σ-алгебра

Для алгебраической структуры, допускающей данную сигнатуру Σ операций, см. Универсальную алгебру.

В математическом анализе и в теории вероятностей, A σ-алгебра (также σ-поле) на множестве X: (1) представляет собой совокупность из подмножеств из X, включая X самой, (2) она закрывается под дополнением, (3) замкнуто относительно счетных объединений, (4) оно включает пустое подмножество, и (5) оно замкнуто относительно счетных пересечений. ${\ displaystyle \ Sigma}$

Пара называется измеримым пространством или борелевским пространством. ${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$

Σ-алгебра - это разновидность алгебры множеств. Алгебра множеств нужно только быть закрыта при объединении или пересечении с конечным множеством подмножеств, что является более слабым условием.

Основное использование σ-алгебр - определение мер ; в частности, набор тех подмножеств, для которых определена данная мера, обязательно является σ-алгеброй. Эта концепция важна в математическом анализе как основа для интеграции Лебега и в теории вероятностей, где она интерпретируется как совокупность событий, которым можно присвоить вероятности. Кроме того, с точки зрения вероятности, σ-алгебры играют ключевую роль в определении условного ожидания.

В статистике (под) σ-алгебры необходимы для формального математического определения достаточной статистики, особенно когда статистика является функцией или случайным процессом, а понятие условной плотности неприменимо.

Если одна возможная σ-алгебра - это где - пустое множество. Вообще говоря, конечная алгебра всегда является σ-алгеброй. ${\ displaystyle X = \ {a, b, c, d \},}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ Sigma = \ {\ varnothing, \ {a, b \}, \ {c, d \}, \ {a, b, c, d \} \},}$${\ displaystyle \ varnothing}$

Если счетное разбиение на то совокупность всех объединений множеств в разбиении (включая пустое множество) является σ-алгебра. ${\ Displaystyle \ left \ {A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, \ ldots \ right \}}$ ${\ displaystyle X}$

Более полезный пример - это набор подмножеств реальной прямой, образованный, начиная со всех открытых интервалов и добавляя все счетные объединения, счетные пересечения и относительные дополнения и продолжая этот процесс (путем трансфинитной итерации по всем счетным ординалам ) до соответствующего закрытия свойства достигаются - σ-алгебра, полученная в результате этого процесса, известна как алгебра Бореля на вещественной прямой, и ее также можно рассматривать как наименьшую (т. е. «грубую») σ-алгебру, содержащую все открытые множества, или, что эквивалентно, содержащую все закрытые множества. Это основа теории измерения и, следовательно, современной теории вероятностей, и связанная с ней конструкция, известная как иерархия Бореля, имеет отношение к описательной теории множеств.

• 1 Мотивация
  • 1.1 Измерение
  • 1.2 Пределы наборов
  • 1.3 Под σ-алгебры
• 2 Определение и свойства
  • 2.1 Определение
  • 2.2 Теорема Дынкина о π-λ
  • 2.3 Объединение σ-алгебр
  • 2.4 σ-алгебры для подпространств
  • 2.5 Связь с σ-кольцом
  • 2.6 Типографское примечание
• 3 Частные случаи и примеры
  • 3.1 Сепарабельные σ-алгебры
  • 3.2 Простые примеры, основанные на множествах
  • 3.3 Остановка времени σ-алгебры
• 4 σ-алгебры, порожденные семействами множеств
  • 4.1 σ-алгебра, порожденная произвольным семейством
  • 4.2 σ-алгебра, порожденная функцией
  • 4.3 σ-алгебры Бореля и Лебега
  • 4.4 Произведение σ-алгебры
  • 4.5 σ-алгебра, порожденная цилиндрическими множествами
  • 4.6 σ-алгебра, порожденная случайной величиной или вектором
  • 4.7 σ-алгебра, порожденная случайным процессом
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Существует по крайней мере три ключевых мотивации для σ-алгебр: определение мер, управление пределами множеств и управление частичной информацией, характеризуемой множествами.

