Злоупотребление нотацией

редактировать

В математике злоупотребление нотациейпроисходит, когда автор использует математическое обозначение не совсем формально правильным, но которое может помочь упростить изложение или предложить правильную интуицию (при этом, возможно, сводя к минимуму ошибки и путаницу в то же время). Однако, поскольку концепция формальной / синтаксической правильности зависит как от времени, так и от контекста, определенные обозначения в математике, которые отмечены как злоупотребление в одном контексте, могут быть формально правильными в одном или нескольких других контекстах. Зависимые от времени злоупотребления обозначениями могут иметь место, когда новые обозначения вводятся в теорию за некоторое время до того, как теория впервые формализуется; они могут быть формально исправлены путем закрепления и / или иного улучшения теории. Злоупотребление нотацией следует противопоставить неправильному использованию нотации, которое не имеет преимуществ первого представления для представления, и его следует избегать (например, неправильное использование констант интеграции).

Связанное понятие - злоупотребление языкомили злоупотребление терминологией,когда термин - а не обозначение - используется неправильно. Злоупотребление языком - это почти синонимичное выражение злоупотреблений, которые не носят нотационный характер. Например, хотя слово представление правильно обозначает гомоморфизм группы от группы G до GL (V), где V - векторное пространство, V принято называть "представлением G". Другое распространенное злоупотребление языком заключается в идентификации двух различных математических объектов, но канонически изоморфных. Другие примеры включают идентификацию постоянной функции с ее значением, идентификацию группы с помощью бинарной операции с именем ее базового набора или идентификацию $R 3 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ { 3}}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ евклидово пространство измерения три, снабженное декартовой системой координат.

Содержание

1 Примеры
- 1.1 Структурированные математические объекты
- 1.2 Обозначение функций
- 1.3 Равенство и изоморфизм
- 1.4 Классы эквивалентности
2 Субъективность
3 См. Также
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Примеры

Структурированные математические объекты

Многие математические объекты состоят из набора, часто называемого базовым набором, снабженного некоторой дополнительной структурой, такой как математическая операция или топология . Распространенным злоупотреблением нотацией является использование одной и той же нотации для базового набора и структурированного объекта (явление, известное как подавление параметров). Например, $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ может обозначать набор целых чисел, группу целых чисел вместе с сложение, или кольцо целых чисел со сложением и умножением. В общем, это не проблема, если объект, о котором идет речь, хорошо понят, и избежание такого злоупотребления обозначениями может даже сделать математические тексты более педантичными и трудными для чтения. Когда это неправильное обозначение может сбивать с толку, можно различать эти структуры, обозначая $(Z, +) {\ displaystyle (\ mathbb {Z}, +)}$ $({\ mathbb Z}, +)$ группу целых чисел с добавлением и $(Z, +, ⋅) {\ displaystyle (\ mathbb {Z}, +, \ cdot)}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, +, \ cdot)}$ кольцо целых чисел.

Точно так же топологическое пространство состоит из набора X (базовый набор) и топологии $T, {\ displaystyle {\ mathcal {T}},}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {T} },}$ , который характеризуется набором подмножеств X (открытых множеств ). Чаще всего рассматривается только одна топология на X, поэтому обычно нет проблем в том, чтобы назвать X как базовым набором, так и парой, состоящей из X и его топологии $T {\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$ ${\ mathcal {T}}$ - даже если они являются технически разными математическими объектами. Тем не менее, в некоторых случаях может случиться так, что две разные топологии одновременно рассматриваются в одном и том же наборе. В этом случае следует проявлять осторожность и использовать такие обозначения, как $(X, T) {\ displaystyle (X, {\ mathcal {T}})}$ $(X, {\ mathcal {T}})$ и $(X, T ′) {\ Displaystyle (X, {\ mathcal {T}} ')}$ $(X, \mathcal{T}')$ , чтобы различать разные топологические пространства.

Обозначение функций

Во многих учебниках можно встретить такие предложения, как «Пусть f (x) будет функцией...». Это злоупотребление обозначениями, поскольку имя функции - f, а f (x) обычно обозначает значение функции f для элемента x ее домена. Правильная фраза будет: «Пусть f будет функцией переменной x...» или «Пусть x ↦ f (x) будет функцией...». Это злоупотребление обозначениями широко используется, так как упрощает формулировку, и систематическое использование правильных обозначений быстро становится педантичным.

Подобное злоупотребление обозначениями встречается в таких предложениях, как «Давайте рассмотрим функцию x + x + 1...», когда на самом деле x + x + 1 не является функцией. Функция - это операция, которая связывает x + x + 1 с x, часто обозначается как x ↦ x + x + 1. Тем не менее, это злоупотребление обозначениями широко используется, так как оно может помочь избежать педантизма, не сбивая с толку.

Равенство и изоморфизм

Многие математические структуры определяются через характеристическое свойство (часто универсальное свойство ). Как только это желаемое свойство определено, могут быть различные способы построения структуры, и соответствующие результаты формально являются разными объектами, но имеют точно такие же свойства (т. Е. изоморфный ). Поскольку невозможно различить эти изоморфные объекты по их свойствам, стандартно считать их равными, даже если это формально неверно.

Одним из примеров этого является декартово произведение, который часто рассматривается как ассоциативный:

(E × F) × G = E × (F × G) = E × F × G {\ displaystyle (E \ times F) \ times G = E \ times (F \ times G) = E \ times F \ times G}

(E \ times F) \ times G = E \ times (F \ times G) = E \ times F \ times G

Но это, строго говоря, неверно: если $x ∈ E {\ displaystyle x \ in E}$ $x \ in E$ , $y ∈ F {\ displaystyle y \ в F}$ $y \ in F$ и $z ∈ G {\ displaystyle z \ in G}$ $z \ in G$ тождество $((x, y), z) = (x, ( y, z)) {\ displaystyle ((x, y), z) = (x, (y, z))}$ $((x, y), z) = (x, (y, z))$ означало бы, что $(x, y) = x {\ displaystyle (x, y) = x}$ $(x, y) = x$ и $z = (y, z) {\ displaystyle z = (y, z)}$ $z = (y, z)$ , и поэтому $(( x, y), z) = (x, y, z) {\ displaystyle ((x, y), z) = (x, y, z)}$ $((x, y), z) = (x, y, z )$ ничего не значит. Однако эти равенства можно узаконить и сделать строгими в теории категорий - с использованием идеи естественного изоморфизма.

Другой пример подобных злоупотреблений встречается в таких утверждениях, как «есть два неабелевых группы порядка 8 », что более строго означает« существует два класса изоморфизма неабелевых групп порядка 8 ».

Классы эквивалентности

Ссылка на класс эквивалентности отношения эквивалентности по x вместо [x] является злоупотреблением нотацией. Формально, если множество X разделено отношением эквивалентности ~, то для каждого x ∈ X класс эквивалентности {y ∈ X | y ~ x} обозначается [x]. Но на практике, если остальная часть обсуждения сосредоточена на классах эквивалентности, а не на отдельных элементах базового набора, то квадратные скобки в обсуждении принято опускать.

Например, в модульной арифметике, конечная группа порядка n может быть сформирована путем разделения целых чисел с помощью отношения эквивалентности "x ~ y тогда и только тогда, когда x ≡ y (mod n) ". Тогда элементами этой группы будут [0], [1],…, [n - 1], но на практике они обычно обозначаются просто как 0, 1,…, n - 1.

Другой Примером может служить пространство (классов) измеримых функций над пространством с мерой или классы интегрируемых по Лебегу функций, где отношение эквивалентности - равенство "почти всюду ".

Субъективность

Термины «злоупотребление языком» и «злоупотребление обозначениями» зависят от контекста. Запись «f: A → B» для частичной функции из A в B почти всегда является злоупотреблением нотацией, но не в контексте теории категорий , где f можно рассматривать как морфизм в категории множеств и частичных функций.

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки