Грассманиан

В математике Грассманиан Gr(k, V) - это пространство, которое параметризует все k- мерные линейные подпространства n-мерного векторного пространства V. Например, грассманиан Gr (1, V) - это пространство прямых, проходящих через начало координат в V, поэтому это то же самое, что и проективное пространство на одно измерение ниже V.

Когда V - вещественное или комплексное векторное пространство, грассманианы - это компактные гладкие многообразия. В целом они имеют структуру гладкого алгебраического многообразия размерности $k\; (n\; -\; k).\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; (nk).\}$

Самая ранняя работа по нетривиальному грассманиану принадлежит Юлиусу Плюккеру, который изучал множество проективных прямых в проективном трехмерном пространстве, что эквивалентно Gr (2, R ) и параметризовал их с помощью того, что теперь называется координатами Плюккера. Герман Грассманн позже ввел это понятие в целом.

Обозначения у разных авторов различаются: Grk(V) эквивалентно Gr (k, V), а некоторые авторы используют Grk(n) или Gr (k, n) для обозначения грассманиана k-мерных подпространств неуказанного n-мерного векторного пространства.

• 1 Мотивация
• 2 Низкая размерность
• 3 Геометрическое определение грассманиана как множества
• 4 Грассманиан как дифференцируемое многообразие
• 5 Грассманиан как однородное пространство
• 6 Грассманиан как схема
  • 6.1 Представимый функтор
  • 6.2 Универсальное семейство
• 7 Вложение Плюккера
  • 7.1 Координаты Плюккера и соотношения Плюккера
• 8 Грассманиан как вещественное аффинное алгебраическое многообразие
• 9 Двойственность
• 10 Ячейки Шуберта
  • 10.1 Кольцо когомологий комплексного грассманиана
• 11 Ассоциированная мера
• 12 Ориентированный грассманиан
• 13 Приложения
• 14 См. Также
• 15 Примечания
• 16 Ссылки

Задавая совокупности подпространств некоторого векторного пространства топологическую структуру, можно говорить о непрерывном выборе подпространства или открытых и закрытых коллекциях подпространств. ; придавая им структуру дифференциального многообразия, можно говорить о гладком выборе подпространства.

Естественный пример - касательные расслоения гладких многообразий, вложенных в евклидово пространство. Предположим, что у нас есть многообразие M размерности k, вложенное в R . В каждой точке x в M касательное пространство к M может рассматриваться как подпространство касательного пространства R, что составляет всего лишь R . Отображение, присваивающее x его касательное пространство, определяет отображение от M до Gr (k, n). (Для этого мы должны перевести касательное пространство в каждом x ∈ M так, чтобы оно проходило через начало координат, а не через x, и, следовательно, определяло k-мерное векторное подпространство. Эта идея очень похожа на Отображение Гаусса для поверхностей в трехмерном пространстве.)

Эту идею с некоторыми усилиями можно распространить на все векторные расслоения над многообразием M, так что каждое векторное расслоение порождает непрерывное отображение из M в подходящим образом обобщенный грассманиан - хотя различные теоремы вложения должны быть доказаны, чтобы показать это. Затем мы обнаруживаем, что свойства наших векторных расслоений связаны со свойствами соответствующих карт, рассматриваемых как непрерывные карты. В частности, мы обнаруживаем, что векторные расслоения, индуцирующие гомотопические отображения в грассманиан, изоморфны. Здесь определение гомотопии опирается на понятие непрерывности и, следовательно, на топологию.

Для k = 1 грассманиан Gr (1, n) - это пространство линий, проходящих через начало координат в n-пространстве, поэтому это то же, что проективное пространство n - 1 измерения.

При k = 2 грассманиан - это пространство всех двумерных плоскостей, содержащих начало координат. В евклидовом трехмерном пространстве плоскость, содержащая начало координат, полностью характеризуется единственной линией, проходящей через начало координат, которая перпендикулярна этой плоскости (и наоборот); следовательно, пространства Gr (2, 3), Gr (1, 3) и P (проективная плоскость ) могут все идентифицироваться друг с другом.

Простейшим грассманианом, не являющимся проективным пространством, является Gr (2, 4), который может быть параметризован через координаты Плюккера.

Пусть V будет n-мерным векторным пространством над полем K. Грассманиан Gr (k, V) - это множество всех k-мерных линейных подпространств в V. Грассманиан также обозначается Gr (k, n) или Grk(n).

Чтобы наделить грассманиан Grk(V) структурой дифференцируемого многообразия, выберите базис для V. Это эквивалентно отождествлению его с V = K со стандартным основанием, обозначаемым $(e\; 1,\dots ,\; en)\; \{\backslash \; displaystyle\; (e\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; e\_\; \{n\})\}$, рассматриваемое как векторы-столбцы. Тогда для любого k-мерного подпространства w ⊂ V, рассматриваемого как элемент Grk(V), мы можем выбрать базис, состоящий из k линейно независимых векторов-столбцов $(W\; 1,\dots ,\; W\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; (W\_\; \{1\},\; \backslash \; точки,\; W\_\; \{k\})\}$. однородные координаты элемента w ∈ Grk(V) состоят из компонентов прямоугольной матрицы W максимального ранга размера n × k, i-й вектор-столбец которой равен $W\; i,\; i\; =\; 1,\; \dots ,\; K\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{i\},\; \backslash \; quad\; i\; =\; 1,\; \backslash \; dots,\; k\}$. Поскольку выбор базиса произвольный, две такие прямоугольные матрицы максимального ранга W и $W\; ~\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{W\}\}\}$представляют один и тот же элемент w ∈ Grk(V) тогда и только тогда, когда $W\; ~\; =\; W\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{W\}\}\; =\; Wg\}$для некоторого элемента g ∈ GL (k, K) общей линейной группы обратимых k × k матриц с элементами из K.

Теперь мы определяем координатный атлас. Для любой матрицы W размера n × k мы можем применить операции с элементарными столбцами, чтобы получить ее сокращенную форму эшелона столбцов. Если первые k строк W линейно независимы, результат будет иметь вид

$[1\; 1\; \ddots \; 1\; a\; 1,\; 1\; \cdots \; \cdots \; a\; 1,\; k\; ⋮\; ⋮\; an\; -\; k,\; 1\; \cdots \; \cdots \; an\; -\; k,\; k].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \; \backslash \; ddots\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \; a\_\; \{1,1\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; cdots\; a\_\; \{1,\; k\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; a\_\; \{nk,\; 1\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; cdots\; a\_\; \{nk,\; k\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Матрица (n - k) × k A = (a ij) определяет w. В общем, первые k строк не обязательно должны быть независимыми, но для любого W с рангом $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$существует упорядоченный набор целых чисел такая, что подматрица $W\; i\; 1,\dots ,\; ik\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{i\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; i\_\; \{k\}\}\}$, состоящая из $i\; 1,\dots ,\; ik\; \{\backslash \; displaystyle\; i\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; i\_\; \{k\}\}$-я строка W неособая. Мы можем применить операции со столбцами, чтобы уменьшить эту подматрицу до идентичности, а оставшиеся записи однозначно соответствуют w. Следовательно, у нас есть следующее определение:

Для каждого упорядоченного набора целых чисел , пусть $U\; i\; 1,\dots ,\; ik\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{i\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; i\_\; \{k\}\}\}$- набор из $n\; \times \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; times\; k\}$матриц W, подматрица k × k которых $W\; i\; 1,\dots ,\; ik\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{i\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; i\_\; \{k\}\}\}$неособое число, где j-я строка $W\; i\; 1,\; \dots ,\; Ik\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{i\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; i\_\; \{k\}\}\}$- это строка i j строки W. Координатная функция на $U\; i\; 1,\dots ,\; ik\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{i\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; i\_\; \{k\}\}\}$затем определяется как карта $A\; i\; 1,\dots ,\; ik\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{i\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; i\_\; \{k\}\}\}$, который отправляет W в прямоугольную матрицу (n - k) × k, строки которой являются строками матрицы $WW\; i\; 1,\dots ,\; ik\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; WW\_\; \{i\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; i\_\; \{k\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\}$дополнительно к $(i\; 1,\dots ,\; ik)\; \{\backslash \; displaystyle\; (i\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; i\_\; \{k\})\}$. Выбор однородной координатной матрицы W, представляющей элемент w ∈ Grk(V), не влияет на значения координатной матрицы $A\; i\; 1,\dots ,\; ik\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{i\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; i\_\; \{k\}\}\}$, представляющий w в координатной окрестности $U\; i\; 1,\dots ,\; ik\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{i\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; i\_\; \{k\}\}\}$. Более того, координатные матрицы $A\; i\; 1,\dots ,\; ik\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{i\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; i\_\; \{k\}\}\}$могут принимать произвольные значения, и они определяют диффеоморфизм из $U\; i\; 1,\dots ,\; ik\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{i\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; i\_\; \{k\}\}\}$на пространство K-значных (n - k) × k матриц.

На перекрытии

$U\; i\; 1,\dots ,\; ik\; \cap \; U\; j\; 1,\dots ,\; jk\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{i\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; i\_\; \{k\}\}\; \backslash \; cap\; U\_\; \{j\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; j\_\; \{k\}\}\}$

любых двух таких координатных окрестностей, значения координатной матрицы связаны переходным соотношением

$A\; i\; 1,\dots ,\; ik\; W\; i\; 1,\dots ,\; ik\; =\; A\; j\; 1,\dots ,\; jk\; W\; j\; 1,\dots ,\; jk,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{i\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; i\_\; \{k\}\}\; W\_\; \{i\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; i\_\; \{k\}\}\; =\; A\; ^\; \{j\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; j\_\; \{k\}\}\; W\_\; \{j\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; j\_\; \{k\}\},\}$

где оба $W\; i\; 1,\dots ,\; ik\; \{\; \backslash \; displaystyle\; W\_\; \{i\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; i\_\; \{k\}\}\}$и $W\; j\; 1,\dots ,\; jk\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{j\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; j\_\; \{\; k\}\}\}$обратимы. Следовательно, $(U\; i\; 1,\dots ,\; ik,\; A\; i\; 1,\dots ,\; ik)\; \{\backslash \; displaystyle\; (U\_\; \{i\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; i\_\; \{k\}\},\; A\; ^\; \{i\_\; \{1\},\; \backslash \; точек,\; i\_\; \{k\}\})\}$дает атлас Grk(V).

Самый быстрый способ придать грассманиану геометрическую структуру - это выразить его как однородное пространство. Во-первых, напомним, что общая линейная группа GL (V) действует транзитивно на r-мерных подпространствах V. Следовательно, если H является стабилизатор любого из подпространств под этим действием, мы имеем

Gr(r, V) = GL (V) / H.

Если базовое поле R или C и GL (V) рассматривается как группа Ли, тогда эта конструкция превращает грассманиан в гладкое многообразие. Также становится возможным использовать другие группы для создания этой конструкции. Для этого зафиксируйте внутреннее произведение на V. В R заменяют GL (V) ортогональной группой O (V), и ограничивая для ортонормированных фреймов получается тождество

Gr(r, n) = O (n) / (O (r) × O (n - r)).

В частности, размерность грассманиана равна r ( п - г).

В C заменяется GL (V) на унитарную группу U (V). Это показывает, что грассманиан компактен. Эти конструкции также превращают грассманиан в метрическое пространство : для подпространства W в V пусть P W проекция V на W. Тогда

$d\; (W,\; W\; \prime )\; =\; \Vert \; PW\; -\; PW\; \prime \; \Vert ,\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (W,\; W\; \text{'})\; =\; \backslash \; lVert\; P\_\; \{W\}\; -P\_\; \{W\text{'}\}\; \backslash \; rVert,\}$

где || ⋅ || обозначает норму оператора , является метрикой на Gr (r, V). Точный используемый внутренний продукт не имеет значения, потому что другой внутренний продукт даст эквивалентную норму для V и, следовательно, даст эквивалентную метрику.

Если основное поле k произвольно и GL (V) рассматривается как алгебраическая группа, то эта конструкция показывает, что грассманиан неособый алгебраическое многообразие. Из существования вложения Плюккера следует, что грассманиан полон как алгебраическое многообразие. В частности, H является параболической подгруппой в GL (V).

В области алгебраической геометрии грассманиан можно построить как схему, выразив ее как представимый функтор.

Представимый функтор

Пусть $E\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\}$будет квазикогерентным пучком на схема S. Зафиксируем натуральное число r. Затем с каждой S-схемой T функтор Грассмана связывает набор фактор-модулей

$ET:\; =\; E\; \otimes \; OSOT\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \_\; \{T\}:\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \backslash \; otimes\; \_\; \{O\_\; \{S\}\}\; O\_\; \{T\}\}$

локально свободный от ранга r на T. Обозначим это множество как $G\; r\; (r,\; ET)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Gr\}\; (r,\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \_\; \{T\})\}$.

Этот функтор может быть представлен отдельной S-схемой $G\; r\; (r,\; E)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Gr\}\; (r,\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\})\}$. Последнее является проективным, если $E\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\}$конечно сгенерировано. Когда S - спектр поля k, тогда пучок $E\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\}$задается векторным пространством V, и мы восстанавливаем обычное грассманово многообразие двойственное пространство к V, а именно: Gr (r, V).

По построению схема Грассмана совместима с заменой базы: для любой S-схемы S ′ существует канонический изоморфизм

$G\; r\; (r,\; E)\; \times \; SS\; \prime \; \simeq \; G\; r\; (r,\; ES\; \text{'})\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Gr\}\; (r,\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\})\; \backslash \; times\; \_\; \{S\}\; S\text{'}\; \backslash \; simeq\; \backslash \; mathbf\; \{Gr\}\; (r,\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \_\; \{S\; \text{'}\})\}$

В частности, для любой точки s из S канонический морфизм {s} = Spec (k (s)) → S индуцирует изоморфизм слоя $G\; r\; (r,\; E)\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Gr\}\; (r,\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\})\; \_\; \{s\}\}$до обычного грассманиана $G\; r\; (r,\; E\; \otimes \; OS\; k\; (s))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Gr\}\; (r,\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \backslash \; otimes\; \_\; \{O\_\; \{S\}\}\; k\; (s))\}$над полем вычетов k (s).

Универсальное семейство

Поскольку схема Грассмана представляет собой функтор, она поставляется с универсальным объектом, $G\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\}$, который является объектом

$G\; r\; (r,\; EG\; r\; (r,\; E)),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Gr\}\; \backslash \; left\; (r,\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{Gr\}\; (r,\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\})\}\; \backslash \; right),\}$

и, следовательно, модуль частного $G\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\}$из $EG\; r\; (r,\; E)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{Gr\}\; (r,\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\})\}\}$, локально без ранга r выше $G\; r\; (r,\; E)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Gr\}\; (r,\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\})\}$. Фактор-гомоморфизм индуцирует закрытое погружение из проективного расслоения $P\; (G)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{G\}\})\}$:

$P\; (G)\; \to \; P\; (EG\; r\; (r,\; E))\; =\; P\; (E)\; \times \; SG\; r\; (r,\; E).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{G\}\})\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{Gr\}\; (r,\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\})\; \})\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{E\}\})\; \backslash \; times\; \_\; \{S\}\; \backslash \; mathbf\; \{Gr\}\; (r,\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}).\}$

Для любого морфизм S-схем:

$T\; \to \; G\; r\; (r,\; E),\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{Gr\}\; (r,\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}),\}$

это закрытое погружение индуцирует закрытое погружение

$P\; (GT)\; \to \; P\; (E)\; \times \; ST.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; \_\; \{T\})\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{E\}\})\; \backslash \; times\; \_\; \{S\}\; T.\}$

И наоборот, любое такое закрытое погружение происходит от сюръективного гомоморфизма O T -модулей из $ET\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \_\; \{T\}\}$в локально свободный модуль ранга r. Следовательно, элементы $G\; r\; (r,\; E)\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Gr\}\; (r,\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\})\; (T)\}$в точности соответствуют проективные подрасслоения ранга r в

$P\; (E)\; \times \; ST.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{E\}\})\; \backslash \; times\; \_\; \{S\}\; T.\}$

Согласно этому отождествлению, когда T = S - это спектр поля k и $E\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\}$задается векторным пространством V, набором рациональных точек $G\; r\; (r,\; E)\; (k)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Gr\}\; (r,\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\})\; (k)\}$соответствуют проективным линейным подпространствам размерности r - 1 в P (V), а изображение $P\; (G)\; (k)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{G\}\})\; (k)\}$в

$P\; (V)\; \times \; k\; G\; r\; (r,\; E)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; (V)\; \backslash \; times\; \_\; \{k\}\; \backslash \; mathbf\; \{Gr\}\; (r,\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\})\}$

- это множество

$\{(x,\; v)\; \in \; P\; (V)\; (k)\; \times \; G\; r\; (r,\; E)\; (k)\; \mid \; x\; \in \; v\}.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; \{(х,\; v)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; (V)\; (k)\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{Gr\}\; (r,\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\})\; (k)\; \backslash \; mid\; x\; \backslash \; in\; v\; \backslash \}.\}$

Вложение Плюккера является естественным вложением грассманиана $G\; r\; (k,\; V)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Gr\}\; (k,\; V)\}$в проективизацию внешней алгебры ΛV:

$\iota :\; G\; r\; (k,\; V)\; \to \; P\; (\Lambda \; k\; V).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; iota:\; \backslash \; mathbf\; \{Gr\}\; (k,\; V)\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; Lambda\; ^\; \{k\}\; V\; \backslash \; right).\}$

Предположим, что W - k-мерное подпространство n-мерного векторного пространства V. Чтобы определить $\iota \; (W)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; iota\; (W)\}$, выберите базис {w 1,..., w k } слова W, и пусть $\iota \; (W)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; iota\; (W)\}$будет произведением клина этих базовых элементов:

$\iota \; (W)\; =\; [w\; 1\; \wedge \; \cdots \; \wedge \; wk].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; iota\; (W)\; =\; [w\_\; \{1\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; cdots\; \backslash \; wedge\; w\_\; \{k\}].\}$

Другая основа для W даст другой продукт клина, но эти два продукта будут отличаться только ненулевой скаляр (определитель изменения базисной матрицы). Поскольку правая часть принимает значения в проективном пространстве, $\iota \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; iota\}$определен правильно. Чтобы увидеть, что $\iota \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; iota\}$является встраиванием, обратите внимание, что можно восстановить W из $\iota \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; iota\}$как промежуток множества всех векторов w таких, что $w\; \wedge \; \iota \; (W)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; \backslash \; wedge\; \backslash \; iota\; (W)\; =\; 0\}$.

координаты Плюккера и отношения Плюккера

Плюккеровское вложение грассманиана удовлетворяет очень простым квадратичным соотношениям, называемым отношениями Плюккера . Они показывают, что грассманиан вкладывается как алгебраическое подмногообразие в P (ΛV), и дают другой способ построения грассманиана. Чтобы сформулировать соотношения Плюккера, зафиксируйте базис {e 1,..., e n } в V, и пусть W будет k-мерным подпространством в V с базой {w 1,..., w k }. Пусть (w i1,..., w в) будут координатами w i относительно выбранного базиса V, пусть

$W\; знак\; равно\; [вес\; 11\; \cdots \; вес\; 1\; N\; ⋮\; \ddots \; ⋮\; нед\; 1\; \cdots \; wkn],\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathsf\; \{W\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; w\_\; \{11\}\; \backslash \; cdots\; w\_\; \{1n\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; w\_\; \{k1\}\; \backslash \; cdots\; w\_\; \{kn\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\}$и пусть {W 1,..., W n } быть столбцами $W\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathsf\; \{W\}\}\}$. Для любой упорядоченной последовательности из $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$натуральных чисел, пусть $W\; i\; 1,\dots ,\; ik\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{i\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; i\_\; \{k\}\}\}$быть определителем матрицы $k\; \times \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; times\; k\}$со столбцами $W\; i\; 1,\dots ,\; W\; ik\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{i\_\; \{1\}\},\; \backslash \; dots,\; W\_\; \{i\_\; \{k\}\}\}$. Набор называется координатами Плюккера элемента $W\; \{\backslash \; displaystyle\; W\}$грассманиана (относительно базиса {e 1,..., e n } V). Это линейные координаты изображения $\iota \; (W)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; iota\; (W)\}$из $W\; \{\backslash \; displaystyle\; W\}$под картой Плюккера., относительно базиса внешней мощности ΛV, индуцированной базисом {e 1,..., e n } из V.

