Граница ( топология)

Набор (голубой) и его граница (темно-синий).

В топологии и математика в общем, граница подмножества S топологического пространства X - это набор точек, к которым можно приближаться как из S, так и извне S. Точнее, это набор точек в замыкании S, не принадлежащих внутреннему S. Элемент границы S называется граничной точкой из S. Термин граничная операция относится к поиску или захвату границы набора. Обозначения, используемые для границы набора S, включают bd (S), fr (S) и $\partial \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; S\}$. Некоторые авторы (например, Уиллард в Общей топологии) используют термин граница вместо границы, пытаясь избежать путаницы с другим определением, используемым в алгебраической топологии и теория многообразий. Несмотря на широкое признание значения терминов «граница» и «граница», они иногда использовались для обозначения других множеств. Например, термин граница использовался для описания остатка S, а именно S \ S (набор граничных точек не в S). Феликс Хаусдорф назвал пересечение S с его границей границей S (термин «граница» используется для обозначения этого набора в метрических пространствах Э. Т. Копсоном).

A компонент связности границы S называется компонентом границы из S.

• 1 Общие определения
• 2 Примеры
• 3 Свойства
• 4 Граница границы
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Дополнительная литература

Существует несколько эквивалентных определений границы подмножества S топологического пространства X :

• закрытие $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$минус внутреннее $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$: $\partial \; S:\; =\; S\; ¯\; \setminus \; S\; \circ \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; S:\; =\; \{\backslash \; bar\; \{S\}\}\; \backslash \; setminus\; S\; ^\; \{\backslash \; circ\}\}$
• пересечение замыкания $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \}$с закрытием его дополнения : $\partial \; S:\; =\; S\; ¯\; \cap \; (X\; \setminus \; S)\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; S:\; =\; \{\backslash \; overline\; \{S\}\; \}\; \backslash \; cap\; \{\backslash \; overline\; \{(X\; \backslash \; setminus\; S)\}\}\}$
• набор точек $p\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; in\; X\}$таких, что каждая окрестность из $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$содержит по крайней мере одну точку из $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$и хотя бы одна точка не из $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$: $\partial \; S:\; =\; \{p\; \in \; X\; \mid \; \forall \; O\; \ni \; p:\; O\; \cap \; S\; \ne \; \varnothing \; и\; O\; \cap \; S\; c\; \ne \; \varnothing \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; S:\; =\; \backslash \; \{p\; \backslash \; in\; X\; \backslash \; mid\; \backslash \; forall\; O\; \backslash \; ni\; p:\; O\; \backslash \; cap\; S\; \backslash \; neq\; \backslash \; emptyset\; \backslash ,\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash ,\; O\; \backslash \; cap\; S\; ^\; \{c\}\; \backslash \; neq\; \backslash \; emptyset\; \backslash \}\}$

Граница гиперболических компонентов множества Мандельброта

Рассмотрим действительную прямую $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$с обычная топология (т.е. топология, базисными наборами являются открытые интервалы ) и $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$, подмножество рациональных чисел (с пустым интерьер ). Один имеет

• $\partial \; (0,\; 5)\; =\; \partial \; [0,\; 5)\; =\; \partial \; (0,\; 5]\; =\; \partial \; [0,\; 5]\; =\; \{0,\; 5\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; (0,5)\; =\; \backslash \; partial\; [0,5)\; =\; \backslash \; partial\; (0,5]\; =\; \backslash \; partial\; [0,5]\; =\; \backslash \; \{0,5\; \backslash \}\}$
• $\partial \; \varnothing \; =\; \varnothing \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \backslash \; varnothing\; =\; \backslash \; varnothing\}$
• $\partial \; Q\; =\; R\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; partial\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$
• $\partial \; (Q\; \cap \; [0,\; 1])\; =\; [0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; (\backslash \; mathbb\; \{Q\}\; \backslash \; cap\; [0,1])\; =\; [0,1]\}$

Эти последние два примера иллюстрируют тот факт, что граница плотного множества с пустой внутренней частью является его замыканием.

В пространстве рациональных чисел с обычной топологией (топология подпространства из $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$) граница $(-\; \infty ,\; a)\; \{\backslash \; displaystyle\; (-\; \backslash \; infty,\; a)\}$, где a иррационально, пусто.

