K-теория

редактировать

В математике K-теория - это, грубо говоря, изучение кольцо , сгенерированное векторными расслоениями над топологическим пространством или схемой. В алгебраической топологии это теория когомологий, известная как топологическая K-теория. В алгебре и алгебраической геометрии это называется алгебраической K-теорией. Это также фундаментальный инструмент в области операторных алгебр. Это можно рассматривать как изучение некоторых видов инвариантов больших матриц.

K-теория включает построение семейств K- функторов, отображаемых из топологических пространств. или схемы для связанных колец; эти кольца отражают некоторые аспекты структуры исходных пространств или схем. Как и в случае с функторами групп в алгебраической топологии, причина этого функториального отображения в том, что легче вычислить некоторые топологические свойства из отображенных колец, чем из исходных пространств или схем. Примеры результатов, полученных с помощью подхода K-теории, включают теорему Гротендика – Римана – Роха, периодичность Ботта, теорему об индексе Атьи – Зингера и Операции Адамса.

В физике высоких энергий K-теория и, в частности, искривленная K-теория появились в теории струн типа II, где она Было высказано предположение, что они классифицируют D-браны, напряженности поля Рамона – Рамона, а также некоторые спиноры на обобщенных комплексных многообразиях. В физике конденсированного состояния K-теория использовалась для классификации топологических изоляторов, сверхпроводников и стабильных поверхностей Ферми. Подробнее см. K-теория (физика).

Содержание

  • 1 Пополнение Гротендика
    • 1.1 Пример для натуральных чисел
  • 2 Определения
    • 2.1 Группа Гротендика для компактных хаусдорфовых пространств
    • 2.2 Группа Гротендика векторных расслоений в алгебраической геометрии
    • 2.3 Группа Гротендика когерентных пучков в алгебраической геометрии
  • 3 Ранняя история
  • 4 Разработки
  • 5 Примеры и свойства
    • 5.1 K 0 поля
    • 5.2 K 0 артиновой алгебры над полем
    • 5.3 K 0 проективного пространства
    • 5.4 K 0 проективного расслоения
    • 5.5 K 0 особых пространств и пространств с изолированными фактор-особенностями
    • 5.6 K 0 гладкой проективной кривой
  • 6 Приложения
    • 6.1 Виртуальные пакеты
    • 6.2 Символы Черна
  • 7 Эквивариантная K-теория
  • 8 См. Также
  • 9 Примечания
  • 10 Ссылки
  • 11 Внешние ссылки

Завершение Гротендика

Пополнение Гротендика абелевого моноида в абелеву группу является необходимостью Это важный ингредиент для определения K-теории, поскольку все определения начинаются с построения абелевого моноида из подходящей категории и превращения его в абелеву группу с помощью этой универсальной конструкции. Дан абелев моноид (A, + ′) {\ displaystyle (A, + ')}{\displaystyle (A,+')}, пусть ∼ {\ displaystyle \ sim}\sim будет отношением на A 2 {\ displaystyle A ^ {2}}A ^ {2} определяется как

(a 1, a 2) ∼ (b 1, b 2) {\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}) \ sim (b_ {1}, b_ {2})}{\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}) \ sim (b_ {1}, b_ {2})}

, если существует c ∈ A {\ displaystyle c \ in A}{\ displaystyle c \ in A} такое, что а 1 + ′ б 2 + ′ с = а 2 + ′ б 1 + ′ с. {\ displaystyle a_ {1} + 'b_ {2} +' c = a_ {2} + 'b_ {1} +' c.}{\displaystyle a_{1}+'b_{2}+'c=a_{2}+'b_{1}+'c.}Тогда набор G (A) = A 2 / ∼ {\ displaystyle G (A) = A ^ {2} / \ sim}{\ displaystyle G (A) = A ^ {2} / \ sim} имеет структуру group (G (A), +) {\ displaystyle (G (A), +)}{\displaystyle (G(A),+)}где:

[(a 1, a 2)] + [(b 1, b 2)] = [(a 1 + ′ b 1, a 2 + ′ b 2)] {\ displaystyle [(a_ {1}, a_ {2})] + [(b_ {1}, b_ {2})] = [(a_ {1} + 'b_ {1}, a_ {2} + 'b_ {2})]}{\displaystyle [(a_{1},a_{2})]+[(b_{1},b_{2})]=[(a_{1}+'b_{1},a_{2}+'b_{2})]}

Классы эквивалентности в этой группе следует рассматривать как формальные различия элементов в абелевом моноиде.

