n-сфера - n-sphere

Обобщение обычной сферы до произвольного размера Каркас 2-сферы в виде ортогональной проекции Просто поскольку стереографическая проекция может проецировать поверхность сферы на плоскость, она также может проецировать 3-сферу в 3-пространство. На этом изображении показаны три координатных направления, спроецированных в 3-мерное пространство: параллели (красный), меридианы, (синий) и гипермеридианы (зеленый). Благодаря свойству конформности стереографической проекции, кривые пересекают друг друга ортогонально (в желтых точках), как в 4D. Все кривые представляют собой окружности: кривые, пересекающие точки ⟨0,0,0,1⟩, имеют бесконечный радиус (= прямая линия).

В математике, n-сфера - это топологическое пространство, гомеоморфное стандартной n-сфере, которая представляет собой набор точек в (n + 1) -мерном евклидовом пространстве которые расположены на постоянном расстоянии r от фиксированной точки, называемой центром. Это обобщение обычной сферы в обычном трехмерном пространстве. «Радиус» сферы - это постоянное расстояние от ее точек до центра. Когда сфера имеет единичный радиус, ее обычно называют единичной n-сферой или просто n-сферой для краткости. В терминах стандартной нормы n-сфера определяется как

$S\; n\; =\; \{x\; \in \; R\; n\; +\; 1:\; \Vert \; x\; \Vert \; =\; 1\},\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{x\; \backslash \; в\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{n\; +\; 1\}:\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; =\; 1\; \backslash \; right\; \backslash \},\}$

и n-сфера радиуса r может быть определена как

$S\; n\; (r)\; =\; \{x\; \in \; R\; n\; +\; 1:\; \Vert \; x\; \Vert \; =\; r\}.\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; ^\; \{n\}\; (r)\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{n\; +\; 1\}:\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; =\; r\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

0-сфера - это пара точек на прямой, 1-сфера - это круг на плоскости, а 2-сфера - это обычная сфера в трехмерном пространстве.

Размерность n-сферы равна n, и ее не следует путать с размерностью (n + 1) евклидова пространства, в которое она естественным образом встроена. N-сфера - это поверхность или граница (n + 1) -мерного шара.

В частности:

• пара точек на концах (одномерного) отрезка линии. - это 0-сфера,
• a круг, который представляет собой одномерную окружность (двумерного) диска, является 1-сферой,
• двумерная поверхность (трехмерного) шара в трехмерном пространстве представляет собой двумерную сферу, которую часто называют просто сферой,
• трехмерной границей (четырехмерный) 4-шар в четырехмерном евклидовом пространстве - это 3-сфера, также известная как клубок.
• n - 1-мерная граница (n-мерного) n-шар представляет собой (n - 1) -сферу.

Для n ≥ 2 n-сферы, которые являются дифференциальными многообразиями, могут быть охарактеризованы (от до a диффеоморфизм ) как односвязные n-мерные многообразия постоянной положительной кривизны. N-сферы допускают несколько других топологических описаний: например, они могут быть построены путем склеивания двух n-мерных евклидовых пространств вместе, отождествления границы n-куба с точкой или (индуктивно) путем формирования суспензии (n - 1) -сферы. 1-сфера - это 1-многообразие, представляющее собой не односвязную окружность. 0-сфера - это 0-многообразие, состоящее из двух точек, которое даже не связано.

Содержание

• 1 Описание
  • 1.1 Евклидовы координаты в (n + 1) -пространстве
  • 1.2 n-ball
  • 1.3 Топологическое описание
• 2 Объем и площадь поверхности
  • 2.1 Примеры
  • 2.2 Повторения
  • 2.3 Закрытые формы
  • 2.4 Другие отношения
• 3 Сферические координаты
  • 3.1 Сферические элементы объема и площади
  • 3.2 Полисферические координаты
• 4 Стереографическая проекция
• 5 Создание случайных точек
  • 5.1 Равномерно случайным образом в (n - 1) -сфере
  • 5.2 Равномерно случайным образом в пределах n-шара
• 6 Определенные сферы
• 7 Октаэдрическая сфера
• 8 См. Также
• 9 Примечания
• 10 Ссылки
• 11 Внешние ссылки

Описание

Для любого натурального числа n n-сфера радиуса r определяется как набор точек в ( n + 1) -мерное евклидово пространство, которое находится на расстоянии r от некоторой фиксированной точки c, где r может быть любым положительным действительным числом и где c может быть любой точкой в ​​(n + 1) -мерном пространстве. В частности:

• 0-сфера - это пара точек {c - r, c + r} и граница отрезка прямой (1-шар).
• a 1-сфера - это окружность радиуса r с центром в точке c и является границей диска (2-шара).
• a 2-сфера представляет собой обычную двумерную сфера в 3-мерном евклидовом пространстве и является границей обычного шара (3-шара).
• a 3-сфера - 3-мерная сфера в 4-мерном евклидовом пространстве.

Евклидовы координаты в (n + 1) -пространстве

Множество точек в (n + 1) -пространстве, (x 1, x 2,..., x n + 1), которые определяют n-сферу, $S\; n\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{n\}\; (r)\}$, является представлен уравнением:

$r\; 2\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; +\; 1\; (xi\; -\; ci)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; \backslash \; left\; (x\_\; \{i\}\; -c\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\},\}$

где c = (c 1, c 2,..., c n + 1) - центральная точка, а r - радиус.

Вышеуказанная n-сфера существует в (n + 1) -мерном евклидовом пространстве и является примером n- многообразия. Форма объема ω n-сферы радиуса r определяется как

$\omega \; =\; 1\; r\; \sum \; j\; =\; 1\; n\; +\; 1\; (-\; 1)\; j\; -\; 1\; xjdx\; 1\; \wedge \; \cdots \; \wedge \; dxj\; -\; 1\; \wedge \; dxj\; +\; 1\; \wedge \; \cdots \; \wedge \; dxn\; +\; 1\; =\; \ast \; dr\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; (-\; 1)\; ^\; \{j\; -1\}\; x\_\; \{j\}\; \backslash ,\; dx\_\; \{1\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; cdots\; \backslash \; wedge\; dx\_\; \{j-1\}\; \backslash \; wedge\; dx\_\; \{j\; +\; 1\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; cdots\; \backslash \; wedge\; dx\_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; *\; dr\}$

где ∗ - звездный оператор Ходжа ; см. Flanders (1989, §6.1) для обсуждения и доказательства этой формулы в случае r = 1. В результате

$d\; r\; \wedge \; \omega \; =\; d\; x\; 1\; \wedge \; \cdots \; \wedge \; d\; x\; n\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; dr\; \backslash \; wedge\; \backslash \; omega\; =\; dx\_\; \{1\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; cdots\; \backslash \; wedge\; dx\_\; \{n\; +\; 1\}.\}$

n-ball

Пространство, ограниченное n-сферой, называется (n + 1) - мяч. (N + 1) -шар является закрытым, если он включает n-сферу, и открытым, если он не включает n-сферу.

