Войти
В математике, связность используется для обозначения различных свойств, означающих в некотором смысле, "все одно целое". Когда математический объект имеет такое свойство, мы говорим, что он связан ; в противном случае он отключен . Когда отключенный объект может быть естественным образом разделен на связанные части, каждая часть обычно называется компонентом (или связанным компонентом).
A топологическое пространство считается связным, если это не объединение двух непересекающихся непустых открытых множеств. Набор открыт, если он не содержит точек, лежащих на его границе ; таким образом, в неформальном, интуитивном смысле, тот факт, что пространство может быть разделено на непересекающиеся открытые множества, предполагает, что граница между двумя наборами не является частью пространства, и, таким образом, разделяет его на две отдельные части.
Области математики обычно связаны с особыми видами объектов. Часто такой объект называется связным, если, когда он рассматривается как топологическое пространство, он является связным пространством. Таким образом, многообразия, группы Ли и графы все называются связными, если они связаны как топологические пространства, а их компоненты являются топологическими компонентами. Иногда бывает удобно перефразировать определение связности в таких областях. Например, граф называется связным, если каждая пара вершин в графе соединена путем. Это определение эквивалентно топологическому в применении к графам, но с ним легче работать в контексте теории графов. Теория графов также предлагает бесконтекстную меру связности, называемую коэффициентом кластеризации .
. Другие области математики имеют дело с объектами, которые редко рассматриваются как топологические пространства. Тем не менее, определения связности часто так или иначе отражают топологический смысл. Например, в теории категорий, категория называется связанной, если каждая пара объектов в ней соединена последовательностью морфизмов. Таким образом, категория связана, если интуитивно все это одно целое.
Могут существовать разные понятия связности, которые интуитивно похожи, но отличаются от формально определенных концепций. Мы могли бы пожелать назвать топологическое пространство связным, если каждая пара точек в нем соединена путем. Однако это условие оказывается сильнее стандартной топологической связности; в частности, существуют связные топологические пространства, для которых это свойство не выполняется. Из-за этого используется другая терминология; пробелы с этим свойством называются связанными путями. Хотя не все связанные пространства связаны путями, все пространства, соединенные путями, связаны.
Термины, связанные со связью, также используются для свойств, которые связаны со связностью, но явно отличаются от нее. Например, линейно-связное топологическое пространство является односвязным, если каждый цикл (путь от точки до самого себя) в нем сжимаемым ; то есть интуитивно, если существует только один способ добраться из любой точки в любую другую. Таким образом, сфера и диск являются односвязными, а тор - нет. В качестве другого примера, ориентированный граф является сильно связным, если каждая упорядоченная пара вершин соединена направленным путем (т. Е. тот, который «следует по стрелкам»).
Другие концепции выражают то, как объект не связан. Например, топологическое пространство полностью отключено, если каждый из его компонентов представляет собой одну точку.
Свойства и параметры, основанные на идее связности, часто включают слово «связность». Например, в теории графов, связный граф - это такой граф, из которого мы должны удалить по крайней мере одну вершину, чтобы создать несвязный граф. В связи с этим такие графы также называются односвязными. Точно так же граф является 2-связным, если мы должны удалить из него хотя бы две вершины, чтобы создать несвязный граф. Трехсвязный граф требует удаления не менее трех вершин и т. Д. связность графа - это минимальное количество вершин, которые необходимо удалить, чтобы разъединить его. Эквивалентно связность графа - это наибольшее целое число k, для которого граф является k-связным.
Хотя терминология варьируется, существительное формы свойств, связанных со связностью, часто включают термин связность. Таким образом, обсуждая односвязные топологические пространства, гораздо чаще говорят о простой связности, чем о простой связности. С другой стороны, в полях без формально определенного понятия связности это слово может использоваться как синоним связности.
Другой пример связности можно найти в обычных мозаиках. Здесь связность описывает количество соседей, доступных из одного элемента плитки :
3-связность в треугольной мозаике,
6 -связность в шестиугольной мозаике,
8-связность в квадратной мозаике (обратите внимание, что равенство расстояний не сохраняется)
