Топология Зарисского

В топологии Зарисского на аффинной плоскости этот граф полинома замкнут.

В алгебраическая геометрия и коммутативная алгебра, топология Зарисского - это топология на алгебраических многообразиях, введенная в первую очередь Оскар Зариски и позже обобщены для превращения набора простых идеалов в коммутативного кольца в топологическое пространство, называемое спектром кольца.

Топология Зарисского позволяет использовать инструменты из топологии для изучения алгебраических разновидностей, даже если лежащее в основе поле не является топологическим полем. Это одна из основных идей теории схем, которая позволяет строить общие алгебраические многообразия, склеивая вместе аффинные многообразия аналогично тому, как это делается в многообразии теория, где многообразия строятся путем склеивания вместе карт, которые являются открытыми подмножествами вещественных аффинных пространств.

Топология Зарисского алгебраического многообразия - это топология, замкнутые множества которой являются алгебраическими подмножествами многообразия. В случае алгебраического многообразия над комплексными числами топология Зарисского, таким образом, более грубая, чем обычная топология, поскольку каждое алгебраическое множество замкнуто для обычной топологии.

Обобщение топологии Зарисского на множество простых идеалов коммутативного кольца следует из Nullstellensatz Гильберта, устанавливающего взаимно однозначное соответствие между точками аффинного многообразия, определенного над алгебраически замкнутое поле и максимальные идеалы кольца его регулярных функций. Это предполагает определение топологии Зарисского на множестве максимальных идеалов коммутативного кольца как топологии такой, что множество максимальных идеалов замкнуто тогда и только тогда, когда это множество всех максимальных идеалов, содержащих данный идеал. Другая основная идея теории схем Гротендика состоит в том, чтобы рассматривать в качестве точек не только обычные точки, соответствующие максимальным идеалам, но также все (неприводимые) алгебраические многообразия, которые соответствуют простым идеалам. Таким образом, топология Зарисского на множестве первичных идеалов (спектра) коммутативного кольца - это топология, в которой множество первичных идеалов замкнуто тогда и только тогда, когда это множество всех первичных идеалов, содержащих фиксированный идеал.

• 1 Топология многообразий Зарисского
  • 1.1 Аффинные многообразия
  • 1.2 Проективные многообразия
  • 1.3 Свойства
• 2 Спектр кольца
  • 2.1 Примеры
  • 2.2 Свойства
• 3 См. Также
• 4 Ссылки
• 5 Дополнительная литература

В классической алгебраической геометрии (то есть в той части алгебраической геометрии, в которой не используются схемы , которые были введены Гротендиком примерно в 1960 г.) топология Зарисского определена на алгебраических многообразиях. Топология Зарисского, определенная в точках многообразия, - это топология такая, что замкнутые множества являются алгебраическими подмножествами многообразия. Поскольку наиболее элементарными алгебраическими разновидностями являются аффинные и проективные разновидности, полезно сделать это определение более явным в обоих случаях. Мы предполагаем, что мы работаем над фиксированным алгебраически замкнутым полем k (в классической геометрии k почти всегда является комплексными числами ).

Аффинные разновидности

Сначала мы определяем топологию на аффинных пространствах $A\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{A\}\; ^\; \{n\},\}$которые как множества представляют собой просто n-мерные векторные пространства над k. Топология определяется указанием его замкнутых множеств, а не его открытых множеств, и они принимаются просто как все алгебраические множества в $A\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{A\}\; ^\; \{n\}.\}$То есть, замкнутые множества имеют вид

$V\; (S)\; =\; \{x\; \in \; A\; n\; \mid \; f\; (x)\; =\; 0,\; \forall \; е\; \in \; S\}\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; (S)\; =\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{A\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; mid\; f\; (x)\; =\; 0,\; \backslash \; forall\; f\; \backslash \; in\; S\; \backslash \}\}$

где S - любой набор многочленов от n переменных над k. Это прямая проверка, чтобы показать, что:

• V (S) = V ((S)), где (S) - идеал, порожденный элементами S;
• Для любых двух идеалов многочленов I, J имеем
  1. $V\; (I)\; \cup \; V\; (J)\; =\; V\; (IJ);\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; (I)\; \backslash \; чашка\; V\; (J)\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; V\; (IJ);\}$
  2. $V\; (I)\; \cap \; V\; (J)\; =\; V\; (I\; +\; J).\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; (I)\; \backslash \; cap\; V\; (J)\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; V\; (I\; +\; J).\}$

