Открыть набор

редактировать

Базовое подмножество топологического пространства

Пример: синий кружок представляет набор точек (x, y), удовлетворяющих x + у = г. Красный диск представляет собой набор точек (x, y), удовлетворяющих x + y закрытый набор.

В математике, особенно в топологии , открытый набор - это абстрактное понятие , обобщающее идею открытого интервала в реальной строке. Самый простой пример - в метрических пространствах, где открытые множества могут быть определены как те множества, которые содержат шар вокруг каждой из своих точек (или, что эквивалентно, набор открыт, если он не содержит ни одной из своих граничных точек ); тем не менее, открытое множество, в общем, может быть очень абстрактным: любой набор множеств можно назвать открытым, пока объединение произвольного числа открытых множеств в коллекции открыто, пересечение конечного числа открытых множеств открыто, и само пространство открыто. Эти условия очень свободные, и они дают огромную гибкость в выборе открытых наборов. В двух крайних случаях каждый набор может быть открытым (так называемая дискретная топология ), или не может быть открытым ни один набор, кроме самого пространства и пустого набора (недискретная топология ).

Однако на практике открытые множества обычно выбираются так, чтобы они были похожи на открытые интервалы реальной линии. Понятие открытого множества обеспечивает фундаментальный способ говорить о близости точек в топологическом пространстве, без явного определения понятия расстояния. После выбора открытых множеств свойства непрерывности, связности и компактности, которые используют понятия близости, могут быть определены с использованием этих открытых множеств..

Каждый выбор открытых наборов для пространства называется топологией . Хотя открытые множества и топологии, которые они составляют, имеют центральное значение в точечной топологии, они также используются в качестве организационного инструмента в других важных разделах математики. Примеры топологий включают топологию Зарисского в алгебраической геометрии, которая отражает алгебраическую природу разновидностей, и топологию на дифференциальном многообразии в дифференциальная топология, где каждая точка в пространстве содержится в открытом множестве, гомеоморфном открытому шару в конечномерном евклидовом пространстве.

Содержание

1 Мотивация
2 Определения
- 2.1 Евклидово пространство
- 2.2 Метрическое пространство
- 2.3 Топологическое пространство
3 Свойства
4 Использует
5 Примечания и предостережения
- 5.1 "Открыть" - это определены относительно конкретной топологии
- 5.2 Открытие и закрытие не являются взаимоисключающими
6 См. также
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Мотивация

Интуитивно открытый набор обеспечивает метод различения двух точек. Например, если около одной точки в топологическом пространстве существует открытое множество, не содержащее другую (отличную) точку, эти две точки упоминаются как топологически различимые. Таким образом, можно говорить о том, являются ли два подмножества топологического пространства «рядом», без конкретного определения метрики на топологическом пространстве. Следовательно, топологические пространства можно рассматривать как обобщение метрических пространств.

В наборе всех действительных чисел есть естественная евклидова метрика; то есть функция, которая измеряет расстояние между двумя действительными числами: d (x, y) = | x - y |. Следовательно, имея действительное число x, можно говорить о множестве всех точек, близких к этому действительному числу; то есть в пределах ε от x. По сути, точки в пределах ε от x аппроксимируют x с точностью до степени ε. Обратите внимание, что ε>0 всегда, но по мере того, как ε становится все меньше и меньше, можно получить точки, которые аппроксимируют x с все большей и большей степенью точности. Например, если x = 0 и ε = 1, точки в пределах ε от x - это в точности точки интервала (-1, 1); то есть набор всех действительных чисел от -1 до 1. Однако при ε = 0,5 точки в пределах ε от x в точности совпадают с точками (-0,5, 0,5). Ясно, что эти точки аппроксимируют x с большей степенью точности, чем при ε = 1.

Предыдущее обсуждение показывает, что для случая x = 0 можно приблизить x к все более и более высокой степени точности, определяя ε все меньше и меньше. В частности, множества вида (-ε, ε) дают нам много информации о точках, близких к x = 0. Таким образом, вместо того, чтобы говорить о конкретной евклидовой метрике, можно использовать множества для описания точек, близких к x. Эта новаторская идея имеет далеко идущие последствия; в частности, определяя разные наборы наборов, содержащих 0 (отличных от наборов (-ε, ε)), можно получить разные результаты относительно расстояния между 0 и другими действительными числами. Например, если бы мы определили R как единственный такой набор для «измерения расстояния», все точки были бы близки к 0, поскольку есть только одна возможная степень точности, которую можно достичь при приближении 0: быть член R . Таким образом, мы обнаруживаем, что в некотором смысле каждое действительное число находится на расстоянии 0 от 0. В этом случае может помочь думать о мере как о двоичном условии: все вещи в R одинаково близки к 0, в то время как любой элемент, не входящий в R, не близок к 0.

