Феликс Хаусдорф

редактировать
Немецкий математик
Феликс Хаусдорф
Hausdorff 1913-1921.jpg
Родился(1868-11-08) 8 ноября, 1868. Бреслау, Королевство Пруссия. (ныне Вроцлав, Польша )
Умер26 января 1942 г. ( 1942-01-26) (73 года). Бонн, Германия
НациональностьНемец
Alma materЛейпцигский университет
Известен как
супруга (а)Шарлотта Хаусдорф (1873-1942)
Научная карьера
ОбластиМатематика
УчрежденияБоннский университет, Университет Грайфсвальда, Лейпцигский университет
Диссертация Zur Theorie der astronomischen Strahlenbrechung (1891)
Докторант

Феликс Хаусдорф (8 ноября 1868 г. - 26 января 1942 г.) был немецким математиком, который считается одним из основоположников современной топологии и внес значительный вклад в теорию множеств, описательная теория множеств, теория меры и После функциональный анализ.

Хрустальной ночи в 1938 году жизнь Хаусдорфа и его семья стала сложной. В следующем году он начал попытки эмигрировать в Соединенных Штатах, но не смог договориться о получении исследовательской стипендии. 26 января 1942 года Феликс Хаусдорф вместе со своей женой и невесткой покончил жизнь самоубийством, приняв передозировку веронала, вместо того, чтобы выполнить приказ Германии переехать в лагерь Эндених, и там страдать от вероятных последствий, о которых он не питал иллюзий.

Содержание

  • 1 Жизнь
    • 1.1 Детство и юность
    • 1.2 Степень, докторская степень и квалификация
    • 1.3 Доцент в Лейпциге
    • 1.4 Первое профессура
    • 1.5 При нацистской диктатуре и самоубийствах
  • 2 Работа и прием
    • 2.1 Хаусдорф как философ и писатель (Пол Монгре)
    • 2.2 Теория упорядоченных множеств
    • 2.3 "Magnum Opus": "Принципы теории множеств"
    • 2.4 Описательная теория множеств, теория меры и меры и анализ
    • 2.5 Последние работы
  • 3 Хаусдорф как имяодатель
  • 4 Писания
    • 4.1 Как Пол Монгре
    • 4.2 Как Феликс Хаусдорф
  • 5 Собрание сочинений
  • 6 Источники
  • 7 См. Также
  • 8 Ссылки
  • 9 Внешние ссылки

Жизнь

Детство и юность

Отец Хаусдорфа, еврейский купец Луи Хаусдорф (1843–1896), осенью 1870 года переехал с молодой семьей в Лейпциг и работал в течение долгого времени на различных предприятиях, в том числе на фабрике по производству льняных и хлопчатобумажных изделий. Он был образованным человеком и стал Морену в возрасте 14 лет. Имеется несколько трактатов его пера, в том числе длинная работа по арамейским переводам Библии с точки зрения талмудической закон.

Мать Хаусдорфа, Хедвиг (1848–1902), которая также упоминается в различных документах, как Йоханна, происходила из еврейской семьи Тиц. Из другой ветви этой семьи произошел Герман Тиц, основатель первого универмага, а затем совладелец сети универмагов «Герман Тиц». В период нацистской диктатуры имя было «арианизированным» для Херти.

. С 1878 по 1887 год Феликс Хаусдорф посещал школу Николая в Лейпциге, учреждение, которое имело репутацию очага гуманистического образования. Он был отличником, много лет руководил классом и часто читал самописные латинские или немецкие стихи на школьных праздниках. После выпуска в 1887 году (с двумя оберприменами) он был единственным, кто получил высшую оценку.

Выбор предмета для Хаусдорфа дался нелегко. Магда Диркесманн, которая часто гостья в доме Хаусдорфа, была студенткой в ​​Бонне в 1926–1932 годах, сообщила в 1967 году, что:

Его разносторонний музыкальный талант был настолько велик, что только настойчивость отец заставил его отказаться от своего плана изучать музыку и стать композитором.

Было принято решение изучать естественные науки в средней школе.

Степень, докторская степень и хабилитация

С летнего семестра 1887 года по летний семестр 1891 года Хаусдорф изучал математику и астрономию, в основном в своем родном городе Лейпциге. с перерывом на один семестр в Фрайбурге (летний семестр 1888 г.) и Берлине (зимний семестр 1888/1889 гг.). Сохранившиеся свидетельства других студентов показывают его как разностороннего заинтересованного молодого человека, который, помимо математических и астрономических лекций, физике, химии и географии, а также лекции по философии и истории философии, а также по вопросам языка, литературы и социальной. В Лейпциге он слушал лекции по истории музыки от музыковеда Пола. Его ранняя любовь к музыке длилась всю жизнь; Согласно свидетельским показаниям, сделанными различными хозяевами в доме Хаусдорфа проводились впечатляющие музыкальные вечера с роялем. Еще будучи студентом в Лейпциге, он был поклонником и знатоком музыки Рихарда Вагнера.

. В более поздние семестры его обучения Хаусдорф был близок к Генриху Брунсу (1848–1919). Брунс был профессором астрономии и директором обсерватории Лейпцигского университета. Под его руководством Хаусдорф закончил в 1891 году работу по теории астрономического преломления света в атмосфере. За этим последовали две публикации по той же теме, в 1895 году он получил степень доктора наук, а затем написал диссертацию о поглощении света в атмосфере. Эти ранние астрономические работы Хаусдорфа, несмотря на их превосходную математическую проработку, не приобрели значения. Во-первых, основная идея Брунса не оказалась жизнеспособной (требовались наблюдения за перспективой астрономического горизонта, что, как Юлиус Баушингер мог показать немного позже, в принципе не может быть получено с требуемой точностью). С другой стороны, прогресс в прямых измерениях атмосферных данных (метеозонд всплытия) с тех пор сделал ненужной кропотливую точность этих данных из наблюдений за рефракцией. За время между докторантом и абилитацией Хаусдорф выполнил годичное задание и проработал два года человеком-компьютером в обсерватории в Лейпциге.

Доцент в Лейпциге

Получив диплом, Хаусдорф стал лектором в Лейпцигском университете и начал обширное преподавание в различных областях математики. Помимо преподавания и исследований в области математики, он придерживался своих литературных и философских наклонностей. Человек разнообразных интересов, образованный, очень чувствительный и искушенный в мышлении, чувствах и переживаниях, он часто бывал в своем лейпцигском периоде рядом писателей, художников и издателей, таких как: Ричард Демель, Отто Эрих Хартлебен, Макс Клингер, Макс Регер и Фрэнк Ведекинд. Период с 1897 по 1904 год стал его литературного и философского творчества, когда было опубликовано 18 из 22 его работ под псевдонимом, в том числе сборник стихов, пьеса, эпистемологическая книга и сборник афоризмов.

Хаусдорф женился на Шарлотте Гольдшмидт в 1899 году, дочери еврейского врача Зигизмунда Гольдшмидта. Ее мачехой была известная суфражистка и воспитательница дошкольных учреждений Генриетта Гольдшмидт. Единственный ребенок Хаусдорфа, дочь Ленора (Нора), родилась в 1900 году; она пережила эпоху национал-социализма и прожила долгую жизнь, скончавшись в Бонне в 1991 году.

Первое профессура

В декабре 1901 года Хаусдорф был назначен адъюнкт-профессором в Лейпцигском университете. Часто повторяемое утверждение о том, что Хаусдорфу позвонили из Геттингена и отклонил его, невозможно проверить и, вероятно, неверно. При подаче заявления в Лейпциге декан Киршнер получил очень положительное голосование его коллеги, написанное Генрихом Брунсом, все еще направленное этими словами:

всеми, но была принята 22 голосами против 7. Меньшинство было против, потому что д-р Хаусдорф исповедует Моисееву веру.

Эта цитата подчеркивает неприкрытость присутствует антисемитизм, который особенно резко обострился после Gründerkrach в 1873 году по всему Германскому Рейху. Лейпциг был центром антисемитского движения, особенно среди студентов. Это вполне может быть причиной того, что Хаусдорф чувствовал себя в Лейпциге неуютно. Другой причиной, возможно, были стрессы из-за иерархической позиции лейпцигских профессоров.

После достижения хабилитации Хаусдорф написал еще одну работу по оптике, по неевклидовой геометрии и по системам гиперкомплексных чисел, а также две статьи по теории вероятностей. Однако вскоре его основной областью работы теория множеств, особенно теория упорядоченных множеств. Первоначально это был философский интерес, который привел его примерно в 1897 году к изучению работы Георга Кантора. Уже в летнем семестре 1901 г. Хаусдорф прочитал лекцию по теории множеств. Это была одна из первых лекций по теории множеств; Эрнст Цермело читал лекции в Геттингенском колледже в зимнем семестре 1900/1901 гг. Немного раньше. В том же году он исследовал первую статью о типах заказов, в которой он исследовал обобщение правильных порядков, вызванных, где линейный порядок оценивается, если никакие два из его сегментов не имеют одинаковых тип заказа. Он обобщил теорему Кантора - Бернштейна, в которой говорится, что набор счетных типов имеет мощность континуума, и показано, что набор всех градуированных типов идемпотента мощность mимеет мощность 2.

На летний семестр 1910 года Хаусдорф был назначен профессором Боннского университета. В Бонне он начал лекцию по теории множеств, которая повторила в летнем семестре 1912 года, переработав и расширив.

Летом 1912 года он также начал работу над своим magnum opus, книгой «Основы теории множеств». Он был завершен в Грайфсвальде, где Хаусдорф был назначен на летний семестр профессором в 1913 году, и был освобожден в апреле 1914 года.

