Категория (математика)

редактировать
Это категория с набором объектов A, B, C и набором морфизмов, обозначенных f, g, g ∘ f, а петли - тождественные стрелки. Эта категория обычно обозначается жирным шрифтом 3.

. В математике - категория (иногда называемая абстрактной категорией, чтобы отличить ее от конкретной категории. ) представляет собой набор «объектов», связанных «стрелками». Категория имеет два основных свойства: способность объединять стрелки ассоциативно и наличие стрелки идентичности для каждого объекта. Простым примером является категория наборов, объектами которой являются наборы, а стрелками - функции.

Теория категорий - это раздел математики, который пытается обобщить вся математика в терминах категорий, независимо от того, что представляют их объекты и стрелки. Практически каждую отрасль современной математики можно описать категориями, и это часто раскрывает глубокие идеи и сходства между, казалось бы, разными областями математики. Таким образом, теория категорий обеспечивает математическую основу, альтернативную теории множеств и другим предлагаемым аксиоматическим основам. В общем, объекты и стрелки могут быть абстрактными объектами любого типа, а понятие категории обеспечивает фундаментальный и абстрактный способ описания математических объектов и их отношений.

В дополнение к формализации математики теория категорий также используется для формализации многих других систем в информатике, таких как семантика языков программирования.

Две категории одинаковы, если они имеют одинаковую коллекцию объектов, тот же набор стрелок и тот же ассоциативный метод создания любой пары стрелок. Две разные категории также могут считаться «эквивалентными » для целей теории категорий, даже если они не имеют точно такой же структуры.

Общеизвестные категории обозначаются коротким заглавным словом или сокращением, выделенным жирным шрифтом или курсивом: примеры включают Set, категория устанавливает и задают функции ; Кольцо, категорию колец и кольцевых гомоморфизмов ; и Top, категория топологических пространств и непрерывных отображений. Все предыдущие категории имеют карту идентичности в качестве стрелок идентичности и состав в качестве ассоциативной операции со стрелками.

Классический и до сих пор широко используемый текст по теории категорий - это Категории для рабочего математика от Сондерса Мак Лейна. Другие ссылки приведены в Ссылки ниже. Основные определения в этой статье содержатся в первых нескольких главах любой из этих книг.

Группоподобные структуры
Всего Ассоциативность Идентичность Инвертируемость Коммутативность
Полугруппоид НенужноТребуетсяНенужноНенужноНенужно
Малая категория НенужноТребуетсяТребуетсяНенужноНенужно
Группоид Не нужноТребуетсяТребуетсяТребуетсяНенужно
Magma ТребуетсяНенужноНенужноНенужноНенужно
Квазигруппа ТребуетсяНенужноНенужноОбязательноНенужно
Единичная магма ОбязательноНенужноОбязательноНенужноНенужно
Цикл ОбязательноНенужноОбязательноОбязательноНенужно
Полугруппа ОбязательноОбязательноНенужноНенужноНенужно
Инверсная полугруппа ТребуетсяТребуетсяНенужноТребуетсяНе требуется
Моноид Треб. uiredТребуетсяТребуетсяНе требуетсяНе требуется
Коммутативный моноид ТребуетсяТребуетсяОбязательноНе требуетсяОбязательно
Группа ТребуетсяТребуетсяТребуетсяТребуетсяНенужно
Абелева группа ОбязательноОбязательноОбязательноОбязательноОбязательно
Замыкание, которое используется во многих источниках это аксиома, эквивалентная совокупности, хотя и определяется по-разному.

Любой моноид можно понимать как особую категорию (с одним объектом, самоморфизм которого представлен элементами моноид), как и любой предварительный заказ.

Содержание

  • 1 Определение
  • 2 Маленькие и большие категории
  • 3 Примеры
  • 4 Создание новых категорий
    • 4.1 Двойная категория
    • 4.2 Категории продуктов
  • 5 Типы морфизмов
  • 6 Типы категорий
  • 7 См. Также
  • 8 Примечания
  • 9 Ссылки

Определение

Существует много эквивалентных определений категория. Одно из наиболее часто используемых определений выглядит следующим образом. Категория C состоит из

  • a класса ob (C) из объектов
  • класса hom (C) из морфизмов, или стрелки, или отображают между объектами. Каждый морфизм f имеет исходный объект a и целевой объект b, где a и b находятся в ob (C). Мы пишем f: a → b и говорим, что «f - морфизм от a к b». Мы пишем hom (a, b) (или hom C (a, b), когда может возникнуть путаница относительно того, к какой категории относится hom (a, b)) для обозначения hom-класса всех морфизмов от a до b. (Некоторые авторы вместо этого пишут Mor (a, b) или просто C (a, b).)
  • для каждых трех объектов a, b и c, бинарная операция hom (a, b) × hom (b, c) → hom (a, c) называется композицией морфизмов; композиция f: a → b и g: b → c записывается как g ∘ f или gf. (Некоторые авторы используют «порядок диаграмм», записывая f; g или fg.)

