ в (0,1) влечет λ x + (1 - λ) y в [ a, b ]. Подмножество называется порядковым ограниченным, если оно содержится в некотором порядковом интервале. Порядковая единица предварительно упорядоченного векторного пространства - это любой элемент x такой, что набор [- x, x ] является поглощающим.
Множество всех линейных функционалов на предупорядоченный векторном пространстве V, которые отображают каждый интервал порядка в ограниченное множество называется порядок связан с двумя из V и обозначается V Ь Если пространство упорядочивается той ее порядок связан сопряженным векторное подпространство его алгебраический двойственный.
Подмножество векторной решетки Е называется порядок полным, если для каждого непустого подмножества B ⊆ таких, что Б есть порядок ограничен в A, так и существует и элементы A. Будем говорить, что векторная решетка E является порядок завершения является E является полное подмножество порядка Е.
Конечномерные векторные решетки попадают в одну из двух категорий в зависимости от того, является ли решетка архимедовой упорядоченной.
Как и в случае с конечномерными топологическими векторными пространствами, конечномерные векторные решетки оказываются неинтересными.
Каждое пространство Рисса является частично упорядоченным векторным пространством, но не каждое частично упорядоченное векторное пространство является пространством Рисса.
Обратите внимание, что для любого подмножества A из X, когда существует либо супремум, либо инфимум (в этом случае они оба существуют). Если и тогда. Для всех a, b, x и y в пространстве Рисса X мы имеем a - inf ( x, y) + b = sup ( a - x + b, a - y + b).
Для каждого элемента х в линеале X, то абсолютное значение по х, обозначаемое, определяется как, где это удовлетворяет - | х | ≤ x ≤ | х | и | х | ≥ 0. Для любых x и y из X и любого действительного числа r имеем и.
Будем говорить, что два элемента х и у в вектор решетки х являются решетки не пересекаются или не пересекаются, если, в этом случае мы пишем. Два элемента x и y не пересекаются тогда и только тогда, когда. Если x и y не пересекаются, то и, где для любого элемента z, и. Мы говорим, что два множества A и B не пересекаются, если a и b не пересекаются для всех a в A и всех b в B, и в этом случае мы пишем. Если A - одноэлементный набор, мы напишем вместо. Для любого множества A мы определяем непересекающееся дополнение как множество. Непересекающиеся дополнения всегда являются полосами, но в общем случае обратное неверно. Если A - подмножество X такое, что существует, и если B - решетка подмножеств в X, не пересекающаяся с A, то B - решетка, не пересекающаяся с.
Для любого x в X, пусть и, где обратите внимание, что оба этих элемента есть и with. Тогда и не пересекаются, и является единственным представлением x как разности непересекающихся элементов. Для всех x и y в X, и. Если y ≥ 0 и x ≤ y, то x + ≤ y. Причем, если и только если и.
Каждое пространство Рисса является дистрибутивной решеткой ; то есть он имеет следующие эквивалентные свойства: для всех x, y и z в X
Каждое пространство Рисса обладает свойством разложения Рисса.
Существует ряд значимых неэквивалентных способов определения сходимости последовательностей или сетей относительно упорядоченной структуры пространства Рисса. Последовательность { x n } в пространстве Рисса E называется монотонно сходящейся, если она является монотонно убывающей (соответственно возрастающей) последовательностью и ее нижняя грань (супремум) x существует в E и обозначается x n ↓ x, (соответственно x n ↑ х).
Говорят, что последовательность { x n } в пространстве Рисса E сходится к x, если существует монотонная сходящаяся последовательность { p n } в E такая, что | х п - х | lt; п п ↓ 0.
Если u - положительный элемент пространства Рисса E, то говорят, что последовательность { x n } в E сходится u-равномерно к x, если для любого ε gt; 0 существует N такое, что | х п - х | lt; Εu для всех п gt; N.
Дополнительная структура, обеспечиваемая этими пространствами, обеспечивает различные виды подпространств Рисса. Совокупность структур каждого вида в пространстве Рисса (например, совокупность всех идеалов) образует дистрибутивную решетку.
