Ориентируемость

Свойство пространства, которое позволяет последовательно выбирать ориентацию «по часовой стрелке» A тор является ориентируемой поверхностью Лента Мёбиуса - неориентируемая поверхность. Обратите внимание, что краб-скрипач, перемещающийся вокруг него, переворачивается влево и вправо при каждом полном обращении. Этого не произошло бы, если бы краб находился на торе. Римская поверхность неориентируема

В математике, ориентируемость является свойством поверхностей в евклидовом пространстве, который измеряет, возможно ли сделать последовательный выбор нормали к поверхности вектора в каждой точке. Выбор вектора нормали позволяет использовать правило правой руки для определения направления петель на поверхности «по часовой стрелке», как того требует теорема Стокса, например. В более общем смысле ориентируемость абстрактной поверхности или многообразия измеряет, можно ли последовательно выбрать ориентацию «по часовой стрелке» для всех петель в многообразии. Эквивалентно, поверхность является ориентируемой, если двумерная фигура (например, ) в пространстве не может непрерывно перемещаться по этой поверхности и обратно в это начальная точка, чтобы он выглядел как собственное зеркальное отображение ( ).

Понятие ориентируемости также может быть обобщено на многомерные многообразия. Многообразие является ориентируемым, если оно имеет последовательный выбор ориентации, а связное ориентируемое многообразие имеет ровно две различные возможные ориентации. В этом случае могут быть предоставлены различные эквивалентные формулировки ориентируемости в зависимости от желаемого применения и уровня общности. Формулировки, применимые к общим топологическим многообразиям, часто используют методы теории гомологии, тогда как для дифференцируемых многообразий присутствует больше структуры, позволяющая формулировать в терминах дифференциальных форм. Важным обобщением понятия ориентируемости пространства является понятие ориентируемости семейства пространств, параметризованных каким-то другим пространством (расслоением ), для которого необходимо выбрать ориентацию в каждом из пространств, которая меняется непрерывно по отношению к изменениям значений параметров.

• 1 Ориентируемые поверхности
  • 1.1 Примеры
  • 1.2 Ориентация посредством триангуляции
  • 1.3 Ориентируемость и гомология
• 2 Ориентируемость многообразий
  • 2.1 Ориентируемость дифференцируемых многообразий
  • 2.2 Гомология и ориентируемость общих многообразий
  • 2.3 Ориентация и когомологии
  • 2.4 Ориентация двойной крышки
  • 2.5 Многообразия с границей
• 3 Ориентируемая двойная крышка
• 4 Ориентация векторных расслоений
• 5 Понятия, связанные с данным
  • 5.1 Линейная алгебра
  • 5.2 Лоренцева геометрия
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

В этой анимации проводится простая аналогия с использованием шестерни, которая вращается в соответствии с к правилу правой руки на векторе нормали поверхности. Ориентация кривых, определяемая границами, задается направлением движения точек, когда они толкаются движущейся шестерней. На неориентируемой поверхности, такой как лента Мёбиуса, граница должна двигаться в обоих направлениях одновременно, что невозможно.

Поверхность S в евклидовом пространстве Rориентируема, если двухмерную фигуру (например, ) нельзя перемещать по поверхности и возвращать туда, где она была начата, чтобы она выглядела как ее собственное зеркальное отображение ( ). В противном случае поверхность неориентируемая . Абстрактная поверхность (т.е. двумерное многообразие ) является ориентируемым, если на поверхности может быть определена согласованная концепция вращения по часовой стрелке непрерывным образом. Это означает, что петля, проходящая по поверхности в одну сторону, никогда не может непрерывно деформироваться (без перекрытия) до петли, идущей в противоположном направлении. Это оказывается эквивалентным вопросу о том, содержит ли поверхность подмножество, гомеоморфное ленте Мёбиуса. Таким образом, для поверхностей ленту Мёбиуса можно рассматривать как источник всей неориентируемости.

Для ориентируемой поверхности последовательный выбор «по часовой стрелке» (в отличие от против часовой стрелки) называется ориентацией, а поверхность называется ориентированной . Для поверхностей, встроенных в евклидово пространство, ориентация задается выбором непрерывно изменяющейся нормали к поверхности nв каждой точке. Если такая норма вообще существует, то всегда есть два способа ее выбрать: n или - n . В более общем смысле, ориентируемая поверхность допускает ровно две ориентации, и различие между ориентированной поверхностью и ориентируемой поверхностью тонкое и часто нечеткое. Ориентируемая поверхность - это абстрактная поверхность, допускающая ориентацию, в то время как ориентированная поверхность - это поверхность, которая является абстрактно ориентируемой и имеет дополнительные данные для выбора одной из двух возможных ориентаций.

Примеры

Большинство поверхностей, с которыми мы сталкиваемся в физическом мире, ориентируемы. Сферы, плоскости и торы ориентируются, например. Но ленты Мёбиуса, вещественные проективные плоскости и бутылки Клейна неориентируемы. Все они в трехмерном представлении имеют только одну сторону. Реальная проективная плоскость и бутылка Клейна не могут быть вложены в R, только погружены с хорошими пересечениями.

Обратите внимание, что локально встроенная поверхность всегда имеет две стороны, поэтому близорукий муравей, ползающий по односторонней поверхности, подумает, что есть «другая сторона». Суть односторонности в том, что муравей может переползать с одной стороны поверхности на «другую», не проходя через поверхность и не переворачиваясь за край, а просто проползая достаточно далеко.

В общем, свойство ориентироваться не эквивалентно двустороннему; однако это справедливо, когда окружающее пространство (такое как R выше) является ориентируемым. Например, тор, вложенный в

$K\; 2\; \times \; S\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; ^\; \{2\}\; \backslash \; times\; S\; ^\; \{1\}\}$

, может быть односторонним, а бутылка Клейна в том же пространстве может быть двусторонний; здесь $K\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; ^\; \{2\}\}$относится к бутылке Клейна.

Ориентация по триангуляции

Любая поверхность имеет триангуляцию : разбиение на треугольники так, что каждое ребро треугольника приклеивается максимум к одному другому ребру. Каждый треугольник ориентируется путем выбора направления по периметру треугольника, присвоения направления каждому краю треугольника. Если это сделано таким образом, что при склеивании соседние кромки направлены в противоположном направлении, то это определяет ориентацию поверхности. Такой выбор возможен только в том случае, если поверхность ориентируемая, а в этом случае есть ровно две разные ориентации.

Если фигуру можно последовательно расположить во всех точках поверхности, не превращаясь в ее зеркальное отображение, тогда это вызовет ориентацию в указанном выше смысле на каждом из треугольников триангуляции путем выбора направление каждого из треугольников основано на порядке красно-зелено-синих цветов любой из фигур внутри треугольника.

Этот подход обобщается на любое n-многообразие, имеющее триангуляцию. Однако некоторые 4-многообразия не имеют триангуляции, и в общем случае при n>4 некоторые n-многообразия имеют триангуляции, которые неэквивалентны.

Ориентируемость и гомология

Если H 1 (S) обозначает первую группу гомологий поверхности S, то S ориентируема тогда и только если H 1 (S) имеет тривиальную торсионную подгруппу. Точнее, если S ориентируема, то H 1 (S) является свободной абелевой группой, а если нет, то H 1 (S) = F + Z/2Z, где F - свободный абелев, а фактор Z/2Zпорождается средней кривой в ленте Мебиуса, вложенной в S.

Пусть M - связное топологическое n- многообразие. Существует несколько возможных определений того, что означает ориентируемость М. Некоторые из этих определений требуют, чтобы M имел дополнительную структуру, например, дифференцируемость. Иногда n = 0 нужно рассматривать как особый случай. Когда к M применимо более одного из этих определений, то M ориентируемо при одном определении тогда и только тогда, когда оно ориентируемо при других.

Ориентируемость дифференцируемых многообразий

Наиболее интуитивные определения требуют что M - дифференцируемое многообразие. Это означает, что функции перехода в атласе M являются C-функциями. Такая функция допускает определитель Якоби. Когда детерминант Якоби положительный, функция перехода называется с сохранением ориентации . Ориентированный на атлас на M - это атлас, для которого все функции перехода сохраняют ориентацию. M является ориентируемым, если он допускает ориентированный атлас. Когда n>0, ориентация M является максимальным ориентированным атласом. (Когда n = 0, ориентация M является функцией M → {± 1}.)

