Divisor

Целое число, которое равномерно делит другое целое число Делители 10, изображенные с помощью стержней Кюизенера : 1, 2, 5 и 10

В математике, делитель целого числа $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, также называемый фактором из $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, является целым числом $м\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$, которое можно умножить на некоторое целое число, чтобы получить $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$. В этом случае также говорят, что $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$является кратным из $m.\; \{\backslash \; displaystyle\; m.\}$Целое число $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$делится на другое целое число $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$, если $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$является делителем $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$; это подразумевает деление $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$на $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$без остатка.

Содержание

• 1 Определение
• 2 Общие
• 3 Примеры
• 4 Дополнительные понятия и факты
• 5 В абстрактной алгебре
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки

Определение

Если $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$и $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$ненулевые целые числа, и в более общем случае, ненулевые элементы области целостности, говорят, что $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$divides$n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \}$является делителем числа $n,\; \{\backslash \; displaystyle\; n,\}$или $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$является кратным из $m,\; \{\backslash \; displaystyle\; m,\}$и записывается как

$m\; \mid \; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; mid\; n,\}$

, если существует целое число $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$или элемент $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$области целостности, такой что $mk\; =\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; mk\; =\; n\}$.

Это определение иногда расширяется, чтобы включить ноль. Это мало что добавляет к теории, так как 0 не делит никакое другое число, а каждое число делит 0. С другой стороны, исключение нуля из определения упрощает многие утверждения. Кроме того, в теории колец элемент a называется «делителем нуля », только если он не равен нулю и ab = 0 для ненулевого элемента b. Таким образом, среди целых чисел нет делителей нуля (и по определению нет делителей нуля в области целостности).

Общие

Делители могут быть отрицательными, а также положительными, хотя иногда термин ограничивается положительными делителями. Например, есть шесть делителей числа 4; это 1, 2, 4, −1, −2 и −4, но обычно упоминаются только положительные (1, 2 и 4).

1 и -1 делят (являются делителями) каждое целое число. Каждое целое число (и его отрицание) является делителем самого себя. Целые числа, делящиеся на 2, называются четными, а целые числа, не делящиеся на 2, называются нечетными.

1, −1, n и −n известны как тривиальные делители из п. Делитель числа n, который не является тривиальным делителем, известен как нетривиальный делитель (или строгий делитель). Ненулевое целое число с хотя бы одним нетривиальным делителем известно как составное число, тогда как единицы −1 и 1 и простые числа не имеют нетривиальные дивизоры.

Существуют правила делимости, которые позволяют отличать определенные делители числа от цифр числа.

Примеры

График количества делителей целых чисел от 1 до 1000. Простые числа имеют ровно 2 делителя, а составные числа выделены жирным шрифтом.

• 7 является делителем 42, потому что $7\; \times \; 6\; =\; 42\; \{\backslash \; displaystyle\; 7\; \backslash \; times\; 6\; =\; 42\}$, поэтому мы можем сказать $7\; \mid \; 42\; \{\backslash \; displaystyle\; 7\; \backslash \; середина\; 42\}$. Также можно сказать, что 42 делится на 7, 42 является кратным 7, 7 делит 42 или 7 является множителем из 42.
• Нетривиальные делители числа 6 равны 2, −2, 3, −3.
• Положительные делители числа 42 равны 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• устанавливает всех положительных делителей 60, $A\; =\; \{1,\; 2,\; 3,\; 4,\; 5,\; 6,\; 10,\; 12,\; 15,\; 20,\; 30,\; 60\}\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; \{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\; \backslash \}\}$, частично упорядочено по делимость, имеет диаграмму Хассе :

Дополнительные понятия и факты

Существуют некоторые элементарные правила:

