Класс Штифеля – Уитни

В математике, в частности, в алгебраической топологии и дифференциальной геометрии, то классы Штифеля-Уитни представляют собой набор топологических инвариантов одного вещественных векторного расслоения, описывающие препятствие для построения всюду независимых наборов сечений векторного расслоения. Классы Штифеля – Уитни индексируются от 0 до n, где n - ранг векторного расслоения. Если класс Штифеля – Уитни индекса i отличен от нуля, то не может существовать ( n - i +1) всюду линейно независимых сечений векторного расслоения. Ненулевой n- й класс Штифеля – Уитни указывает, что каждая секция расслоения в какой-то момент должна обратиться в нуль. Ненулевой первый класс Штифеля – Уитни указывает на то, что векторное расслоение не ориентируемо. Например, первый класс Штифеля – Уитни полосы Мёбиуса как линейного расслоения над окружностью не равен нулю, тогда как первый класс Штифеля – Уитни тривиального линейного расслоения над окружностью, S ¹ × R, равен нулю.

Класс Штифеля-Уитни был назван в Эдуарда Штифелем и Hassler Уитни и является примером Z / 2 Z - характеристический класс, связанный с реальными векторных расслоений.

В алгебраической геометрии можно также определить аналогичные классы Штифеля – Уитни для векторных расслоений с невырожденной квадратичной формой, принимающих значения в этальных группах когомологий или в K-теории Милнора. В качестве частного случая можно определить классы Штифеля – Уитни для квадратичных форм над полями, первые два случая - это дискриминант и инвариант Хассе – Витта ( Milnor 1970 ).

• 1 Введение
  • 1.1 Общее представление
  • 1.2 Происхождение
• 2 Определения
  • 2.1 Аксиоматическое определение
  • 2.2 Определение через бесконечные грассманианы
    • 2.2.1 Бесконечные грассманианы и векторные расслоения
    • 2.2.2 Случай линейных пучков
    • 2.2.3 Группа линейных пучков
• 3 свойства
  • 3.1 Топологическая интерпретация исчезновения
  • 3.2. Единственность классов Штифеля – Уитни.
  • 3.3. Неизоморфные расслоения с одинаковыми классами Штифеля – Уитни
• 4 Связанные инварианты
  • 4.1 Числа Штифеля – Уитни
  • 4.2 У классы
• 5 интегральных классов Штифеля – Уитни
  • 5.1 Соотношения над алгеброй Стинрода
• 6 См. Также
• 7 ссылки
• 8 Внешние ссылки

Общая презентация

Для вещественного векторного расслоения Е, то класс Штифеля-Уитни Е обозначается ш ( Е ). Это элемент кольца когомологий

${\ displaystyle H ^ {\ ast} (X; \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}) = \ bigoplus _ {i \ geq 0} H ^ {i} (X; \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z})}$

здесь Х представляет собой базовое пространство расслоения Е и Z 2 / Z (часто обозначается в качестве альтернативы Z 2 ) является коммутативное кольцо которого только элементы 0 и 1. Компонент из ш ( Е ) в Н ^я ( X ; Z / 2 Z ) обозначается через ш я ( Е ) и называется я -й класс Штифеля-Уитни из Е. Таким образом, w ( E ) = w 0 ( E ) + w 1 ( E ) + w 2 ( E ) + ⋅⋅⋅, где каждый w i ( E ) является элементом H ⁱ ( X ; Z / 2 Z ).

Класс Штифеля – Уитни w ( E ) является инвариантом вещественного векторного расслоения E ; то есть, когда Р является еще вещественное векторное расслоение, которое имеет ту же базовое пространство X, как Е, и если F является изоморфной с Е, то классы Штифеля-Уитни ш ( Е ) и W ( F ) равны. (Здесь изоморфные означает, что существует изоморфизм векторного расслоения E  →  F, который охватывает тождественный идентификатор X  : X  →  X. ) В то время как в целом трудно решить, расслоения ли два вещественный вектор E и F изоморфны, классы Штифеля-Уитни w ( E ) и w ( F ) часто легко вычислить. Если они разные, то известно, что E и F не изоморфны.