Граница набора - это топологическое понятие и может измениться при изменении топологии. Например, учитывая обычную топологию на $R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\}\}$, граница закрытый диск $\Omega \; =\; \{(x,\; y)\; |\; x\; 2\; +\; y\; 2\; \le \; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; =\; \backslash \; \{(x,\; y)\; |\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; \backslash \; leq\; 1\; \backslash \}\}$- окружность диска : $\partial \; \Omega \; =\; \{(x,\; y)\; |\; Икс\; 2\; +\; Y\; 2\; =\; 1\}\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; partial\; \backslash \; Omega\; =\; \backslash \; \{(x,\; y)\; |\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; =\; 1\; \backslash \}\}$. Если диск рассматривается как набор в $R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$со своей обычной топологией, то есть $\Omega \; =\; \{(x,\; y,\; 0)\; |\; x\; 2\; +\; y\; 2\; \le \; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; =\; \backslash \; \{(x,\; y,\; 0)\; |\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; \backslash \; leq\; 1\; \backslash \}\}$, затем границей диска является сам диск: $\partial \; \Omega \; =\; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \backslash \; Omega\; =\; \backslash \; Omega\}$. Если диск рассматривается как собственное топологическое пространство (с топологией подпространства $R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\}\}$), то граница диска пуста.

• Граница набора закрыта.
• Граница внутренней части набора, а также граница замыкания набора содержатся в границе set.
• Множество является границей некоторого открытого множества тогда и только тогда, когда оно замкнуто и нигде не плотно.
• Граница множества - это граница дополнения к множеству: $\partial \; S\; =\; \partial \; (SC)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; S\; =\; \backslash \; partial\; (S\; ^\; \{C\})\}$.
• Внутренняя часть границы замкнутого множества - это пустое множество.

Следовательно:

• p является граничной точкой множества тогда и только тогда, когда каждая окрестность p содержит хотя бы одну точку в множестве и хотя бы одну точку не в множестве.
• Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит его граница, и открыть тогда и только тогда, когда он не пересекается со своей границей.
• Замыкание набора равно объединению набора с его границей: $S\; ¯\; =\; S\; \cup \; \partial \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{S\}\}\; =\; S\; \backslash \; cup\; \backslash \; partial\; S\}$.
• Граница набора пуста тогда и только тогда, когда набор как закрытые, так и открытые (то есть закрытый набор ).
• Внутренняя часть границы закрытия набора - это пустой набор.

Концептуальная диаграмма Венна, показывающая отношения между различными точки подмножества S из R . A = набор предельных точек из S, B = набор граничных точек из S, область, заштрихованная зеленым цветом = набор внутренних точек из S, область заштрихована желтым = набор изолированных точек из S, области, закрашенные черным = пустые множества. Каждая точка S является либо внутренней, либо граничной точкой. Кроме того, каждая точка S является либо точкой накопления, либо изолированной точкой. Точно так же каждая граничная точка S является либо точкой накопления, либо изолированной точкой. Изолированные точки всегда являются граничными точками.

Для любого множества S, ∂S ⊇ ∂∂S, причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда граница S имеет нет внутренних точек, что будет иметь место, например, если S замкнута или открыта. Поскольку граница множества замкнута, ∂∂S = ∂∂∂S для любого множества S. Таким образом, граничный оператор удовлетворяет ослабленному виду идемпотентности.

При обсуждении границ многообразий или симплексов и их симплициальных комплексов, часто встречается утверждение, что граница границы всегда пуста. Действительно, построение особых гомологий критически опирается на этот факт. Объяснение очевидного несоответствия состоит в том, что топологическая граница (предмет этой статьи) - это понятие, немного отличающееся от границы многообразия или симплициального комплекса. Например, граница открытого диска, рассматриваемая как многообразие, пуста, как и его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество самого себя, в то время как его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество реальной плоскости, представляет собой круг, окружающий диск. И наоборот, граница замкнутого диска, рассматриваемого как многообразие, является ограничивающей окружностью, как и его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество реальной плоскости, в то время как его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество самого себя, пуста. (В частности, топологическая граница зависит от объемлющего пространства, в то время как граница многообразия инвариантна.)

• Подробнее см. Обсуждение границы в топологическом многообразии
• Граничная точка
• Теорема плотности Лебега для теоретико-мерной характеристики и свойств границы
• Поверхность (топология)

• Манкрес, JR (2000). Топология. Прентис-Холл. ISBN 0-13-181629-2.
• Уиллард, С. (1970). Общая топология. Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-08707-3.
• ван ден Дрис, Л. (1998). Ручная топология. ISBN 978-0521598385.