Ориентируемость и ориентации также могут быть выражены в терминах касательного расслоения. Касательное расслоение - это векторное расслоение, поэтому это расслоение со структурной группой GL (n, R ). То есть функции перехода многообразия индуцируют функции перехода на касательном расслоении, которые являются послойными линейными преобразованиями. Если структурную группу можно свести к группе GL (n, R ) матриц положительных определителей или, что то же самое, если существует атлас, функции перехода которого определяют сохраняющее ориентацию линейное преобразование на каждом касательном пространстве, тогда многообразие M ориентируемо. Наоборот, M ориентируемо тогда и только тогда, когда структурная группа касательного расслоения может быть уменьшена таким образом. Аналогичные наблюдения можно сделать и для связки кадров.

Другой способ определить ориентацию на дифференцируемом многообразии - использовать формы объема. Форма объема - это нигде не исчезающее сечение ω множества ⋀ TM, верхней внешней степени кокасательного расслоения к M. Например, R имеет стандартную форму объема, заданную как dx ∧... ∧ dx. Для данной формы объема на M совокупность всех карт U → R, для которых стандартная форма объема возвращается к положительному кратному ω, является ориентированным атласом. Следовательно, существование формы объема равносильно ориентируемости многообразия.

Формы объема и касательные векторы можно комбинировать, чтобы дать еще одно описание ориентируемости. Если X 1,..., X n является базисом касательных векторов в точке p, то базис называется правосторонним, если ω (X 1,..., X n)>0. Функция перехода сохраняет ориентацию тогда и только тогда, когда она отправляет правые основания на правые. Существование формы объема подразумевает редукцию структурной группы касательного расслоения или расслоения реперов до GL (n, R ). Как и раньше, это подразумевает ориентируемость M. Наоборот, если M ориентируем, то формы локальных объемов могут быть скомпонованы вместе, чтобы создать форму глобального объема, ориентируемость необходима, чтобы гарантировать, что глобальная форма нигде не исчезает.

Гомологии и ориентируемость общих многообразий

В основе всех приведенных выше определений ориентируемости дифференцируемого многообразия лежит понятие функции перехода, сохраняющей ориентацию. Возникает вопрос, что именно сохраняют такие переходные функции. Они не могут сохранять ориентацию многообразия, потому что ориентация многообразия - это атлас, и нет смысла говорить, что функция перехода сохраняет или не сохраняет атлас, членом которого она является.

Этот вопрос можно решить, определив локальные ориентации. На одномерном многообразии локальная ориентация вокруг точки p соответствует выбору слева и справа около этой точки. На двумерном многообразии это соответствует выбору по часовой стрелке и против часовой стрелки. У этих двух ситуаций есть общая черта, заключающаяся в том, что они описаны в терминах поведения в высшей размерности вблизи p, но не в p. В общем случае пусть M - топологическое n-многообразие. Локальная ориентация группы M вокруг точки p - это выбор образующей группы

$H\; n\; (M,\; M\; \setminus \; \{p\};\; Z).\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\; \backslash \; left\; (M,\; M\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{p\; \backslash \};\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; \backslash \; right).\}$

Чтобы увидеть геометрическое значение этой группы, выберите диаграмму вокруг p. В этой карте есть окрестность точки p, которая является открытым шаром B вокруг начала координат O. По теореме об исключении, $H\; n\; (M,\; M\; \setminus \; \{p\};\; Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\; \backslash \; left\; (M,\; M\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{p\; \backslash \};\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; \backslash \; right)\}$изоморфен $H\; n\; (B,\; B\; \setminus \; \{O\};\; Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\; \backslash \; left\; (B,\; B\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{O\; \backslash \};\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; \backslash \; right)\}$. Шар B стягиваем, поэтому его группы гомологий равны нулю, кроме степени ноль, а пространство B \ O является (n - 1) -сферой, поэтому его группы гомологий равны нулю, кроме степеней n - 1 и 0. Вычисление с длинная точная последовательность в относительной гомологии показывает, что указанная выше группа гомологий изоморфна $H\; n\; -\; 1\; (S\; n\; -\; 1;\; Z)\; \cong \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\; -1\}\; \backslash \; left\; (S\; ^\; \{n-1\};\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\}$. Таким образом, выбор генератора соответствует решению, положительна или отрицательна сфера на данной диаграмме вокруг p. Отражение R через начало координат действует отрицанием на $H\; n\; -\; 1\; (S\; n\; -\; 1;\; Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n-1\}\; \backslash \; left\; (S\; ^\; \{n-1\; \};\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; \backslash \; right)\}$, поэтому геометрическое значение выбора генератора состоит в том, что он отличает диаграммы от их отражений.

