Порядок (теория групп)

редактировать

В теории групп, разделе математики, порядок группы - это ее мощность, то есть количество элементов в ее наборе. Порядок элемента a группы, иногда также называемый длиной периода или периодом a, является наименьшим положительным целым числом m такое, что a = e, где e обозначает элемент идентичности группы, а a обозначает произведение m копий a. Если такого m не существует, говорят, что a имеет бесконечный порядок.

Порядок группы G обозначается ord (G) или | G |, а порядок элемента a обозначается ord (a) или | a |. Порядок элемента a равен порядку его циклической подгруппы ⟨a⟩ = {a для k целое число}, подгруппа , порожденная посредством a. Таким образом, | a | = | ⟨A⟩ |.

Теорема Лагранжа утверждает, что для любой подгруппы H группы G порядок подгруппы делит порядок группы: | H | является делителем числа | G |. В частности, порядок | a | любого элемента является делителем | G |.

Содержание

1 Пример
2 Порядок и структура
3 Подсчет по порядку элементов
4 В отношении гомоморфизмов
5 Уравнение класса
6 См. Также
7 Примечания
8 Ссылки

Пример

Симметричная группа S3имеет следующую таблицу умножения.

•	e	s	t	u	v	w
e	e	s	t	u	v	w
s	s	e	v	w	t	u
t	t	u	e	s	w	v
u	u	t	w	v	e	s
v	v	w	s	e	u	t
w	w	v	u	t	s	e

Эта группа состоит из шести элементов, поэтому ord (S 3) = 6. По определению порядок тождества e равен единице, поскольку e = e. Каждое из s, t и w квадратов в e, поэтому эти элементы группы имеют второй порядок: | s | = | t | = | w | = 2. Наконец, u и v имеют порядок 3, поскольку u = vu = e и v = uv = e.

Порядок и структура

Порядок группы G и порядки ее элементов дают много информации о структуре группы. Грубо говоря, чем сложнее факторизация | G |, тем сложнее структура G.

For | G | = 1, группа тривиальна. В любой группе только единичный элемент a = e имеет ord (a) = 1. Если каждый неединичный элемент в G равен своему обратному (так что a = e), то ord (a) = 2; это означает, что G является абелевским , поскольку $ab = (ab) - 1 = b - 1 a - 1 = ba {\ displaystyle ab = (ab) ^ {- 1} = b ^ {- 1} a ^ {- 1} = ba}$ $ab = (ab) ^ {- 1} = b ^ {- 1} a ^ {- 1} = ba$ . Обратное неверно; например, (аддитивная) циклическая группа Z6целых чисел по модулю 6 абелева, но число 2 имеет порядок 3:

2 + 2 + 2 = 6 ≡ 0 (mod 6) {\ displaystyle 2 + 2 + 2 = 6 \ Equiv 0 {\ pmod {6}}}

2 + 2 + 2 = 6 \ эквив 0 {\ pmod {6}}

Отношения между двумя концепциями порядка следующие: если мы напишем

⟨a⟩ = {ak : k ∈ Z} {\ displaystyle \ langle a \ rangle = \ {a ^ {k} \ двоеточие k \ in \ mathbb {Z} \}}

{\ displaystyle \ langle a \ rangle = \ {a ^ {k} \ двоеточие k \ in \ mathbb {Z} \}}

для подгруппы сгенерированной на a, тогда

ord ⁡ (a) = ord ⁡ (⟨a⟩). {\ displaystyle \ operatorname {ord} (a) = \ operatorname {ord} (\ langle a \ rangle).}

\ operatorname {ord} (a) = \ operatorname {ord} (\ langle a \ rangle).

Для любого целого k мы имеем

a = e тогда и только тогда, когда ord (a) делит k.

В общем случае порядок любой подгруппы группы G делит порядок группы G. Точнее: если H является подгруппой группы G, то

ord (G) / ord (H) = [G : H], где [G: H] называется индексом H в G, целым числом. Это теорема Лагранжа. (Это, однако, верно только тогда, когда G имеет конечный порядок. Если ord (G) = ∞, то частное ord (G) / ord (H) не имеет смысла.)

Как непосредственное следствие вышеизложенного, мы видим, что порядок каждого элемента группы делит порядок группы. Например, в симметричной группе, показанной выше, где ord (S 3) = 6, порядок элементов равен 1, 2 или 3.