В частности:

• 1-шар, отрезок линии, является внутренней частью нулевой сферы.
• 2-шар, a disk, это внутренность круга (1-sphere).
• 3-шар, обычный шар, это внутренность сфера (2-сфера).
• 4-шар - это внутренность 3-сферы и т. Д.

Топологическое описание

Топологически, n-сфера может быть построена как одноточечная компактификация n-мерного евклидова пространства. Вкратце, n-сфера может быть описана как S = R ∪ {∞}, которая представляет собой n-мерное евклидово пространство плюс одна точка, представляющая бесконечность во всех направлениях. В частности, если одна точка удалена из n-сферы, она становится гомеоморфной R . Это составляет основу стереографической проекции.

Объем и площадь поверхности

Vn(R), а S n (R) - это n-мерный объем n-шара и площадь поверхности n-сферы, вложенной в размер n + 1, соответственно, радиуса R.

Константы V n и S n ( для R = 1, единичный шар и сфера) связаны рекурсиями:

$V\; 0\; =\; 1\; V\; n\; +\; 1\; =\; S\; nn\; +\; 1\; S\; 0\; =\; 2\; S\; n\; +\; 1\; =\; 2\; \pi \; V\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; begin\; \{align\}\; V\_\; \{0\}\; =\; 1\; V\_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{S\_\; \{n\}\}\; \{n\; +\; 1\}\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; S\_\; \{0\}\; =\; 2\; S\_\; \{n\; +\; 1\; \}\; =\; 2\; \backslash \; pi\; V\_\; \{n\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Поверхности и объемы также могут быть заданы в замкнутой форме:

$S\; n\; -\; 1\; (R)\; =\; 2\; \pi \; n\; 2\; \Gamma \; (n\; 2)\; р\; N\; -\; 1\; В\; N\; (R)\; знак\; равно\; \pi \; N\; 2\; \Gamma \; (N\; 2\; +\; 1)\; R\; N\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; S\_\; \{n-1\}\; (R)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash ,\; \backslash \; pi\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; R\; ^\; \{n-1\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; V\_\; \{\; n\}\; (R)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\}\}\; R\; ^\; \{n\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

, где Γ - гамма-функция. Вывод этих уравнений приводится в этом разделе.

Графики объемов (V) и площадей (S) n-шариков радиуса 1. В файле SVG наведите указатель мыши на точку, чтобы выделить ее и ее значение. В общем, объем n-шара в n-мерном евклидовом пространстве и площадь поверхности n-сферы в (n + 1) -мерном Евклидово пространство радиуса R пропорционально n-й степени радиуса R (с разными константами пропорциональности, которые меняются с n). Мы пишем V n (R) = V n R для объема n-шара и S n (R) = S n R для площади поверхности n-сферы, оба радиуса R, где V n = V n (1) и S n = S n (1) - значения для случая единичного радиуса.

Теоретически можно сравнить значения S n (R) и S m (R) для n ≠ m. Однако это четко не определено. Например, если n = 2 и m = 3, то сравнение похоже на сравнение количества квадратных метров с другим количеством кубических метров. То же самое применимо к сравнению V n (R) и V m (R) для n m.

Примеры

0-шар состоит из одной точки. 0-мерная мера Хаусдорфа - это количество точек в наборе. Итак,

$V\; 0\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{0\}\; =\; 1.\}$

0-сфера состоит из двух конечных точек, {−1,1}. Итак,

$S\; 0\; =\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{0\}\; =\; 2.\}$

Единичный 1-шар - это интервал [−1,1] длины 2. Итак,

$V\; 1\; =\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{1\}\; =\; 2.\}$

Единичная 1-сфера - это единичный круг на евклидовой плоскости, окружность которого (одномерная мера)

$S\; 1\; =\; 2\; \pi .\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{1\}\; =\; 2\; \backslash \; pi.\}$

Область, ограниченная единичной 1-сферой, - это 2-шар, или единичный диск, и он имеет площадь (двумерная мера)

$V\; 2\; =\; \pi .\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{2\}\; =\; \backslash \; pi.\}$

Аналогично, в 3-мерном евклидовом пространстве площадь поверхности (2-мерная мера) единичной 2-сферы определяется как

$S\; 2\; =\; 4\; \pi .\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{2\}\; =\; 4\; \backslash \; pi.\}$

, а заключенный в него объем - это объем (трехмерная мера) единичного 3-шара, определяемый как

$V\; 3\; =\; 4\; 3\; \pi .\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{4\}\; \{3\}\}\; \backslash \; pi.\}$

Повторения

Площадь поверхности или, собственно, n-мерный объем n-сферы в точке граница (n + 1) -шара радиуса R связана с объемом шара дифференциальным уравнением

$S\; n\; R\; n\; =\; d\; V\; n\; +\; 1\; R\; n\; +\; 1\; d\; R\; =\; (n\; +\; 1)\; В\; n\; +\; 1\; р\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{n\}\; R\; ^\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dV\_\; \{n\; +\; 1\}\; R\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\; \{dR\}\}\; =\; \{(n\; +\; 1)\; V\_\; \{n\; +\; 1\}\; R\; ^\; \{n\}\},\}$

или, что то же самое, представление единичного n-шара в виде объединения концентрических (n - 1) -сфер оболочек,

$V\; n\; +\; 1\; =\; \int \; 0\; 1\; S\; nrndr.\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; S\_\; \{n\}\; r\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; dr.\}$

Итак,

$V\; n\; +\; 1\; =\; S\; nn\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{S\_\; \{n\}\}\; \{n\; +\; 1\}\}.\}$

Мы также можем представить единичную (n + 2) -сферу как объединение tori, каждый из которых является произведением круга (1-сферы) и n-сферы. Пусть r = cos θ и r + R = 1, так что R = sin θ и dR = cos θ dθ. Тогда

$S\; n\; +\; 2\; =\; \int \; 0\; \pi \; 2\; S\; 1\; r\; \cdot \; S\; n\; R\; nd\; \theta \; =\; \int \; 0\; \pi \; 2\; S\; 1\; \cdot \; S\; n\; R\; n\; cos\; \; \theta \; d\; \theta \; =\; \int \; 0\; 1\; S\; 1\; \cdot \; S\; n\; R\; nd\; R\; =\; S\; 1\; \int \; 0\; 1\; S\; n\; R\; nd\; R\; =\; 2\; \pi \; V\; n\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; S\_\; \{n\; +\; 2\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; S\_\; \{1\}\; r\; \backslash \; cdot\; S\_\; \{n\}\; R\; ^\; \{n\; \}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; S\_\; \{1\}\; \backslash \; cdot\; S\_\; \{n\}\; R\; ^\; \{n\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; S\_\; \{1\}\; \backslash \; cdot\; S\_\; \{n\}\; R\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; dR\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; S\_\; \{1\; \}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; S\_\; \{n\}\; R\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; dR\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; 2\; \backslash \; pi\; V\_\; \{n\; +\; 1\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Поскольку S 1 = 2π V 0, уравнение

$S\; n\; +\; 1\; =\; 2\; \pi \; V\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; 2\; \backslash \; pi\; V\_\; \{n\; \}\}$

выполняется для всех n.

На этом вывод повторений завершается:

$V\; 0\; =\; 1\; V\; n\; +\; 1\; =\; S\; nn\; +\; 1\; S\; 0\; =\; 2\; S\; n\; +\; 1\; =\; 2\; \pi \; V\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{\; выровнено\}\; V\_\; \{0\}\; =\; 1\; V\_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{S\_\; \{n\}\}\; \{n\; +\; 1\}\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; S\_\; \{0\}\; =\; 2\; S\_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; 2\; \backslash \; pi\; V\_\; \{n\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Замкнутые формы

Объединяя повторения, мы видим, что

$V\; n\; +\; 2\; =\; 2\; \pi \; V\; nn\; +\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{n\; +\; 2\}\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{n\}\}\; \{n\; +\; 2\}\}.\}$

Таким образом, индукцией по k легко показать, что,

$V\; 2\; К\; знак\; равно\; (2\; \pi )\; К\; (2\; К)!\; !\; =\; \pi \; k\; k!\; V\; 2\; К\; +\; 1\; знак\; равно\; 2\; (2\; \pi )\; К\; (2\; К\; +\; 1)!\; !\; =\; 2\; к!\; (4\; \pi )\; к\; (2\; к\; +\; 1)!\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; V\_\; \{2k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (2\; \backslash \; pi\; \backslash \; right)\; ^\; \{k\}\}\; \{(2k)\; !!\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{\; k\}\}\; \{k!\}\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; V\_\; \{2k\; +\; 1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; left\; (2\; \backslash \; pi\; \backslash \; right)\; ^\; \{k\}\}\; \{(2k\; +\; 1)\; !!\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2k!\; \backslash \; left\; (4\; \backslash \; pi\; \backslash \; right)\; ^\; \{k\}\}\; \{(2k\; +\; 1)!\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где !! обозначает двойной факториал, определенный для нечетных натуральных чисел 2k + 1 как (2k + 1) !! = 1 × 3 × 5 ×... × (2k - 1) × (2k + 1) и аналогично для четных чисел (2k) !! = 2 × 4 × 6 ×... × (2k - 2) × (2k).

В общем, объем в n-мерном евклидовом пространстве единичного n-шара определяется как

$V\; n\; =\; \pi \; n\; 2\; \Gamma \; (n\; 2\; +\; 1)\; =\; \pi \; n\; 2\; (\; п\; 2)!\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)!\}\}\}$

где Γ - гамма функция, для которой Γ (1/2) = √π, Γ (1) = 1 и Γ (x + 1) = xΓ (x), поэтому Γ (x + 1) = x !, и где мы, наоборот, определяем x! = Γ (x + 1) для любого x.

Умножая V n на R, дифференцируя по R, а затем полагая R = 1, мы получаем замкнутую форму

$S\; n\; -\; 1\; =\; n\; \pi \; n\; 2\; \Gamma \; (n\; 2\; +\; 1)\; знак\; равно\; 2\; \pi \; n\; 2\; \Gamma \; (n\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{n-1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\; \backslash \; pi\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\; \}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\}.\}$

для (n-1) -мерный объем сферы S.

Другие соотношения

Повторения могут быть объединены для получения повторяющегося отношения "обратного направления" для площади поверхности, как показано на диаграмма:

$S\; n\; -\; 1\; =\; n\; 2\; \pi \; S\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{n-1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; S\_\; \{n\; +\; 1\}\}$

n относится к измерению внешнего евклидова пространства, которое также является внутренним измерением твердого тела, объем которого указан здесь, но который на 1 больше внутреннего измерения сферы, площадь поверхности которой указана здесь. Изогнутые красные стрелки показывают взаимосвязь между формулами для разных n. Коэффициент формулы на конце каждой стрелки равен коэффициенту формулы на конце этой стрелки, умноженному на коэффициент в наконечнике стрелки (где n в наконечнике стрелки относится к значению n, на которое указывает наконечник стрелки). Если бы направление нижних стрелок было изменено на противоположное, их стрелки сказали бы, что нужно умножить на 2π / n - 2. В качестве альтернативы сказано, что площадь поверхности S n + 1 сферы в n + 2 измерениях равна точно 2πR умножить на объем V n, заключенный в сфере в n измерениях.

Сдвиг индекса n на n - 2 затем дает рекуррентные соотношения:

$V\; n\; =\; 2\; \pi \; n\; V\; n\; -\; 2\; S\; n\; -\; 1\; =\; 2\; \pi \; n\; -\; 2\; S\; n\; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; V\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{n\}\}\; V\_\; \{n-2\}\; \backslash \backslash \; [6pt\; ]\; S\_\; \{n-1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{n-2\}\}\; S\_\; \{n-3\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где S 0 = 2, V 1 = 2, S 1 = 2π и V 2 = π.

Рекуррентное соотношение для V n также может быть доказано с помощью интегрирования с двумерными полярными координатами :

$V\; n\; =\; \int \; 0\; 1\; \int \; 0\; 2\; \pi \; V\; n\; -\; 2\; (1\; -\; r\; 2)\; n\; -\; 2\; rd\; \theta \; dr\; =\; \int \; 0\; 1\; \int \; 0\; 2\; \pi \; V\; n\; -\; 2\; (1\; -\; r\; 2)\; n\; 2\; -\; 1\; rd\; \theta \; dr\; =\; 2\; \pi \; V\; n\; -\; 2\; \int \; 0\; 1\; (1\; -\; r\; 2)\; n\; 2\; -\; 1\; rdr\; =\; 2\; \pi \; V\; n\; -\; 2\; [-\; 1\; n\; (1\; -\; r\; 2)\; n\; 2]\; r\; =\; 0\; r\; =\; 1\; =\; 2\; \pi \; V\; n\; -\; 2\; 1\; n\; =\; 2\; \pi \; n\; V\; n\; -\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; V\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; V\_\; \{n-2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{\; 1-r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n-2\}\; \backslash ,\; r\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; dr\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\; 0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; V\_\; \{n-2\}\; \backslash \; left\; (1-r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\; -\; 1\}\; \backslash ,\; r\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; dr\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; 2\; \backslash \; pi\; V\_\; \{n-2\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; left\; (1-r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\; -\; 1\}\; \backslash ,\; r\; \backslash ,\; dr\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; 2\; \backslash \; pi\; V\_\; \{n-2\}\; \backslash \; left\; [-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; \backslash \; left\; (1-r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{r\; =\; 0\}\; ^\; \{r\; =\; 1\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; 2\; \backslash \; pi\; V\_\; \{n-2\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{n\}\}\; V\_\; \{n-2\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Сферические координаты

Мы можем определить система координат в n-мерном евклидовом пространстве, которая аналогична сферической системе координат , определенной для 3-мерного евклидова пространства, в котором координаты состоят из радиальной координаты r и n - 1 угловых координат φ 1, φ 2,... φ n − 1, где углы φ 1, φ 2,... φ n − 2 диапазон более [0, π] радиан (или более [0,180] градуса), а φ n − 1 диапазон более [0,2π) радиан ( или над [0,360) градуса). Если x i - декартовы координаты, то мы можем вычислить x 1,... x n из r, φ 1,... φ n − 1 с:

$x\; 1\; =\; r\; cos\; \; (\phi \; 1)\; x\; 2\; =\; r\; sin\; \; (\phi \; 1)\; cos\; \; (\phi \; 2)\; x\; 3\; =\; r\; sin\; \; (\phi \; 1)\; sin\; \; (\phi \; 2)\; cos\; \; (\phi \; 3)\; ⋮\; xn\; -\; 1\; =\; r\; sin\; \; (\phi \; 1)\; \cdots \; sin\; \; (\phi \; n\; -\; 2)\; cos\; \; (\phi \; n\; -\; 1)\; xn\; =\; r\; sin\; \; (\phi \; 1)\; \cdots \; sin\; \; (\phi \; n\; -\; 2)\; sin\; \; (\phi \; n\; -\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; x\_\; \{1\}\; =\; r\; \backslash \; cos\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{1\})\; \backslash \backslash \; x\_\; \{2\}\; =\; r\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{1\})\; \backslash \; cos\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{2\})\; \backslash \backslash \; x\_\; \{3\}\; =\; r\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{1\})\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{2\})\; \backslash \; cos\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{3\})\; \backslash \backslash \; \backslash \; vdots\; \backslash \; \backslash \; x\_\; \{n-1\}\; =\; r\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{1\})\; \backslash \; cdots\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{n-2\})\; \backslash \; cos\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{n-1\})\; \backslash \backslash \; x\_\; \{\; n\}\; =\; r\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{1\})\; \backslash \; cdots\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{n-2\})\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{n-1\}).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

За исключением особых случаев, описанных ниже, обратное преобразование уникально:

, где если x k ≠ 0 для некоторого k, но все x k + 1,... x n являются ноль, то φ k = 0, когда x k>0, и φ k = π (180 градусов), когда x k< 0.

Есть некоторые особые случаи, когда обратное преобразование не уникально; φ k для любого k будет неоднозначным, если все из x k, x k + 1,... x n равны нулю ; в этом случае φ k может быть выбран равным нулю.

Сферический объем и элементы площади

Чтобы выразить элемент объема n-мерного евклидова пространства в терминах сферических координат, сначала заметьте, что матрица Якоби преобразования:

$J n = (cos ⁡ (φ 1) - r sin ⁡ (φ 1) 0 0 ⋯ 0 sin ⁡ (φ 1) cos ⁡ (φ 2) r cos ⁡ (φ 1) cos ⁡ (φ 2) - r sin ⁡ (φ 1) sin ⁡ (φ 2) 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 sin ⁡ (φ 1) ⋯ sin ⁡ (φ n - 2) cos ⁡ (φ n - 1) ⋯ ⋯ - r sin ⁡ (φ 1) ⋯ sin ⁡ (φ n - 2) sin ⁡ (φ n - 1) sin ⁡ (φ 1) ⋯ sin ⁡ (φ n - 2) sin ⁡ (φ n - 1) r cos ⁡ (φ 1) ⋯ sin ⁡ (φ n - 1) ⋯ r sin ⁡ (φ 1) ⋯ sin ⁡ (φ n - 2) cos ⁡ (φ n - 1)). {\ displaystyle J_ {n} = {\ begin {pmatrix} \ cos (\ varphi _ {1}) - r \ sin (\ varphi _ {1}) 0 0 \ cdots 0 \\\ sin (\ varphi _ { 1}) \ cos (\ varphi _ {2}) r \ cos (\ varphi _ {1}) \ cos (\ varphi _ {2}) - r \ sin (\ varphi _ {1}) \ sin ( \ varphi _ {2}) 0 \ cdots 0 \\\ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ 0 \\\ sin (\ varphi _ {1}) \ cdots \ sin (\ varphi _ {n-2}) \ cos (\ varphi _ {n-1}) \ cdots \ cdots - r \ sin (\ varphi _ {1}) \ cdots \ sin (\ varphi _ {n-2}) \ sin (\ varphi _ {n-1}) \\\ sin (\ varphi _ {1}) \ cdots \ sin (\ varphi _ {n-2}) \ sin (\ varphi _ {n-1}) r \ cos (\ varphi _ {1}) \ cdots \ sin (\ varphi _ {n-1}) \ cdots r \ sin (\ varphi _ {1}) \ cdots \ sin (\ varphi _ {n -2}) \ cos (\ varphi _ {n-1}) \ end {pmatrix}}.}$

Определитель этой матрицы можно вычислить по индукции. Когда n = 2, простое вычисление показывает, что определителем является r. Для большего n обратите внимание, что J n может быть построено из J n - 1 следующим образом. За исключением столбца n, строки n - 1 и n из J n такие же, как строка n - 1 из J n - 1, но умноженные на дополнительный коэффициент cos φ n - 1 в строке n - 1 и дополнительный множитель sin φ n - 1 в строке n. В столбце n строки n - 1 и n из J n такие же, как столбец n - 1 строки n - 1 из J n - 1, но умножены на дополнительные множители sin φ n - 1 в строке n - 1 и cos φ n - 1 в строке n соответственно. Определитель J n можно вычислить с помощью разложения Лапласа в последнем столбце. Согласно рекурсивному описанию J n, подматрица, образованная удалением записи в (n - 1, n), ее строки и столбца, почти равна J n - 1, за исключением того, что ее последняя строка умножается на sin φ n - 1. Точно так же подматрица, образованная удалением записи в (n, n) и ее строки и столбца, почти равна J n - 1, за исключением того, что ее последняя строка умножается на cos φ n - 1. Следовательно, определитель J n равен

$|\; J\; n\; |\; =\; (-\; 1)\; (n\; -\; 1)\; +\; n\; (-\; r\; sin\; \; (\phi \; 1)\; \cdots \; sin\; \; (\phi \; n\; -\; 2)\; sin\; \; (\phi \; n\; -\; 1))\; (sin\; \; (\phi \; n\; -\; 1)\; |\; J\; n\; -\; 1\; |)\; +\; (-\; 1)\; n\; +\; n\; (r\; sin\; \; (\phi \; 1)\; \cdots \; sin\; \; (\phi \; n\; -\; 2)\; cos\; \; (\phi \; n\; -\; 1))\; (cos\; \; (\phi \; n\; -\; 1)\; |\; J\; n\; -\; 1\; |)\; =\; (r\; sin\; \; (\phi \; 1)\; \cdots \; sin\; \; (\phi \; n\; -\; 2)\; |\; J\; n\; -\; 1\; |\; (sin\; 2\; \; (\phi \; n\; -\; 1)\; +\; cos\; 2\; \; (\phi \; n\; -\; 1))\; знак\; равно\; (г\; грех\; \; (\phi \; 1)\; \cdots \; грех\; \; (\phi \; N\; -\; 2)\; |\; J\; N\; -\; 1\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; |\; J\_\; \{n\}\; |\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{(n\; -1)\; +\; n\}\; (-\; r\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{1\})\; \backslash \; dotsm\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{n-2\})\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{n-1\}))\; (\backslash \; sin\; (\; \backslash \; varphi\; \_\; \{n-1\})\; |\; J\_\; \{n-1\}\; |)\; \backslash \backslash \; \backslash \; qquad\; \{\}\; +\; (-\; 1)\; ^\; \{n\; +\; n\}\; (r\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{1\})\; \backslash \; dotsm\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{n-2\})\; \backslash \; cos\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{n-1\}))\; (\backslash \; cos\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{n-1\})\; |\; J\_\; \{n-1\}\; |)\; \backslash \backslash \; =\; (г\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{1\})\; \backslash \; dotsm\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{n-2\})\; |\; J\_\; \{n-1\}\; |\; (\backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{n-1\; \})\; +\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{n-1\}))\; \backslash \backslash \; =\; (r\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{1\})\; \backslash \; dotsm\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{n-2\})\; |\; J\_\; \{n-1\}\; |.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Затем индукция дает выражение в замкнутой форме для элемента объема в сферических координатах

$dn\; V\; =\; |\; det\; \partial \; (xi)\; \partial \; (r,\; \phi \; j)\; |\; drd\; \phi \; 1\; d\; \phi \; 2\; \cdots \; d\; \phi \; n\; -\; 1\; =\; rn\; -\; 1\; sin\; n\; -\; 2\; \; (\phi \; 1)\; sin\; n\; -\; 3\; \; (\phi \; 2)\; \cdots \; sin\; \; (\phi \; n\; -\; 2)\; drd\; \phi \; 1\; d\; \phi \; 2\; \cdots \; d\; \phi \; n\; -\; 1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; d\; ^\; \{n\}\; V\; =\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; det\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; (x\_\; \{i\})\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; left\; (r,\; \backslash \; varphi\; \_\; \{j\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash \; right\; |\; dr\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varphi\; \_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; d\; \backslash \; varphi\; \_\; \{n-1\}\; \backslash \backslash \; =\; r\; ^\; \{n-1\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{n-2\}\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{1\})\; \backslash \; sin\; ^\; \{n-3\}\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{2\})\; \backslash \; cdots\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{n-2\})\; \backslash ,\; dr\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varphi\; \_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; d\; \backslash \; varphi\; \_\; \{n-1\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Формула для объема n-шара может быть получена из это путем интеграции.

Аналогично элемент площади поверхности (n - 1) -сферы радиуса R, который обобщает элемент площади 2-сферы, задается как

$d\; S\; n\; -\; 1\; V\; знак\; равно\; R\; n\; -\; 1\; sin\; n\; -\; 2\; \; (\phi \; 1)\; sin\; n\; -\; 3\; \; (\phi \; 2)\; \cdots \; sin\; \; (\phi \; n\; -\; 2)\; d\; \phi \; 1\; d\; \phi \; 2\; \cdots \; d\; \phi \; n\; -\; 1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; d\_\; \{S\; ^\; \{n-1\}\}\; V\; =\; R\; ^\; \{n-1\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{n-2\}\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{1\})\; \backslash \; sin\; ^\; \{n-3\}\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{2\})\; \backslash \; cdots\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{n-2\})\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varphi\; \_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; d\; \backslash \; varphi\; \_\; \{n-1\}.\}$

Естественный выбор ортогонального базиса над угловыми координатами - это произведение ультрасферических полиномов,

$\int \; 0\; \pi \; sin\; n\; -\; j\; -\; 1\; \; (\phi \; j)\; C\; s\; (n\; -\; j\; -\; 1\; 2)\; cos\; \; (\phi \; j)\; C\; s\; \prime \; (N\; -\; J\; -\; 1\; 2)\; cos\; \; (\phi \; j)\; d\; \phi \; j\; знак\; равно\; 2\; 3\; -\; N\; +\; j\; \pi \; \Gamma \; (s\; +\; n\; -\; j\; -\; 1)\; s!\; (2\; s\; +\; n\; -\; j\; -\; 1)\; \Gamma \; 2\; (n\; -\; j\; -\; 1\; 2)\; \delta \; s,\; s\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{nj-1\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{j\}\; \backslash \; right)\; C\_\; \{s\}\; ^\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{nj-1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\; \backslash \; varphi\; \_\; \{j\}\; \backslash \; right)\; C\_\; \{s\; \text{'}\}\; ^\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{nj-1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{j\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varphi\; \_\; \{j\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; ^\; \{3-n\; +\; j\}\; \backslash \; pi\; \backslash \; Gamma\; (s\; +\; nj-1)\}\; \{s!\; (2s\; +\; nj-1)\; \backslash \; Gamma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{nj-1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{s,\; s\; \text{'}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

для j = 1, 2,... n - 2, и e для угла j = n - 1 в соответствии с сферическими гармониками.

Полисферические координаты

Стандартная сферическая система координат возникает из записи R как продукт R× R. Эти два фактора могут быть связаны с использованием полярных координат. Для каждой точки x из R стандартные декартовы координаты

$x\; =\; (x\; 1,\dots ,\; xn)\; =\; (y\; 1,\; z\; 1,\dots ,\; zn\; -\; 1)\; знак\; равно\; (y,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; =\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n\})\; =\; (y\_\; \{1\},\; z\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; z\_\; \{n-1\})\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{y\},\; \backslash \; mathbf\; \{z\})\}$

можно преобразовать в смешанную полярно-декартову систему координат:

$x\; =\; (r\; cos\; \; \theta ,\; (r\; sin\; \; \theta )\; z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; =\; (r\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta,\; (r\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; \backslash \; mathbf\; \{z\}).\}$

Это означает, что точки в R могут быть выражены как взяв луч, начинающийся в начале координат и проходящий через z∈ R, повернув его к первому базисному вектору на θ, и пройдя расстояние r вдоль луча. Повторение этого разложения в конечном итоге приводит к стандартной сферической системе координат.

Полисферические системы координат возникают в результате обобщения этой конструкции. Пространство R разделяется как произведение двух евклидовых пространств меньшей размерности, но ни одно пространство не обязательно должно быть линией. В частности, предположим, что p и q - натуральные числа такие, что n = p + q. Тогда R= R× R. Используя это разложение, точку x∈ Rможно записать как

$x\; =\; (x\; 1,\dots ,\; x\; n)\; =\; (y\; 1,\dots ,\; y\; p,\; z\; 1,\dots ,\; z\; q)\; =\; (y,\; z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; =\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n\})\; =\; (y\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; y\_\; \{p\},\; z\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; z\_\; \{q\})\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{y\},\; \backslash \; mathbf\; \{z\}).\}$

Это можно преобразовать в смешанную полярно-декартову систему координат, записав:

$x\; =\; ((r\; sin\; \; \theta )\; y\; ^,\; (г\; соз\; \theta )\; z\; ^).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; =\; ((r\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{y\}\}\},\; (r\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta)\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{z\}\}\}).\}$

Здесь $y\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{y\}\}\}\}$и $z\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{z\}\}\}\; \}$- единичные векторы, связанные с y и z . Это выражает x через $y\; ^\; \in \; S\; p\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{y\}\}\}\; \backslash \; in\; S\; ^\; \{p-1\}\}$, $z\; ^\; \in \; S\; q\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{z\}\}\}\; \backslash \; in\; S\; ^\; \{q-1\}\}$, r ≥ 0 и угол θ. Можно показать, что область определения θ равна [0, 2π), если p = q = 1, [0, π], если ровно одно из p и q равно 1, и [0, π / 2], если ни p, ни q равны 1. Обратное преобразование:

$r\; =\; \Vert \; x\; \Vert ,\; \theta \; =\; arcsin\; \; (\Vert \; y\; \Vert \; /\; \Vert \; x\; \Vert )\; =\; arccos\; \; (\Vert \; z\; \Vert \; /\; \Vert \; x\; \Vert )\; =\; arctan\; \; (\Vert \; y\; \Vert \; /\; \Vert \; z\; \Vert ).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; r\; =\; \backslash \; lVert\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; rVert,\; \backslash \backslash \backslash \; theta\; =\; \backslash \; arcsin\; (\backslash \; lVert\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; \backslash \; rVert\; /\; \backslash \; lVert\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; rVert)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; arccos\; (\backslash \; lVert\; \backslash \; mathbf\; \{z\}\; \backslash \; rVert\; /\; \backslash \; lVert\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; rVert)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; arctan\; (\backslash \; lVert\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; \backslash \; rVert\; /\; \backslash \; lVert\; \backslash \; mathbf\; \{z\; \}\; \backslash \; rVert).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Эти разделения могут повторяться до тех пор, пока один из задействованных факторов имеет размерность два или больше. Полисферическая система координат является результатом повторения этих разделений до тех пор, пока не останется декартовых координат. Для разбиения после первого не требуется радиальная координата, потому что области $y\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{y\}\}\}\}$и $z\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{z\}\}\}\}$- это сферы, поэтому координаты полисферической системы координат являются неотрицательным радиусом и n - 1 углами. Возможные полисферические системы координат соответствуют двоичным деревьям с n листами. Каждый нелистовой узел в дереве соответствует разделению и определяет угловую координату. Например, корень дерева представляет собой R, а его непосредственные дочерние элементы представляют собой первое разбиение на R и R . Концевые узлы соответствуют декартовым координатам для S. Формулы для преобразования из полисферических координат в декартовы координаты могут быть определены путем нахождения путей от корня до конечных узлов. Эти формулы представляют собой произведения с одним фактором для каждой ветви пути. Для узла, соответствующая угловая координата которого равна θ i, взятие левой ветви вводит множитель sin θ i, а взятие правой ветви вводит множитель cos θ i. Обратное преобразование из полисферических координат в декартовы координаты определяется группировкой узлов. Каждую пару узлов, имеющих общего родителя, можно преобразовать из смешанной полярно-декартовой системы координат в декартову систему координат, используя приведенные выше формулы для разделения.

Полисферические координаты также имеют интерпретацию в терминах специальной ортогональной группы . Разделение R= R× Rопределяет подгруппу

$SO\; p\; \; (R)\; \times \; SO\; q\; \; (R)\; \subseteq \; SO\; n\; \; (R).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{SO\}\; \_\; \{p\}\; (\backslash \; mathbf\; \{R\})\; \backslash \; times\; \backslash \; operatorname\; \{SO\}\; \_\; \{q\}\; (\backslash \; mathbf\; \{R\})\; \backslash \; substeq\; \backslash \; operatorname\; \{SO\}\; \_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbf\; \{R\}).\}$

Это подгруппа, которая оставляет каждый из двух факторов $S\; p\; -\; 1\; \times \; S\; q\; -\; 1\; \subseteq \; S\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{p-1\}\; \backslash \; times\; S\; ^\; \{q-1\}\; \backslash \; substeq\; S\; ^\; \{n-1\}\}$исправлено. Выбор набора представителей смежного класса для частного - это то же самое, что выбор представительных углов для этого шага разложения полисферических координат.

В полисферических координатах величина объема на R и мера площади на S являются произведениями. Для каждого угла существует один коэффициент, а мера объема на R также имеет коэффициент для радиальной координаты. Мера площади имеет вид:

$d\; A\; n\; -\; 1\; =\; \prod \; i\; =\; 1\; n\; -\; 1\; F\; i\; (\theta \; i)\; d\; \theta \; i,\; \{\backslash \; displaystyle\; dA\_\; \{n-1\}\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\; \}\; ^\; \{n-1\}\; F\_\; \{i\}\; (\backslash \; theta\; \_\; \{i\})\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\; \_\; \{i\},\}$

где коэффициенты F i определяются деревом. Аналогично, мера объема равна

$d\; V\; n\; =\; r\; n\; -\; 1\; d\; r\; \prod \; i\; =\; 1\; n\; -\; 1\; F\; i\; (\theta \; i)\; d\; \theta \; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; dV\_\; \{n\}\; =\; r\; ^\; \{n-1\}\; \backslash ,\; dr\; \backslash ,\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n-1\}\; F\_\; \{i\}\; (\backslash \; theta\; \_\; \{i\})\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\; \_\; \{i\}.\}$

Предположим, у нас есть узел дерева, который соответствует разложению R= R× Rи имеет угловую координату θ. Соответствующий коэффициент F зависит от значений n 1 и n 2. Когда мера площади нормализована так, что площадь сферы равна 1, эти коэффициенты следующие. Если n 1 = n 2 = 1, то

$F\; (\theta )\; =\; d\; \theta \; 2\; \pi .\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (\backslash \; theta)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; theta\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}.\}$

Если n 1>1 и n 2 = 1, и если B обозначает бета-функцию, то

$F\; (\theta )\; =\; sin\; n\; 1\; -\; 1\; \; \theta \; B\; (n\; 1\; 2,\; 1\; 2)\; d\; \theta .\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (\backslash \; theta)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; ^\; \{n\_\; \{1\}\; -1\}\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{B\}\; (\{\backslash \; frac\; \{n\_\; \{1\}\}\; \{2\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\})\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta.\}$

Если n 1 = 1 и n 2>1, то

$F\; (\; \theta )\; знак\; равно\; cos\; n\; 2\; -\; 1\; \; \theta \; B\; (1\; 2,\; n\; 2\; 2)\; d\; \theta .\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (\backslash \; theta)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{n\_\; \{2\}\; -1\}\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{B\}\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{n\_\; \{2\}\}\; \{2\}\})\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta.\}$

Наконец, если оба n 1 и n 2 больше единицы, то

$F\; (\theta )\; =\; (sin\; n\; 1\; -\; 1\; \; \theta )\; (cos\; n\; 2\; -\; 1\; \; \theta )\; 1\; 2\; B\; (n\; 1\; 2,\; n\; 2\; 2)\; d\; \theta .\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (\backslash \; theta)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; sin\; ^\; \{n\_\; \{1\}\; -1\}\; \backslash \; theta)\; (\backslash \; cos\; ^\; \{n\_\; \{2\}\; -1\}\; \backslash \; theta)\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{2\}\}\; \backslash \; mathrm\; \{B\}\; (\{\backslash \; frac\; \{n\_\; \{1\}\}\; \{2\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{n\_\; \{2\}\}\; \{2\}\})\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta.\}$

Стереографическая проекция

Так же, как двумерная сфера, встроенная в три измерения, может быть отображена на двухмерной плоскости с помощью стереографической проекции, n-сфера может быть отображена на n -мерная гиперплоскость n-мерной версией стереографической проекции. Например, точка [x, y, z] на двумерной сфере радиуса 1 отображается в точку [x / 1 - z, y / 1 - z] на плоскости xy. Другими словами,

$[x,\; y,\; z]\; \mapsto \; [x\; 1\; -\; z,\; y\; 1\; -\; z].\; \{\backslash \; displaystyle\; [x,\; y,\; z]\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{1-z\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{1-z\}\}\; \backslash \; right].\}$

Аналогичным образом, стереографическая проекция n-сферы S радиуса 1 будет отображаться на (n - 1) -мерную гиперплоскость R, перпендикулярную оси x n как

$[x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xn]\; \mapsto \; [x\; 1\; 1\; -\; xn,\; x\; 2\; 1\; -\; xn,\dots ,\; xn\; -\; 1\; 1\; -\; xn].\; \{\backslash \; displaystyle\; [x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\}]\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{1\}\}\; \{1-x\_\; \{n\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\; x\_\; \{2\}\}\; \{1-x\_\; \{n\}\}\},\; \backslash \; ldots,\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{n-1\}\}\; \{1-x\_\; \{n\}\}\}\; \backslash \; right].\}$

Генерация случайных точек

Равномерно случайно на (n - 1) -сфере

Набор равномерно распределенных точек на поверхности единичной 2-сферы, созданный с использованием алгоритма Марсальи.

Для генерации равномерно распределенных случайных точек на единичная (n - 1) -сфера (то есть поверхность единичного n-шара), Марсаглия (1972) дает следующий алгоритм.

Сгенерировать n-мерный вектор нормальных отклонений (достаточно использовать N (0, 1), хотя на самом деле выбор дисперсии произвольный), x = (x 1, x 2,... x n). Теперь вычислите «радиус» этой точки:

$r\; =\; x\; 1\; 2\; +\; x\; 2\; 2\; +\; \cdots \; +\; x\; n\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; x\_\; \{n\}\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Вектор 1 / r x равномерно распределен по поверхности единичного n-шара.

Альтернатива, предлагаемая Марсалья, - это равномерно случайный выбор точки x = (x 1, x 2,... x n) в модуле n-куб путем выборки каждого x i независимо от равномерного распределения по (–1,1), вычисляя r, как указано выше, и отклонение точки и повторная выборка, если r ≥ 1 (то есть, если точка не находится в n-шаре), и когда точка в шаре получена, масштабируя ее до сферической поверхности с коэффициентом 1 / р; затем снова 1 / r x равномерно распределено по поверхности единичного n-шара. Этот метод становится очень неэффективным для более высоких измерений, поскольку исчезающе малая часть единичного куба содержится в сфере. В десяти измерениях кубом заполняется менее 2% сферы, поэтому обычно требуется 50 попыток. В семидесяти измерениях заполнено менее $10–24\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{-\; 24\}\}$куба, что означает, что обычно потребуется триллион квадриллионов испытаний, что намного больше, чем мог бы компьютер. когда-либо выполнять.

Равномерно случайным образом в пределах n-шара

С точкой, равномерно выбранной случайным образом на поверхности единичной (n - 1) -сферы (например, с использованием алгоритма Марсальи), одна нужен только радиус, чтобы получить точку равномерно и случайным образом внутри единичного n-шара. Если u - число, равномерно генерируемое случайным образом из интервала [0, 1], а x - точка, равномерно выбранная случайным образом из единичной (n - 1) -сферы, то u x равномерно распределен внутри единицы n-шара.

В качестве альтернативы точки могут быть отобраны равномерно в пределах единицы n-шара путем уменьшения от единицы (n + 1) -сферы. В частности, если (x 1,x2,..., x n + 2) является точкой, равномерно выбранной из единичной (n + 1) -сферы, то (x 1,x2,..., x n) равномерно распределен внутри единицы n-шара (т. е. просто отбрасывая две координаты).

Если n достаточно велико, большая часть объема n- мяч будет находиться в области, очень близкой к его поверхности, поэтому точка, выбранная из этого объема, также, вероятно, будет близко к поверхности. Это одно из явлений, ведущих к так называемому проклятию размерности, которое возникает в некоторых числовых и других приложениях.

Особые сферы

0-sphere

Пара точек {± R} с дискретной топологией для некоторого R>0. Единственная сфера, которая не соединена по путям. Имеет естественную структуру группы Ли; изоморфна O (1). Возможность распараллеливания.

1-сфера

Также известна как круг. Имеет нетривиальную фундаментальную группу. Структура абелевой группы Ли U (1) ; круговая группа . Топологически эквивалентен вещественной проективной прямой , RP. Возможность распараллеливания. SO (2) = U (1).

2-сфера

Также известна как сфера. Сложная структура; см. сфера Римана. Эквивалентен комплексной проекционной линии , CP. SO (3) / SO (2).

3-сфера

Также известен как клубок. Параллелизируемый, главный U(1)- расслоение над 2-сферой, структура группы Ли Sp (1), где также

$S\; p\; (1)\; \cong \; SO\; (4)\; /\; SO\; (3)\; \cong \; SU\; (2)\; \cong \; S\; контакт\; (3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Sp\}\; (1)\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathrm\; \{SO\}\; (4)\; /\; \backslash \; mathrm\; \{SO\}\; (\; 3)\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathrm\; \{SU\}\; (2)\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathrm\; \{Spin\}\; (3)\}$.

4-sphere

Эквивалент кватернионной проективной прямой, HP. SO (5) / SO (4).

5-сферический

Основной U (1) -бандл на CP. SO (6) / SO (5) = SU (3) / SU (2).

6-сфера

Обладает почти сложной структурой, исходящей из множества чистых единиц октонионов. SO (7) / SO (6) = G 2 / SU (3). Вопрос о том, имеет ли она сложную структуру, известен как проблема Хопфа, после Хайнца Хопфа.

7-сфера

Топологическая квазигруппа структура как набор единиц октонионов. Главное Sp (1) -расслоение над S. Распараллеливаемость. SO (8) / SO (7) = SU (4) / SU (3) = Sp (2) / Sp (1) = Spin (7) / G 2 = Spin (6) / SU (3). 7-сфера представляет особый интерес, поскольку именно в этом измерении были открыты первые экзотические сферы.

8-сфера

Эквивалентно октонионной проективной линии OP.

23-сфера

В 24-мерном пространстве возможна очень плотная сфера-упаковка, что связано с уникальными качествами решетки пиявки.

октаэдрической сферы

октаэдрическая n-сфера определяется аналогично n-сфере, но с использованием 1-нормы

$S\; n\; =\; \{x\; \in \; R\; n\; +\; 1:\; \Vert \; x\; \Vert \; 1\; =\; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{n\; +\; 1\}:\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{1\}\; =\; 1\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$

Восьмигранная 1-сфера представляет собой квадрат (без внутренней части). Октаэдрическая 2-сфера - это правильный октаэдр ; отсюда и название. Октаэдрическая n-сфера - это топологическое соединение n + 1 пары изолированных точек. Интуитивно, топологическое соединение двух пар создается путем проведения сегмента между каждой точкой одной пары и каждой точкой другой пары; это дает квадрат. Чтобы объединить это с третьей парой, проведите отрезок между каждой точкой квадрата и каждой точкой третьей пары; это дает октаэдр.

См. Также

• Аффинная сфера
• Конформная геометрия
• Экзотическая сфера
• Гомологическая сфера
• Гомотопические группы сфер
• Гомотопическая сфера
• Гиперболическая группа
• Гиперкуб
• Инверсная геометрия
• Петля (топология)
• Многообразие
• преобразование Мёбиуса
• Ортогональная группа
• Сферическая шапка
• Объем n-шара
• Распределение полукруга Вигнера

Примечания

Ссылки

• Flanders, Harley (1989). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-66169-8.
• Моура, Эдуарда; Хендерсон, Дэвид Г. (1996). Знакомство с геометрией: на плоскости и сфере. Прентис Холл. ISBN 978-0-13-373770-7 (Глава 20: 3-сферы и гиперболические 3-пространства).
• Weeks, Джеффри Р. (1985). Форма пространства: как визуализировать поверхности и трехмерные многообразия. Марсель Деккер. ISBN 978-0-8247-7437-0 (Глава 14: Гиперсфера).
• Марсалья, Дж. (1972). «Выбор точки с поверхности сферы». Анналы математической статистики. 43 (2): 645–646. doi : 10.1214 / aoms / 1177692644.
• Хубер, Грег (1982). "Получение гамма-функции n-мерных объемов". Амер. Математика. Ежемесячно. 89 (5): 301–302. DOI : 10.2307 / 2321716. JSTOR 2321716. MR 1539933.
• Барни, Нир (1999). «Гиперсферические функции с произвольной перестановочной симметрией: обратная конструкция». Phys. Ред. A. 59 (2): 1135–1146. Bibcode : 1999PhRvA..59.1135B. doi : 10.1103 / PhysRevA.59.1135.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик У. «Гиперсфера». MathWorld.