Если Х представляет собой вектор решетки тогда вектор подструктуры есть векторное подпространство F из X, что для всех х и у в F, принадлежит F (где эта грань берется в X). Может случиться так, что подпространство F из X является векторной решеткой под ее каноническим порядком, но не вектор подрешетка X.
Векторное подпространство I пространства Рисса E называется идеалом, если оно твердое, то есть если для f ∈ I и g ∈ E имеем: | г | ≤ | f | следует, что г ∈ I. Пересечение произвольного набора идеалов снова идеал, который позволяет для определения наименьшего идеала, содержащего некоторое непустое подмножество А из Е, и называется идеалом генерируется с помощью A. Идеал, порожденный синглтоном, называется главным идеалом.
Группа Б в линеале Е определяется как идеальный с дополнительным свойством, что для любого элемента F в Е, для которого его абсолютного значения | f | является гранью произвольного подмножества положительных элементов в B, то F на самом деле в B. σ - Идеалы определяются аналогично, с заменой слов «произвольное подмножество» на «счетное подмножество». Ясно, что каждая полоса является σ -идеалом, но обратное, вообще говоря, неверно.
Пересечение произвольного семейства лент снова становится лентой. Как и в случае идеалов, для каждого непустого подмножества А из Е, существует наименьшее полосу, содержащую эту подгруппу, называемую группа, порожденный A. Полоса, генерируемая синглтоном, называется основной полосой.
Полоса B в пространстве Рисса называется проекционной лентой, если E = B ⊕ B ⟂, что означает, что каждый элемент f в E может быть записан однозначно как сумма двух элементов, f = u + v, с u в B и v в B ⟂. Тогда также существует положительный линейный идемпотент, или проектор, P B : E → E, такой, что P B ( f ) = u.
Совокупность всех проекционных лент в пространстве Рисса образует булеву алгебру. В некоторых пространствах нет нетривиальных проекционных лент (например, C ([0, 1])), поэтому эта булева алгебра может быть тривиальной.
Векторная решетка считается полной, если каждое подмножество имеет как верхнюю, так и нижнюю грань.
Векторная решетка является полной по Дедекинду, если каждый набор с верхней границей имеет верхнюю грань, а каждый набор с нижней границей имеет точную нижнюю грань.
Полную по порядку, правильно упорядоченную векторную решетку, канонический образ которой в ее двумерном порядке является порядковой полной, называется минимальной и называется минимального типа.
Если M - векторное подпространство предварительно упорядоченного векторного пространства X, то канонический порядок на M, индуцированный положительным конусом C X, является предпорядком, индуцированным заостренным выпуклым конусом C ∩ M, где этот конус является собственным, если C собственный (т. Е. если ( C ∩- C = ∅).
Подрешетки векторной решетки X есть векторное подпространство М в X такое, что для всех х и у в М, вир X ( х, у) принадлежит X (главное, обратите внимание, что эта грань берется в X, а не в М). Если Х = 0 lt;р lt;1, то 2-мерное векторное подпространство М из X определяется всеми отображений вида (, Ь ∈) является вектором решетки при индуцированном порядке, но это не подрешеткой X. И это несмотря на то, что X является упорядоченной архимедовой упорядоченной топологической векторной решеткой. Кроме того, существует вектор векторной подрешетки N этого пространства Х такое, что N ∩ C имеет пустую внутренность в X, но не положительный линейный функционал на N может быть распространен на положительный линейный функционал на X.
Пусть M - векторное подпространство упорядоченного векторного пространства X, имеющего положительный конус C, пусть - каноническая проекция, и пусть. Тогда конус в X / М, который индуцирует канонический предпорядком на фактор - пространстве X / M. Если - собственный конус в X / M, то превращает X / M в упорядоченное векторное пространство. Если М является С -насыщенной затем определяет канонический порядок X / M. Обратите внимание, что это пример упорядоченного векторного пространства, в котором нет правильного конуса.
Если X - векторная решетка, а N - твердое векторное подпространство в X, то определяет канонический порядок X / M, при котором L / M - векторная решетка, а каноническое отображение - гомоморфизм векторной решетки. Кроме того, если Х является порядок полным и М является группой в X, то Х / М изоморфна М ⟂. Кроме того, если M является твердым, то топологией порядка из X / M является фактором топологии порядка на X.