В общем, один относится к семейству наборов, содержащих 0, используемых для приближения 0, как основа соседства ; член этого базиса соседства упоминается как открытый набор . Фактически, можно обобщить эти понятия на произвольное множество (X); а не просто реальные числа. В этом случае, учитывая точку (x) этого набора, можно определить набор наборов "вокруг" (то есть содержащих) x, используемый для аппроксимации x. Конечно, эта коллекция должна удовлетворять определенным свойствам (известным как аксиомы ), иначе у нас может не быть четко определенного метода измерения расстояния. Например, каждая точка в X должна приближать x с некоторой степенью точности. Таким образом, X должен быть в этом семействе. Как только мы начинаем определять «меньшие» множества, содержащие x, мы склонны приближать x с большей степенью точности. Имея это в виду, можно определить оставшиеся аксиомы, которым должно удовлетворять семейство множеств относительно x.

Определения

Здесь даны несколько определений в порядке возрастания технических характеристик. Каждый из них - частный случай следующего.

Евклидово пространство

Подмножество U евклидова n-пространства Rоткрыто, если для каждой точки x в U существует положительное действительное число ε (зависящее от x) такое, что точка в R принадлежит U, как только ее евклидово расстояние от x меньше ε. Эквивалентно, подмножество U из R открыто, если каждая точка в U является центром открытого шара, содержащегося в U.

Метрическое пространство

Подмножество U метрического пространства (M, d) называется открытым, если для любой точки x в U существует вещественное число ε>0 такое, что для любой точки y в M с d (x, y) < ε, y also belongs to U. Equivalently, U is open if every point in U has a neighborhood contained in U.

Это обобщает пример евклидова пространства, поскольку евклидово пространство с евклидовым расстоянием является метрическим пространством.

Топологическое пространство

A топологическое пространство - это множество, на котором определена топология, которая состоит из набора подмножеств, которые называются открытыми и удовлетворяют аксиомам нижеприведенный.

Точнее, пусть X - множество. Семейство $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ подмножеств X является топологией на X, а элементы $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ являются открытые множества топологии, если

$X ∈ τ, ∅ ∈ τ {\ displaystyle X \ in \ tau, \, \ emptyset \ in \ tau \ qquad \ qquad \ qquad}$ ${\ displaystyle X \ in \ tau, \, \ emptyset \ in \ tau \ qquad \ qquad \ qquad}$ (X и $∅ {\ displaystyle \ emptyset}$ $\ emptyset$ открыты)
${U i} i ∈ I ⊆ τ ⟹ ⋃ i ∈ IU i ∈ τ {\ displaystyle \ {U_ {i} \} _ {i \ in I} \ substeq \ tau \ Longrightarrow \ bigcup _ {i \ in I} U_ {i} \ in \ tau \ qquad}$ ${\ displaystyle \ {U_ {i} \} _ {i \ in I } \ substeq \ tau \ Longrightarrow \ bigcup _ {i \ in I} U_ {i} \ in \ tau \ qquad}$ (любое объединение открытых множеств является открытым множеством)
${U я} я знак равно 1 N ⊆ τ ⟹ ⋂ я знак равно 1 N U я ∈ τ {\ displaystyle \ {U_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n} \ substeq \ tau \ Longrightarrow \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} U_ {i} \ in \ tau \ qquad}$ ${\ displaystyle \ {U_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n} \ substeq \ tau \ Longrightarrow \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} U_ {i} \ in \ tau \ qquad}$ (любое конечное пересечение открытых множеств является открытым множеством)

Бесконечные пересечения открытых множеств не обязательно быть открытым. Например, пересечение всех интервалов вида (–1 / n, 1 / n), где n - положительное целое число, - это множество {0}, которое не открыто в действительной прямой.

Метрическое пространство - это топологическое пространство, топология которого состоит из совокупности всех подмножеств, являющихся объединениями открытых шаров. Однако есть топологические пространства, которые не являются метрическими пространствами.

Свойства

объединение любого количества открытых множеств или бесконечного количества открытых множеств является открытым. пересечение конечного числа открытых множеств открыто.

A дополнение открытого множества (относительно пространства, на котором определена топология) называется замкнутым множеством. Набор может быть как открытым, так и закрытым (закрытый набор ). пустое множество и полное пространство являются примерами как открытых, так и закрытых множеств.

Использование

Открытые множества имеют фундаментальное значение в топологии. Эта концепция требуется для определения и осмысления топологического пространства и других топологических структур, которые имеют дело с понятиями близости и сходимости для таких пространств, как метрические пространства и равномерные пространства.