так, чтобы выполнялись следующие аксиомы:

  • (ассоциативность ) если f: a → b, g: b → c и h: c → d, то h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f, и
  • (тождество ) для каждого объекта x существует морфизм 1 x : x → x (некоторые авторы пишут id x), называемый тождественным морфизмом для x, такой, что для каждого морфизма f: a → x и каждого морфизма g: x → b мы имеем 1 x ∘ f = f и g ∘ 1 x = g.

Из этих аксиом можно доказать, что существует ровно один морфизм тождества для каждого объекта. Некоторые авторы используют небольшую вариацию определения, в которой каждый объект идентифицируется с соответствующим морфизмом идентичности.

Малые и большие категории

Категория C называется малой, если и ob (C), и hom (C) на самом деле являются наборами, а не собственные классы и большие в противном случае. локально малая категория - это категория, такая что для всех объектов a и b гом-класс hom (a, b) является набором, называемым homset . Многие важные категории в математике (например, категория множеств), хотя и не малы, но по крайней мере локально малы. Поскольку в небольших категориях объекты образуют набор, небольшую категорию можно рассматривать как алгебраическую структуру, аналогичную моноиду, но не требуя свойств закрытия. С другой стороны, большие категории можно использовать для создания «структур» алгебраических структур.

Примеры

класс всех наборов (как объекты) вместе со всеми функциями между ними (как морфизмы), где композиция морфизмов это обычная функция композиция, образует большую категорию, Set. Это самая основная и наиболее часто используемая категория в математике. Категория Rel состоит из всех наборов (как объектов) с бинарными отношениями между ними (как морфизмы). Абстрагирование от отношений вместо функций дает аллегории, особый класс категорий.

Любой класс можно рассматривать как категорию, единственными морфизмами которой являются морфизмы тождества. Такие категории называются дискретными. Для любого заданного множества I дискретная категория на I - это небольшая категория, в которой элементы I являются объектами и только тождественные морфизмы в качестве морфизмов. Дискретные категории - это простейший вид категорий.

Любой предварительно упорядоченный набор (P, ≤) образует небольшую категорию, где объекты являются членами P, морфизмы - это стрелки, указывающие от x к y, когда x ≤ y. Кроме того, если ≤ антисимметричный, между любыми двумя объектами может быть не более одного морфизма. Существование тождественных морфизмов и композиционная способность морфизмов гарантируются рефлексивностью и транзитивностью предпорядка. По тому же аргументу любой частично упорядоченный набор и любое отношение эквивалентности можно рассматривать как небольшую категорию. Любой порядковый номер можно рассматривать как категорию, если рассматривать его как упорядоченный набор.

Любой моноид (любая алгебраическая структура с одним ассоциативная двоичная операция и элемент идентичности ) образуют небольшую категорию с одним объектом x. (Здесь x - любое фиксированное множество.) Морфизмы из x в x - это в точности элементы моноида, тождественный морфизм x является тождеством моноида, а категориальная композиция морфизмов задается операцией моноида. Некоторые определения и теоремы о моноидах могут быть обобщены на категории.

Аналогичным образом любую группу можно рассматривать как категорию с одним объектом, в котором каждый морфизм обратим, то есть для каждого морфизма f существует морфизм g, который является одновременно левый и правый инвертируют к f при композиции. Обратимый в этом смысле морфизм называется изоморфизмом ..

A Группоид - это категория, в которой каждый морфизм является изоморфизмом. Группоиды - это обобщения групп, групповых действий и отношений эквивалентности. На самом деле, с точки зрения категории единственное различие между группоидом и группой состоит в том, что у группоида может быть более одного объекта, но у группы должен быть только один. Рассмотрим топологическое пространство X и зафиксируем базовую точку x 0 {\ displaystyle x_ {0}}x_ {0} из X, затем π 1 (X, x 0) {\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0})}{\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0})} - фундаментальная группа топологического пространства X и базовая точка x 0 {\ displaystyle x_ {0}}x_ {0} , а в наборе имеет структуру группы; если тогда пусть базовая точка x 0 {\ displaystyle x_ {0}}x_ {0} проходит по всем точкам X и принимает объединение всех π 1 (X, x 0) { \ displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0})}{\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0})} , тогда набор, который мы получаем, имеет только структуру группоида (который называется фундаментальным группоидом X): две петли (при гомотопическом отношении эквивалентности) могут не иметь одной и той же базовой точки, поэтому они не могут быть кратными друг другу. На языке категории это означает, что здесь два морфизма могут не иметь одного и того же исходного объекта (или целевого объекта, потому что в этом случае для любого морфизма исходный объект и целевой объект одинаковы: базовая точка), поэтому они не могут компоноваться с друг друга.

Ориентированный граф.