Для любых двух упорядоченных последовательностей и из $k\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; k-1\}$и $k\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; +1\}$натуральные числа, соответственно, следующие однородные уравнения действительны и определяют образ Gr (k, V) при вложении Плюккера:

$\sum \; \ell \; =\; 1\; k\; +\; 1\; (-\; 1)\; \ell \; W\; я\; 1,\dots ,\; ik\; -\; 1,\; j\; \ell \; W\; j\; 1,\dots ,\; j\; \ell \; ^,\dots \; jk\; +\; 1\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; ell\; =\; 1\}\; ^\; \{\; k\; +\; 1\}\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; ell\}\; W\_\; \{i\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; i\_\; \{k-1\},\; j\; \_\; \{\backslash \; ell\}\}\; W\_\; \{j\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; \{\backslash \; widehat\; \{\; j\; \_\; \{\backslash \; ell\}\}\},\; \backslash \; dots\; j\_\; \{k\; +\; 1\}\}\; =\; 0,\}$

где $j\; 1,\dots ,\; j\; \ell \; ^,\dots \; jk\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; j\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; \{\backslash \; widehat\; \{j\; \_\; \{\backslash \; ell\}\}\},\; \backslash \; ldots\; j\_\; \{k\; +\; 1\}\}$обозначает последовательность $j\; 1,\dots ,\; jk\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; j\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; j\_\; \{k\; +\; 1\}\}$с опущенным термином $j\; \ell \; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \_\; \{\backslash \; ell\}\}$.

. Когда dim (V) = 4 и k = 2, простейший грассманиан, не являющийся проективным пространством, все вышеизложенное сводится к одному уравнению. Обозначая координаты P (ΛV) как W 12, W 13, W 14, W 23, W 24, W 34, изображение Gr (2, V) под картой Плюккера определяется одним уравнением

W12W34- W 13W24+ W 23W14= 0.

В целом, однако, требуется гораздо больше уравнений для определения плюккеровского вложения грассманиана в проективное пространство.

Пусть Gr (r, R ) обозначает грассманиан r-мерных подпространств в R . Пусть M (n, R ) обозначает пространство вещественных матриц размера n × n. Рассмотрим набор матриц A (r, n) ⊂ M (n, R ), определяемый X ∈ A (r, n), тогда и только тогда, когда выполняются три условия:

• X является оператор проекции: X = X.
• X симметричен: X = X.
• X имеет след r: tr (X) = r.

A (r, n) и Gr (r, R ) гомеоморфны, с соответствием, установленным отправкой X ∈ A (r, n) в пространство столбцов X.

Каждое r-мерное подпространство W в V определяет (n - r) -мерное фактор-пространство V / W пространства V. Это дает естественную короткую точную последовательность :

0 → W → V → V / W → 0.

Взятие двойственного в каждое из этих трех пространств и линейных преобразований дает включение (V / W) в V с фактором W:

0 → (V / W) → V → W → 0.

Использование естественного изоморфизма конечномерного векторного пространства с его двойным двойственным показывает, что повторное взятие двойственного восстанавливает исходную короткую точную последовательность. Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между r-мерными подпространствами V и (n - r) -мерными подпространствами V. В терминах грассманиана это канонический изоморфизм

Gr(r, V) ≅ Gr (n - r, V).

Таким образом, выбор изоморфизма V с V определяет (неканонический) изоморфизм Gr (r, V) и Gr (n - r, V). Изоморфизм V с V эквивалентен выбору скалярного произведения, и относительно выбранного скалярного произведения этот изоморфизм грассманианов переводит r-мерное подпространство в его (n - r) -мерное ортогональное дополнение.

Детальное исследование грассманианов использует разложение на подмножества, называемые ячейками Шуберта, которые впервые были применены в перечислительной геометрии. Ячейки Шуберта для Gr (r, n) определены в терминах вспомогательного флага : взять подпространства V 1, V 2,..., V r, где V i ⊂ V i + 1. Затем мы рассматриваем соответствующее подмножество Gr (r, n), состоящее из W, имеющего пересечение с V i размерности не менее i, для i = 1,..., р. Манипуляции с ячейками Шуберта - это исчисление Шуберта.

Вот пример техники. Рассмотрим задачу определения эйлеровой характеристики грассманиана r-мерных подпространств в R . Зафиксируем одномерное подпространство R⊂ Rи рассмотрим разбиение Gr (r, n) на те r-мерные подпространства R, которые содержат R и те, которые этого не делают. Первое - это Gr (r - 1, n - 1), а второе - это r-мерное векторное расслоение над Gr (r, n - 1). Это дает рекурсивные формулы:

$\chi \; r,\; n\; =\; \chi \; r\; -\; 1,\; n\; -\; 1\; +\; (-\; 1)\; r\; \chi \; r,\; n\; -\; 1,\; \chi \; 0,\; n\; =\; \chi \; n,\; n\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{r,\; n\}\; =\; \backslash \; chi\; \_\; \{r-1,\; n-1\}\; +\; (-\; 1)\; ^\; \{r\}\; \backslash \; chi\; \_\; \{r,\; n-1\},\; \backslash \; qquad\; \backslash \; chi\; \_\; \{0,\; n\}\; =\; \backslash \; chi\; \_\; \{n,\; n\}\; =\; 1.\}$

Если решить это рекуррентное соотношение, получится формула: χ r, n = 0 тогда и только тогда, когда n четно, а r равно странный. В противном случае:

$\chi \; r,\; n\; =\; (\lfloor \; n\; 2\; \rfloor \; \lfloor \; r\; 2\; \rfloor ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{r,\; n\}\; =\; \{\backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\; \backslash \; rfloor\; \backslash \; choose\; \backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{2\}\}\; \backslash \; rfloor\}.\}$

Когомологии кольцо комплексного грассманиана

Каждая точка комплексного грассманиана Gr (r, n) определяет r-плоскость в n-пространстве. Расслоение этих плоскостей над грассмановой плоскостью приводит к векторному расслоению E, которое обобщает тавтологическое расслоение проективного пространства . Аналогично (n - r) -мерные ортогональные дополнения этих плоскостей дают ортогональное векторное расслоение F. Целые когомологии грассманианов порождаются как кольцо с помощью Классы Черна в E. В частности, все интегральные когомологии имеют четную степень, как в случае проективного пространства.

Эти генераторы подчиняются ряду отношений, которые определяют кольцо. Определяющие соотношения легко выразить для большего набора образующих, который состоит из классов Черна E и F. Тогда соотношения просто утверждают, что прямая сумма расслоений E и F тривиальна. Функториальность всех классов Черна позволяет записать это отношение как

$ck\; (E)\; cn\; -\; k\; (F)\; =\; (-\; 1)\; n\; -\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{k\}\; (E)\; c\_\; \{nk\}\; (F)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{nr\}\}$

, отражающее существование в соответствующей квантовой теории поля инстантона с 2n фермионными колебаниями, что нарушает степень когомологий, соответствующих состояние на 2n единиц.

Ассоциированная мера

Когда V является n-мерным евклидовым пространством, можно определить равномерную меру на Gr (r, n) следующим образом. Пусть θ n будет единицей меры Хаара на ортогональной группе O (n) и зафиксируем W в Gr (r, n). Тогда для множества A ⊆ Gr (r, n) положим

$\gamma \; r,\; n\; (A)\; =\; \theta \; n\; \{g\; \in \; O\; \; (n):\; g\; W\; \in \; A\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{r,\; n\}\; (A)\; =\; \backslash \; theta\; \_\; \{n\}\; \backslash \; \{g\; \backslash \; in\; \backslash \; operatorname\; \{O\}\; (n):\; gW\; \backslash \; in\; A\; \backslash \}.\}$

Эта мера инвариантна при действиях из группы O (n), то есть γ r, n (gA) = γ r, n (A) для всех g в O (n). Поскольку θ n (O (n)) = 1, имеем γ r, n (Gr(r, n)) = 1. Кроме того, γ r, n <261.>является мерой Радона по отношению к топологии метрического пространства и является равномерной в том смысле, что каждый шар одного и того же радиуса (по отношению к этой метрике) имеет одинаковую меру.

Ориентированный грассманиан

Это многообразие, состоящее из всех ориентированных r-мерных подпространств в R . Это двойное покрытие Gr (r, n) и обозначается:

$G\; r\; ~\; (r,\; n).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widetilde\; \{\backslash \; mathbf\; \{Gr\}\}\}\; (r,\; n).\}$

В качестве однородного пространства оно может быть выражено как:

$SO\; \; (n)\; /\; (SO\; \; (r)\; \times \; SO\; \; (п\; -\; г)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{SO\}\; (n)\; /\; (\backslash \; Operatorname\; \{SO\}\; (r)\; \backslash \; times\; \backslash \; operatorname\; \{SO\}\; (nr)).\}$

Приложения

Многообразия Грассмана нашли применение в компьютерное зрение задачи распознавания лиц и форм на основе видео. Они также используются в технике визуализации данных, известной как grand tour.

Грассманианы позволяют вычислить амплитуды рассеяния субатомных частиц с помощью положительной грассмановской конструкции, называемой амплитуэдром.

См. Также

• Исчисление Шуберта
• Для примера использования грассманианов в дифференциальной геометрии см. отображение Гаусса и в проективной геометрии, см. координаты Плюккера.
• Флаговые многообразия являются обобщениями грассманианов, а многообразия Штифеля тесно связаны.
• Имея выделенный класс подпространств, можно определить грассманианы таких подпространств, как лагранжев грассманиан.
• грассманианы обеспечивают классифицирующие пространства в K-теории, особенно классифицирующее пространство для U (n). В системе грассманиан играет аналогичную роль для алгебраической K-теории.
• аффинного грассманиана
• расслоения Грассмана
• графа Грассмана

Примечания

1. ^Milnor Stasheff (1974), стр. 57–59.
2. ^Гротендик, Александр (1971). Éléments de géométrie algébrique. 1(2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-05113-8., Глава I.9
3. ^EGA, II.3.6.3.
4. ^Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии, Wiley Classics Library (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley Sons, стр. 211, ISBN 0-471-05059-8, MR 1288523, Zbl 0836.14001
5. ^Паван Турага, Ашок Вирарагхаван, Рама Челлаппа: Статистический анализ многообразий Штифеля и Грассмана с применением компьютерного зрения, CVPR 23–28 июня 2008 г., Конференция IEEE по компьютерному зрению и распознаванию образов, 2008 г., ISBN 978-1-4244- 2242-5, стр. 1–8 (аннотация, полный текст )
6. ^Аркани-Хамед, Нима; Трнка, Ярослав (2013). "Амплитуэдр". Journal of High Энергетическая физика. 2014 (10). arXiv : 1312.2007. Bibcode : 2014JHEP... 10..030A. doi : 10.1007 / JHEP10 (2014) 030. S2CID 7717260. CS1 maint: ref = harv ( ссылка )
7. ^Морель, Фабьен; Воеводский, Владимир (1999). «А-гомотопическая теория схем» (PDF). Publications Mathématiques de l ' IHÉS. 90(90): 45–143. doi : 10.1007 / BF02698831. ISSN 1618-1913. MR 1813224. S2CID 14420180. Проверено 5 сентября 2008 г., см. Раздел 4.3., Стр. 137–140

Ссылки

• Hatcher, Allen (2003). "Vector Bundles K-Theory" (2.0 ed.). Cite journal требует | journal =() раздел 1.2
• Милнор, Джон У. ; Сташев, Джеймс Д. (1974). Характерные классы. Летопись математических исследований. 76 . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08122-0.см. Главы 5–7
• Харрис, Джо (1992). Алгебраическая геометрия: первый курс. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-97716-3.
• Маттила, Пертти (1995). Геометрия множеств и мер в евклидовом пространстве. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-65595-1.