Каждое подмножество A топологического пространства X содержит (возможно, пустое) открытое множество; максимальное (упорядоченное по включению) такое открытое множество называется внутренним множества A. Оно может быть построено путем объединения всех открытых множеств, содержащихся в A.

Заданные топологические пространства X и Y, функция f от X до Y является непрерывной, если прообраз каждого открытого набора в Y открыт в X. Функция f вызывается открыть, если изображение каждого открытого набора в X открыто в Y.

Открытый набор на реальной линии имеет характеристическое свойство, которое это счетное объединение непересекающихся открытых интервалов.

Примечания и предостережения

«Открытый» определяется относительно конкретной топологии

Открыт ли набор, зависит от рассматриваемой топологии. Сделав выбор в пользу большей краткости вместо большей ясности, мы называем множество X, наделенное топологией T, «топологическим пространством X», а не «топологическим пространством (X, T)», несмотря на то, что все топологические данные содержатся в T. Если есть две топологии в одном наборе, набор U, открытый в первой топологии, может не открыться во второй топологии. Например, если X - любое топологическое пространство, а Y - любое подмножество X, множеству Y может быть присвоена собственная топология (называемая «топологией подпространства»), определяемая следующим образом: «множество U открыто в топологии подпространства на Y, если и только если U является пересечением Y с открытым множеством из исходной топологии на X ». Это потенциально вводит новые открытые множества: если V открыто в исходной топологии на X, но $V ∩ Y {\ displaystyle V \ cap Y}$ $V \ cap Y$ не открыто в исходной топологии на X, тогда $V ∩ Y {\ displaystyle V \ cap Y}$ $V \ cap Y$ открыт в топологии подпространства на Y.

В качестве конкретного примера этого, если U определено как множество рациональных чисел в интервале (0, 1), то U является открытым подмножеством рациональных чисел, но не действительных чисел. Это потому, что, когда окружающее пространство представляет собой рациональные числа, для каждой точки x в U существует положительное число a такое, что все рациональные точки на расстоянии a от x также находятся в U. С другой стороны, когда окружающее пространство действительные числа, то для каждой точки x в U не существует положительного a, такого, что все вещественные точки на расстоянии a от x находятся в U (поскольку U не содержит нерациональных чисел).

Открытое и закрытое не являются взаимоисключающими.

Набор может быть открытым, закрытым, обоими или ни одним из них.

Например, мы будем использовать вещественную линию с ее обычной топологией (евклидова топология ), которая определяется следующим образом: каждый интервал (a, b) действительных чисел принадлежит топология и каждое объединение таких интервалов, например $(a, b) ∪ (c, d) {\ displaystyle (a, b) \ cup (c, d)}$ $(a, b) \ чашка (c, d)$ , принадлежит топологии.

В любой топологии весь набор X объявляется открытым по определению, как и пустой набор. Более того, дополнением всего множества X является пустое множество; поскольку X имеет открытое дополнение, это означает по определению, что X замкнуто. Следовательно, в любой топологии все пространство одновременно открыто и закрыто ("clopen ").
Интервал $I = (0, 1) {\ displaystyle I = ( 0,1)}$ $I = (0,1)$ открыт, потому что он принадлежит евклидовой топологии. Если бы у меня было открытое дополнение, это по определению означало бы, что я был закрыт. Но у меня нет открытого дополнения; его дополнение: $IC = (- ∞, 0] ∪ [1, ∞) {\ displaystyle I ^ {C} = (- \ infty, 0] \ cup [1, \ infty)}$ $I ^ {C} = (- \ infty, 0] \ cup [1, \ infty)$ , который не принадлежит евклидовой топологии, поскольку не является объединением интервалов вида $(a, b) {\ displaystyle (a, b)}$ $(a,b)$ . Следовательно, I является примером открытого, но не закрытого набора.
По аналогичному аргументу интервал $J = [0, 1] {\ displaystyle J = [0,1]}$ $J = [0,1]$ закрыт, но не открыт.
Наконец, поскольку ни $K = [0, 1) {\ displaystyle K = [0,1)}$ $K = [0,1)$ , ни его дополнение $KC = (- ∞, 0) ∪ [1, ∞) {\ displaystyle K ^ {C} = (- \ infty, 0) \ cup [1, \ infty)}$ $K ^ { C} = (- \ infty, 0) \ чашка [1, \ infty)$ принадлежит евклидовой топологии (ни один из них не может быть записан как объединение интервалов вида (a, b)), это означает, что K не является ни открытым, ни замкнутым.

См. также

База (топология) - Набор открытых множеств, достаточный для определения топологии
Подбаза - Набор подмножеств, закрытие которых конечными пересечениями формирует основу топологии
Clopen set - Подмножество, которое одновременно открыто и закрыто

Ссылки

Внешние ссылки

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
«Открытый набор». PlanetMath.