В качестве примера, над окружностью S ¹, существует линейное расслоение (то есть вещественное векторное расслоение ранга 1), не изоморфно тривиальное расслоение. Это линейное расслоение L является лентой Мёбиуса (которая представляет собой расслоение, слои которого могут быть снабжены структурами векторных пространств таким образом, что они становятся векторным расслоением). Группа когомологий Н ¹ ( S ¹ ; Z / 2 Z ) имеет только один элемент, отличный от 0. Этот элемент является первым классом Штифеля-Уитни ш 1 ( L ) из L. Так как тривиальное линейное расслоение над S ¹ имеет первый класс Штифеля-Уитни 0, она не изоморфна L.

Два вещественных векторных расслоения E и F, которые имеют один и тот же класс Штифеля – Уитни, не обязательно изоморфны. Это происходит, например, когда Е и F являются тривиальными вещественные векторные расслоения разных рангов над одной и той же базой пространства X. Это также может произойти, когда Е и F имеют одинаковый ранг: касательное расслоение на 2-сферы S ² и тривиальное вещественное векторное расслоение ранга 2 над S ² имеют один и тот же класс Штифеля-Уитни, но они не изоморфны. Но если два вещественных линейных расслоения над X имеют один и тот же класс Штифеля – Уитни, то они изоморфны.

Происхождение

Классы Штифеля-Уитни ш I ( E ) получили свое название потому, что Эдуард Штифель и Hassler Уитни открыл их, как мод-2 сокращениях классов препятствий для построения п - я + 1 всюду линейно независимые секции по вектору пучка Е ограничен I -остов X. Здесь п обозначает размерность слоя векторного расслоения F → E → X.

Чтобы быть точным, если Х представляет собой клеточный комплекс, Уитни определены классы W I ( E ) в I -ой сотовой когомологический группу из X с скрученными коэффициентами. Система коэффициентов будучи ( я -1) -й гомотопическую группу из многообразия Штифеля V п - я + 1 ( Р ) из ( п - я + 1) линейно независимых векторов в слоях Е. Уитни доказал, что W i ( E ) = 0 тогда и только тогда, когда E, будучи ограниченным i -скелетом X, имеет ( n - i +1) линейно независимых секций.

Так как π я -1 V п - я + 1 ( F ) либо бесконечномерным циклический или изоморфными, чтобы Z / 2 Z, существует каноническое уменьшение Ш я ( Е ) классов к классам ш I ( Е ) ∈ H ^я ( X ; Z / 2 Z ), которые являются классами Штифеля – Уитни. Более того, всякий раз, когда π i −1 V n - i +1 ( F ) = Z / 2 Z, эти два класса идентичны. Таким образом, вес 1 ( E ) = 0 тогда и только тогда, когда расслоение Е  →  X является ориентируемым.

Класс w 0 ( E ) не содержит информации, поскольку по определению равен 1. Его создание Уитни было актом творческой нотации, позволившим справедливой формуле суммы Уитни w ( E 1 ⊕ E 2 ) = w ( E 1 ) w ( E 2 ).

Всюду, Н ^я ( Х ; G ) обозначает сингулярную когомологию космического X с коэффициентами в группе G. Слово карта всегда означает непрерывную функцию между топологическими пространствами.

Аксиоматическое определение

Характеристический класс Штифеля-Уитни вещественного векторного расслоения конечного ранга E на паракомпактном базовом пространстве X определяется как единственный класс, для которого выполняются следующие аксиомы: ${\ Displaystyle ш (Е) \ в Н ^ {*} (Х; \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z})}$

1. Нормализация: Класс Уитни линейного расслоения тавтологического над реальным проективным пространством P ¹ ( R ) нетривиальна, то есть. ${\ displaystyle w (\ gamma _ {1} ^ {1}) = 1 + a \ in H ^ {*} (\ mathbf {P} ^ {1} (\ mathbf {R}); \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}) = (\ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}) [a] / (a ​​^ {2})}$
2. Ранг: ш 0 ( Е ) = 1 ∈ H ⁰ ( Х ), и я в ранге выше Е,, то есть, ${\ displaystyle w_ {i} = 0 \ in H ^ {i} (X)}$${\ displaystyle w (E) \ in H ^ {\ leqslant \ mathrm {rank} (E)} (X).}$
3. Формула произведения Уитни:, то есть класс Уитни прямой суммы является чашечным произведением классов слагаемых. ${\ Displaystyle ш (Е \ oplus F) = вес (Е) \ smallsmile ш (F)}$
4. Естественность: для любого вещественного векторного расслоения E → X и отображения, где обозначает обратное векторное расслоение. ${\ Displaystyle ш (е ^ {*} Е) = е ^ {*} ш (Е)}$${\ displaystyle f: X '\ to X}$${\ displaystyle f ^ {*} E}$