Отсюда следует, что конечные объединения и произвольные пересечения множеств V (S) также имеют эту форму, так что эти множества образуют замкнутые множества топологии (эквивалентно, их дополнения, обозначенные D (S) и называемые главными открытыми множествами, образуют саму топологию). Это топология Зарисского на $A\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{A\}\; ^\; \{n\}.\}$

Если X - аффинное алгебраическое множество (неприводимое или неприводимое), то топология Зарисского на нем определяется просто как топология подпространства, индуцированная включением его в некоторый $A\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{A\}\; ^\; \{n\}.\}$Эквивалентно можно проверить, что:

• Элементы аффинного координатного кольца

$A\; (X)\; =\; k\; [x\; 1,\dots ,\; Xn]\; /\; I\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (X)\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; k\; [x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n\}]\; /\; I\; (X)\}$

действуют как функции на X так же, как элементы $k\; [x\; 1,\dots ,\; xn]\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; [x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n\}]\}$действуют как функции на $A\; n;\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{A\}\; ^\; \{n\};\}$

• Для любого набора многочленов S пусть T будет набором их изображений в A (X). Тогда подмножество X

$V\; \prime \; (T)\; =\; \{x\; \in \; X\; \mid \; f\; (x)\; =\; 0,\; \forall \; f\; \in \; T\}\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \text{'}(T)\; =\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; X\; \backslash \; mid\; f\; (\; x)\; =\; 0,\; \backslash \; forall\; f\; \backslash \; in\; T\; \backslash \}\}$

(эти обозначения нестандартные) равно пересечению с X точки V (S).

Это устанавливает, что приведенное выше уравнение, явно являющееся обобщением предыдущего, определяет топологию Зарисского на любом аффинном многообразии.

Проективные разновидности

Напомним, что n-мерное проективное пространство $P\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{n\}\}$определяется как набор классов эквивалентности ненулевых точек в $A\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{A\}\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}$путем определения двух точек, которые отличаются на скаляр, кратный k. Элементы кольца многочленов $k\; [x\; 0,\dots ,\; xn]\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; [x\_\; \{0\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n\}]\}$не являются функциями на $P\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{n\}\}$, потому что у любой точки есть много представителей, которые дают разные значения в полиноме; однако для однородных многочленов условие наличия нулевого или ненулевого значения в любой заданной проективной точке четко определено, поскольку скалярное множество множителей выходит из многочлена. Следовательно, если S - произвольное множество однородных многочленов, мы можем разумно говорить о

$V\; (S)\; =\; \{x\; \in \; P\; n\; \mid \; f\; (x)\; =\; 0,\; \forall \; f\; \in \; S\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (S)\; =\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; mid\; f\; (x)\; =\; 0,\; \backslash \; forall\; f\; \backslash \; in\; S\; \backslash \}.\}$

Те же факты, что и выше, могут для этих множеств, за исключением того, что слово «идеал» необходимо заменить фразой «однородный идеал », чтобы V (S) для множеств S однородных многочленов определял топологию на $P\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{n\}.\}$Как и выше, дополнения этих наборов обозначаются D (S) или, если возможна путаница, D '(S).

Проективная топология Зарисского определена для проективных алгебраических множеств точно так же, как аффинная топология определена для аффинных алгебраических множеств, путем взятия топологии подпространств. Точно так же можно показать, что эта топология внутренне определяется наборами элементов проективного координатного кольца по той же формуле, что и выше.

Свойства

Очень полезный факт об этих топологиях заключается в том, что мы можем продемонстрировать базис для них, состоящий из особенно простых элементов, а именно D (f) для отдельных многочленов (или для проективных многообразий однородные многочлены) f. В самом деле, то, что они образуют базис, следует из формулы пересечения двух замкнутых по Зарискому множеств, данной выше (многократно применяйте ее к главным идеалам, порожденным генераторами (S)). Их называют выделенными или основными открытыми множествами.

Согласно теореме Гильберта о базисе и некоторым элементарным свойствам нётеровых колец, каждое аффинное или проективное координатное кольцо является нётеровым. Как следствие, аффинные или проективные пространства с топологией Зариского являются нётеровыми топологическими пространствами, из чего следует, что любое замкнутое подмножество этих пространств компактно.

