Сингулярная гомология

В алгебраической топологии, разделе математики, сингулярной гомологии относится к изучению определенного набора алгебраических инвариантов топологического пространства X, так называемых групп гомологии $H\; n\; (X).\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\; (X).\}$Интуитивно, сингулярная гомология считает для каждого измерения n n-мерные дыры в пространстве. Сингулярные гомологии - это частный пример теории гомологий, которая теперь превратилась в довольно обширное собрание теорий. Из различных теорий это, пожалуй, одна из самых простых для понимания, поскольку она построена на довольно конкретных конструкциях.

Вкратце, сингулярные гомологии строятся путем преобразования отображений стандартного n-симплекса в топологическое пространство и их компоновки в формальные суммы, называемые особые цепи . Граничная операция - отображение каждого n-мерного симплекса на его (n − 1) -мерную границу - индуцирует сингулярный цепной комплекс . Тогда особые гомологии - это гомологии цепного комплекса. Полученные группы гомологий одинаковы для всех гомотопически эквивалентных пространств, что и является причиной их изучения. Эти конструкции могут применяться ко всем топологическим пространствам, и поэтому особые гомологии могут быть выражены в терминах теории категорий, где гомологии выражаются в виде функтора из категории топологических пространства в категорию градуированных абелевых групп.

• 1 Сингулярные симплексы
• 2 Сингулярный цепной комплекс
• 3 Гомотопическая инвариантность
• 4 Функториальность
• 5 Коэффициенты в R
• 6 Относительные гомологии
• 7 Когомологии
• 8 Гомологии и когомологии Бетти
• 9 Экстраординарные гомологии
• 10 См. Также
• 11 Ссылки

A сингулярный n-симплекс в топологическом пространстве X - это непрерывная функция (также называемая картой) $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$из стандарта n- симплекс $\Delta \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; ^\; \{n\}\}$до X, записывается $\sigma :\; \Delta \; n\; \to \; X.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma:\; \backslash \; Delta\; ^\; \{n\}\; \backslash \; to\; X.\}$Эта карта не обязательно должна быть инъективной, и могут быть неэквивалентные сингулярные симплексы с тем же изображением в X.

Граница $\sigma ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma,\}$обозначается как $\partial \; n\; \sigma ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{n\}\; \backslash \; sigma,\; \}$определяется как формальная сумма сингулярных (n - 1) -симплексов, представленных ограничением $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$к граням стандартного n-симплекса с чередованием знака для учета ориентации. (Формальная сумма - это элемент свободной абелевой группы на симплексах. Основой группы является бесконечное множество всех возможных сингулярных симплексов. Групповая операция - это «сложение», а сумма симплекса a с симплексом b обычно обозначается просто как a + b, но a + a = 2a и т. д. Каждый симплекс a имеет отрицательный −a.) Таким образом, если мы обозначим $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$вершинами

$[p\; 0,\; p\; 1,\dots ,\; pn]\; =\; [\sigma \; (e\; 0),\; \sigma \; (e\; 1),\dots ,\; \sigma \; (en)]\; \{\backslash \; displaystyle\; [p\_\; \{0\},\; p\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; p\_\; \{n\}]\; =\; [\backslash \; sigma\; (e\_\; \{0\}),\; \backslash \; sigma\; (e\_\; \{1\}),\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; sigma\; (e\_\; \{n\})]\}$

соответствующий вершины $ek\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{k\}\}$стандартного n-симплекса $\Delta \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; ^\; \{n\}\}$(какой из конечно, не полностью определяет сингулярный симплекс, полученный с помощью $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$), тогда

$\partial \; n\; \sigma \; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (-\; 1)\; k\; \sigma \; \mid \; [p\; 0,\dots ,\; pk\; -\; 1,\; pk\; +\; 1,\dots ,\; pn]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{n\}\; \backslash \; sigma\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; \backslash \; sigma\; \backslash \; mid\; \_\; \{[p\_\; \{0\},\; \backslash \; ldots,\; p\_\; \{k-1\},\; p\_\; \{k\; +\; 1\},\; \backslash \; ldots,\; p\_\; \{n\}]\}\}$

- формальная сумма из определенным образом обозначенные лица симплексного изображения. (То есть конкретное лицо должно быть ограничено $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$лицом $\Delta \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; ^\; \{n\}\}$, который зависит от порядка, в котором перечислены его вершины.) Таким образом, например, граница $\sigma \; =\; [p\; 0,\; p\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; =\; [p\_\; \{0\},\; p\_\; \{\; 1\}]\}$(кривая, идущая от $p\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{0\}\}$до $p\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{1\}\}$) - формальная сумма (или «формальная разница») $[p\; 1]\; -\; [p\; 0]\; \{\backslash \; displaystyle\; [p\_\; \{1\}]\; -\; [p\_\; \{0\}]\}$.

Обычное построение сингулярных гомологий продолжается путем определения формальных сумм симплексов, которые можно понимать как элементы свободной абелевой группы, а затем показа, что мы можем определить некоторую группу, группа гомологий топологического пространства, включающая граничный оператор.

Сначала рассмотрим множество всех возможных сингулярных n-симплексов $\sigma \; n\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{n\}\; (X)\}$на топологическом пространстве X. Этот набор может использоваться в качестве основы свободной абелевой группы, так что каждый сингулярный n-симплекс является генератором группы. Этот набор генераторов, конечно, обычно бесконечен, часто несчетный, так как существует много способов отображения симплекса в типичное топологическое пространство. Свободная абелева группа, порожденная этим базисом, обычно обозначается как $C\; n\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{n\}\; (X)\}$. Элементы $C\; n\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{n\}\; (X)\}$называются сингулярными n-цепями ; они представляют собой формальные суммы сингулярных симплексов с целыми коэффициентами.

граница $\partial \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\}$легко расширяется для воздействия на сингулярные n-цепи. Расширение, называемое граничным оператором, записывается как

$\partial \; n:\; C\; n\; \to \; C\; n\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{n\}:\; C\_\; \{n\}\; \backslash \; to\; C\_\; \{n-\; 1\},\}$

является гомоморфизмом групп. Граничный оператор вместе с $C\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{n\}\}$образуют цепной комплекс абелевых групп, называемый сингулярным комплексом . Его часто обозначают как $(C\; \bullet \; (X),\; \partial \; \bullet )\; \{\backslash \; displaystyle\; (C\; \_\; \{\backslash \; bullet\}\; (X),\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; bullet\})\}$или проще $С\; \bullet \; (Икс)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \_\; \{\backslash \; bullet\}\; (X)\}$.

Ядро граничного оператора: $Z\; n\; (X)\; =\; ker\; \; (\partial \; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{n\; \}\; (X)\; =\; \backslash \; ker\; (\backslash \; partial\; \_\; \{n\})\}$, и называется группой особых n-циклов . Образ граничного оператора: $B\; n\; (X)\; =\; im\; \; (\partial \; n\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n\}\; (X)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{im\}\; (\backslash \; partial\; \_\; \{n\; +\; 1\})\; \}$и называется группой сингулярных n-границ .

. Также можно показать, что $\partial \; n\; \circ \; \partial \; n\; +\; 1\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{n\; \}\; \backslash \; circ\; \backslash \; partial\; \_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; 0\}$. $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-я группа гомологии $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$затем определяется как факторная группа

$H\; п\; (Х)\; =\; Z\; n\; (X)\; /\; B\; n\; (X).\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\; (X)\; =\; Z\_\; \{n\}\; (X)\; /\; B\_\; \{n\}\; (X).\}$

Элементы $H\; n\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\; (\; X)\}$называются классами гомологии .

Если X и Y - два топологических пространства с одним и тем же гомотопическим типом (т. Е. гомотопический эквивалент ), тогда

$H\; n\; (X)\; \cong \; H\; n\; (Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\; (X)\; \backslash \; cong\; H\_\; \{n\}\; (Y)\; \backslash ,\}$

для все n ≥ 0. Это означает, что группы гомологий являются топологическими инвариантами.

В частности, если X - связное стягиваемое пространство, то все его группы гомологий равны 0, кроме $H\; 0\; (\; X)\; \cong \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{0\}\; (X)\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$.

Доказательство гомотопической инвариантности сингулярных групп гомологий можно набросать следующим образом. Непрерывное отображение f: X → Y индуцирует гомоморфизм

$f\; ♯:\; C\; n\; (X)\; \to \; C\; n\; (Y).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{\backslash \; Sharp\}:\; C\_\; \{n\}\; (X)\; \backslash \; rightarrow\; C\_\; \{n\}\; (Y).\}$

Сразу можно проверить, что

$\partial \; f\; ♯\; =\; f\; ♯\; \partial ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; f\; \_\; \{\backslash \; sharp\}\; =\; f\; \_\; \{\backslash \; sharp\}\; \backslash \; partial,\}$

т.е. f # - это цепное отображение , которое спускается до гомоморфизмов на гомологиях

$f\; \ast :\; H\; n\; (X)\; \to \; H\; n\; (Y).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{*\}:\; H\_\; \{n\}\; (X)\; \backslash \; rightarrow\; H\_\; \{n\}\; (Y).\}$

Теперь мы покажем, что если f и g гомотопически эквивалентны, то f * = г *. Отсюда следует, что если f - гомотопическая эквивалентность, то f * - изоморфизм.

Пусть F: X × [0, 1] → Y - гомотопия, переводящая f в g. На уровне цепочек определите гомоморфизм

$P:\; C\; n\; (X)\; \to \; C\; n\; +\; 1\; (Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; P:\; C\_\; \{n\}\; (X)\; \backslash \; rightarrow\; C\_\; \{n\; +\; 1\}\; (Y)\; \}$

который, говоря геометрически, переводит базисный элемент σ: Δ → X в C n (X) в «призму» P (σ): Δ × I → Y. Граница P (σ) можно выразить как

$\partial \; P\; (\sigma )\; =\; f\; ♯\; (\sigma )\; -\; g\; ♯\; (\sigma )\; -\; P\; (\partial \; \sigma ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; P\; (\backslash \; sigma)\; =\; f\; \_\; \{\backslash \; sharp\}\; (\backslash \; sigma)\; -g\; \_\; \{\backslash \; sharp\}\; (\backslash \; sigma)\; -P\; (\backslash \; partial\; \backslash \; sigma).\}$

Итак, если α в C n (X) является n-циклом, тогда f # (α) и g # (α) отличаются границей:

$f\; ♯\; (\alpha )\; -\; г\; ♯\; (\alpha )\; знак\; равно\; \partial \; п\; (\alpha ),\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{\backslash \; sharp\}\; (\backslash \; alpha)\; -g\; \_\; \{\backslash \; sharp\}\; (\backslash \; alpha)\; =\; \backslash \; partial\; P\; (\backslash \; alpha),\}$

т.е. они гомологичны. Это доказывает утверждение.

Вышеупомянутая конструкция может быть определена для любого топологического пространства и сохраняется за счет действия непрерывных отображений. Эта общность подразумевает, что теорию сингулярных гомологий можно переформулировать на языке теории категорий. В частности, группу гомологий можно понимать как функтор из категории топологических пространств Top в категорию абелевых групп Ab.

Сначала рассмотрим, что $X\; \mapsto \; C\; n\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; mapsto\; C\_\; \{n\}\; (X)\}$- это отображение топологических пространств на свободные абелевы группы. Это говорит о том, что $C\; n\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{n\}\; (X)\}$можно рассматривать как функтор, если можно понять его действие на морфизмы из Верх . Теперь морфизмы Top являются непрерывными функциями, поэтому, если $f:\; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; to\; Y\}$является непрерывной картой топологических пространств, его можно расширить до гомоморфизма групп

$f\; \ast :\; C\; n\; (X)\; \to \; C\; n\; (Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{*\}:\; C\_\; \{n\}\; (X)\; \backslash \; to\; C\_\; \{n\}\; (Y)\; \backslash ,\}$

путем определения

$f\; *\; (\sum \; iai\; \sigma \; i)\; =\; \sum \; iai\; (f\; \circ \; \sigma \; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{*\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; a\_\; \{i\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{i\}\; a\_\; \{i\}\; (f\; \backslash \; circ\; \backslash \; sigma\; \_\; \{i\})\}$

где $\sigma \; i:\; \Delta \; n\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{i\}:\; \backslash \; Delta\; ^\; \{n\}\; \backslash \; to\; X\}$- симплекс в единственном числе, а $\sum \; iai\; \sigma \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; a\_\; \{i\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\; i\}\; \backslash ,\}$является сингулярной n-цепочкой, то есть элементом $C\; n\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{n\}\; (X)\}$. Это показывает, что $C\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{n\}\}$является функтором

$C\; n:\; T\; op\; \to \; A\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{n\}:\; \backslash \; mathbf\; \{Top\}\; \backslash \; в\; \backslash \; mathbf\; \{Ab\}\}$

из категории топологических пространств в категорию абелевых групп.

Граничный оператор коммутирует с непрерывными отображениями, так что $\partial \; nf\; \ast \; знак\; равно\; е\; *\; \partial \; N\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{n\}\; f\; \_\; \{*\}\; =\; f\; \_\; \{*\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{n\}\}$. Это позволяет рассматривать весь цепной комплекс как функтор. В частности, это показывает, что карта $X\; \mapsto \; H\; n\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; mapsto\; H\_\; \{n\}\; (X)\}$является функтором

$H\; n:\; T\; op\; \to \; A\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}:\; \backslash \; mathbf\; \{Top\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{Ab\}\}$

из категории топологических пространств в категорию абелевых групп. Согласно аксиоме гомотопии, $H\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\}$также является функтором, называемым функтором гомологии, действующим на hTop, фактор гомотопическая категория :

$H\; n:\; h\; T\; op\; \to \; A\; b.\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}:\; \backslash \; mathbf\; \{hTop\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{Ab\}.\}$

Это отличает сингулярную гомологию от других теорий гомологии, где $H\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\}$по-прежнему является функтором, но не обязательно определен на всем Top . В некотором смысле, особые гомологии являются «наибольшей» теорией гомологий, поскольку каждая теория гомологий в подкатегории из Top согласуется с сингулярными гомологиями в этой подкатегории. С другой стороны, особые гомологии не обладают чистейшими категориальными свойствами; такая очистка мотивирует развитие других теорий гомологии, таких как клеточная гомология.

В более общем смысле, функтор гомологии определяется аксиоматически, как функтор на абелевой категории или, альтернативно, как функтор на цепных комплексах, удовлетворяющий аксиомам, требующим граничного морфизма, который превращает короткие точные последовательности в длинные точные последовательности. В случае особых гомологий функтор гомологии может быть разложен на две части: топологический и алгебраический. Топологическая часть задается формулой

$C\; \bullet :\; T\; op\; \to \; C\; omp\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \_\; \{\backslash \; bullet\}:\; \backslash \; mathbf\; \{Top\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{Comp\}\}$

, которая отображает топологические пространства как $Икс\; \mapsto \; (C\; \bullet \; (X),\; \partial \; \bullet )\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; mapsto\; (C\; \_\; \{\backslash \; bullet\}\; (X),\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; bullet\})\}$и непрерывные функции как $е\; \mapsto \; е\; *\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; \backslash \; mapsto\; f\; \_\; \{*\}\}$. Итак, здесь $C\; \bullet \; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \_\; \{\backslash \; bullet\}\}$понимается как сингулярный цепной функтор, который отображает топологические пространства в категорию цепных комплексов Comp (или Kom ). Категория цепных комплексов имеет цепные комплексы в качестве объектов, а отображает как свои морфизмы.

Вторая, алгебраическая часть - это функтор гомологии

$H\; n\; :\; C\; omp\; \to \; A\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}:\; \backslash \; mathbf\; \{Comp\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{Ab\}\}$

, который отображает

$C\; \bullet \; \mapsto \; H\; n\; (C\; \bullet )\; =\; Z\; n\; (C\; \bullet )\; /\; B\; N\; (C\; \bullet )\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \_\; \{\backslash \; bullet\}\; \backslash \; mapsto\; H\_\; \{n\}\; (C\; \_\; \{\backslash \; bullet\})\; =\; Z\_\; \{n\}\; (C\; \_\; \{\backslash \; bullet\})\; /\; B\_\; \{n\}\; (C\; \_\; \{\backslash \; bullet\})\}$

и переводит цепные отображения в отображения абелевых групп. Именно этот функтор гомологии может быть определен аксиоматически, так что он стоит сам по себе как функтор в категории цепных комплексов.

Гомотопические карты снова входят в картину, определяя гомотопически эквивалентные цепные карты. Таким образом, можно определить факторную категорию hComp или K, гомотопическую категорию цепных комплексов.

Для любого кольца с единицей R множество сингулярных n-симплексов на топологическом пространстве можно взять в качестве генераторов свободного R-модуля. То есть вместо того, чтобы выполнять вышеупомянутые конструкции с начальной точки свободных абелевых групп, вместо них используются свободные R-модули. Все конструкции проходят практически без изменений. Результатом этого является

$H\; n\; (X,\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\; (X,\; R)\; \backslash \}$

, который теперь является R-модулем. Конечно, обычно это не бесплатный модуль. Обычная группа гомологий восстанавливается, если заметить, что

$H\; n\; (X,\; Z)\; =\; H\; n\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\; (X,\; \backslash \; mathbb\; \{Z\})\; =\; H\_\; \{n\}\; (X)\}$

если принять кольцо за кольцо целых чисел. Обозначение H n (X, R) не следует путать с почти идентичным обозначением H n (X, A), которое обозначает относительную гомологию (ниже).

Для подпространства $A\; \subset \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; subset\; X\}$, относительная гомология Hn(X, A) понимается как гомология частного цепных комплексов, то есть

$H\; n\; (X,\; A)\; =\; H\; n\; (C\; \bullet \; (X)\; /\; C\; \bullet \; (A))\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{\; n\}\; (X,\; A)\; =\; H\_\; \{n\}\; (C\; \_\; \{\backslash \; bullet\}\; (X)\; /\; C\; \_\; \{\backslash \; bullet\}\; (A))\}$

где фактор цепных комплексов задается короткой точной последовательностью

$0\; \to \; C\; \bullet \; (A)\; \to \; C\; \bullet \; (X)\; \to \; C\; \bullet \; (X)\; /\; C\; \bullet \; (A)\; \to \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; to\; C\; \_\; \{\backslash \; bullet\}\; (A)\; \backslash \; to\; C\; \_\; \{\backslash \; bullet\}\; (X)\; \backslash \; to\; C\; \_\; \{\backslash \; bullet\}\; (X)\; /\; C\; \_\; \{\backslash \; bullet\}\; (A)\; \backslash \; to\; 0.\}$

Путем дуализации гомологии цепного комплекса ( т.е. применяя функтор Hom (-, R), R - любое кольцо), мы получаем комплекс коцепей с кограничным отображением $\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\}$. Группы когомологий комплекса X определяются как группы гомологий этого комплекса; в шутку, «когомологии - это гомологии ко [двойственного комплекса]».

Группы когомологий имеют более богатую или, по крайней мере, более знакомую алгебраическую структуру, чем группы гомологий. Во-первых, они образуют дифференциальную градуированную алгебру следующим образом:

• градуированный набор групп формирует градуированный R- модуль ;
• , которому может быть придана структура градуированного R- алгебра с использованием чашечного произведения ;
• гомоморфизм Бокштейна β дает дифференциал.

Существуют дополнительные операции когомологий, а алгебра когомологий имеет сложение структура mod p (как и раньше, когомологии mod p являются когомологиями коцепного комплекса mod p, а не редукцией когомологий mod p), в частности структура алгебры Стинрода.

Поскольку количество теорий гомологии стало большим (см. Категория: теория гомологий ), термины Гомологии Бетти и когомологии Бетти иногда применяются (в частности, авторами, пишущими по алгебраической геометрии ) к сингулярной теории, поскольку они приводят к числам Бетти наиболее известных пространств, таких как симплициальные комплексы и замкнутые многообразия.

Если определить теорию гомологий аксиоматически (через аксиомы Эйленберга – Стинрода ), а затем ослабляет одну из аксиом (аксиому размерности), получается обобщенная теория, называемая теорией экстраординарной гомологии. Первоначально они возникли в форме необычных теорий когомологий, а именно K-теории и теории кобордизмов. В этом контексте сингулярная гомология называется обычной гомологией.

• Производная категория
• Теорема об исключении
• Теорема Гуревича
• Симплициальная гомология
• Клеточная гомология

• Аллен Хэтчер, Алгебраическая топология. Cambridge University Press, ISBN 0-521-79160-X и ISBN 0-521-79540-0
• JP Мэй, Краткий курс алгебраической топологии, Издательство Чикагского университета ISBN 0-226-51183-9
• Джозеф Дж. Ротман, Введение в алгебраическую топологию, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1