Верно следующее частичное обратное. для конечных групп : если d делит порядок группы G и d является простым числом, то в G существует элемент порядка d (иногда его называют Теорема Коши ). Заявление не выполняется для составных заказов, например четырехгруппа Клейна не имеет элемента четвертого порядка). Это можно показать с помощью индуктивного доказательства. Следствия теоремы включают: порядок группы G является степенью простого числа p тогда и только тогда, когда ord (a) является некоторой степенью p для каждого a в G.

Если a имеет бесконечный порядок, то все степени a также имеют бесконечный порядок. Если a имеет конечный порядок, у нас есть следующая формула для порядка степеней a:

ord (a) = ord (a) / gcd (ord (a), k)

для любого целого k. В частности, a и обратная ей a имеют одинаковый порядок.

В любой группе

ord ⁡ (ab) = ord ⁡ (ba) {\ displaystyle \ operatorname {ord} (ab) = \ operatorname {ord} (ba)}

\ operatorname {ord} (ab) = \ operatorname {ord} (ba)

есть нет общей формулы, связывающей порядок продукта ab с порядками a и b. Фактически, возможно, что и a, и b имеют конечный порядок, тогда как ab имеет бесконечный порядок, или что и a, и b имеют бесконечный порядок, в то время как ab имеет конечный порядок. Примером первого является a (x) = 2 − x, b (x) = 1 − x с ab (x) = x − 1 в группе $S ym (Z) {\ displaystyle Sym (\ mathbb {Z})}$ $Sym (\ mathbb {Z})$ . Примером последнего является a (x) = x + 1, b (x) = x − 1 с ab (x) = x. Если ab = ba, мы можем по крайней мере сказать, что ord (ab) делит lcm (ord (a), ord (b)). Как следствие, можно доказать, что в конечной абелевой группе, если m обозначает максимум всех порядков элементов группы, то порядок каждого элемента делит m.

Подсчет по порядку элементов

Предположим, G - конечная группа порядка n, а d - делитель n. Число d-элементов порядка в G кратно φ (d) (возможно, ноль), где φ - это функция Эйлера, дающая количество положительных целых чисел не больше d и coprime к нему. Например, в случае S 3 φ (3) = 2, и мы имеем ровно два элемента порядка 3. Теорема не дает полезной информации об элементах порядка 2, поскольку φ (2) = 1, и имеет только ограниченную полезность для составного d, такого как d = 6, поскольку φ (6) = 2, и в S есть нулевые элементы порядка 6 3.

В отношении гомоморфизмов

Групповые гомоморфизмы стремятся уменьшить порядки элементов: если f: G → H - гомоморфизм, а a - элемент конечного порядка из G, то ord (f (a)) делит ord (a). Если f инъективен, то ord (f (a)) = ord (a). Это часто может быть использовано для доказательства отсутствия (инъективных) гомоморфизмов между двумя конкретно данными группами. (Например, не может быть нетривиального гомоморфизма h: S 3→ Z5, потому что каждое число, кроме нуля в Z5, имеет порядок 5, который не делит порядки 1, 2 и 3 элементов в S 3.) Еще одним следствием является то, что сопряженные элементы имеют одинаковый порядок.

Уравнение класса

Важным результатом для заказов является уравнение класса ; он связывает порядок конечной группы G с порядком ее центра Z (G) и размерами ее нетривиальных классов сопряженности :

| G | = | Z (G) | + ∑ idi {\ displaystyle | G | = | Z (G) | + \ sum _ {i} d_ {i} \;}

| G | = | Z (G) | + \ sum _ {i} d_ {i} \;

где d i - размеры не- тривиальные классы сопряженности; это собственные делители | G | больше единицы, и они также равны индексам централизаторов в G представителей нетривиальных классов сопряженности. Например, центр S 3 - это просто тривиальная группа с единственным элементом e, а уравнение гласит | S 3 | = 1 + 2 + 3.

См. Также

Примечания

Ссылки

Даммит, Дэвид; Фут, Ричард. Абстрактная алгебра, ISBN 978-0471433347, стр. 20, 54–59, 90
Артин, Майкл. Алгебра, ISBN 0-13-004763-5, стр. 46–47