Мера

Мера на это функция, которая назначает неотрицательное действительное число на подмножества ; это можно рассматривать как уточнение понятия «размер» или «объем» для наборов. Мы хотим, чтобы размер объединения непересекающихся множеств был суммой их индивидуальных размеров, даже для бесконечной последовательности непересекающихся множеств. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$

Хотелось бы назначить размер каждому подмножеству, но во многих естественных условиях это невозможно. Например, аксиома выбора подразумевает, что, когда рассматриваемый размер является обычным понятием длины для подмножеств реальной линии, тогда существуют множества, для которых не существует размера, например, множества Витали. По этой причине вместо этого рассматривается меньший набор привилегированных подмножеств. Эти подмножества будут называться измеримыми наборами. Они закрыты при операциях, которые можно ожидать от измеримых множеств; то есть дополнение к измеримому множеству является измеримым множеством, а счетное объединение измеримых множеств является измеримым множеством. Непустые наборы множеств с этими свойствами называются σ-алгебрами. ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle X.}$

Пределы наборов

Многие способы использования меры, такие как концепция вероятности почти надежной сходимости, связаны с ограничениями последовательностей множеств. Для этого первостепенное значение имеет закрытие при счетных объединениях и пересечениях. Пределы множества определяются на σ-алгебрах следующим образом.

• Предельная верхняя грань последовательности, каждая из которых является подмножеством, равна${\ Displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, \ ldots,}$${\ displaystyle X,}$ $${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcup _ {m = n} ^ {\ infty} A_ {m}.}$$
• Предельная нижняя грань последовательности, каждая из которых является подмножеством, равна${\ Displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, \ ldots,}$${\ displaystyle X,}$ $${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcap _ {m = n} ^ {\ infty} A_ {m}.}$$
• Если на самом деле $${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n},}$$ то существует как этот общий набор.${\ textstyle \ lim _ {п \ к \ infty} A_ {n}}$

Под σ-алгебры

В большинстве случаев, особенно когда речь идет об условном ожидании, речь идет о наборах, которые представляют только часть всей возможной информации, которую можно наблюдать. Эта частичная информация может быть охарактеризована меньшей σ-алгеброй, которая является подмножеством основной σ-алгебры; он состоит из набора подмножеств, относящихся только к частичной информации и определяемых только ею. Достаточно простого примера, чтобы проиллюстрировать эту идею.

Представьте, что вы и другой человек делаете ставку на игру, которая включает в себя многократное подбрасывание монеты и наблюдение за тем, выпадает ли она решкой () или решкой (). Поскольку каждый из вас и ваш оппонент бесконечно богат, нет предела продолжительности игры. Это означает, что пространство выборки должно состоять из всех возможных бесконечных последовательностей или: ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle T}$

$${\ displaystyle \ Omega = \ {H, T \} ^ {\ infty} = \ {(x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ dots): x_ {i} \ in \ {H, T \}, i \ geq 1 \}.}$$

Однако после подбрасывания монеты вы можете определить или пересмотреть свою стратегию ставок перед следующим подбрасыванием. Наблюдаемую информацию в этот момент можно описать в терминах 2 ⁿ возможностей для первых переворотов. Формально, поскольку вам нужно использовать подмножества этого, кодифицируется как σ-алгебра ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ Omega,}$

$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {n} = \ {A \ times \ {H, T \} ^ {\ infty}: A \ substeq \ {H, T \} ^ {n} \}. }$$

Заметьте, что тогда

$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {1} \ substeq {\ mathcal {G}} _ {2} \ substeq {\ mathcal {G}} _ {3} \ substeq \ cdots \ substeq {\ mathcal { G}} _ {\ infty},}$$ где - наименьшая σ-алгебра, содержащая все остальные. ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ infty}}$

Определение

На всем протяжении будет набор и обозначать его набор мощности. Подмножество называется σ-алгеброй, если оно обладает следующими тремя свойствами: ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$ ${\ Displaystyle \ Sigma \ substeq {\ mathcal {P}} (X)}$