Уникальность этих классов доказывается, например, в разделе 17.2–17.6 в Husemoller или в разделе 8 в Milnor and Stasheff. Есть несколько доказательств существования, исходящие от разных конструкций, с несколькими разными вкусами, их согласованность обеспечивается утверждением об уникальности.

Определение через бесконечные грассманианы

Бесконечные грассманианы и векторные расслоения

В этом разделе описывается конструкция, использующая понятие классификации пространства.

Для любого векторного пространства V пусть Gr n ( V ) обозначает грассманиан, пространство n -мерных линейных подпространств в V, и обозначает бесконечный грассманиан

${\ displaystyle Gr_ {n} = Gr_ {n} (\ mathbf {R} ^ {\ infty})}$.

Напомним, что она оснащена тавтологического пучка в ранг п векторное расслоение, которое может быть определено как подрасслоением тривиального расслоения волокна V, слой которого в точке является подпространство, представленное W. ${\ displaystyle \ gamma ^ {n} \ to Gr_ {n},}$${\ Displaystyle W \ in Gr_ {n} (V)}$

Пусть f  : X → Gr n, - непрерывное отображение в бесконечный грассманиан. Тогда с точностью до изоморфизма расслоение, индуцированное отображением f на X

${\ displaystyle f ^ {*} \ gamma ^ {n} \ in {\ text {Vect}} _ {n} (X)}$

зависит только от гомотопического класса отображения [ f ]. Таким образом, операция отката дает морфизм множества

${\ displaystyle [X; Gr_ {n}]}$

отображений X → Gr n по модулю гомотопической эквивалентности множеству

${\ displaystyle {\ text {Vect}} _ {n} (X)}$

изоморфизма классов векторных расслоений ранга п над X.

(Важным фактом в этой конструкции является то, что если X - паракомпактное пространство, это отображение является биекцией. По этой причине мы называем бесконечные грассманианы классифицирующими пространствами векторных расслоений.)

Теперь, естественности аксиомой (4) выше,. Поэтому в принципе достаточно знать значения для всех j. Однако кольцо коголомологий свободно от определенных образующих, возникающих из стандартного клеточного разложения, и тогда оказывается, что эти образующие на самом деле просто задаются формулой. Таким образом, для любого расслоения ранга n,, где f - подходящее классифицирующее отображение. Это, в частности, является одним из доказательств существования классов Штифеля – Уитни. ${\ displaystyle w_ {j} (е ^ {*} \ gamma ^ {n}) = f ^ {*} w_ {j} (\ gamma ^ {n})}$${\ displaystyle w_ {j} (\ gamma ^ {n})}$${\ displaystyle H ^ {*} (Gr_ {n}, \ mathbb {Z} _ {2})}$${\ displaystyle x_ {j} \ in H ^ {j} (Gr_ {n}, \ mathbb {Z} _ {2})}$${\ displaystyle x_ {j} = w_ {j} (\ gamma ^ {n})}$${\ displaystyle w_ {j} = f ^ {*} x_ {j}}$

Случай линейных пучков

Сейчас мы ограничиваемся выше конструкцию, расслоений, т.е. мы рассмотрим пространство, Vect 1 ( X ) линейных расслоений над X. Грассманиан прямых Gr 1 - это просто бесконечное проективное пространство

${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {\ infty} (\ mathbf {R}) = \ mathbf {R} ^ {\ infty} / \ mathbf {R} ^ {*},}$

который дважды покрываются бесконечной сфера S ^∞ по диаметрально противоположным точкам. Эта сфера S ^∞ является сжимаемым, так что мы имеем

${\ displaystyle {\ begin {align} \ pi _ {1} (\ mathbf {P} ^ {\ infty} (\ mathbf {R})) amp; = \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z} \\ \ pi _ {i} (\ mathbf {P} ^ {\ infty} (\ mathbf {R})) amp; = \ pi _ {i} (S ^ {\ infty}) = 0 amp;amp; igt; 1 \ end {выровнено} }}$

Следовательно, P ^∞ ( R ) - это пространство Эйленберга-Маклейна K ( Z / 2 Z, 1).

Свойство пространств Эйленберга-Маклейна состоит в том, что

${\ displaystyle \ left [X; \ mathbf {P} ^ {\ infty} (\ mathbf {R}) \ right] = H ^ {1} (X; \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}) }$

для любого X с изоморфизмом f → f * η, где η - образующая

${\ Displaystyle Н ^ {1} (\ mathbf {P} ^ {\ infty} (\ mathbf {R}); \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}) = \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}}$.

Применяя предыдущее замечание о том, что α: [ X, Gr 1 ] → Vect 1 ( X ) также является биекцией, мы получаем биекцию

${\ displaystyle w_ {1}: {\ text {Vect}} _ {1} (X) \ to H ^ {1} (X; \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z})}$

это определяет класс Штифеля – Уитни w 1 для линейных расслоений.

Группа линейных пучков

Если Vect 1 ( X ) рассматривается как группа относительно операции тензорного произведения, то класс Штифеля – Уитни, w 1  : Vect 1 ( X ) → H ¹ ( X ; Z / 2 Z ), является изоморфизмом. То есть, ш 1 (λ ⊗ μ) = ш 1 (Х) + ш 1 (ц) для всех пучков линий X, μ → Х.

Например, поскольку H ¹ ( S ¹ ; Z / 2 Z ) = Z / 2 Z, есть только два линейных расслоения над окружностью с точностью до изоморфизма расслоений: тривиальное и открытая лента Мёбиуса (т. Е. Лента Мёбиуса с удаленной границей).

Та же конструкция для комплексных векторных расслоений показывает, что класс Черна определяет биекцию между комплексными линейными расслоениями над X и H ² ( X ; Z ), поскольку соответствующее классифицирующее пространство - это P ^∞ ( C ), a K ( Z, 2). Этот изоморфизм верен для топологических линейных расслоений, препятствием к инъективности класса Черна для алгебраических векторных расслоений является якобиево многообразие.

Топологическая интерпретация исчезновения

1. w i ( E ) = 0, если i gt; rank ( E ).
2. Если E ^к имеет участки, которые всюду линейно независимы тогда классы сверху степень Уитни равны нулю:. ${\ displaystyle s_ {1}, \ ldots, s _ {\ ell}}$ ${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle w_ {k- \ ell +1} = \ cdots = w_ {k} = 0}$
3. Первый класс Штифеля – Уитни равен нулю тогда и только тогда, когда расслоение ориентируемо. В частности, многообразие M ориентируемо тогда и только тогда, когда w 1 ( TM ) = 0.
4. Расслоение допускает спиновую структуру тогда и только тогда, когда и первый, и второй классы Штифеля – Уитни равны нулю.
5. Для ориентируемого расслоения второй класс Штифеля – Уитни находится в образе естественного отображения H ² ( M, Z ) → H ² ( M, Z / 2 Z ) (эквивалентно так называемый третий интегральный класс Штифеля – Уитни равен нулю) тогда и только тогда, когда расслоение допускает спиновую ^c- структуру.
6. Все Штифель-Уитни номера (см ниже) гладкого компактного многообразия X равны нулю тогда и только тогда, когда многообразие является границей некоторого гладкого компактного (неориентированный) многообразие (Предупреждение: Некоторые Штифель-Уитни класс все еще может быть отличен от нуля, даже если все Штифель Уитни числа равны нулю!)

Единственность классов Штифеля – Уитни.

Из приведенной выше биекции для линейных расслоений следует, что любой функтор θ, удовлетворяющий четырем аксиомам выше, равен w, по следующему аргументу. Вторая аксиома дает θ (γ ¹) = 1 + θ 1 (γ ¹). Для отображения включения i  : P ¹ ( R ) → P ^∞ ( R ) обратное расслоение равно. Таким образом, первая и третья аксиомы подразумевают ${\ Displaystyle я ^ {*} \ гамма ^ {1}}$${\ displaystyle \ gamma _ {1} ^ {1}}$

${\ displaystyle i ^ {*} \ theta _ {1} \ left (\ gamma ^ {1} \ right) = \ theta _ {1} \ left (i ^ {*} \ gamma ^ {1} \ right) = \ theta _ {1} \ left (\ gamma _ {1} ^ {1} \ right) = w_ {1} \ left (\ gamma _ {1} ^ {1} \ right) = w_ {1} \ left (i ^ {*} \ gamma ^ {1} \ right) = i ^ {*} w_ {1} \ left (\ gamma ^ {1} \ right).}$

Поскольку карта

${\ displaystyle i ^ {*}: H ^ {1} \ left (\ mathbf {P} ^ {\ infty} (\ mathbf {R} \ right); \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}) \ to H ^ {1} \ left (\ mathbf {P} ^ {1} (\ mathbf {R}); \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z} \ right)}$

является изоморфизмом, откуда следует θ (γ ¹) = w (γ ¹). Пусть Е вещественное векторное расслоение ранга п над пространством X. Тогда E допускает отображение расщепления, т. Е. Отображение f  : X ′ → X для некоторого пространства X ′, такого, что инъективно, и для некоторых линейных расслоений. Любое линейное расслоение над X имеет вид некоторого отображения g, и ${\ displaystyle \ theta _ {1} (\ gamma ^ {1}) = w_ {1} (\ gamma ^ {1})}$ ${\ displaystyle f ^ {*}: H ^ {*} (X; \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z})) \ to H ^ {*} (X '; \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z})}$${\ displaystyle f ^ {*} E = \ lambda _ {1} \ oplus \ cdots \ oplus \ lambda _ {n}}$${\ displaystyle \ lambda _ {i} \ to X '}$${\ displaystyle g ^ {*} \ gamma ^ {1}}$

${\ displaystyle \ theta \ left (g ^ {*} \ gamma ^ {1} \ right) = g ^ {*} \ theta \ left (\ gamma ^ {1} \ right) = g ^ {*} w \ left (\ gamma ^ {1} \ right) = w \ left (g ^ {*} \ gamma ^ {1} \ right),}$

по естественности. Таким образом, θ = w на. Из четвертой аксиомы выше следует, что ${\ displaystyle {\ text {Vect}} _ {1} (X)}$

${\ Displaystyle е ^ {*} \ theta (E) = \ theta (f ^ {*} E) = \ theta (\ lambda _ {1} \ oplus \ cdots \ oplus \ lambda _ {n}) = \ theta (\ lambda _ {1}) \ cdots \ theta (\ lambda _ {n}) = w (\ lambda _ {1}) \ cdots w (\ lambda _ {n}) = w (f ^ {*} E) = f ^ {*} w (E).}$

Поскольку инъективно, θ = w. Таким образом, класс Штифеля – Уитни - это единственный функтор, удовлетворяющий четырем вышеупомянутым аксиомам. ${\ displaystyle f ^ {*}}$

Неизоморфные расслоения с одинаковыми классами Штифеля – Уитни

Хотя отображение w 1  : Vect 1 ( X ) → H ¹ ( X ; Z / 2 Z ) является биекцией, соответствующее отображение не обязательно инъективно в более высоких измерениях. Например, рассмотрим касательное расслоение TS ⁿ при четном n. При каноническом вложении S ⁿ в R ^{n +1} нормальное расслоение ν на S ⁿ является линейным расслоением. Поскольку S ⁿ ориентируемо, ν тривиально. Сумма TS ⁿ ⊕ ν - это просто ограничение T R ^{n +1} на S ⁿ, что тривиально, поскольку R ^{n +1} стягиваемо. Следовательно, w ( TS ⁿ) = w ( TS ⁿ) w (ν) = w ( TS ⁿ ⊕ ν) = 1. Но, если n четное, TS ⁿ → S ⁿ нетривиально; его класс Эйлера, где [ S ^п ] обозначает фундаментальный класс из S ^п и х с характеристикой Эйлера. ${\ Displaystyle е (TS ^ {n}) = \ чи (TS ^ {n}) [S ^ {n}] = 2 [S ^ {n}] \ not = 0}$

Числа Штифеля – Уитни

Если мы работаем на многообразии размерности n, то любое произведение классов Штифеля – Уитни полной степени  n можно спарить с Z / 2 Z - фундаментальным классом многообразия, чтобы получить элемент Z / 2 Z, Штифель– Число Уитни векторного расслоения. Например, если многообразие имеет размерность 3, существуют три линейно независимых числа Штифеля – Уитни, задаваемые формулой. В общем, если многообразие имеет размерность п, число возможных независимых чисел Штифеля-Уитни является число разделов в  п. ${\ displaystyle w_ {1} ^ {3}, w_ {1} w_ {2}, w_ {3}}$

Числа Штифеля – Уитни касательного расслоения гладкого многообразия называются числами Штифеля – Уитни многообразия. Они известны как инварианты кобордизмов. Лев Понтрягин доказал, что если B - гладкое компактное ( n +1) -мерное многообразие с краем, равным M, то все числа Штифеля-Уитни для M равны нулю. Более того, Рене Том доказал, что если все числа Штифеля-Уитни для M равны нулю, то M может быть реализовано как граница некоторого гладкого компактного многообразия.

Одним из важных чисел Штифеля – Уитни в теории хирургии является инвариант де Рама (4 k +1) -мерного многообразия, ${\ displaystyle w_ {2} w_ {4k-1}.}$

У классы

Классы Штифеля-Уитни ш к являются Стинрода квадратов по Ву классов об к, определяемой Wu Вэньцзюнь в ( Wu +1955 ). Проще говоря, полный класс Штифеля – Уитни - это полный квадрат Стинрода всего класса Wu: Sq ( v) = w. Классы Wu чаще всего неявно определяются в терминах квадратов Стинрода, как класс когомологий, представляющий квадраты Стинрода. Пусть многообразие X будет п одномерным. Тогда для любого класса когомологий х степеней пк,. Или, более узко, мы можем снова потребовать для классов когомологий x степени nk. ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFWu1955 ( справка ) ${\ Displaystyle v_ {k} \ чашка x = Sq ^ {k} (x),}$${\ Displaystyle \ langle v_ {k} \ чашка x, \ mu \ rangle = \ langle Sq ^ {k} (x), \ mu \ rangle}$

Элемент называется i + 1 интегральным классом Штифеля – Уитни, где β - гомоморфизм Бокштейна, соответствующий редукции по модулю 2, Z → Z / 2 Z: ${\ displaystyle \ beta w_ {i} \ in H ^ {i + 1} (X; \ mathbf {Z})}$

${\ displaystyle \ beta \ двоеточие H ^ {i} (X; \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}) \ to H ^ {i + 1} (X; \ mathbf {Z}).}$

Например, третий интеграл класс Штифеля-Уитни препятствие к Спин ^гр структуры.

Соотношения над алгеброй Стинрода

Над алгеброй Стинрода классы Штифеля – Уитни гладкого многообразия (определяемые как классы Штифеля – Уитни касательного расслоения) порождаются классами этого вида. В частности, классы Штифеля – Уитни удовлетворяют формуле Ву, названной в честь Ву Вэньцзюня : ${\ displaystyle w_ {2 ^ {i}}}$

${\ displaystyle Sq ^ {i} (w_ {j}) = \ sum _ {t = 0} ^ {i} {j + ti-1 \ choose t} w_ {it} w_ {j + t}.}$

• Характеристический класс для общего обзора, в частности, класс Черна, прямой аналог для комплексных векторных расслоений
• Реальное проективное пространство

• Дейл Хусемоллер, Связки волокон, Springer-Verlag, 1994.
• Мэй, Дж. Питер (1999), Краткий курс алгебраической топологии (PDF), Чикаго: University of Chicago Press, извлечено 07 августа 2009 г.
• Милнор, Джон Уиллард (1970), С приложением Дж Tate, "Алгебраические K -теория и квадратичные формы", Inventiones Mathematicae, 9 : 318-344, DOI : 10.1007 / BF01425486, ISSN   0020-9910, М. Р.   0260844, Zbl   0199.55501

• Класс Wu в Manifold Atlas