Класс сопряжения

В теории групп - класс эквивалентности по отношению спряжения

В математике, особенно теория групп, два элемента a и b из группы являются сопряженными, если в группе есть элемент g такой, что b = gag. Это отношение эквивалентности, классы эквивалентности которого называются классами сопряженности .

Члены одного и того же класса сопряженности нельзя различить, используя только структуру группы, и поэтому они разделяют многие свойства. Изучение классов сопряженности неабелевых групп является фундаментальным для изучения их структуры. Для абелевой группы каждый класс сопряженности представляет собой набор, содержащий один элемент (одноэлементный набор ).

Функции, которые являются постоянными для членов одного и того же класса сопряженности, называются функциями класса.

• 1 Определение
• 2 Примеры
• 3 Свойства
• 4 Сопряжение как группа действие
• 5 Уравнение класса сопряженности
  • 5.1 Пример
• 6 Сопряжение подгрупп и общих подмножеств
• 7 Геометрическая интерпретация
• 8 См. также
• 9 Примечания
• 10 Ссылки
• 11 Внешние links

Пусть G - группа. Два элемента a и b группы G являются сопряженными, если существует элемент g в G такой, что gag = b. Также говорят, что b является сопряженным с a и что a сопряжено с b.

В случае группы GL (n) из обратимых матриц отношение сопряженности называется матричным подобием.

Это легко показать эта сопряженность является отношением эквивалентности и, следовательно, разбивает G на классы эквивалентности. (Это означает, что каждый элемент группы принадлежит ровно одному классу сопряженности, а классы Cl (a) и Cl (b) равны тогда и только тогда, когда a и b сопряжены, и непересекаются в противном случае.) Класс эквивалентности, содержащий элемент a в G, равен

Cl (a) = {gag | g ∈ G}

и называется классом сопряженности элемента a. Номер класса группы G - это количество различных (неэквивалентных) классов сопряженности. Все элементы, принадлежащие к одному и тому же классу сопряженности, имеют одинаковый порядок.

Классы сопряженности могут упоминаться путем их описания или, более кратко, с помощью сокращений, таких как «6A», что означает «определенный класс сопряженности элементов порядка 6», и «6B» будет другим классом сопряженности элементов порядка 6; класс сопряженности 1A - это класс сопряженности тождества. В некоторых случаях классы сопряженности можно описать единообразно; например, в симметричной группе они могут быть описаны циклической структурой.

Симметричная группа S3, состоящая из 6 перестановок трех элементов, имеет три класса сопряженности:

без изменений (abc → abc)

транспонирование двух (abc → acb, abc → bac, abc → cba)

a циклическая перестановка всех трех (abc → bca, abc → cab)

Эти три класса также соответствуют классификация изометрий равностороннего треугольника .

Таблица, показывающая bab для всех пар (a, b) с a, b ∈ S 4(сравните нумерованный список ). Каждая строка содержит все элементы класса сопряженности элемента a, и каждый столбец содержит все элементы S 4.

Симметрическая группа S4, состоящая из 24 перестановок четырех элементов, имеет пять классов сопряженности, перечисленных с их структуры цикла и порядки:

(1) 4без изменений (1 элемент: {(1, 2, 3, 4)}). Единственная строка, содержащая этот класс сопряженности, показана как строка черных кружков в соседней таблице.

(2) замена двух (6 элементов: {(1, 2, 4, 3), (1, 4), 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4)}). 6 строк, содержащих этот класс сопряженности, выделены зеленым цветом в соседней таблице.

(3) циклическая перестановка трех (8 элементов: {(1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4)}). 8 строк, содержащих этот класс сопряженности, показаны обычным шрифтом (без жирного шрифта или выделения цветом) в соседней таблице.

(4) циклическая перестановка всех четырех (6 элементов: {(2, 3, 4), 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2)}). 6 строк, содержащих этот класс сопряженности, выделены оранжевым цветом в соседней таблице.

(2) (2) замена двух, а также двух других (3 элемента: {(2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2)}). 3 строки, содержащие этот класс сопряженности, выделены полужирным шрифтом в соседней таблице.

Собственные вращения куба, которые можно охарактеризовать перестановками диагоналей тела, также описываются сопряжением в S 4.