1. ${\ displaystyle \ Sigma}$закрыто относительно дополнения в${\ displaystyle X}$: Если является элементом, то является его дополнением ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ Sigma}$ ${\ Displaystyle X \ setminus S.}$
   • В этом контексте считается универсальным набором. ${\ displaystyle X}$
2. ${\ displaystyle \ Sigma}$содержит как элемент${\ displaystyle X}$:${\ displaystyle X \ in \ Sigma.}$
   • Если предположить, что (1) выполняется, это условие эквивалентно содержанию пустого множества :${\ displaystyle \ Sigma}$ ${\ displaystyle \ varnothing \ in \ Sigma.}$
3. ${\ displaystyle \ Sigma}$замкнуто относительно счетных объединений : если являются элементами, то их объединение${\ Displaystyle S_ {1}, S_ {2}, S_ {3}, \ ldots}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ textstyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} S_ {i}: = S_ {1} \ cup S_ {2} \ cup S_ {3} \ cup \ cdots.}$
   • Если предположить, что (1) и (2) выполнены, то из законов Де Моргана следует, что это условие эквивалентно замкнутости относительно счетных пересечений : если являются элементами, то их пересечение равно${\ displaystyle \ Sigma}$ ${\ Displaystyle S_ {1}, S_ {2}, S_ {3}, \ ldots}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ textstyle \ bigcap _ {i = 1} ^ {\ infty} S_ {i}: = S_ {1} \ cap S_ {2} \ cap S_ {3} \ cap \ cdots.}$

Эквивалентно, σ-алгебра - это алгебра множеств, замкнутая относительно счетных объединений.

Пустое множество принадлежит потому что (2), в и так (1) следует, что его дополнение, пустое множество, также в Более того, так как удовлетворяет условию (3), а также, следует, что является наименьшим возможным σ- алгебра Максимально возможный а-алгебры на IS${\ displaystyle \ varnothing}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ Sigma.}$${\ displaystyle \ {X, \ varnothing \}}$${\ displaystyle \ {X, \ varnothing \}}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle 2 ^ {X}: = {\ mathcal {P}} (X).}$

Элементы σ-алгебры называются измеримыми множествами. Упорядоченная пара, где - множество и является σ-алгеброй над, называется измеримым пространством. Функция между двумя измеримыми пространствами называется измеримой функцией, если прообраз каждого измеримого множества измерим. Набор измеримых пространств образует категорию с измеримыми функциями как морфизмами. Меры определяются как определенные типы функций от σ-алгебры до${\ displaystyle (X, \ Sigma),}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle [0, \ infty].}$

Σ-алгебра является как π -системы и в системе Дынкина (λ-система). Верно и обратное по теореме Дынкина (см. Ниже).

Теорема Дынкина о π-λ

Эта теорема (или связанная с ней теорема о монотонных классах ) является важным инструментом для доказательства многих результатов о свойствах конкретных σ-алгебр. Он основан на природе двух более простых классов множеств, а именно следующих.

Π -система представляет собой совокупность подмножеств, замкнутая относительно конечного числа пересечений, и${\ displaystyle P}$${\ displaystyle X}$

система Дынкина (или 𝜆-система) - это совокупность подмножеств, содержащая и замкнутая относительно дополнения и счетного объединения непересекающихся подмножеств.${\ displaystyle D}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Теорема Дынкина π -𝜆 утверждает, что если является π- системой и является системой Дынкина, содержащей, то σ-алгебра, порожденная с помощью, содержится в Поскольку некоторые π -системы являются относительно простыми классами, может быть нетрудно проверить, что все множества в использовании рассматриваемого свойства, в то время как, с другой стороны, показать, что набор всех подмножеств с этим свойством является системой Дынкина, также может быть несложным. Тогда из теоремы Дынкина π -𝜆 следует, что все множества в обладают этим свойством, избегая задачи проверки его для произвольного множества в${\ displaystyle P}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ sigma (P)}$ ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle D.}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ sigma (P)}$${\ displaystyle \ sigma (P).}$

Одно из наиболее фундаментальных применений теоремы π -𝜆 - показать эквивалентность отдельно определенных мер или интегралов. Например, он используется для приравнивания вероятности случайной величины к интегралу Лебега-Стилтьеса, обычно связанному с вычислением вероятности: ${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ mathbb {P} (Икс \ в A) = \ int _ {A} \, F (dx)}$для всех в борелевской σ-алгебре на${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbb {R},}$

где - кумулятивная функция распределения для определенного на, а - вероятностная мера, определенная на σ-алгебре подмножеств некоторого пространства выборок. ${\ Displaystyle F (х)}$ ${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle \ mathbb {R},}$${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ ${\ displaystyle \ Omega.}$

Объединение σ-алгебр

Предположим, что это набор σ-алгебр на пространстве${\ textstyle \ {\ Sigma _ {\ alpha}: \ alpha \ in {\ mathcal {A}} \}}$${\ displaystyle X.}$

