. В математике - категория (иногда называемая абстрактной категорией, чтобы отличить ее от конкретной категории. ) представляет собой набор «объектов», связанных «стрелками». Категория имеет два основных свойства: способность объединять стрелки ассоциативно и наличие стрелки идентичности для каждого объекта. Простым примером является категория наборов, объектами которой являются наборы, а стрелками - функции.
Теория категорий - это раздел математики, который пытается обобщить вся математика в терминах категорий, независимо от того, что представляют их объекты и стрелки. Практически каждую отрасль современной математики можно описать категориями, и это часто раскрывает глубокие идеи и сходства между, казалось бы, разными областями математики. Таким образом, теория категорий обеспечивает математическую основу, альтернативную теории множеств и другим предлагаемым аксиоматическим основам. В общем, объекты и стрелки могут быть абстрактными объектами любого типа, а понятие категории обеспечивает фундаментальный и абстрактный способ описания математических объектов и их отношений.
В дополнение к формализации математики теория категорий также используется для формализации многих других систем в информатике, таких как семантика языков программирования.
Две категории одинаковы, если они имеют одинаковую коллекцию объектов, тот же набор стрелок и тот же ассоциативный метод создания любой пары стрелок. Две разные категории также могут считаться «эквивалентными » для целей теории категорий, даже если они не имеют точно такой же структуры.
Общеизвестные категории обозначаются коротким заглавным словом или сокращением, выделенным жирным шрифтом или курсивом: примеры включают Set, категория устанавливает и задают функции ; Кольцо, категорию колец и кольцевых гомоморфизмов ; и Top, категория топологических пространств и непрерывных отображений. Все предыдущие категории имеют карту идентичности в качестве стрелок идентичности и состав в качестве ассоциативной операции со стрелками.
Классический и до сих пор широко используемый текст по теории категорий - это Категории для рабочего математика от Сондерса Мак Лейна. Другие ссылки приведены в Ссылки ниже. Основные определения в этой статье содержатся в первых нескольких главах любой из этих книг.
Группоподобные структуры | |||||
---|---|---|---|---|---|
Всего | Ассоциативность | Идентичность | Инвертируемость | Коммутативность | |
Полугруппоид | Ненужно | Требуется | Ненужно | Ненужно | Ненужно |
Малая категория | Ненужно | Требуется | Требуется | Ненужно | Ненужно |
Группоид | Не нужно | Требуется | Требуется | Требуется | Ненужно |
Magma | Требуется | Ненужно | Ненужно | Ненужно | Ненужно |
Квазигруппа | Требуется | Ненужно | Ненужно | Обязательно | Ненужно |
Единичная магма | Обязательно | Ненужно | Обязательно | Ненужно | Ненужно |
Цикл | Обязательно | Ненужно | Обязательно | Обязательно | Ненужно |
Полугруппа | Обязательно | Обязательно | Ненужно | Ненужно | Ненужно |
Инверсная полугруппа | Требуется | Требуется | Ненужно | Требуется | Не требуется |
Моноид | Треб. uired | Требуется | Требуется | Не требуется | Не требуется |
Коммутативный моноид | Требуется | Требуется | Обязательно | Не требуется | Обязательно |
Группа | Требуется | Требуется | Требуется | Требуется | Ненужно |
Абелева группа | Обязательно | Обязательно | Обязательно | Обязательно | Обязательно |
^αЗамыкание, которое используется во многих источниках это аксиома, эквивалентная совокупности, хотя и определяется по-разному. |
Любой моноид можно понимать как особую категорию (с одним объектом, самоморфизм которого представлен элементами моноид), как и любой предварительный заказ.
Существует много эквивалентных определений категория. Одно из наиболее часто используемых определений выглядит следующим образом. Категория C состоит из
так, чтобы выполнялись следующие аксиомы:
Из этих аксиом можно доказать, что существует ровно один морфизм тождества для каждого объекта. Некоторые авторы используют небольшую вариацию определения, в которой каждый объект идентифицируется с соответствующим морфизмом идентичности.
Категория C называется малой, если и ob (C), и hom (C) на самом деле являются наборами, а не собственные классы и большие в противном случае. локально малая категория - это категория, такая что для всех объектов a и b гом-класс hom (a, b) является набором, называемым homset . Многие важные категории в математике (например, категория множеств), хотя и не малы, но по крайней мере локально малы. Поскольку в небольших категориях объекты образуют набор, небольшую категорию можно рассматривать как алгебраическую структуру, аналогичную моноиду, но не требуя свойств закрытия. С другой стороны, большие категории можно использовать для создания «структур» алгебраических структур.
класс всех наборов (как объекты) вместе со всеми функциями между ними (как морфизмы), где композиция морфизмов это обычная функция композиция, образует большую категорию, Set. Это самая основная и наиболее часто используемая категория в математике. Категория Rel состоит из всех наборов (как объектов) с бинарными отношениями между ними (как морфизмы). Абстрагирование от отношений вместо функций дает аллегории, особый класс категорий.