• Если $a\; \mid \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; mid\; b\}$и $b\; \mid \; c\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; \backslash \; mid\; c\}$, затем $a\; \mid \; c\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; mid\; c\}$, т.е. делимость - это транзитивное отношение.
• Если $a\; \mid \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; mid\; b\}$и $b\; \mid \; a\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; \backslash \; mid\; a\}$, то $a\; =\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; b\}$или $a\; =\; -\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; -b\}$.
• Если $a\; \mid \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; а\; \backslash \; м\; id\; b\}$и $a\; \mid \; c\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; mid\; c\}$, затем $a\; \mid \; (b\; +\; c)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; mid\; (b\; +\; c)\}$, как и $a\; \mid \; (b\; -\; c)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; mid\; (bc)\}$. Однако, если $a\; \mid \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; mid\; b\}$и $c\; \mid \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; \backslash \; mid\; b\}$, то $(\; a\; +\; c)\; \mid \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\; +\; c)\; \backslash \; mid\; b\}$не всегда выполняется (например, $2\; \mid \; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; mid\; 6\}$и $3\; \mid \; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\; \backslash \; mid\; 6\}$, но 5 не делит 6).

Если $a\; \mid \; bc\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; mid\; bc\}$и gcd $(a,\; b)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (a,\; b)\; =\; 1\}$, затем $a\; \mid \; c\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; mid\; c\}$. Это называется леммой Евклида.

Если $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$- простое число и $p\; \mid \; ab\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; mid\; ab\}$, затем $p\; \mid \; a\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; mid\; a\}$или $p\; \mid \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; mid\; b\}$.

положительный делитель $n\; \{\; \backslash \; displaystyle\; n\}$, который отличается от $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, называется собственным делителем или аликвотной частью из $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$. Число, которое не делит $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, но оставляет остаток, называется аликвантной частью числа $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$.

. Целое число $n>1\; \{\backslash \; displaystyle\; n>1\}$, единственный правильный делитель которого равен 1, называется простым числом. Точно так же простое число - это положительное целое число, которое имеет ровно два положительных фактора: 1 и само.

Любой положительный делитель $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$является произведением простых делителей из $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$в некоторой степени. Это следствие основной теоремы арифметики.

Число $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$считается совершенным., если он равен сумме своих собственных делителей, неполноценный, если сумма его собственных делителей меньше $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, и изобилие nt, если эта сумма превышает $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$.

Общее количество положительных делителей $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$является мультипликативной функцией $d\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (n)\}$, что означает, что когда два числа $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$и $n\; \{\; \backslash \; displaystyle\; n\}$являются относительно простыми, тогда $d\; (mn)\; =\; d\; (m)\; \times \; d\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (mn)\; =\; d\; (m)\; \backslash \; times\; d\; (n)\}$. Например, $d\; (42)\; =\; 8\; =\; 2\; \times \; 2\; \times \; 2\; =\; d\; (2)\; \times \; d\; (3)\; \times \; d\; (7)\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (42)\; =\; 8\; =\; 2\; \backslash \; times\; 2\; \backslash \; times\; 2\; =\; d\; (2)\; \backslash \; times\; d\; (3)\; \backslash \; times\; d\; (7)\}$; восемь делителей 42 равны 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 и 42. Однако число положительных делителей не является полностью мультипликативной функцией: если два числа $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$и $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$имеют общий делитель, тогда может быть неверно, что $d\; (mn)\; =\; d\; (m)\; \times \; d\; (n)\; \{\backslash \; Displaystyle\; d\; (mn)\; =\; d\; (m)\; \backslash \; times\; d\; (n)\}$. Сумма положительных делителей $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$является другой мультипликативной функцией $\sigma \; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (n)\}$(например, $\sigma \; (42)\; =\; 96\; =\; 3\; \times \; 4\; \times \; 8\; =\; \sigma \; (2)\; \times \; \sigma \; (3)\; \times \; \sigma \; (7)\; =\; 1\; +\; 2\; +\; 3\; +\; 6\; +\; 7\; +\; 14\; +\; 21\; +\; 42\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; сигма\; (42)\; =\; 96\; =\; 3\; \backslash \; раз\; 4\; \backslash \; раз\; 8\; =\; \backslash \; сигма\; (2)\; \backslash \; раз\; \backslash \; сигма\; (3)\; \backslash \; раз\; \backslash \; сигма\; (7)\; =\; 1\; +\; 2\; +\; 3\; +\; 6\; +\; 7\; +\; 14\; +\; 21\; +\; 42\; \}$). Обе эти функции являются примерами функций делителей.