. set всегда является пространством Хаусдорфа. В старой топологической литературе термин «компактность» включал в себя свойство Хаусдорфа, и это соглашение все еще соблюдается в алгебраической геометрии; поэтому компактность в современном понимании называется «квазикомпактностью» в алгебраической геометрии. Однако, поскольку каждая точка (a 1,..., a n) является нулевым набором многочленов x 1 - a 1,..., x n - a n, точки замкнуты, и поэтому каждое многообразие удовлетворяет аксиоме T1.

Любое регулярное отображение многообразий непрерывное в топологии Зарисского. Фактически, топология Зарисского является самой слабой топологией (с наименьшим количеством открытых множеств), в которой это верно и в которой точки замкнуты. В этом легко убедиться, заметив, что замкнутые по Зарисскому множества - это просто пересечения прообразов 0 полиномиальными функциями, рассматриваемые как регулярные отображения в $A\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{A\}\; ^\; \{1\}.\}$

В современной алгебраической геометрии алгебраическое разнообразие часто представляется связанной с ним схемой , которая представляет собой топологическое пространство (снабженное дополнительными структурами), локально гомеоморфно спектру кольца. Спектр коммутативного кольца A, обозначаемый Spec (A), - это множество первичных идеалов кольца A, снабженное топологией Зарисского, для которого замкнутые множества - это множества

$V\; (I)\; Знак\; равно\; \{P\; \in \; Spec\; (A)\; \mid \; я\; \subseteq \; P\}\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (I)\; =\; \backslash \; \{P\; \backslash \; in\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; \backslash ,\; (A)\; \backslash \; mid\; I\; \backslash \; substeq\; P\; \backslash \}\}$

где Я идеал.

Чтобы увидеть связь с классической картиной, заметим, что для любого множества S многочленов (над алгебраически замкнутым полем) из Nullstellensatz Гильберта следует, что точки V (S) (в старом смысле) - это в точности наборы (a 1,..., a n) такие, что идеал, порожденный многочленами x 1 - a 1,..., x n - a n содержит S; более того, это максимальные идеалы, и согласно «слабому» Nullstellensatz идеал любого аффинного координатного кольца максимален тогда и только тогда, когда он имеет эту форму. Таким образом, V (S) "то же самое, что и" максимальные идеалы, содержащиеся в С. Гротендике. Новаторство в определении Spec заключалось в замене максимальных идеалов на все простые идеалы; в этой формулировке естественно просто обобщить это наблюдение до определения замкнутого множества в спектре кольца.

Другой способ, возможно, более похожий на исходный, интерпретировать современное определение - это осознать, что элементы A на самом деле можно рассматривать как функции на первичных идеалах A; а именно, как функции на Spec A. Просто, любому первичному идеалу P соответствует поле вычетов, которое является полем дробей частного A / P, и любому элементу A имеет отражение в этом поле вычетов. Кроме того, элементы, которые на самом деле находятся в P, - это в точности те элементы, отражение которых обращается в нуль в P. Итак, если мы подумаем о карте, связанной с любым элементом a из A:

$ea:\; (P\; \in \; Spec\; \; (A))\; \mapsto \; (\; мод\; P\; 1\; \in \; Frac\; \; (A\; /\; P))\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{a\}\; \backslash \; двоеточие\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; P\; \backslash \; in\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; (A)\; \{\backslash \; bigr)\}\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\; \backslash ;\; \{\backslash \; bmod\; \{P\}\}\}\; \{1\}\}\; \backslash \; in\; \backslash \; operatorname\; \{Frac\}\; (A\; /\; P)\; \backslash \; right)\}$

(«оценка a»), который присваивает каждой точке свой отражение в поле вычетов там, как функция на Spec A (значения которой, по общему признанию, лежат в разных полях в разных точках), то мы имеем

$ea\; (P)\; =\; 0\; \iff \; P\; \in \; V\; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{a\}\; (P)\; =\; 0\; \backslash \; Leftrightarrow\; P\; \backslash \; in\; V\; (a)\}$