На топологическом многообразии функция перехода является сохраняющей ориентацию, если в каждой точке p в своей области определения она фиксирует образующие $H\; n\; (M,\; M\; \setminus \; \{p\; \};\; Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\; \backslash \; left\; (M,\; M\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{p\; \backslash \};\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; \backslash \; right)\}$. Отсюда соответствующие определения такие же, как и в дифференцируемом случае. ориентированный атлас - это атлас, для которого все функции перехода сохраняют ориентацию, M является ориентируемым, если он допускает ориентированный атлас, и когда n>0, ориентация M - максимальный ориентированный атлас.

Интуитивно, ориентация M должна определять уникальную локальную ориентацию M в каждой точке. Это уточняется, если отметить, что любую карту в ориентированном атласе вокруг p можно использовать для определения сферы вокруг p, и эта сфера определяет генератор $H\; n\; (M,\; M\; \setminus \; \{p\};\; Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\; \backslash \; left\; (M,\; M\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{p\; \backslash \};\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; \backslash \; right)\}$. Более того, любая другая диаграмма вокруг p связана с первой диаграммой функцией перехода, сохраняющей ориентацию, и это означает, что две диаграммы дают один и тот же генератор, поэтому генератор уникален.

Возможны также чисто гомологические определения. Предполагая, что M замкнуто и связно, M ориентируемо тогда и только тогда, когда n-я группа гомологий $H\; n\; (M;\; Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\; (M;\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\}$изоморфен целым числам Z . ориентация матрицы M - это выбор образующей α этой группы. Этот генератор определяет ориентированный атлас, фиксируя генератор бесконечной циклической группы $H\; n\; (M;\; Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\; (M;\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\}$и принимая ориентированные диаграммы должны быть теми, для которых α продвигается к фиксированному генератору. И наоборот, ориентированный атлас определяет такой генератор, поскольку совместимые локальные ориентации могут быть склеены вместе, чтобы дать генератор для группы гомологий $H\; n\; (M;\; Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\; (M;\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\}$.

Ориентация и когомологии

Многообразие M ориентируемо тогда и только тогда, когда первый класс Штифеля – Уитни $w\; 1\; (M)\; \in \; H\; 1\; (M;\; Z\; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{1\}\; (M)\; \backslash \; in\; H\; ^\; \{1\}\; (M;\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; /\; 2)\}$исчезает. В частности, если первая группа когомологий с коэффициентами Z / 2 равна нулю, то многообразие ориентируемо. Более того, если M ориентируем и w 1 обращается в нуль, то $H\; 0\; (M;\; Z\; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{0\}\; (M;\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; /\; 2)\}$параметризует выбор ориентации. Эта характеризация ориентируемости распространяется на ориентируемость общих векторных расслоений над M, а не только на касательное расслоение.

Двойная крышка ориентации

Вокруг каждой точки M есть две локальные ориентации. Интуитивно существует способ перейти от локальной ориентации в точке p к локальной ориентации в соседней точке p ': когда две точки лежат в одной и той же координатной карте U → R, эта координатная карта определяет совместимые локальные ориентации в точках p и p ′. Таким образом, множеству локальных ориентаций может быть задана топология, и эта топология превращает его в многообразие.