Если X - топологическая векторная решетка, а M - замкнутая твердая подрешетка в X, то X / L также является топологической векторной решеткой.
Если S - любое множество, то пространство X S всех функций из S в X канонически упорядочено собственным конусом.
Предположим, что это семейство предварительно упорядоченных векторных пространств и что положительный конус равен. Тогда - заостренный выпуклый конус в, определяющий канонический порядок на ; C - правильный конус, если все конусы правильные.
Алгебраическая прямая сумма в векторном подпространстве, которое дается каноническая упорядоченность подпространства, унаследованная от. Если X 1,..., X n являются упорядоченными векторными подпространствами упорядоченного векторного пространства X, то X является упорядоченной прямой суммой этих подпространств, если канонический алгебраический изоморфизм X на (с каноническим порядком произведения) является изоморфизмом порядка.
Конус C в векторном пространстве X называется порождающим, если C - C равно всему векторному пространству. Если X и W - два нетривиальных упорядоченных векторных пространства с соответствующими положительными конусами P и Q, то P порождает в X тогда и только тогда, когда набор является собственным конусом в L ( X ; W), который является пространством всех линейное отображение из X в W. В этом случае порядок, определяемый C, называется каноническим порядком L ( X ; W). В более общем смысле, если М любое векторное подпространство L ( X ; Ш) такое, что С ∩ М является собственным конус, упорядочение определяется C ∩ M называется каноническим упорядочение из М.
Линейное отображение U между двумя предупорядоченными векторными пространствами X и Y с соответствующими положительными конусами C и D, называется положительным, если у ( С) ⊆ D. Если X и Y - векторные решетки с полным порядком Y и если H - множество всех положительных линейных отображений из X в Y, то подпространство M : = H - H в L ( X ; Y) является порядково полной векторной решеткой относительно своей канонический порядок; Кроме того, М содержит в точности те линейные карты, карты интервалов порядка X на интервалы порядка Y.
Линейная функция F на предупорядоченное векторном пространстве называется положительным, если х ≥ 0 означает F ( х) ≥ 0. Множество всех положительных линейных форм на векторном пространстве, обозначенными, является конусом, равным полярная из - С. Порядок двойного упорядоченного векторного пространства X есть множество, обозначаются, определяются. Хотя существуют упорядоченные векторные пространства, для которых равенство множеств не выполняется.
Предположу, что X и Y являются предупорядоченными векторными решетками с положительными конусами C и D, и пусть у будет отображение из X в Y. Тогда u является предупорядоченным гомоморфизмом векторной решетки, если u линейно и если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:
Предварительно упорядоченный гомоморфизм векторной решетки, который является биективным, является изоморфизмом предварительно упорядоченной векторной решетки.
Предварительно упорядоченный гомоморфизм векторной решетки между двумя пространствами Рисса называется гомоморфизмом векторной решетки ; если он также биективен, то он называется изоморфизмом векторной решетки.
Если u - ненулевой линейный функционал на векторной решетке X с положительным конусом C, то следующие утверждения эквивалентны:
Напомним, что крайний луч конуса C - это множество { rx : r ≥ 0}, где x ∈ C, x не равно 0, и если y ∈ C таково, что x - y ∈ C, то y = sx для некоторого s такое, что 0 ≤ s ≤ 1.
Гомоморфизм векторной решетки из X в Y является топологическим гомоморфизмом, когда X и Y заданы их топологии соответствующего порядка.
Пространства Рисса могут обладать многочисленными проекционными свойствами. Говорят, что пространство Рисса обладает (главным) свойством проекции, если каждая (основная) лента является проекционной лентой.
Так называемая основная теорема включения связывает следующие дополнительные свойства со свойством (главной) проекции: Пространство Рисса...
Тогда эти свойства связаны следующим образом. SDC подразумевает DC; DC подразумевает как σ -полноту Дедекинда, так и свойство проекции; И σ-полнота Дедекинда, и свойство проекции по отдельности подразумевают главное свойство проекции; а главное свойство проекции подразумевает свойство Архимеда.
Ничего из обратного не выполняется, но σ -полнота Дедекинда и свойство проекции вместе подразумевают DC.