• Пересечение набора σ-алгебр является σ-алгеброй. Чтобы подчеркнуть ее характер как σ-алгебры, ее часто обозначают: $${\ displaystyle \ bigwedge _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha}.}$$

  Эскиз доказательства

  Обозначим через пересечение. Так как в каждом не пусто. Замыкание относительно дополнения и счетных объединений для каждого означает, что то же самое должно быть истинным для Следовательно, является σ-алгеброй. ${\ Displaystyle \ Sigma ^ {*}}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {\ alpha}, \ Sigma ^ {*}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ Sigma ^ {*}.}$${\ Displaystyle \ Sigma ^ {*}}$
• Объединение набора σ-алгебр обычно не является σ-алгеброй или даже алгеброй, но оно порождает σ-алгебру, известную как объединение, которое обычно обозначается $${\ displaystyle \ bigvee _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} = \ sigma \ left (\ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ right).}$$ Π -система, которая генерирует соединение является $${\ displaystyle {\ mathcal {P}} = \ left \ {\ bigcap _ {i = 1} ^ {n} A_ {i}: A_ {i} \ in \ Sigma _ {\ alpha _ {i}}, \ alpha _ {i} \ in {\ mathcal {A}}, \ n \ geq 1 \ right \}.}$$

  Эскиз доказательства

  По делу видно, что каждый так ${\ Displaystyle п = 1,}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {\ alpha} \ substeq {\ mathcal {P}},}$ $${\ displaystyle \ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ substeq {\ mathcal {P}}.}$$ Из этого следует $${\ displaystyle \ sigma \ left (\ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ right) \ substeq \ sigma ({\ mathcal {P}})}$$ по определению σ-алгебры, порожденной набором подмножеств. С другой стороны, $${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} \ substeq \ sigma \ left (\ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ right)}$$ что по π --теореме Дынкина влечет $${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {P}}) \ substeq \ sigma \ left (\ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ right).}$$

σ-алгебры для подпространств

Предположим, что это подмножество и пусть будет измеримым пространством. ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$

• Набор представляет собой σ-алгебру подмножеств${\ Displaystyle \ {Y \ cap S: S \ in \ Sigma \}}$${\ displaystyle Y.}$
• Предположим, это измеримое пространство. Набор представляет собой σ-алгебру подмножеств${\ displaystyle (Y, \ Lambda)}$${\ displaystyle \ {A \ substeq X: A \ cap Y \ in \ Lambda \}}$${\ displaystyle X.}$

Отношение к σ-кольцу

Σ-алгебра - это просто σ-кольцо, которое содержит универсальное множество. Σ-кольцо не обязательно должно быть σ-алгеброй, так как, например, измеримые подмножества нулевой меры Лебега на вещественной прямой являются σ-кольцом, но не σ-алгеброй. -алгебра, поскольку действительная прямая имеет бесконечную меру и, следовательно, не может быть получена их счетным объединением. Если вместо нулевой меры взять измеримые подмножества конечной меры Лебега, они будут кольцом, но не σ-кольцом, поскольку вещественная прямая может быть получена их счетным объединением, но ее мера не конечна. ${\ displaystyle \ Sigma}$ ${\ displaystyle X.}$

Типографское примечание

σ-алгебры иногда обозначают каллиграфическими заглавными буквами или шрифтом Fraktur. Таким образом может быть обозначено как или${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$${\ displaystyle (X, \, {\ mathcal {F}})}$${\ displaystyle (X, \, {\ mathfrak {F}}).}$

Сепарабельные σ-алгебры

Разъемные σ-алгебра (или разъемные σ-поле) является σ-алгебра, которая является разъемным пространством, когда рассматривается как метрическое пространство с метрикой для и данной меры (и является симметричной разницей оператора). Обратите внимание, что любая σ-алгебра, порожденная счетным набором множеств, отделима, но обратное не обязательно. Например, σ-алгебра Лебега отделима (поскольку любое измеримое по Лебегу множество эквивалентно некоторому борелевскому множеству), но не счетно порождена (поскольку ее мощность больше континуума). ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle \ rho (А, В) = \ му (А {\ mathbin {\ треугольник}} В)}$${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ треугольник}$

У сепарабельного пространства с мерой есть естественная псевдометрия, что делает его сепарабельным как псевдометрическое пространство. Расстояние между двумя наборами определяется как мера симметричной разницы между двумя наборами. Обратите внимание, что симметричная разность двух различных множеств может иметь нулевую меру; следовательно, псевдометрика, как определено выше, не обязательно должна быть истинной метрикой. Однако, если множества, симметричная разность которых имеет нулевую меру, идентифицируются в один класс эквивалентности, результирующее фактормножество может быть должным образом метризовано с помощью индуцированной метрики. Если пространство меры разделимо, можно показать, что соответствующее метрическое пространство тоже.