В общем, количество классов сопряженности в симметричной группе S nравно количеству целочисленных разделов из n. Это потому, что каждый класс сопряженности соответствует ровно одному разбиению {1, 2,..., n} на циклов, с точностью до перестановки элементов {1, 2,..., n}.

В общем, евклидова группа может быть изучена путем сопряжения изометрий в евклидовом пространстве.

• Элементом идентичности всегда является единственный элемент в своем классе, то есть Cl (e) = {e}
• Если G абелев, то gag = a для всех a и g в G; поэтому Cl (a) = {a} для всех a в G.
• Если два элемента a и b группы G принадлежат одному и тому же классу сопряженности (т. е. если они сопряжены), то они имеют одинаковый заказ. В более общем смысле, любое утверждение о a можно перевести в утверждение о b = gag, потому что отображение φ (x) = gxg является автоморфизмом группы G. См. Пример следующего свойства.
• Если a и b сопряжены, то их степени a и b тоже. (Доказательство: если a = gbg, то a = (gbg) (gbg)… (gbg) = gbg.) Таким образом, взятие k-й степени дает отображение классов сопряженности, и можно рассмотреть, какие классы сопряженности находятся в ее прообразе. Например, в симметричной группе квадрат элемента типа (3) (2) (3-цикл и 2-цикл) является элементом типа (3), поэтому один из классов включения питания (3) - это класс (3) (2) (где a - это класс включения питания a).
• Элемент a группы G лежит в центре Z (G) группы G тогда и только тогда, когда ее класс сопряженности имеет только один элемент - сам a. В более общем смысле, если C G (a) обозначает централизатор элемента a в G, т. Е. подгруппу, состоящую из всех элементов g, таких что ga = ag, тогда индекс [G: C G (a)] равен количеству элементов в классе сопряженности элемента a (по теореме о стабилизаторе орбиты ).
• Возьмем $\sigma \; \in \; S\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \backslash \; in\; S\_\; \{n\}\}$и пусть $m\; 1,\; m\; 2,...,\; ms\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{1\},\; m\_\; \{2\},...,\; m\_\; \{s\}\}$- отдельные целые числа, которые появляются как длины циклов в цикле типа $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$(включая 1-циклы). Пусть $ki\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{i\}\}$будет количеством циклов длиной $mi\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{i\}\}$в $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$для каждого $i\; =\; 1,\; 2,...,\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 1,2,...,\; s\}$(так что $\sum \; i\; =\; 1\; skimi\; =\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{s\}\; k\_\; \{i\}\; m\_\; \{i\}\; =\; n\}$). Тогда количество конъюгатов $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$равно:

$n!\; (к\; 1!\; м\; 1\; к\; 1)\; (к\; 2!\; м\; 2\; к\; 2)...\; (ks!\; msks)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{(k\_\; \{1\}!\; m\_\; \{1\}\; ^\; \{k\_\; \{1\}\})\; (k\_\; \{2\}!\; m\_\; \{2\}\; ^\; \{k\_\; \{2\})\; \})...\; (k\_\; \{s\}!\; m\_\; \{s\}\; ^\; \{k\_\; \{s\}\})\}\}\}$

Если мы определим

g. x = gxg

для любых двух элементов g и x в G, то у нас есть групповое действие группы G на G. орбиты этого действия являются классами сопряженности, и стабилизатор данного элемента является централизатором.

элемента. Аналогично, мы можем определить групповое действие G на множестве всех подмножеств G, написав

г. S = gSg,

или на множестве подгрупп группы G.

Если G является конечной группой, то для любого элемента группы a, элементы в классе сопряженности элемента a находятся во взаимно однозначном соответствии с смежными классами централизатора CG(a). Это можно увидеть, заметив, что любые два элемента b и c, принадлежащие одному классу смежности (и, следовательно, b = cz для некоторого z в централизаторе C G (a)), порождают один и тот же элемент, когда спрягая a: bab = cza (cz) = czazc = cazzc = cac. Это также можно увидеть из теоремы о стабилизаторе орбит, если рассматривать группу как действующую на себя посредством сопряжения, так что орбиты являются классами сопряженности, а стабилизирующие подгруппы являются централизаторами. Верно и обратное.

Таким образом, количество элементов в классе сопряженности элемента a является индексом [G: C G (a)] централизатора C G (а) в G; следовательно, размер каждого класса сопряженности делит порядок группы.

Кроме того, если мы выберем единственный репрезентативный элемент x i из каждого класса сопряженности, мы сделаем вывод из дизъюнктности классов сопряженности, что | G | = ∑ i [G: C G(xi)], где C G(xi) - централизатор элемента x i. Замечание, что каждый элемент центра Z (G) образует класс сопряженности, содержащий только себя, приводит к уравнению класса :

| G | = | Z (G) | + ∑ i [G: C G(xi)]

, где сумма превышает репрезентативный элемент из каждого класса сопряженности, который не находится в центре.

Знание делителей группового порядка | G | часто может использоваться для получения информации о порядке центра или классов сопряженности.

Пример

Рассмотрим конечную p-группу G (то есть группу с порядком p, где p - простое число и n>0). Мы собираемся доказать, что каждая конечная p-группа имеет не- тривиальный центр.

Поскольку порядок любого класса сопряженности группы G должен делить порядок группы G, отсюда следует, что каждый класс сопряженности H i, который не находится в центре, также имеет порядок некоторой степени p, где 0 < ki< n. But then the class equation requires that |G| = p = |Z(G)| + ∑iп. Отсюда мы видим, что p должно делить | Z (G) |, поэтому | Z (G) |>1.

В частности, когда n = 2, G является абелевой группой, поскольку для любого элемента группы a, a имеет порядок p или p, если a имеет порядок p, то G изоморфна циклической группе порядка p, следовательно, абелева. С другой стороны, если любой нетривиальный элемент в G имеет порядок p, следовательно, согласно заключению выше | Z (G) |>1, то | Z (G) | = p>1 или p. Нам нужно только рассмотреть случай, когда | Z (G) | = p>1, то существует элемент b группы G, который не находится в центре группы G. Обратите внимание, что b имеет порядок p, поэтому подгруппа G, порожденная b, содержит p элементов и, таким образом, является правильным подмножеством C G (b), потому что C G (b) включает все элементы этой подгруппы и центр, который содержит не b, но не менее p элементов. Следовательно, порядок C G (b) строго больше, чем p, поэтому | C G (b) | = p, поэтому b - элемент центра группы G. Следовательно, G абелева и фактически изоморфна прямому произведению двух циклических групп порядка p каждая.

В более общем смысле, учитывая любое подмножество S группы G (S не обязательно является подгруппой), мы определяем подмножество T группы G как сопряжена с S, если существует такой g в G, что T = gSg. Мы можем определить Cl (S) как множество всех подмножеств T группы G таких, что T сопряжен с S.

Часто используемая теорема состоит в том, что для любого подмножества S группы G индекс N (S) (нормализатор S) в G равен порядку Cl (S):

$|\; Cl\; \; (S)\; |\; =\; [G:\; N\; (S)]\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; operatorname\; \{Cl\}\; (S)\; |\; =\; [G:\; N\; (S)]\}$

Отсюда следует, что если g и h находятся в G, то gSg = hSh тогда и только тогда, когда gh находится в N (S), другими словами, тогда и только тогда, когда g и h находятся в одном смежном классе N (S).

Обратите внимание, что эта формула обобщает формулу, приведенную ранее для количества элементов в классе сопряженности (пусть S = {a}).

Вышесказанное особенно полезно, когда речь идет о подгруппах G. Подгруппы, таким образом, могут быть разделены на классы сопряженности, причем две подгруппы принадлежат к одному классу тогда и только тогда, когда они сопряжены. Сопряженные подгруппы изоморфны, но изоморфные подгруппы не обязательно должны быть сопряженными. Например, абелева группа может иметь две разные подгруппы, которые изоморфны, но никогда не сопряжены.

Классы сопряженности в фундаментальной группе топологического пространства линейно связного можно рассматривать как классы эквивалентности свободные петли при свободной гомотопии.

• Топологическое сопряжение
• FC-группа
• Подгруппа, замкнутая по конъюгату

• Grillet, Pierre Antoine (2007). Абстрактная алгебра. Тексты для выпускников по математике. 242 (2-е изд.). Springer. ISBN 978-0-387-71567-4.

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]