Точнее, пусть O будет множеством всех локальных ориентаций M. Чтобы топологизировать O, мы укажем подбазу для ее топологии. Пусть U - открытое подмножество M, выбранное таким образом, что $H\; n\; (M,\; M\; \setminus \; U;\; Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\; (M,\; M\; \backslash \; setminus\; U;\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\}$изоморфен Z . Предположим, что α - образующая этой группы. Для каждого p в U существует функция продвижения вперед $H\; n\; (M,\; M\; \setminus \; U;\; Z)\; \to \; H\; n\; (M,\; M\; \setminus \; \{p\};\; Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\; (M,\; M\; \backslash \; setminus\; U;\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\; \backslash \; to\; H\_\; \{n\}\; \backslash \; left\; (M,\; M\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{p\; \backslash \};\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; \backslash \; right)\}$. Кообласть этой группы имеет два образующих, и α отображается в один из них. Топология на O определена так, что

$\{Изображение\; \alpha \; в\; H\; n\; (M,\; M\; \setminus \; \{p\};\; Z):\; p\; \in \; U\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\{\backslash \; text\; \{Image\; of\}\}\; \backslash \; alpha\; \{\; \backslash \; text\; \{in\}\}\; H\_\; \{n\}\; \backslash \; left\; (M,\; M\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{p\; \backslash \};\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; двоеточие\; p\; \backslash \; in\; U\; \backslash \}\}$

открыто.

Существует каноническое отображение π: O → M, которое отправляет локальную ориентацию в точке p в точку p. Ясно, что каждая точка M имеет ровно два прообраза относительно π. Фактически, π является даже локальным гомеоморфизмом, поскольку прообразы открытых множеств U, упомянутые выше, гомеоморфны несвязному объединению двух копий U. Если M ориентируемо, то само M является одним из этих открытых множеств, поэтому O является несвязное объединение двух копий M. Если M неориентируемо, то O связно и ориентируемо. Многообразие O называется ориентационным двойным покрытием .

Многообразие с краем

Если M - многообразие с краем, то ориентация M определяется как ориентация его внутренней части. Такая ориентация индуцирует ориентацию ∂M. Действительно, предположим, что ориентация M фиксирована. Пусть U → R+- карта в граничной точке M, которая, будучи ограничена внутренней частью M, находится в выбранном ориентированном атласе. Ограничение этой карты на ∂M является картой ∂M. Такие карты образуют ориентированный атлас для ∂M.

Когда M гладко, в каждой точке p на ∂M ограничение касательного расслоения M на ∂M изоморфно T p ∂M ⊕ R, где коэффициент R описывается направленным внутрь нормальным вектором. Ориентация T p ∂M определяется условием, что базис T p ∂M положительно ориентирован тогда и только тогда, когда он в сочетании с направленным внутрь вектором нормали, определяет положительно ориентированный базис T p M.

Воспроизвести медиа Анимация ориентируемой двойной обложки ленты Мёбиуса.

В близком родственном понятии используется идея , покрывающая пространство. В качестве связного многообразия M возьмем M, множество пар (x, o), где x - точка M, а o - ориентация в x; здесь мы предполагаем, что M либо гладкое, поэтому мы можем выбрать ориентацию на касательном пространстве в точке, либо мы используем особые гомологии для определения ориентации. Затем для каждого открытого ориентированного подмножества M мы рассматриваем соответствующий набор пар и определяем, что это открытое множество M. Это дает M топологию, и проекция, отправляющая (x, o) в x, является тогда 2-к- 1 карта покрытия. Это покрытие называется ориентируемым двойным покрытием, поскольку оно ориентируемое. M связно тогда и только тогда, когда M неориентируема.

Другой способ создать это покрытие - разделить петли, основанные на базовой точке, на петли, сохраняющие ориентацию или меняющие ориентацию. Петли, сохраняющие ориентацию, образуют подгруппу фундаментальной группы, которая является либо всей группой, либо индексом два. В последнем случае (что означает наличие пути с изменением ориентации) подгруппа соответствует связному двойному покрытию; это покрытие ориентируемо по построению. В первом случае можно просто взять две копии M, каждая из которых соответствует разной ориентации.

Реальное векторное расслоение, которое априори имеет структурную группу GL(n) , называется ориентируемым, если структурная группа может быть уменьшена до $GL\; +\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; GL\; ^\; \{+\}\; (n)\}$, группа матриц с положительным определителем . Для касательного расслоения это сокращение всегда возможно, если лежащее в основе базовое многообразие ориентируемо, и фактически это обеспечивает удобный способ определения ориентируемости гладкого вещественного многообразия : гладкое многообразие определяется как ориентируемое, если его касательное расслоение ориентируемо (как векторное расслоение). Заметим, что как самостоятельное многообразие касательное расслоение всегда ориентируемо, даже над неориентируемыми многообразиями.

Линейная алгебра

Понятие ориентируемости по существу происходит из топологии реальной общей линейной группы

$GL\; \; (n,\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (n,\; \backslash \; mathbf\; \{R\})\}$, в частности, что самая низкая гомотопическая группа - $\pi \; 0\; (GL\; \; (n,\; R))\; =\; Z\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{0\}\; (\backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (n,\; \backslash \; mathbf\; \{R\}))\; =\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; /\; 2\}$

обратимое преобразование действительного векторное пространство либо сохраняет ориентацию, либо меняет ориентацию.

Это верно не только для дифференцируемых многообразий, но и для топологических многообразий, поскольку пространство само- гомотопических эквивалентностей сферы также имеет две связные компоненты, которые могут быть обозначали карты «сохраняющие ориентацию» и «меняющие ориентацию».

Аналогичным понятием для симметрической группы является альтернированная группа из четных перестановок.

лоренцевой геометрии

В два вида ориентируемости: и. Они играют роль в причинной структуре пространства-времени. В контексте общей теории относительности, пространство-время многообразие ориентировано в пространстве, если, когда два правых наблюдателя направляются на ракетных кораблях, стартуя в одной и той же точке пространства-времени, а затем снова встречаются в другой момент, они остаются правыми по отношению друг к другу. Если пространство-время ориентировано во времени, то два наблюдателя всегда согласятся о направлении времени в обеих точках встречи. Фактически, пространство-время ориентируется во времени тогда и только тогда, когда любые два наблюдателя могут договориться о том, какая из двух встреч предшествовала другой.

Формально псевдоортогональная группа O (p, q) имеет пару символы : символ пространственной ориентации σ + и символ временной ориентации σ −,

$\sigma \; \pm :\; O\; \; (p,\; q)\; \to \; \{-\; 1,\; +\; 1\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; pm\}:\; \backslash \; operatorname\; \{O\}\; (p,\; q)\; \backslash \; to\; \backslash \; \{-\; 1,\; +\; 1\; \backslash \}.\}$

Их произведение σ = σ +σ−является определителем, который придает ориентировочный характер. Пространственная ориентация псевдориманова многообразия отождествляется с разделом ассоциированного пучка

$O\; \; (M)\; \times \; \sigma \; +\; \{-\; 1,\; +\; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{O\}\; (M)\; \backslash \; times\; \_\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{+\}\}\; \backslash \; \{-\; 1,\; +\; 1\; \backslash \}\}$

где O (M) - связка псевдоортогональных фреймов. Аналогично, временная ориентация - это часть связанного пучка

$O\; \; (M)\; \times \; \sigma \; -\; \{-\; 1,\; +\; 1\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{O\}\; (M)\; \backslash \; times\; \_\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{-\}\}\; \backslash \; \{-\; 1,\; +\; 1\; \backslash \}.\}$

• Ориентация кривой
• Ориентационный пучок

1. ^Манро, Маршалл Эванс (1963). Современное многомерное исчисление. Аддисон-Уэсли Паб. Co. p. 263.
2. ^Спивак, Майкл (1965). Исчисление на многообразиях. Харпер Коллинз. ISBN 978-0-8053-9021-6.
3. ^Хэтчер, Аллен (2001). Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521795401.
4. ^Хэтчер, Аллен (2001). Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521795401., теорема 3.26 (a) на стр. 236
5. ^Лоусон, Х. Блейн ; Мишельсон, Мари-Луиза (1989). Спиновая геометрия. Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08542-0., теорема 1.2 на стр. 79
6. ^С.В. Хокинг, Г.Ф.Р. Эллис (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-20016-4.
7. ^Марк Дж. Хэдли (2002) Ориентируемость пространства-времени, Классическая и квантовая гравитация 19: 4565-4571 arXiv: gr-qc / 0202031v4

• Ориентация коллекторов в Атласе манифольдов.
• Ориентация покрытия на Атласе манифольдов.
• Ориентация многообразий в обобщенных теориях когомологий в Атласе многообразий.
• Статья в энциклопедии математики о Ориентации.