Простые примеры на основе наборов

Пусть будет любой набор. ${\ displaystyle X}$

• Семейство, состоящее только из пустого множества и множества, называемого минимальной или тривиальной σ-алгеброй над${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X.}$
• Булеан из называется дискретным σ-алгебра.${\ displaystyle X,}$
• Набор представляет собой простую σ-алгебру, порожденную подмножеством${\ displaystyle \ left \ {\ varnothing, X, A, X \ setminus A \ right \}}$${\ displaystyle A.}$
• Набор подмножеств, которые являются счетными или чьи дополнения счетны, является σ-алгеброй (которая отличается от набора степеней тогда и только тогда, когда является несчетным). Это σ-алгебра, порожденная одиночками из Примечание: «счетное» включает конечные или пустые.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X.}$
• Совокупность всех объединений множеств в счетной перегородке из является σ-алгеброй.${\ displaystyle X}$

Остановка времени σ-алгебры

Основная статья: Σ-алгебра τ-прошлого

Время остановки можно определить алгебру, так называемый -алгебра т-прошлое, которое в фильтрованной вероятностном пространстве описывает информацию до случайного времени в том смысле, что, если отфильтрованный вероятностное пространство интерпретируется как случайный эксперимент максимальная информация, которая может быть обнаружена об эксперименте с произвольно часто повторять это, пока время не будет. ${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}$${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}$

σ-алгебра, порожденная произвольным семейством

Позвольте быть произвольным семейством подмножеств Тогда существует единственная наименьшая σ-алгебра, которая содержит каждое множество в (даже если может или не может быть сама σ-алгебра). Фактически, это пересечение всех σ-алгебр, содержащих (см. Пересечения σ-алгебр выше). Эта σ-алгебра обозначается и называется σ-алгеброй, порожденной${\ displaystyle F}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F.}$${\ Displaystyle \ sigma (F)}$${\ displaystyle F.}$

Тогда состоит из всех подмножеств, которые могут быть составлены из элементов с помощью счетного числа операций дополнения, объединения и пересечения. Если пусто, то, поскольку пустое объединение и пересечение создают пустое множество и универсальное множество, соответственно. ${\ Displaystyle \ sigma (F)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle \ sigma (F) = \ {X, \ varnothing \},}$

В качестве простого примера рассмотрим множество. Тогда σ-алгебра, порожденная единственным подмножеством, будет. Из-за злоупотребления обозначениями, когда набор подмножеств содержит только один элемент, можно написать вместо этого, если ясно, что это подмножество ; в предыдущем примере вместо « Действительно» также довольно часто используется « означать». ${\ Displaystyle X = \ {1,2,3 \}.}$${\ displaystyle \ {1 \}}$${\ displaystyle \ sigma (\ {\ {1 \} \}) = \ {\ varnothing, \ {1 \}, \ {2,3 \}, \ {1,2,3 \} \}.}$ ${\ displaystyle A,}$${\ Displaystyle \ sigma (А)}$${\ Displaystyle \ sigma (\ {A \})}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ sigma (\ {1 \})}$${\ Displaystyle \ sigma (\ {\ {1 \} \}).}$${\ displaystyle \ sigma \ left (A_ {1}, A_ {2}, \ ldots \ right)}$${\ Displaystyle \ sigma \ left (\ left \ {A_ {1}, A_ {2}, \ ldots \ right \} \ right)}$

Есть много семейств подмножеств, которые порождают полезные σ-алгебры. Некоторые из них представлены здесь.

σ-алгебра, порожденная функцией

Если - функция от набора к набору и является σ-алгеброй подмножеств, то σ-алгебра, порожденная функцией, обозначенной через, является набором всех прообразов множеств в, то есть, ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle Y,}$ ${\ displaystyle f,}$${\ Displaystyle \ sigma (е),}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (S)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle B.}$

$${\ displaystyle \ sigma (f) = \ {f ^ {- 1} (S): S \ in B \}.}$$

Функция из набора к набору является измеримой относительно а-алгебры подмножеств тогда и только тогда, когда есть подмножество${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ sigma (е)}$${\ displaystyle \ Sigma.}$

Одна из распространенных ситуаций, понимаемая по умолчанию, если не указано явно, - это когда это метрическое или топологическое пространство и это набор борелевских множеств на${\ displaystyle B}$${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle Y.}$

Если - функция от до, то генерируется семейством подмножеств, которые являются прообразами интервалов / прямоугольников в: ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ sigma (е)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

$${\ displaystyle \ sigma (f) = \ sigma \ left (\ {f ^ {- 1} ((a_ {1}, b_ {1}] \ times \ cdots \ times (a_ {n}, b_ {n}) ]): a_ {i}, b_ {i} \ in \ mathbb {R} \} \ right).}$$

Полезным свойством является следующее. Предположу, измеримое отображение на и это измеримое отображение из в случае, если существует измеримое отображение из к таким образом, что для всех тогда Если конечно или счетного или, в более общем случае, представляет собой стандартное борелевское пространство (например, в сепарабельном полном метрическое пространство с ассоциированными с ним борелевскими множествами), то верно и обратное. Примеры стандартных борелевских пространств включают в себя его борелевские множества и цилиндрическую σ-алгебру, описанную ниже. ${\ displaystyle f: X \ to S}$${\ Displaystyle \ влево (Х, \ Sigma _ {X} \ вправо)}$${\ Displaystyle \ влево (S, \ Sigma _ {S} \ вправо)}$${\ displaystyle g: X \ to T}$${\ Displaystyle \ влево (Х, \ Sigma _ {X} \ вправо)}$${\ displaystyle \ left (T, \ Sigma _ {T} \ right).}$${\ displaystyle h: T \ to S}$${\ Displaystyle \ влево (Т, \ Sigma _ {T} \ вправо)}$${\ Displaystyle \ влево (S, \ Sigma _ {S} \ вправо)}$${\ Displaystyle е (х) = час (г (х))}$${\ displaystyle x,}$${\ Displaystyle \ sigma (f) \ substeq \ sigma (g).}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle \ влево (S, \ Sigma _ {S} \ вправо)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ infty}}$

Борелевские и лебеговые σ-алгебры

Важным примером является алгебра Бореля над любым топологическим пространством : σ-алгебра, порожденная открытыми множествами (или, что то же самое, замкнутыми множествами ). Обратите внимание, что эта σ-алгебра, в общем, не является полным набором степеней. Для нетривиального примера, который не является борелевским множеством, см. Множество Витали или неборелевские множества.

На евклидовом пространстве важна другая σ-алгебра: алгебра всех измеримых по Лебегу множеств. Эта σ-алгебра содержит больше множеств, чем борелевская σ-алгебра на, и предпочтительнее в теории интегрирования, поскольку она дает полное пространство с мерой. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Произведение σ-алгебры

Позвольте и быть два измеримых пространства. Σ-алгебра для соответствующего пространства произведений называется σ-алгеброй произведений и определяется формулой ${\ displaystyle (X_ {1}, \ Sigma _ {1})}$${\ displaystyle (X_ {2}, \ Sigma _ {2})}$ ${\ displaystyle X_ {1} \ times X_ {2}}$

$${\ displaystyle \ Sigma _ {1} \ times \ Sigma _ {2} = \ sigma \ left (\ left \ {B_ {1} \ times B_ {2}: B_ {1} \ in \ Sigma _ {1}, B_ {2} \ in \ Sigma _ {2} \ right \} \ right).}$$

Заметьте, что это π -система. ${\ displaystyle \ left \ {B_ {1} \ times B_ {2}: B_ {1} \ in \ Sigma _ {1}, B_ {2} \ in \ Sigma _ {2} \ right \}}$

Борелевская σ-алгебра для порождается полубесконечными прямоугольниками и конечными прямоугольниками. Например, ${\ displaystyle R ^ {n}}$

$${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R} ^ {n}) = \ sigma \ left (\ left \ {(- \ infty, b_ {1}] \ times \ cdots \ times (- \ infty, b_ {n}]: b_ {i} \ in \ mathbb {R} \ right \} \ right) = \ sigma \ left (\ left \ {(a_ {1}, b_ {1}] \ times \ cdots \ times (a_ {n}, b_ {n}]: a_ {i}, b_ {i} \ in \ mathbb {R} \ right \} \ right).}$$

Для каждого из этих двух примеров производящее семейство представляет собой π -систему.

σ-алгебра, порожденная цилиндрическими множествами

Предполагать

$${\ displaystyle X \ substeq \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {T}} = \ {f: f {\ text {- это функция из}} \ mathbb {T} {\ text {to}} \ mathbb { Р} \}}$$ - множество действительных функций на. Пусть обозначают борелевские подмножества Для каждого и в цилиндр подмножество из является конечно ограниченный набор определяется как ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$${\ Displaystyle \ {т_ {я} \} _ {я = 1} ^ {п} \ substeq \ mathbb {T}}$${\ Displaystyle \ {B_ {я} \} _ {я = 1} ^ {n} \ substeq {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle X}$ $${\ displaystyle C_ {t_ {1}, \ dots, t_ {n}} (B_ {1}, \ dots, B_ {n}) = \ {f \ in X: f (t_ {i}) \ in B_ {i}, 1 \ leq i \ leq n \}.}$$

Для каждого ${\ Displaystyle \ {т_ {я} \} _ {я = 1} ^ {п} \ substeq \ mathbb {T},}$

$${\ displaystyle \ {C_ {t_ {1}, \ dots, t_ {n}} (B_ {1}, \ dots, B_ {n}): B_ {i} \ in {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}), 1 \ leq i \ leq n \}}$$ является π -системой, порождающей σ-алгебру. Тогда семейство подмножеств ${\ textstyle \ Sigma _ {t_ {1}, \ dots, t_ {n}}.}$ $${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {X} = \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcup _ {t_ {i} \ in \ mathbb {T}, i \ leq n} \ Сигма _ {t_ {1}, \ dots, t_ {n}}}$$ является алгеброй, которая порождает цилиндрическую σ-алгебру для этой σ-алгебры является подалгеброй борелевской σ-алгебры, определенной топологией произведения ограниченного на${\ displaystyle X.}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {T}}}$${\ displaystyle X.}$

Важным частным случаем является набор натуральных чисел и набор последовательностей с действительными значениями. В этом случае достаточно рассмотреть цилиндрические множества ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$${\ displaystyle X}$

$${\ displaystyle C_ {n} (B_ {1}, \ dots, B_ {n}) = (B_ {1} \ times \ cdots \ times B_ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {\ infty}) \ cap X = \ {(x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ dots) \ in X: x_ {i} \ in B_ {i}, 1 \ leq i \ leq n \},}$$ для которого $${\ displaystyle \ Sigma _ {n} = \ sigma (\ {C_ {n} (B_ {1}, \ dots, B_ {n}): B_ {i} \ in {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}), 1 \ leq i \ leq n \})}$$ является неубывающей последовательностью σ-алгебр.

σ-алгебра, порожденная случайной величиной или вектором

Предположим, это

вероятностное пространство. Если измеримо относительно борелевской σ-алгебры на, то называется случайной величиной () или случайным вектором (). Σ-алгебра, порожденная IS ${\ Displaystyle (\ Omega, \ Sigma, \ mathbb {P})}$ ${\ textstyle Y: \ Omega \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle п = 1}$${\ displaystyle ngt; 1}$${\ displaystyle Y}$ $${\ displaystyle \ sigma (Y) = \ {Y ^ {- 1} (A): A \ in {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R} ^ {n}) \}.}$$

σ-алгебра, порожденная случайным процессом

Предположим, это

вероятностное пространство и множество действительных функций на. Если измеримо относительно цилиндрической σ-алгебры (см. Выше) для, то называется случайным процессом или случайным процессом. Σ-алгебра, порожденная IS ${\ Displaystyle (\ Omega, \ Sigma, \ mathbb {P})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {T}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$${\ textstyle Y: \ Omega \ к X \ substeq \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {T}}}$${\ Displaystyle \ sigma ({\ mathcal {F}} _ {X})}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle Y}$ $${\ displaystyle \ sigma (Y) = \ left \ {Y ^ {- 1} (A): A \ in \ sigma ({\ mathcal {F}} _ {X}) \ right \} = \ sigma (\ {Y ^ {- 1} (A): A \ in {\ mathcal {F}} _ {X} \}),}$$ σ-алгебра, порожденная прообразами цилиндрических множеств.