В более общем смысле, V (I) для любого идеала I - это общее множество, на котором все "функции" в I обращаются в нуль, т. е. формально аналогичен классическому определению. Фактически, они согласны в том смысле, что, когда A - кольцо многочленов над некоторым алгебраически замкнутым полем k, максимальные идеалы A (как обсуждалось в предыдущем абзаце) отождествляются с наборами n элементов поля k, их полями вычетов равны просто k, а «оценочные» карты на самом деле являются вычислением многочленов в соответствующих n-образных наборах. Поскольку, как показано выше, классическое определение - это, по сути, современное определение, учитывающее только максимальные идеалы, это показывает, что интерпретация современного определения как «нулевых наборов функций» согласуется с классическим определением, в котором они оба имеют смысл.

Так же, как Spec заменяет аффинные многообразия, конструкция Proj заменяет проективные многообразия в современной алгебраической геометрии. Как и в классическом случае, чтобы перейти от аффинного к проективному определению, нам нужно всего лишь заменить «идеальный» на «однородный идеал», хотя есть осложнение, связанное с «нерелевантным максимальным идеалом», которое обсуждается в цитируемой статье.

Примеры

Спектр

• Spec k, спектр поля k - это топологическое пространство с одним элементом.
• Spec ℤ, спектр целых чисел имеет замкнутую точку для каждого простого числа p, соответствующего максимальному идеалу (p) ⊂, и один незамкнутый общая точка (т. е. замыканием которой является все пространство), соответствующая нулевому идеалу (0). Таким образом, замкнутые подмножества Spec ℤ - это в точности все пространство и конечные объединения замкнутых точек.
• Spec k [t], спектр кольца полиномов над полем k: такое кольцо многочленов известно как область главных идеалов, а неприводимые многочлены являются простыми элементами k [t]. Если k является алгебраически замкнутым, например, поле комплексных чисел, непостоянный многочлен неприводим тогда и только тогда, когда он является линейным, вида t - a, для некоторых элемент а из k. Итак, спектр состоит из одной замкнутой точки для каждого элемента a из k и общей точки, соответствующей нулевому идеалу, а множество замкнутых точек гомеоморфно с аффинной линией k с его топологией Зарисского. Из-за этого гомеоморфизма некоторые авторы называют аффинную линию спектром k [t]. Если k не является алгебраически замкнутым, например поле действительных чисел, картина становится более сложной из-за существования нелинейных неприводимых многочленов. Например, спектр [t] состоит из замкнутых точек (x - a), для a в ℝ, замкнутых точек (x + px + q), где p, q находятся в ℝ, и с отрицательным дискриминантом p - 4q < 0, and finally a generic point (0). For any field, the closed subsets of Spec k[t] are finite unions of closed points, and the whole space. (This is clear from the above discussion for algebraically closed fields. The proof of the general case requires some коммутативная алгебра, а именно тот факт, что размерность Крулля k [t] равна единице - см. теорему Крулля об основном идеале ).

Свойства

Самым драматическим изменением топологии от классической картины к новой является то, что точки больше не обязательно замкнуты; расширив определение, Гротендик ввел общие точки, которые являются точками с максимальным замыканием, то есть минимальными простыми идеалами. Замкнутые точки соответствуют максимальным идеалам в A. Однако спектр и проективный спектр по-прежнему являются пространствами T 0 : для двух точек P, Q, которые являются простыми идеалами A, по крайней мере, один из них, скажем, P не содержит другого. Тогда D (Q) содержит P, но, конечно, не Q.

Как и в классической алгебраической геометрии, любой спектр или проективный спектр (квази) компактный, и если рассматриваемое кольцо нетерово, то пространство - это нетерово пространство. Однако эти факты противоречат здравому смыслу: обычно мы не ожидаем, что открытые множества, кроме связных компонентов, будут компактными, а для аффинных многообразий (например, евклидово пространство) мы даже не ожидаем, что само пространство будет компактным. быть компактным. Это один из примеров геометрической непригодности топологии Зарисского. Гротендик решил эту проблему, определив понятие правильности схемы схемы (фактически, морфизма схем), которое восстанавливает интуитивную идею компактности: Proj является правильным, но Spec - правильным. не.

• Спектр кольца
• Спектральное пространство

• Hartshorne, Robin (1977), Алгебраическая геометрия, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052
• Тодд Роуленд. "Топология Зарисского". MathWorld.