Любой класс можно рассматривать как категорию, единственными морфизмами которой являются морфизмы тождества. Такие категории называются дискретными. Для любого заданного множества I дискретная категория на I - это небольшая категория, в которой элементы I являются объектами и только тождественные морфизмы в качестве морфизмов. Дискретные категории - это простейший вид категорий.
Любой предварительно упорядоченный набор (P, ≤) образует небольшую категорию, где объекты являются членами P, морфизмы - это стрелки, указывающие от x к y, когда x ≤ y. Кроме того, если ≤ антисимметричный, между любыми двумя объектами может быть не более одного морфизма. Существование тождественных морфизмов и композиционная способность морфизмов гарантируются рефлексивностью и транзитивностью предпорядка. По тому же аргументу любой частично упорядоченный набор и любое отношение эквивалентности можно рассматривать как небольшую категорию. Любой порядковый номер можно рассматривать как категорию, если рассматривать его как упорядоченный набор.
Любой моноид (любая алгебраическая структура с одним ассоциативная двоичная операция и элемент идентичности ) образуют небольшую категорию с одним объектом x. (Здесь x - любое фиксированное множество.) Морфизмы из x в x - это в точности элементы моноида, тождественный морфизм x является тождеством моноида, а категориальная композиция морфизмов задается операцией моноида. Некоторые определения и теоремы о моноидах могут быть обобщены на категории.
Аналогичным образом любую группу можно рассматривать как категорию с одним объектом, в котором каждый морфизм обратим, то есть для каждого морфизма f существует морфизм g, который является одновременно левый и правый инвертируют к f при композиции. Обратимый в этом смысле морфизм называется изоморфизмом ..
A Группоид - это категория, в которой каждый морфизм является изоморфизмом. Группоиды - это обобщения групп, групповых действий и отношений эквивалентности. На самом деле, с точки зрения категории единственное различие между группоидом и группой состоит в том, что у группоида может быть более одного объекта, но у группы должен быть только один. Рассмотрим топологическое пространство X и зафиксируем базовую точку из X, затем - фундаментальная группа топологического пространства X и базовая точка , а в наборе имеет структуру группы; если тогда пусть базовая точка проходит по всем точкам X и принимает объединение всех , тогда набор, который мы получаем, имеет только структуру группоида (который называется фундаментальным группоидом X): две петли (при гомотопическом отношении эквивалентности) могут не иметь одной и той же базовой точки, поэтому они не могут быть кратными друг другу. На языке категории это означает, что здесь два морфизма могут не иметь одного и того же исходного объекта (или целевого объекта, потому что в этом случае для любого морфизма исходный объект и целевой объект одинаковы: базовая точка), поэтому они не могут компоноваться с друг друга.
Ориентированный граф.Любой ориентированный граф порождает небольшую категорию: объекты - это вершины графа, а морфизмы - это пути в графе (с добавлением циклов по мере необходимости), где композиция морфизмов представляет собой конкатенацию путей. Такая категория называется свободной категорией, созданной графом.
Класс всех предварительно упорядоченных множеств с монотонными функциями в качестве морфизмов образует категорию Ord. Это конкретная категория , то есть категория, полученная путем добавления некоторого типа структуры в Набор и требующая, чтобы морфизмы были функциями, которые уважают эту добавленную структуру.
Класс всех групп с гомоморфизмами групп как морфизмами и функциональной композицией как операцией композиции образует большую категорию, Группа. Как и Ord, Grp - это конкретная категория. Категория Ab, состоящая из всех абелевых групп и их групповых гомоморфизмов, является полной подкатегорией в Grp и прототипом абелевой группы. категория. Другие примеры конкретных категорий приведены в следующей таблице.
Пучки волокон с связками между ними образуют конкретную категорию.
Категория Cat состоит из всех небольших категорий с функторами между ними как морфизмами.
Любая категория C может сама по себе рассматриваться как новая категория по-другому: объекты такие же, как и в исходной категории, но стрелки - это стрелки исходной категории, перевернутые. Это называется двойной или противоположной категорией и обозначается C.
Если C и D являются категориями, можно сформировать категорию продукта C × D: объекты представляют собой пары, состоящие из одного объекта из C и одного из D, и морфизмы также являются парами, состоящими из одного морфизма в C и одного в D. Такие пары могут быть составлены покомпонентно.
A морфизм f: a → b называется
Всякая ретракция является эпиморфизмом. Каждое сечение - мономорфизм. Следующие три утверждения эквивалентны:
Отношения между морфизмами ( например, fg = h) наиболее удобно представить с помощью коммутативных диаграмм, где объекты представлены в виде точек, а морфизмы - в виде стрелок.