Любой ориентированный граф порождает небольшую категорию: объекты - это вершины графа, а морфизмы - это пути в графе (с добавлением циклов по мере необходимости), где композиция морфизмов представляет собой конкатенацию путей. Такая категория называется свободной категорией, созданной графом.

Класс всех предварительно упорядоченных множеств с монотонными функциями в качестве морфизмов образует категорию Ord. Это конкретная категория , то есть категория, полученная путем добавления некоторого типа структуры в Набор и требующая, чтобы морфизмы были функциями, которые уважают эту добавленную структуру.

Класс всех групп с гомоморфизмами групп как морфизмами и функциональной композицией как операцией композиции образует большую категорию, Группа. Как и Ord, Grp - это конкретная категория. Категория Ab, состоящая из всех абелевых групп и их групповых гомоморфизмов, является полной подкатегорией в Grp и прототипом абелевой группы. категория. Другие примеры конкретных категорий приведены в следующей таблице.

КатегорияОбъектыМорфизмы
Группы группы гомоморфизмы групп
Маг магмы гомоморфизмы магм
Человек гладкие многообразия p-раз непрерывно дифференцируемые карты
Met метрические пространства короткие карты
R-Mod R-модули, где R является кольцомгомоморфизмы R-модуля
Mon моноиды моноидные гомоморфизмы
кольцо кольца гомоморфизмы колец
множество устанавливает функций
Top топологические пространства непрерывные функции
Uni равномерные пространства равномерно непрерывные функции
Vect K векторные пространства над полем KK-линейные карты

Пучки волокон с связками между ними образуют конкретную категорию.

Категория Cat состоит из всех небольших категорий с функторами между ними как морфизмами.

Создание новых категорий

Двойная категория

Любая категория C может сама по себе рассматриваться как новая категория по-другому: объекты такие же, как и в исходной категории, но стрелки - это стрелки исходной категории, перевернутые. Это называется двойной или противоположной категорией и обозначается C.

Категории продуктов

Если C и D являются категориями, можно сформировать категорию продукта C × D: объекты представляют собой пары, состоящие из одного объекта из C и одного из D, и морфизмы также являются парами, состоящими из одного морфизма в C и одного в D. Такие пары могут быть составлены покомпонентно.

Типы морфизмов

A морфизм f: a → b называется

  • a мономорфизмом (или monic), если он сокращаемый слева, т.е. fg 1 = fg 2 подразумевает g 1 = g 2 для всех морфизмов g 1, g 2 : x → a.
  • an эпиморфизм (или эпический), если он сокращается справа, то есть g 1 f = g 2 f подразумевает g 1 = g 2 для всех морфизмов g 1, g 2 : b → x.
  • a биморфизм, если это одновременно мономорфизм и эпиморфизм.
  • a ретракция, если он имеет правый обратный, т.е. если существует морфизм g: b → a с fg = 1 b.
  • a section, если он h как левый обратный, т.е. если существует морфизм g: b → a с gf = 1 a.
  • , изоморфизм, если он имеет обратный, т.е. если существует морфизм g: b → a с fg = 1 b и gf = 1 a.
  • и эндоморфизм, если a = b. Класс эндоморфизмов a обозначается end (a).
  • автоморфизм, если f одновременно является эндоморфизмом и изоморфизмом. Класс автоморфизмов a обозначается aut (a).

Всякая ретракция является эпиморфизмом. Каждое сечение - мономорфизм. Следующие три утверждения эквивалентны:

  • f - мономорфизм и ретракция;
  • f - эпиморфизм и секция;
  • f - изоморфизм.

Отношения между морфизмами ( например, fg = h) наиболее удобно представить с помощью коммутативных диаграмм, где объекты представлены в виде точек, а морфизмы - в виде стрелок.

Типы категорий

  • Во многих категориях, например Ab или Vect K, hom-множества hom (a, b) являются не просто наборами, но фактически абелевыми группами, и композиция морфизмов совместима с этой группой конструкции; т.е. является билинейным. Такая категория называется предаддитивной. Если, кроме того, в категории есть все конечные продукты и сопутствующие продукты, она называется аддитивной категорией. Если все морфизмы имеют ядро ​​ и коядро, и все эпиморфизмы являются коядрами, а все мономорфизмы являются ядрами, то мы говорим об абелевой категории. Типичным примером абелевой категории является категория абелевых групп.
  • Категория называется полной, если в ней существуют все маленькие пределы. Категории множеств, абелевых групп и топологических пространств являются полными.
  • Категория называется декартовой замкнутой, если она имеет конечные прямые произведения и морфизм, определенный на конечном продукте, всегда может быть представлен как морфизм, определяемый только одним из факторов. Примеры включают Set и CPO, категорию полных частичных заказов с непрерывными функциями Скотта.
  • A topos - это определенный тип декартовой замкнутой категории, в которой может быть сформулирована вся математика (точно так же, как классически вся математика формулируется в категории множеств). Топос также может использоваться для представления логической теории.

См. Также

  • значок Математический портал

Примечания

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-14 12:07:32
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте