Симплициальная гомология

В алгебраической топологии, симплициальная гомология - это последовательность групп гомологии из симплициального комплекса. Формализует представление о количестве отверстий заданной размерности в комплексе. Это обобщает количество связанных компонентов (случай размерности 0).

Симплициальные гомологии возникли как способ изучения топологических пространств, строительными блоками которых являются n- симплексы, n-мерные аналоги треугольников. Сюда входят точка (0-симплекс), отрезок прямой (1-симплекс), треугольник (2-симплекс) и тетраэдр (3-симплекс). По определению такое пространство гомеоморфно симплициальному комплексу (точнее, геометрической реализации абстрактного симплициального комплекса ). Такой гомеоморфизм называется триангуляцией данного пространства. Можно триангулировать многие интересующие топологические пространства, в том числе любое гладкое многообразие (Кэрнс и Уайтхед ).

Симплициальные гомологии определяются простым рецептом для любого абстрактного симплициального комплекса. Это замечательный факт, что симплициальные гомология зависит только от ассоциированного топологического пространства. В результате она дает вычислимый способ отличить одно пространство от другого.

• 1 Определения
  • 1.1 Ориентации
  • 1.2 Цепочки
  • 1.3 Границы и циклы
  • 1.4 Границы границ
  • 1.5 Группы гомологий
• 2 Пример
  • 2.1 Группы гомологий треугольника
  • 2.2 Группы гомологий многомерных симплексов
• 3 Симплициальные отображения
• 4 Соответствующие соответствия
• 5 Приложения
• 6 Реализации
• 7 См. Также
• 8 Ссылки
• 9 Внешние ссылки

Граница границы 2-симплекса (слева) и граница 1-цепи (справа) берется. Оба равны 0, являясь суммами, в которых встречаются как положительные, так и отрицательные значения 0-симплекса один раз. Граница границы всегда равна 0. Нетривиальный цикл - это то, что замыкается, как граница симплекса, в том смысле, что его граница равна 0, но на самом деле это не граница симплекса или цепи. Поскольку тривиальные 1-циклы эквивалентны 0 в $H\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{1\}\}$, 1-цикл в правой средней части гомологичен своей сумме с границей 2- симплекс слева.

Ориентации

Ключевым понятием при определении симплициальной гомологии является понятие ориентации симплекса. По определению ориентация k-симплекса задается порядком вершин, записываемым как (v 0,..., v k), с правилом, что два упорядочения определяют одинаковую ориентацию тогда и только тогда, когда они отличаются четной перестановкой. Таким образом, каждый симплекс имеет ровно две ориентации, и изменение порядка двух вершин меняет ориентацию на противоположную. Например, выбор ориентации 1-симплекса означает выбор одного из двух возможных направлений, а выбор ориентации 2-симплекса означает выбор того, что должно означать «против часовой стрелки».

Цепи

Пусть S - симплициальный комплекс. симплициальная k-цепь - это конечная формальная сумма

$\sum \; i\; =\; 1\; N\; ci\; \sigma \; i,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; c\_\; \{i\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{i\},\; \backslash ,\}$

, где каждое c i является целым числом, а σ i является ориентированным k-симплексом. В этом определении мы заявляем, что каждый ориентированный симплекс равен негативу симплекса с противоположной ориентацией. Например,

$(v\; 0,\; v\; 1)\; =\; -\; (v\; 1,\; v\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; (v\_\; \{0\},\; v\_\; \{1\})\; =\; -\; (v\_\; \{1\},\; v\_\; \{0\}).\}$

Группа k-цепочек на S записывается C k. Это свободная абелева группа , у которой есть базис во взаимно однозначном соответствии с множеством k-симплексов в S. Чтобы явно определить базис, нужно выбрать ориентацию каждого симплекса. Один из стандартных способов сделать это - выбрать порядок всех вершин и задать каждому симплексу ориентацию, соответствующую индуцированному порядку его вершин.

Границы и циклы

Пусть σ = (v 0,..., v k) ориентированный k-симплекс, рассматриваемый как базовый элемент C k. граничный оператор

$\partial \; k:\; C\; k\; \to \; C\; k\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{k\}:\; C\_\; \{k\}\; \backslash \; rightarrow\; C\_\; \{k-1\}\}$

- это гомоморфизм определяется следующим образом:

$\partial \; К\; (\sigma )\; =\; \sum \; я\; =\; 0\; К\; (-\; 1)\; я\; (v\; 0,\dots ,\; vi\; ^,\dots ,\; vk),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{k\}\; (\; \backslash \; sigma)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{k\}\; (-\; 1)\; ^\; \{i\}\; (v\_\; \{0\},\; \backslash \; dots,\; \{\backslash \; widehat\; \{v\_\; \{i\}\}\},\; \backslash \; dots,\; v\_\; \{k\; \}),\}$

где ориентированный симплекс

$(v\; 0,\dots ,\; vi\; ^,\dots ,\; vk)\; \{\backslash \; displaystyle\; (v\_\; \{0\},\; \backslash \; dots,\; \{\backslash \; widehat\; \{v\_\; \{i\}\}\},\; \backslash \; dots,\; v\_\; \{k\})\}$

- это i-я грань σ, полученная удалением его i-й вершины.

В C k элементы подгруппы

$Z\; k:\; =\; ker\; \; \partial \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{k\}:\; =\; \backslash \; ker\; \backslash \; partial\; \_\; \{k\}\}$

называются циклами, а подгруппа

$B\; k:\; =\; im\; \; \partial \; k\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{k\}:\; =\; \backslash \; operatorname\; \{im\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{k\; +\; 1\}\}$

состоит из границ .

Границы границ

Прямое вычисление показывает, что ∂ = 0. В геометрических терминах это означает, что граница чего-либо не имеет границ. Аналогично, абелевы группы

$(C\; k,\; \partial \; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; (C\_\; \{k\},\; \backslash \; partial\; \_\; \{k\})\}$

образуют цепной комплекс. Другое эквивалентное утверждение состоит в том, что B k содержится в Z k.

. В качестве примера рассмотрим тетраэдр с вершинами, ориентированными как w, x, y, z. По определению его граница определяется выражением xyz - wyz + wxz - wxy. Граница границы задается формулой: (yz-xz + xy) - (yz-wz + wy) + (xz-wz + wx) - (xy-wy + wx) = 0.

Симплициальный комплекс с 2 1-дырочные

Группы гомологий

Группа гомологий H k группы S определяется как факторная абелева группа

$H\; k\; (S)\; =\; Z\; k\; /\; B\; k.\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{k\}\; (S)\; =\; Z\_\; \{k\}\; /\; B\_\; \{k\}\; \backslash ,.\}$

Отсюда следует, что группа гомологий H k (S) отлична от нуля именно тогда, когда есть k-циклы на S, не являющиеся границами. В некотором смысле это означает, что в комплексе есть k-мерные дыры. Например, рассмотрим комплекс S, полученный склейкой двух треугольников (без внутренних) по одному краю, показанному на изображении. Ребра каждого треугольника могут быть ориентированы так, чтобы образовать цикл. Эти два цикла по построению не являются границами (так как каждая 2-цепь равна нулю). Можно вычислить, что группа гомологий H 1 (S) изоморфна Z с базисом, заданным двумя упомянутыми циклами. Это уточняет неформальное представление о том, что S имеет две «одномерные дыры».

Отверстия могут быть разных размеров. ранг k-й группы гомологий, число

$\beta \; k\; =\; ранг\; \; (H\; k\; (S))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; \_\; \{k\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{rank\}\; (H\_\; \{k\; \}\; (S))\; \backslash ,\}$

называется k-м числом Бетти числа S. Оно дает меру количества k-мерных дыр в S.

Группы гомологий треугольника

Пусть S - треугольник (без его внутренней части), рассматриваемый как симплициальный комплекс. Таким образом, S имеет три вершины, которые мы называем v 0, v 1, v 2, и три ребра, которые являются одномерными симплексами. Чтобы вычислить группы гомологий S, мы начнем с описания цепных групп C k:

• C0, изоморфных Z с базисом (v 0), (v 1), (v 2),
• C1изоморфен Z с базисом, заданным ориентированными 1-симплексами (v 0, v 1), (v 0, v 2) и (v 1, v 2).
• C2- тривиальная группа, поскольку не существует симплекса, подобного $(v\; 0,\; v\; 1,\; v\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (v\_\; \{0\},\; v\_\; \{1\},\; v\_\; \{2\})\}$, потому что предполагалось, что треугольник не имеет внутренней части. То же самое и с цепными группами в других

Граничный гомоморфизм ∂: C 1 → C 0 задается следующим образом:

$\partial \; (v\; 0,\; v\; 1)\; =\; (\; v\; 1)\; -\; (v\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; (v\_\; \{0\},\; v\_\; \{1\})\; =\; (v\_\; \{1\})\; -\; (v\_\; \{0\})\}$

$\partial \; (v\; 0,\; v\; 2)\; знак\; равно\; (v\; 2)\; -\; (v\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; (v\_\; \{0\},\; v\_\; \{2\})\; =\; (v\_\; \{2\})\; -\; (v\_\; \{0\})\}$

$\partial \; (v\; 1,\; v\; 2)\; =\; (v\; 2)\; -\; (v\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; (v\_\; \{1\},\; v\_\; \{2\})\; =\; (v\_\; \{2\})\; -\; (v\_\; \{1\})\}$

Поскольку C −1 = 0, каждая 0-цепочка является циклом (т.е. Z 0 = C 0); кроме того, группа B 0 0-границ генерируется тремя элементами справа от этих уравнений, создавая двумерную подгруппу C 0. Таким образом, 0-я группа гомологии H0(S) = Z 0/B0изоморфна Z с базисом, заданным (например) изображением 0-цикла (v 0). Действительно, в фактор-группе все три вершины становятся равными; это выражает тот факт, что S связно.

Далее, группа 1-циклов является ядром гомоморфизма ∂ выше, который изоморфен Z, с заданным базисом (например,) на (v 0,v1) - (v 0,v2) + (v 1,v2). (Изображение показывает, что этот 1-цикл обходит треугольник в одном из двух возможных направлений.) Поскольку C 2 = 0, группа 1-границ равна нулю, и поэтому 1st группа гомологий H1(S) изоморфна Z / 0 ≅ Z . Это уточняет представление о том, что треугольник имеет одно одномерное отверстие.

Затем, поскольку по определению нет 2-циклов, C 2 = 0 (тривиальная группа ). Следовательно, 2-я группа гомологий H2(S) равна нулю. То же самое верно для H i (S) для всех i, не равных 0 или 1.

Группы гомологий многомерных симплексов

Пусть S будет тетраэдр (без внутренней части), рассматриваемый как симплициальный комплекс. Таким образом, S имеет четыре 0-мерных вершины, шесть одномерных ребер и четыре двумерных грани. Здесь подробно описано построение групп гомологии тетраэдра. Оказывается, что H 0 (S) изоморфен Z, H 2 (S) также изоморфен Z, и все остальные группы тривиальны.

Если тетраэдр содержит внутренность, то H 2 (S) тоже тривиально.

В общем, если S является d-мерным симплексом, выполняется следующее:

• Если S рассматривается без его внутренней части, то H 0 (S) = Z и H d-1(S) = Z и все другие гомологии тривиальны;
• Если S рассматривается с его внутренней частью, то H 0 ( S) = Z и все другие гомологии тривиальны.

Пусть S и T - симплициальные комплексы. Симплициальное отображение f из S в T - это функция из множества вершин S в множество вершин T такая, что изображение каждого симплекса в S (рассматриваемого как набор вершин) является симплексом в T. Симплициальное отображение f: S → T определяет гомоморфизм групп гомологий H k (S) → H k (T) для каждого целого k. Это гомоморфизм, связанный с цепным отображением из цепного комплекса S в цепной комплекс T. Явно это цепное отображение задается на k-цепях как

$f\; ((v\; 0,\dots ,\; vk))\; =\; (е\; (v\; 0),\dots ,\; f\; (vk))\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ((v\_\; \{0\},\; \backslash \; ldots,\; v\_\; \{k\}))\; =\; (f\; (v\_\; \{0\}),\; \backslash \; ldots,\; f\; (v\_\; \{k\}))\}$

, если f (v 0),..., f (v k) все разные, иначе f ( (v 0,..., v k)) = 0.

Эта конструкция превращает симплициальные гомологии в функтор от симплициальных комплексов к абелевы группы. Это важно для приложений теории, включая теорему Брауэра о неподвижной точке и топологическую инвариантность симплициальных гомологий.

Сингулярные гомологии - это родственная теория, которая лучше приспособлена к теории, чем к вычислениям. Особые гомологии определены для всех топологических пространств и, очевидно, зависят только от топологии, а не от какой-либо триангуляции; и это согласуется с симплициальными гомологиями пространств, которые можно триангулировать. Тем не менее, поскольку симплициальную гомологию симплициального комплекса можно вычислить автоматически и эффективно, симплициальная гомология стала важной для применения в реальных ситуациях, таких как анализ изображений, медицинская визуализация и анализ данных в целом.

Другая родственная теория: Гомология клеток.

Стандартный сценарий во многих компьютерных приложениях - это набор точек (измерения, темные пиксели на битовой карте, и т. д.), в котором нужно найти топологический признак. Гомология может служить качественным инструментом для поиска такого признака, поскольку его легко вычислить на основе комбинаторных данных, таких как симплициальный комплекс. Однако сначала точки данных должны быть триангулированы, что означает, что данные заменяются симплициальным комплексным приближением. Вычисление постоянной гомологии включает в себя анализ гомологии при различных разрешениях, регистрацию классов гомологии (дыр), которые сохраняются при изменении разрешения. Такие функции могут использоваться для обнаружения структур молекул, опухолей в рентгеновских лучах и кластерных структур в сложных данных.

В более общем плане симплициальная гомология играет центральную роль в анализе топологических данных, методе в области интеллектуального анализа данных.

• A MATLAB инструментарий для Вычисление постоянной гомологии, Plex (, Gunnar Carlsson ), доступно на этом сайте.
• Автономные реализации на C ++ доступны как часть Программные проекты Perseus и Dionysus.

• Симплициальная гомотопия

• Топологические методы в научных вычислениях
• Вычислительная гомология (также кубическая гомология)