• δ -кольцо  - кольцо, замкнутое относительно счетных пересечений.
• Поле множеств  - алгебраическое понятие в теории меры, также называемое алгеброй множеств.
• Присоединиться (сигма-алгебра)
• 𝜆-система (система Дынкина)  - Семья, замкнутая относительно дополнений и счетных непересекающихся объединений
• Измеримая функция  - функция, для которой можно измерить прообраз измеримого множества.
• Монотонный класс
• π -система  - Семейство множеств, замкнутых относительно пересечения
• Кольцо множеств  - Семья, замкнутая по союзам и относительным дополнениям
• Образец пространства
• 𝜎-ideal  - Семья замкнута относительно подмножеств и счетных объединений
• 𝜎-кольцо  - кольцо замкнутое при счетных соединениях
• 𝜎 аддитивность

• Дарретт, Ричард (2019). Вероятность: теория и примеры (PDF). Кембриджская серия по статистической и вероятностной математике. 49 (5-е изд.). Кембридж, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-1-108-47368-2. OCLC   1100115281. Проверено 5 ноября 2020 года.

• "Алгебра множеств", Математическая энциклопедия, EMS Press, 2001 [1994]
• Сигма-алгебра в PlanetMath.

Семьи наборов${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ более${\ displaystyle \ Omega}$
Обязательно верен ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ двоеточие}$ или закрыт в рамках: ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$	${\ displaystyle A \ cap B}$	${\ Displaystyle A_ {1} \ cap A_ {2} \ cap \ cdots}$	ФИП	Направленный на${\ Displaystyle \, \ supseteq}$	${\ Displaystyle A \ чашка B}$	${\ Displaystyle A_ {1} \ sqcup A_ {2} \ sqcup \ cdots}$	${\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} amp; A_ {1} \ cup A_ {2} \ cup \ cdots \, \\ amp; {\ text {where}} A_ {i} \ nearrow \ end {alignat}} }$	${\ Displaystyle A_ {1} \ чашка A_ {2} \ чашка \ cdots}$	${\ displaystyle \ Omega \ setminus A}$	${\ Displaystyle A \ setminus B}$	${\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {F}}}$	${\ displaystyle \ Omega \ in {\ mathcal {F}}}$
π -система
𝜆-система (Система Дынкина)			Никогда
Кольцо (теория порядка)
Кольцо (теория меры)			Никогда
δ-кольцо			Никогда
𝜎-кольцо			Никогда
Алгебра (Поле)			Никогда
𝜎-алгебра (𝜎-поле)			Никогда
Двойной идеал
Фильтр									Никогда	Никогда	${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Предварительный фильтр (основание фильтра)									Никогда	Никогда	${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Подбаза фильтров									Никогда	Никогда	${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Топология			Никогда
Обязательно верен ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ двоеточие}$ или закрыт в рамках: ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$	конечные пересечения	счетные пересечения	Свойство конечного пересечения	направлен вниз	конечные союзы	счетные непересекающиеся союзы	счетные возрастающие союзы	счетные союзы	дополняет в${\ displaystyle \ Omega}$	относительные дополнения	содержит ${\ displaystyle \ varnothing}$	содержит ${\ displaystyle \ Omega}$
Предполагается, что все семейства непустые. ${\ displaystyle A, B, A_ {1}, A_ {2}, \ ldots}$являются произвольными элементами обозначает объединение попарно непересекающихся множеств (называемое несвязным объединением ). Кроме того, полукольцо является π -системы, где каждое дополнение равно конечное несвязное объединение множеств A полуалгебры является полукольцо, который содержит монотонный класс представляет собой семейство, замкнутое относительно обоих счетных возрастающих объединений и счетных убывающих пересечений. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}.}$ ${\ Displaystyle \, \ sqcup \,}$ ${\ Displaystyle B \ setminus A}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}.}$ ${\ displaystyle \ Omega.}$