Если разложение на простые множители из $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$задано как

$n\; =\; p\; 1\; \nu \; 1\; п\; 2\; \nu \; 2\; \cdots \; pk\; \nu \; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; п\; =\; p\_\; \{1\}\; ^\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\}\; \backslash ,\; p\_\; \{2\}\; ^\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; p\_\; \{k\}\; ^\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{k\}\}\}$

тогда количество положительных делителей $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$равно

$d\; (n)\; =\; (\nu \; 1\; +\; 1)\; (\nu \; 2\; +\; 1)\; \cdots \; (\nu \; К\; +\; 1),\; \{\backslash \; Displaystyle\; d\; (n)\; =\; (\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; +1)\; (\backslash \; nu\; \_\; \{2\}\; +1)\; \backslash \; cdots\; (\backslash \; nu\; \_\; \{k\; \}\; +1),\}$

и каждый из делителей имеет вид

$p\; 1\; \mu \; 1\; p\; 2\; \mu \; 2\; \cdots \; pk\; \mu \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{1\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\}\; \backslash ,\; p\_\; \{2\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; p\_\; \{k\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{k\}\}\}$

где $0\; \le \; \mu \; i\; \le \; \nu \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; leq\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; nu\; \_\; \{i\}\}$для каждого $1\; \le \; i\; \le \; k.\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; leq\; i\; \backslash \; leq\; k.\}$

Для каждого натурального $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, .

Кроме того,

$d\; (1)\; +\; d\; (2)\; +\; \cdots \; +\; d\; (n)\; знак\; равно\; n\; ln\; \; n\; +\; (2\; \gamma \; -\; 1)\; n\; +\; O\; (n).\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (1)\; +\; d\; (2)\; +\; \backslash \; cdots\; +\; d\; (n)\; =\; n\; \backslash \; ln\; n\; +\; (2\; \backslash \; gamma\; -1)\; n\; +\; O\; (\{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}).\}$

где $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$- константа Эйлера – Маскерони. Одна интерпретация этого результата состоит в том, что случайно выбранное положительное целое число n имеет среднее количество делителей примерно $ln\; \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; n\}$. Однако это результат вклада чисел с "ненормально большим количеством" делителей.

В абстрактной алгебре

В определениях, которые включают 0, отношение делимости превращает множество $N\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$из неотрицательных целых чисел в частично упорядоченный набор : полная распределительная решетка. Наибольший элемент этой решетки равен 0, а наименьший - 1. Операция встречи ∧ задается наибольшим общим делителем, а операция соединения ∨ - значением наименьшее общее кратное. Эта решетка изоморфна двойственной к решетке подгрупп бесконечной циклической группы $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$.

См. Также

• Арифметические функции
• Правило делимости
• Функция делителя
• алгоритм Евклида
• Дробь (математика)
• Таблица делителей - Таблица простых и непростых делителей для 1–1000
• Таблица простых множителей - Таблица простых множителей для 1–1000
• Унитарный делитель

Примечания

Ссылки

• Дурбин, Джон Р. (1992). Современная алгебра: Введение (3-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN 0-471-51001-7. CS1 maint: ref = harv (link )
• Ричард К. Гай, Нерешенные проблемы в цифрах Theory (3-е изд.), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7 ; раздел B.
• Herstein, IN ( 1986), Абстрактная алгебра, Нью-Йорк: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1
• Øystein Ore, Number Theory and its History, McGraw – Hill, NY, 1944 (и оттиски Dover).
• Симс, Чарльз К. (1984), Абстрактная алгебра: вычислительный подход, Нью-Йорк: John Wiley Sons, ISBN 0-471-09846 -9