Университет Грайфсвальда был самым маленьким из прусских университеты. Кроме того, математический институт был небольшим; в летнем семестре 1916 г. и зимнем семестре 1916/17 г. Хаусдорф был единственным математиком в Грайфсвальде. Это привело к тому, что он был почти полностью занят преподаванием основного курса. Когда в 1921 году Хаусдорф был назначен в Бонн, его академическая ситуация значительно улучшилась. Здесь он мог тематически обширное обучение и всегда читать лекции о последних исследованиях. В летнем семестре 1923 г. он прочитал особенно примечательную лекцию по теории вероятностей (Н.Л. Хаусдорф: Капсула 21: Fasz 64), обосновал эту теорию в виде аксиоматической теории теории меры, и это произошло за десять лет до А. Н. Колмогорова "Основные положения теории вероятностей" (полностью перепечатано в Собрании сочинений, том V). В Бонне у Хаусдорфа были Эдуард Этюд, а затем Отто Теплиц, выдающиеся математики, а также его коллеги и друзья.

При нацистской диктатуре и самоубийстве

Государственная доктрина партии национал-социалистов установила антисемитизм и захват власти. Первоначально Хаусдорфа не волновал «Закон о восстановлении профессиональной гражданской службы », принятый в 1933 году, потому что он был немецким чиновником с до 1914 года. Однако его не обошли полностью. его лекций прервали нацистские студенты. С 20 ноября он прекратил учебу в зимнем семестре III в 1934/1935 году. В это время в Боннском университете проходила рабочая сессия национального социалистического студенческого союза Германии (NSDStB), на которой темой семестра была выбрана тема «Раса и этническая принадлежность». Предполагается, что это связано с отменой класса Хаусдорфа.

31 марта 1935 года, после некоторой перебранки, Хаусдорф наконец получил почетный статус. За 40 лет успешной работы в системе высшего образования Германии слов благодарности не было. Он работал не покладая рук и опубликовал, помимо расширенного издания своей работы по теории множеств, семь работ по топологии и дескриптивной теории множеств, все они были опубликованы в польских журналах: одна в Studia Mathematica, остальные в Fundamenta Mathematicae.

Его Nachlass показывает, что Хаусдорф все еще работал математически в эти все более трудные времена и следил за текущими событиями, представляющими интерес. В то время его бескорыстно поддерживал Эрих Бессель-Хаген, верный друг семьи Хаусдорфов, который получал книги и журналы из библиотеки института, куда Хаусдорфу больше не разрешено входить как еврею.

Об унижениях, которым особенно подвергались Хаусдорф и его семья после Хрустальной ночи в 1938 году, известно многое и из многих таких различных источников письма Бессель-Хагена.

Напрасно Хаусдорф в 1939 году просил математика Ричарда Куранта предоставить ему исследовательскую стипендию, чтобы иметь возможность эмигрировать в США.

Первая страница его прощального письма Гансу Вольштейну

В середине 1941 года боннских евреев начали депортировать в монастырь «На вечное поклонение» в Эндених, откуда монахини имели был исключен. Транспортировка в лагеря смерти на востоке произошла позже. После, как Феликс Хаусдорф, его жена и сестра его жены Эдит Паппенгейм (которая жила с ними) в том же 1942 году получили приказ переехать в лагерь Эндених, 26 января 1942 года они покончили жизнь самоубийством, приняв передозировку веронала. Их последнее пристанище находится в Бонне. Между их помещением во временные лагеря и своим самоубийством он отдал свой рукописный Нахлас египтологу и пресвитеру, который спас как можно больше из них, несмотря на то, что его дом был разрушен бомбой.

Некоторые из его собратьев-евреев могли питать иллюзии относительно лагеря Эндениха, но не Хаусдорфа. Э. Нойеншвандер обнаружил в поместье Бессель-Хаген прощальное письмо, которое Хаусдорф написал своему еврейскому адвокату Гансу Вольштейну. Вот начало и конец письма:

Надгробие Хаусдорфа в Бонн-Поппельсдорфе

Дорогой друг Вольштейн!

, вы получили эти строки, значит, мы (трое) решили проблему другими способами, которыми вы постоянно пытались нас отговорить. Чувство безопасности, которое вы предсказали нам, когда мы преодолеем трудности переезда, все еще ускользает от нас; напротив, Энденич может и не стать концом!

То, что произошло в последние месяцы против презервативов, вызывает опасные ситуации.

Поблагодарив и с большим хладнокровием, выразив свои последние пожелания в его отношении Похороны и его завещание, Хаусдорф пишет:

Мне жаль, что мы причиняем вам еще больше усилий после смерти, и я виновен, что вы делаете то, что может (что, возможно, не очень много). Простите нам наше дезертирство! Желаем вам и всем нашим друзьям переживать лучшие времена.

Ваш искренне преданный

Феликс Хаусдорф

К сожалению, это желание не было выполнено. Адвокат Хаусдорфа Вольштейн был убит на Освенциме.

Хаусдорфштрассе (Бонн)

Библиотека Хаусдорфа была продана его зятем и единственным наследником Артуром Кенигом. Рукописный Нахласс был взят на хранение на другом семье, боннским египтологом Хансом Бонне. Сейчас он находится в университетской и государственной библиотеке Бонна.

Работа и приемы

Хаусдорф как философ и писатель (Поль Монгре)

Сборник афоризмов Хаусдорфа, опубликованный в 1897 году, был его первой работой, опубликованной под псевдоним Поль Монгре. Он называется Сант Иларио. Мысли из пейзажа Заратустры. Подзаголовок Сант 'Иларио, «Мысли о пейзажи Заратустры», прежде всего обыгрывает тот факт, что Хаусдорф закончил свою книгу во время оздоровительного пребывания на Лигурийском побережье возле Генуи, и что в том же районе Фридрих Ницше написал первые две части "Так говорил Зарату" ; он также намекает на свою духовную близость к Ницше. В статье о Сант 'Иларио в еженедельной газете Die Zukunft Хаусдорф признал в expressis verbis свой долг перед Ницше.

Хаусдорф пытался не копировать или даже превосходить Ницше. «От подражания Ницше нет и в помине», - говорится в современном обзоре. Он следует за Ницше в попытке освободить индивидуальное мышление, чтобы поставить под сомнение устаревшие стандарты. Хаусдорф сохранял критическую дистанцию ​​с поздними работами Ницше. В своем эссе по книге Воля к власти, составленной из записей, оставленных в Архиве Ницше, он говорит:

В Ницше светится фанатик. Его мораль разведения, построенная на наших нынешних биологических и физиологических основах знания: это может стать всемирно-историческим скандалом, против которого инквизиция и суд над ведьмами превратятся в безобидные отклонения.

Свой критический стандарт он заимствовал у самого Ницше,

Из доброго, скромного, понимающего Ницше и из свободного духа хладнокровного, лишенного догм, бессистемного скептика Ницше...

В 1898 году появился - также под псевдонимом Поль Монгре - эпистемологический эксперимент Хаусдорфа Хаос в космическом отборе. Критика метафизики, выдвинутая в этой книге, началась с конфронтации Хаусдорфа с идеей вечного повторения Ницше. В конечном итоге это разрушает любую метафизику. О самом мире, из ядра трансцендентного мира - как выразился Хаусдорф - мы ничего не знаем и ничего не знаем. Мы должны принять «сам мир» как неопределенный и неопределимый, как простой хаос. Мир нашего опыта, наш космос - это результат выбора, выбора, который мы всегда инстинктивно делали в соответствии с нашими возможностями понимания и создания большего. Из этого хаоса также будут видны другие ордена, возможно, другие Космои. Во всяком случае, из мира нашего космоса нельзя сделать вывод о существовании трансцендентного мира.

В 1904 году в журнале «New Rundschau» появилась пьеса Хаусдорфа, одноактная пьеса «Доктор» в его честь. Это грубая сатира на дуэль и традиционные представления прусского офицерского корпуса о чести и благородстве, которые в развивающемся буржуазном обществе становились все более анахроничными. Доктор в его честь был величайшим литературным успехом Хаусдорфа. В 1914–1918 гг. Состоялись многочисленные выступления более чем в тридцати городах. Позже Хаусдорф написал эпилог к ​​пьесе, но в то время он не был поставлен. Только в 2006 году этот эпилог был впервые представлен на ежегодном собрании Немецкого математического общества в Бонне.

Помимо вышеперечисленных работ Хаусдорф написал множество эссе, опубликованных в некоторых ведущих литературных журналах того времени, а также сборник стихов «Экстази» (1900). Некоторые из его стихов были положены на музыку австрийским композитором Джозефом Марксом.

Теория упорядоченных множеств

Вступление Хаусдорфа в подробное исследование упорядоченных множеств было частично вызвано проблемой континуума Кантора: какое место занимает кардинальное число ℵ = 2 ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph = 2 ^ {\ aleph _ {0}}}\ алеф = 2 ^ {{\ алеф _ {0}}} в ряду ℵ α { \ Displaystyle \ Алеф _ {\ альфа}}\ aleph _ {\ alpha} . В письме к Гильберту от 29 сентября 1904 г. он говорит об этой проблеме: «она мучила почти как мономания». Он увидел в наборе карту (T (ℵ 0)) = ℵ {\ displaystyle \ mathrm {card} (T (\ aleph _ {0})) = \ aleph}{\ mathrm {card}} (T (\ aleph _ {0})) = \ aleph новую стратегию атаковать проблему. Кантор подозревал, что ℵ = ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph = \ aleph _ {1}}\ aleph = \ aleph _ {1} , но показал только ℵ ≥ ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph \ geq \ aleph _ {1}}\ aleph \ geq \ aleph _ {1} . ℵ 1 {\ displ aystyle \ aleph _ {1}}\ алеф _ {1} - это «количество» преступников упорядочений скважин из счетного множества ; ℵ {\ displaystyle \ aleph}\ алеф теперь появилось как «число» всех исполненных заказов на такую ​​сумму. Поэтому было естественным изучать системы более специальные, чем общие порядки, но более общие, чем хорошие порядки. Хаусдорф сделал именно это в своем первом томе 1901 года, когда опубликовал теоретические исследования «градуированных множеств». Из результатов Курта Гёделя и Пола Коэна мы знаем, что эта стратегия решения проблемы континуума так же неэффективна, как и стратегия Кантора, которая была направлена ​​на обобщение канторовской проблемы. –Принцип Бендиксона для закрытых множеств общих для несчетных множеств.

В 1904 году Хаусдорф опубликовал рекурсию, названное его именем:

Для каждого неограниченного порядкового номера μ {\ displaystyle \ mu}\ mu мы имеем ℵ μ ℵ α = ℵ μ ℵ μ - 1 ℵ α. {\ Displaystyle \ Алеф _ {\ му} ^ {\ Алеф _ {\ альфа}} = \ Алеф _ {\ му} \; \ aleph _ {\ mu -1} ^ {\ aleph _ {\ alpha}}. }\ aleph _ {{\ mu}} ^ {{\ aleph _ {{\ alpha}}}} = \ aleph _ {{\ mu }} \; \ aleph _ {{\ mu -1}} ^ {{\ aleph _ {{\ alpha}}}}.

Эта формула, вместе с более поздним понятием конфинальности, введенным Хаусдорфом, стала известной для всех дальнейших результатов для возведения в степень алеф. Превосходное знание Хаусдорфом проблем этого типа следовать было усилено его усилиями по раскрытию ошибки в лекции Юлиуса Кенига на Международном конгрессе математиков в 1904 году в Гейдельберг. Там Кёниг утверждал, что континуум не может быть хорошо упорядоченным, поэтому его мощность не алеф, и таким образом вызвал большой переполох. Утверждение о том, что именно Хаусдорф разъяснил ошибку, имеет особое значение, поскольку в исторической литературе на протяжении более 50 лет создавался ложный образ событий в Гейдельберге.

В 1906–1909 годах Хаусдорф сделал свое дело. фундаментальная работа над упорядоченными наборами. Вкратце можно коснуться лишь нескольких моментов. Фундаментальное значение для всей теории имеет концепция конфинальности, которую ввел Хаусдорф. Порядковый номер называется правильным, если он является окончательным с любым меньшим порядковым номером; в противном случае это единственное число. Вопрос Хаусдорфа, существуют ли регулярные числа с индексом предельным порядковым номером, был отправной точкой для теории недоступных кардиналов. Хаусдорф уже заметил, что такие числа, если они существуют, должны иметь «непомерные размеры».

Принципиально важна следующая теорема Хаусдорфа: для неограниченного упорядоченного плотного множества A {\ displaystyle A}Aсуществуют два однозначно определенных регулярных начальных числа ω ξ, ω η {\ displaystyle \ omega _ {\ xi}, \ omega _ {\ eta}}\ omega _ {{\ xi}}, \ omega _ {{\ eta}} , так что A {\ displaystyle A}Aсовпадает с ω ξ {\ displaystyle \ omega _ {\ xi}}\ omega _ {{\ xi} } и совпадает с ω η ∗ {\ displaystyle \ omega _ {\ eta} ^ {*}}\ omega _ {{\ eta} } ^ {*} (* обозначает обратный порядок). Эта теорема предоставляет, например, метод для характеристик элементов и пробелов в упорядоченных наборах. Таким образом, Хаусдорф использовал введенные им символы пробелов и символы элементов.

Если W {\ displaystyle W}W представляет собой определенный набор символов (элементов и пробела), возникает вопрос, существуют ли упорядоченные наборы, набор символов которых точно W {\ Displaystyle W}W . Нетрудно найти необходимое условие для W {\ displaystyle W}W . Хаусдорф смог показать, что этого условия также достаточно. Для этого нужен богатый резервуар упорядоченных множеств; Хаусдорф создал это с помощью своей теории общих продуктов и возможностей. В этом резервуаре обнаружены такие интересные структуры, как нормальные типы Хаусдорфа η α {\ displaystyle \ eta _ {\ alpha}}\ eta _ {{\ alpha}} , в связи с этим Хаусдорф впервые сформулировал обобщенный континуум гипотеза. η α {\ displaystyle \ eta _ {\ alpha}}\ eta _ {{\ alpha}} -множества Хаусдорфа послужили отправной точкой Хауса для изучения модельной теории теории насыщенной структуры.

общих продуктовусдорфа и силы мощности его к концепция частично упорядоченного множества. На вопрос о том, содержится ли какое-либо упорядоченное подмножество частично упорядоченного множества в максимально упорядоченном подмножестве, Хаусдорф положительно ответил с помощью теоремы о хорошей упорядочении. Это принцип максимума Хаусдорфа. Это следует из теоремы о хорошем упорядочивании (или из (эквивалентной) аксиомы выбора), но, как оказалось, даже из выбранной аксиомы эквивалентны.

Уже, в 1908 году Артур Мориц Шенфлис обнаружил во второй части своего отчета по теории множеств, что новая теория упорядоченных множеств (то есть та, которая возникла после ее расширения Кантором) была почти исключительно результатом Хаусдорфа. 295>

"Magnum Opus": "Принципы теории множеств"

Согласно прежним представлениям, теория множеств включала не только общую теорию множеств и теорию множеств точек, но также размерность и меру теория. Работа Хаусдорфа была первым учебником, в котором вся теория множеств была представлена ​​в этом широком смысле систематически и с полными доказательствами. Хаусдорф осознавал, насколько легко человеческий разум может ошибаться, одновременно ища строгости и истины. Поэтому он использует в предисловии к работе:

О человеческом преимуществе ошибки использовать как можно более экономно.

Эта книга выходит далеко за рамки своего мастерского изображения известного. Он также содержит ряд важных оригинальных работ автора, которых можно только намекнуть в дальнейшем.

Первые шесть глав посвящены основным понятиям общей теории множеств. В начале Хаусдорф излагает подробные алгебру множеств с некоторыми новаторскими концепциями (цепочки различных, кольца множеств и поля множеств, δ {\ displaystyle \ delta}\ delta - и σ {\ displaystyle \ sigma}\ sigma -системы). Эти множественные параграфы, посвященные множествам и их связям теоретически, включают, например, современное физически-множественное понятие ввод функций. Затем в главех 3–5 последовала классическая теория кардинальных чисел, порядковых типов и ординалов. В шестой главе «Отношения между упорядоченными и хорошо упорядоченными множествами» Хаусдорф представляет, среди других, наиболее важных результатов своего исследования упорядоченных множеств.

В главе о «точечных множествах» - топологических главах - Хаусорф впервые разработал, стандартную теорию топологических пространств, куда, кроме того, он добавил аксиому разделения, названную позднее после него. Эта теория возникает из всестороннего программного обеспечения более ранних подходов других математиков и размышлений Хаусдорфа о проблеме пространства. Концепции и теоремы классической теории точечных множеств R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}\ mathbb {R} ^ {n} , насколько это возможно, перенесены на общий случай и, таким образом, становятся вновь созданной общей или теоретико-множественной топологии. Но Хаусд не только выполнил эту «работу по переводу», но и разработал базовый метод построения топологии, такие как зарождение (внутреннее, плотное в себе ядро) и формирование оболочки (соединение), и он работает с фундаментальной важностью концепции открытого множества (названного им) «площадью») и компактности, введенной Фреше. Он также основал и развил теорию связного множества, в частности, путем введения терминов «компонент» и «квазикомпонент».

В соответствии с первой и, наконец, второй аксиомами счетности Хаусдорфа рассматриваемые пространства постепенно подвергались дальнейшей специализации. Большой класс пространств, удовлетворяющих счетной первой аксиоме, - это метрические пространства. Они были введены в 1906 году Фреше под названием «классы (E)». Термин «метрическое пространство» происходит от Хаусдорфа. В «Принципах» он разработал теорию метрических пространств и систематически обогатил ее с помощью ряда новых концепций: метрика Хаусдорфа, полная, полная ограниченность, ρ { \ displaystyle \ rho}\ rho -связанность, приводимые числа. Работы Фреше почти не заметили; только благодаря Принципам Хаусдорфа метрических пространств общим достоянием математиков.

Глава, посвященная иллюстрациям, и заключительная глава Принципов теории меры и обогащения общностью материала и оригинальностью изложения. Упоминание Хаусдорфом о важности теории меры для вероятности имело большой исторический эффект, несмотря на его лаконичную краткость. В этой главе можно найти первое правильное доказательство сильного закона больших чисел из Эмиля Бореля. Наконец, приложение содержит самый впечатляющий результат всей книги, а именно теорему Хаусдорфа о том, что нельзя определить объем для всех ограниченных подмножеств R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}\ mathbb {R} ^ {n} для n ≥ 3 {\ displaystyle n \ geq 3}n \ geq 3 . Доказательство основано на парадоксальном разложении Хаусдорфа по шару, для которого требуется аксиома выбора.

В течение 20-го века это стало стандартом для построения математических теорий на основе аксиоматической теории множеств. Создание аксиоматически обоснованных общих теорий как общая топология, служило, среди прочего, для различных случаев или регионов. Это принесло большой успех в форме упрощения и гармонизации, в конечном итоге, привело к экономии мысли. Сам Хаусдорф одобрил этот аспект в Принципах. Топологическая глава с введением понятий является методологологически новаторской попыткой.

Принципы без теории множеств появились в и того напряженное время накануне Первой мировой войны. В августе 1914 года началась, которая также сильно повлияла на научную жизнь Европы. В этих условиях вряд ли могла быть эффективна книга Хаусдорфа в первые пять-шесть лет после ее появления. После войны новое поколение молодых исследователей принялось расширять предложения, которые были включены в эту работу в таком изобилии, и, без сомнения, топология была в центре внимания. Журнал Fundamenta Mathematicae сыграл особую роль в восприятии идей Хаусдорфа, основанный в Польше в 1920 году. Это был один из первых математических журналов с особым упором на теорию множеств, топологию, теорию действительных функций, меру. и теория интеграции, функциональный анализ, логика и основы математики. В этом спектре особое внимание уделялось общей топологии. Принципы Хаусдорфа присутствовали в Fundamenta Mathematicae из первого тома с поразительной частотой. Из 558 работ (три работы Хаусдорфа не подсчитаны), появившихся в первых двадцати томах с 1920 по 1933 год, 88 цитируют «Принципы». Следует даже принять во внимание, что по мере того, как концепции Хаусдорфа все более и более становились обычным явлением, они также использовались в ряде работ, в которых они прямо не упоминались.

Русская топологическая школа, основанная Полом Александровым и Полом Урысоном, во многом основывалась на принципах Хаусдорфа. Об этом свидетельствует сохранившаяся переписка Хаусдорфа Nachlass с Урысоном, и особенно Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes Александрова и Урысона, работа размером с книгу, в которой Урисон разработал теорию размерностей и цитируется не меньше. чем в 60 раз.

Спустя долгое время после Второй мировой войны книга Хаусдорфа пользовалась большим спросом, и в Челси было три переиздания в 1949, 1965 и 1978 годах.

Теория описательных множеств, теория меры и анализ

В 1916 году Александров и Хаусдорф независимо друг от друга решили проблему континуума для борелевских множеств: каждое борелевское множество в полном сепарабельном метрическом пространстве либо счетно, либо имеет мощность континуума. Этот результат обобщает теорему Кантора – Бендиксона о том, что такое утверждение справедливо для замкнутых множеств R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}\ mathbb {R} ^ {n} . Для линейных G δ {\ displaystyle G _ {\ delta}}G _ {{\ delta}} множеств Уильям Генри Янг доказал результат в 1903 году для G δ σ δ {\ displaystyle G _ {\ delta \ sigma \ delta}}G _ {{\ delta \ sigma \ delta}} устанавливает, что Хаусдорф получил соответствующий результат в 1914 году в Принципах. Теорема Александрова и Хаусдорфа явилась сильным стимулом для дальнейшего развития дескриптивной теории множеств.

Среди публикаций Хаусдорфа в его время при Грайфсвальде особенно выделяется работа «Измерение и внешняя мера» 1919 года. Она оставалась очень актуальной и в последующие годы была, вероятно, наиболее цитируемой оригинальной математической работой за десятилетие с 1910 по 1920 год. В этой работе были введены концепции, которые теперь известны как мера Хаусдорфа и Размерность Хаусдорфа.

Концепция размерности Хаусдорфа полезна для характеристики и сравнения «очень жестких величин». Понятия размерности и внешней меры получили применение и получили дальнейшее развитие во многих областях, таких как теория динамических систем, геометрическая теория меры, теория самоподобных множеств и фракталов, теория случайных процессов, гармонический анализ, теория потенциала. и теория чисел.

Значительная аналитическая работа Хаусдорфа произошла во второй раз в Бонне. В 1921 г. в разделе «Методы суммирования и последовательности моментов» I он разработал целый класс методов суммирования для расходящихся рядов, которые сегодня называются. В классической серии «Дивергент» Харди целая глава посвящена методу Хаусдорфа. Классические методы Гёльдера и Чезаро оказались особенным методом Хаусдорфа. Каждый метод Хаусдорфа задается последовательностью моментов; в этом контексте Хаусдорф дал элегантное решение проблемы моментов для конечного интервала, минуя теорию цепных дробей. В задачах моментов для конечного интервала 1923 года он рассматривал более специальные проблемы моментов, например, с определенными ограничениями для генерации плотности φ (x) {\ displaystyle \ varphi (x)}\ varphi (x) , например φ (x) ∈ L п [0, 1] {\ displaystyle \ varphi (x) \ in L ^ {p} [0,1]}\ v arphi (x) \ in L ^ {p} [0,1] . Критерии разрешимости и определения проблем моментов занимают Хаусдорфа в течение многих лет, поскольку сотни страниц исследований в его Nachlass attest.

Существенный вкладом в зарождающийся функциональный анализ в двадцатые годы было расширение Хаусдорфом теоремы Рисса- Фишера на L p {\ displaystyle L ^ {p}}L^{p}пространство в его работе 1923 г. Расширение теоремы Парсеваля о ряде Фурье. Он доказал неравенства, названные в его честь и. Неравенства Хаусдорфа - Юнга стали отправной точкой для крупных новых разработок.

Книга Хаусдорфа «Теория множеств» появилась в 1927 году. Она была объявлена ​​вторым изданием Принципов, но на самом деле это была совершенно новая книга. Были удалены из-за его использования в учебной библиотеке Гошена, большие теории упорядоченных частей и мер и теории интеграции были удалены. «Читатель, возможно, пожалеет о большем, чем эти исключения» (сказал Хаусдорф в предисловии), «что я, чтобы еще больше сэкономить место в теории точечных множеств, отказался от топологической точки зрения, благодаря которой первое издание, очевидно, приобрело много друзей» »Ограничился более простой теорией метрических пространств».

Фактически, это было явным сожалением некоторых рецензентов работы. В качестве компенсации Хаусдорф первоначал нынешнее состояние дескриптивной теории множеств. Этот факт обеспечил книгу столь же интенсивный прием, как и принципы, особенно в Fundamenta Mathematicae. Как учебник он был очень популярен. В 1935 году вышло расширенное издание, которое было переиздано Дувром в 1944 году. Английский перевод появился в 1957 году с переизданиями в 1962 и 1967 годах.

Было также русское издание (1937), хотя оно было только частично точный перевод и частично переработка Александрова и Колмогорова. В этом переводе топологическая точка зрения снова выдвинулась на первый план. В 1928 году пера Ганса Хана вышла рецензия на теорию множеств. Возможно, он имел в виду опасность немецкого антисемитизма, когда он завершил эту дискуссию следующим предложением:

Образцовое изображение во всех отношениях трудной и тернистой местности, произведение наравне с теми, которые прославились. немецкой науки о мире и такой, которой могут гордиться все немецкие математики.

Последние работы

Последняя работа Erweiterung einer stetigen Abbildung Хаусдорф показал в 1938 году, что непрерывная функция из замкнутого подмножества F {\ displaystyle F}F метрического пространства E {\ displaystyle E}E может быть расширена до всех из E {\ displaystyle E}E (хотя изображение, возможно, добавить). В качестве особого случая каждый гомеоморфизм из F {\ displaystyle F}F может быть расширен до гомеоморфизма из E {\ displaystyle E}E . В этой работе представлены предыдущие результаты лет. В 1919 году в Über halbstetige Funktionen und deren Verallgemeinerung Хаусдорф, среди прочего, дал еще одно доказательство теоремы о расширении Титце. В 1930 году в Erweiterung einer Homöomorphie (Расширение гомеоморфизма) он показал следующее: Пусть E {\ displaystyle E}E будет метрическим пространством, F ⊆ E {\ displaystyle F \ Substeq E}{\ displaystyle F \ substeq E} замкнутое подмножество. Если F {\ displaystyle F}F присвоена новая метрика без изменений топологии, эта метрика может быть расширена на все пространство без изменений топологии. Работа Gestufte Räume появилась в 1935 году. Здесь Хаусдорф обсуждал пространства, которые удовлетворяли аксиомам замыкания Куратовского, вплоть до аксиомы идемпотентности. Он назвал их градуированными пространствами (часто называемыми закрытыми пространствами) и использовал их при изучении отношений между предельными пространствами Фреше и топологическими пространствами.

Хаусдорфа как дающим имя

Имя Хаусдорф встречается в математике. Среди прочего, эти концепции были названы в его честь:

В университетах Бонна и Грайфсвальда эти вещи были названы в его честь:

  • Центр математики Хаусдорфа в Бонне,
  • Научно-исследовательский институт математики им. Хаусдорфа в Бонне и
  • Международный центр бега Феликса Хаусдорфа в Грайфсвальде.

Помимо этого, в Бонне есть Хаусдорфштрассе (улица Хаусдорфа), где он впервые жил. (Haus-Nr. 61). В Грайфсвальде есть улица Феликс-Хаусдорф-Штрассе, где, расположен конкретно Институты биохимии и физики. С 2011 года в центре Лейпцигера Ортштейна находится «Хаусдорфвег» (Hausdorff-Way).

Астероид 24947 Хаусдорф был назван в его честь.

Писания

Как Пол Монгре

Здесь показаны только избранные эссе, которые появились в тексте.

  • Сант'Иларио. Gedanken aus der Landschaft Zarathustras. Verlag C. G. Naumann, Leipzig 1897.
  • Das Chaos in kosmischer Auslese - Ein erkenntniskritischer Versuch. Верлаг К. Г. Науманн, Лейпциг, 1898 г.; Перепечатано с предисловием Макса Бенсе: Баден-Баден: Agis-Verlag 1976, ISBN 3-87007-013-7
  • Massenglück und Einzelglück. Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (1), (1898), S. 64–75.
  • Das unreinliche Jahrhundert. Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (5), (1898), S. 443–452.
  • Экстасен. Объем стихов. Verlag H. Seemann Nachf., Leipzig 1900.
  • Der Wille zur Macht. В: Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 13 (12) (1902), S. 1334–1338.
  • Макс Клингерс Бетховен. Zeitschrift für bildende Kunst, Neue Folge 13 (1902), S. 183–189.
  • Sprachkritik Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 14 (12), (1903), S. 1233–1258.
  • Der Arzt seiner Ehre, Groteske. В: Die neue Rundschau (Freie Bühne) 15 (8), (1904), S. 989-1013. Новое издание: Der Arzt seiner Ehre. Komödie in einem Akt mit einem Epilog. С 7 портретами и гравюрами на дереве Ганса Александра Мюллера по рисункам Вальтера Тимана, 10 Bl., 71 S. Пятый тираж Лейпцигера Bibliophilen-Abends, Лейпциг 1910. Новое издание: S. Fischer, Berlin 1912, 88 S. Феликс Хаусдорф
Последняя правка сделана 2021-05-20 13:18:32
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте