Раздел (пучок волокон)

редактировать

Раздел

s {\ displaystyle s}

s

пакета

p: E → B {\ displaystyle p \ двоеточие E \ на B}

{\ displaystyle p \ двоеточие E \ to B}

. Раздел

s {\ displaystyle s}

s

позволяет идентифицировать базовое пространство

B {\ displaystyle B}

B

с подпространством

s (B) { \ displaystyle s (B)}

{\ displaystyle s (B)}

из

E {\ displaystyle E}

E

векторное поле на

R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}

\ mathbb {R} ^ {2}

. Раздел касательного векторного пучка является векторным полем.

В поле Mathematical в топологии, section (или поперечное сечение ) пучка волокон $E {\ displaystyle E}$ $E$ является непрерывным правым обратным функции проекции $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ . Другими словами, если $E {\ displaystyle E}$ $E$ представляет собой пучок волокон над базовым пространством, $B {\ displaystyle B}$ $B$ :

π: E → B {\ displaystyle \ pi \ двоеточие E \ to B}

{\ displaystyle \ pi \ двоеточие E \ to B}

, тогда участок этого пучка волокон представляет собой непрерывное отображение,

σ: B → E {\ displaystyle \ sigma \ двоеточие B \ to E }

{\ displaystyle \ sigma \ двоеточие B \ to E}

такой, что

π (σ (x)) = x {\ displaystyle \ pi (\ sigma (x)) = x}

\ пи (\ сигма (х)) = х

для всех

x ∈ B {\ displaystyle x \ in B}

{\ displaystyle x \ in B}

Раздел - это абстрактная характеристика того, что значит быть графом. График функции $g: B → Y {\ displaystyle g \ двоеточие B \ to Y}$ ${\ displaystyle g \ двоеточие B \ к Y}$ можно отождествить с функцией, принимающей свои значения в декартовом произведении $E = B × Y {\ displaystyle E = B \ times Y}$ $E = B \ times Y$ , из $B {\ displaystyle B}$ $B$ и $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ :

σ: B → E, σ (x) = (x, g (x)) ∈ E. {\ displaystyle \ sigma \ двоеточие B \ к E, \ quad \ sigma (x) = (x, g (x)) \ in E.}

{\ displaystyle \ sigma \ двоеточие B \ к E, \ quad \ sigma (x) = (x, g (x)) \ in E.}

Пусть $π: E → B {\ displaystyle \ pi \ двоеточие E \ to B}$ ${\ displaystyle \ pi \ двоеточие E \ to B}$ - проекция на первый множитель: $π (x, y) = x {\ displaystyle \ pi (x, y) = x}$ $\ пи (х, y) = х$ . Тогда график - это любая функция $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ , для которой $π (σ (x)) = x {\ displaystyle \ pi (\ sigma (x)) = x }$ $\ пи (\ сигма (х)) = х$ .

Язык связок волокон позволяет обобщить это понятие сечения на случай, когда $E {\ displaystyle E}$ $E$ не обязательно является декартовым произведением. Если $π: E → B {\ displaystyle \ pi \ двоеточие E \ to B}$ ${\ displaystyle \ pi \ двоеточие E \ to B}$ - пучок волокон, то сечение - это выбор точки $σ (x) {\ displaystyle \ sigma (x)}$ $\ sigma (x)$ в каждом из волокон. Условие $π (σ (x)) = x {\ displaystyle \ pi (\ sigma (x)) = x}$ $\ пи (\ сигма (х)) = х$ просто означает, что сечение в точке $x {\ displaystyle x}$ $x$ должен лежать над $x {\ displaystyle x}$ $x$ . (См. Изображение.)

Например, когда $E {\ displaystyle E}$ $E$ - это векторный набор, раздел $E {\ displaystyle E}$ $E$ - элемент векторного пространства $E x {\ displaystyle E_ {x}}$ ${\ displaystyle E_ {x}}$ , лежащий над каждой точкой $x ∈ B {\ displaystyle x \ in B}$ $x \ in B$ . В частности, векторное поле на гладком многообразии $M {\ displaystyle M}$ $M$ представляет собой выбор касательного вектора в каждая точка $M {\ displaystyle M}$ $M$ : это часть касательного пучка $M {\ displaystyle M}$ $M$ . Аналогичным образом, 1-форма на $M {\ displaystyle M}$ $M$ является разделом разделов котангенсного пучка.

, в частности, основных связок и векторных пучков., также являются очень важными инструментами в дифференциальной геометрии. В этой настройке базовое пространство $B {\ displaystyle B}$ $B$ представляет собой гладкий коллектор $M {\ displaystyle M}$ $M$ и $E {\ displaystyle E}$ $E$ предполагается, что это гладкий пучок волокон над $M {\ displaystyle M}$ $M$ (т. Е. $E {\ displaystyle E}$ $E$ - гладкое многообразие, а $π: E → M {\ displaystyle \ pi \ двоеточие E \ to M}$ ${\ displaystyle \ pi \ двоеточие E \ to M}$ - гладкое отображение ). В этом случае рассматривается пространство гладких участков из $E {\ displaystyle E}$ $E$ над открытым набором $U {\ displaystyle U}$ $U$ , обозначаемый $C ∞ (U, E) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (U, E)}$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty} (U, E)}$ . В геометрическом анализе также полезно рассматривать пространства разделов с промежуточной регулярностью (например, $C k {\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ {k}$ разделы или разделы с регулярностью в смысле условий Гельдера или пространств Соболева ).

Содержание

1 Локальные и глобальные разделы
- 1.1 Расширение до глобальных разделов
  - 1.1.1 Обобщения
2 См. Также
3 Примечания
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Локальные и глобальные участки

пучки волокон, как правило, не имеют таких глобальных участков (рассмотрим, например, пучок волокон над $S 1 {\ displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ с волокном $F = R ∖ {0} {\ displaystyle F = \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}}$ ${\ displaystyle F = \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \ }}$ , полученным путем взятия пучка Мебиуса и удаление нулевого раздела), поэтому также полезно определять разделы только локально. A локальный участок пучка волокон представляет собой непрерывную карту $s: U → E {\ displaystyle s \ двоеточие U \ to E}$ ${\ displaystyle s \ двоеточие U \ to E}$ где $U {\ displaystyle U}$ $U$ является открытым набором в $B {\ displaystyle B}$ $B$ и $π (s (x)) = x {\ displaystyle \ pi (s (x)) = x}$ ${\ displaystyle \ pi (s (x)) = x}$ для всех $x {\ displaystyle x}$ $x$ в $U {\ displaystyle U}$ $U$ . Если $(U, φ) {\ displaystyle (U, \ varphi)}$ ${\ displaystyle (U, \ varphi)}$ является локальной тривиализацией элемента $E {\ displaystyle E}$ $E$ , где $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ - гомеоморфизм из $π - 1 (U) {\ displaystyle \ pi ^ {- 1} (U)}$ $\ pi ^ { -1} (U)$ до $U × F {\ displaystyle U \ times F}$ ${\ displaystyle U \ times F}$ (где $F {\ displaystyle F}$ $F$ - волокно ), то локальные секции всегда существуют на $U {\ displaystyle U}$ $U$ в биективном соответствии с непрерывными отображениями от $U {\ displaystyle U}$ $U$ до $F { \ Displaystyle F}$ $F$ . (Локальные) разделы образуют связку поверх $B {\ displaystyle B}$ $B$ , называемую связкой разделов из $E {\ displaystyle E }$ $E$ .

Пространство непрерывных участков пучка волокон $E {\ displaystyle E}$ $E$ над $U {\ displaystyle U}$ $U$ иногда обозначается $C (U, E) {\ displaystyle C (U, E)}$ ${\ displaysty le C (U, E)}$ , тогда как пространство глобальных разделов $E {\ displaystyle E}$ $E$ часто обозначается $Γ (E) {\ displaystyle \ Gamma (E)}$ $\ Gamma ( E)$ или $Γ (B, E) {\ displaystyle \ Gamma (B, E)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (B, E)}$ .

Расширение до глобальных разделов

Разделы изучаются в теории гомотопий и алгебраической топологии, где одной из основных целей является объяснение существования или отсутствия глобальных разделов . Препятствие отрицает существование глобальных секций, поскольку пространство слишком "скручено". Точнее, препятствия «препятствуют» возможности расширения локального раздела до глобального раздела из-за «скрученности» пространства. Препятствия обозначаются конкретными характеристическими классами , которые являются когомологическими классами. Например, основной пакет имеет глобальный раздел тогда и только тогда, когда он тривиальный. С другой стороны, векторный пакет всегда имеет глобальную секцию, а именно нулевую секцию . Однако он допускает нигде не исчезающее сечение, только если его класс Эйлера равен нулю.

Обобщения

Препятствия для расширения локальных секций можно обобщить следующим образом: возьмите топологическое пространство и сформируйте категорию, объекты которой открыты подмножества, а морфизмы - включения. Таким образом, мы используем категорию для обобщения топологического пространства. Мы обобщаем понятие «локального сечения», используя пучки абелевых групп, которые присваивают каждому объекту абелеву группу (аналогично локальным сечениям).

Здесь есть важное различие: интуитивно локальные секции подобны «векторным полям» на открытом подмножестве топологического пространства. Таким образом, в каждой точке назначается элемент фиксированного векторного пространства. Однако пучки могут «непрерывно изменять» векторное пространство (или, в более общем смысле, абелеву группу).

Весь этот процесс на самом деле является функтором глобального раздела, который назначает каждому пучку его глобальный раздел. Тогда когомологии пучков позволяют нам рассматривать аналогичную задачу расширения, «непрерывно меняя» абелеву группу. Теория характеристических классов обобщает идею препятствий для наших расширений.

См. Также

Примечания

^Husemöller, Dale (1994), Fiber Связки, Springer Verlag, стр. 12, ISBN 0-387-94087-1

Ссылки

Норман Стинрод, Топология пучков волокон, Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6.
Дэвид Бликер, Калибровочная теория и вариационные принципы, издательство Addison-Wesley, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7.
Husemöller, Dale (1994), Fiber Bundles, Springer Verlag, ISBN 0 -387-94087-1

Внешние ссылки

Fiber Bundle, PlanetMath
Weisstein, Eric W. «Fiber Bundle». MathWorld.