Измеримое пространство

редактировать

В математике, измеримое пространство или Борель пространство является основным объектом в теории меры. Он состоит из набора и σ-алгебры, которая определяет подмножества, которые будут измеряться.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Определение
2 Пример
3 Общие измеримые пространства
4 Неоднозначность с борелевскими пространствами
5 ссылки

Определение

Рассмотрим множество и σ-алгебру на. Тогда набор называется измеримым пространством. ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}$

Следует отметить, что в отличие от пространства с мерой, ни одна мера не требуется для измеримого пространства.

Пример

Посмотрите на набор:

{\ Displaystyle X = \ {1,2,3 \}.}

{\ Displaystyle X = \ {1,2,3 \}.}

Одна из возможных -алгебр: ${\ displaystyle \ sigma}$ $\сигма$

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {1} = \ {X, \ emptyset \}.}

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {1} = \ {X, \ emptyset \}.}

Тогда - измеримое пространство. Другая возможная -алгебра бы в наборе мощности на: ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}} _ {1})}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}} _ {1})}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\сигма$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {2} = {\ mathcal {P}} (X).}

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {2} = {\ mathcal {P}} (X).}

При этом второе измеримое пространство на множестве задается. ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}} _ {2})}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}} _ {2})}$

Общие измеримые пространства

Если конечно или счетно бесконечно, то алгебра наиболее часто булеан на так. Это приводит к измеримому пространству. ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\сигма$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {P}} (X)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {P}} (X)}$ ${\ Displaystyle (Х, {\ mathcal {P}} (X))}$ ${\ Displaystyle (Х, {\ mathcal {P}} (X))}$

Если - топологическое пространство, -алгебра чаще всего является борелевской -алгеброй, поэтому. Это приводит к измеримому пространству, которое является общим для всех топологических пространств, таких как действительные числа. ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\сигма$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\сигма$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {B}} (X)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {B}} (X)}$ ${\ Displaystyle (Х, {\ mathcal {B}} (X))}$ ${\ Displaystyle (Х, {\ mathcal {B}} (X))}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$

Неоднозначность с борелевскими пространствами

Термин борелевское пространство используется для обозначения различных типов измеримых пространств. Это может относиться к

любое измеримое пространство, поэтому оно является синонимом измеримого пространства, как определено выше
измеримое пространство, борелевское изоморфное измеримому подмножеству действительных чисел (опять же с борелевской -алгеброй) ${\ displaystyle \ sigma}$ $\сигма$

Рекомендации

^ ^a ^b Сазонов В.В. (2001) [1994], "Измеримое пространство", Энциклопедия математики, EMS Press
^ Klenke Ахим (2008). Теория вероятностей. Берлин: Springer. п. 18. DOI : 10.1007 / 978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
^ Kallenberg, Олаф (2017). Случайные меры, теория и приложения. Теория вероятностей и стохастическое моделирование. 77. Швейцария: Шпрингер. п. 15. DOI : 10.1007 / 978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.