Чтобы лучше понять эту группу, рассмотрим некоторые классы эквивалентности абелевого моноида (A, +) {\ displaystyle (A, +)}{ \ displaystyle (A, +)} . Здесь мы будем обозначать элемент идентичности как 0 {\ displaystyle 0}{\ displaystyle 0} . Во-первых, (0, 0) ∼ (n, n) {\ displaystyle (0,0) \ sim (n, n)}{\ displaystyle (0,0) \ sim (n, n)} для любого n ∈ A {\ displaystyle n \ in A}{\displaystyle n\in A}, поскольку мы можем установить c = 0 {\ displaystyle c = 0}c=0и применить уравнение из отношения эквивалентности, чтобы получить n = n { \ displaystyle n = n}{\displaystyle n=n}. Отсюда следует

[(a, b)] + [(b, a)] = [(a + b, a + b)] = 0 {\ displaystyle [(a, b)] + [(b, a)] = [(a + b, a + b)] = 0}{\displaystyle [(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,a+b)]=0}

, следовательно, у нас есть аддитивный обратный для каждого элемента в G (A) {\ displaystyle G (A)}G(A). Это должно дать нам подсказку, что мы должны думать о классах эквивалентности [(a, b)] {\ displaystyle [(a, b)]}{\displaystyle [(a,b)]}как о формальных различиях a - б {\ displaystyle ab}ab . Еще одно полезное наблюдение - инвариантность классов эквивалентности при масштабировании:

(a, b) ∼ (a + k, b + k) {\ displaystyle (a, b) \ sim (a + k, b + k)}{\displaystyle (a,b)\sim (a+k,b+k)}для любого k ∈ A {\ displaystyle k \ in A}{\displaystyle k\in A}

Завершение Гротендика можно рассматривать как функцию G: A b M on → A b G rp {\ displaystyle G: \ mathbf {AbMon} \ to \ mathbf {AbGrp}}{\ displaystyle G: \ mathbf {AbMon} \ to \ mathbf {AbGrp}} , и он обладает тем свойством, что он остается присоединенным к соответствующему забывчивому функтору U: A b G rp → A b M на {\ displaystyle U: \ mathbf {AbGrp} \ to \ mathbf {AbMon}}{\ displaystyle U: \ mathbf {AbGrp} \ to \ mathbf {AbMon}} . Это означает, что, учитывая морфизм ϕ: A → U (B) {\ displaystyle \ phi: A \ to U (B)}{\ displaystyle \ phi: A \ к U (B)} абелевого моноида A {\ displaystyle A }Aк основному абелеву моноиду абелевой группы B {\ displaystyle B}B существует единственный морфизм абелевой группы G (A) → B {\ displaystyle G (A) \ to B}{\ displaystyle G (A) \ to B} .

Пример натуральных чисел

Наглядный пример, на который следует обратить внимание, - это завершение Гротендиком N {\ displaystyle \ mathbb {N}}\mathbb {N} . Мы видим, что G ((N, +)) = (Z, +) {\ displaystyle G ((\ mathbb {N}, +)) = (\ mathbb {Z}, +)}{\ displaystyle G ((\ mathbb {N}, +)) = (\ mathbb {Z}, +)} . Для любой пары (a, b) {\ displaystyle (a, b)}(a,b)мы можем найти минимального представителя (a ′, b ′) {\ displaystyle (a ', b ')}{\displaystyle (a',b')}, используя инвариантность при масштабировании. Например, из масштабной инвариантности мы можем видеть, что

(4, 6) ∼ (3, 5) ∼ (2, 4) ∼ (1, 3) ∼ (0, 2) {\ displaystyle (4,6) \ sim (3,5) \ sim (2,4) \ sim (1,3) \ sim (0,2)}{\ displaystyle (4,6) \ sim (3,5) \ sim (2,4) \ sim (1,3) \ sim (0,2)}

В общем, если мы установим k = min {a, b} {\ displaystyle k = \ min \ {a, b \}}{\displaystyle k=\min\{a,b\}}тогда мы находим, что

(a, b) ∼ (a - k, b - k) {\ displaystyle (a, b) \ sim (ak, bk)}{\displaystyle (a,b)\sim (a-k,b-k)}который имеет форму (c, 0) {\ displaystyle (c, 0)}(c,0)или (0, d) {\ displaystyle (0, d)}{\displaystyle (0,d)}

Это показывает, что мы должны думать о (a, 0) {\ displaystyle (a, 0)}(a, 0) как о целых положительных числах, а (0, b) {\ displaystyle (0, b)}(0,b)как отрицательные целые числа.

Определения

Существует ряд основных определений K-теории: два исходят из топологии и два - из алгебраической геометрии.

Группа Гротендика для компактных хаусдорфовых пространств

Для компактного хаусдорфового пространства X {\ displaystyle X}Xрассмотрим множество классов изоморфизма конечномерных векторных пучков над X {\ displaystyle X}X, обозначаемых Vect (X) {\ displaystyle {\ text {Vect}} (X)}{\ displaystyle {\ text {Vect}} (X)} и пусть класс изоморфизма векторного расслоения π: E → X {\ displaystyle \ pi: E \ to X}\ pi: E \ to X обозначается [E] {\ displaystyle [E]}[E]. Поскольку классы изоморфизма векторных расслоений хорошо себя ведут по отношению к прямым суммам, мы можем записать эти операции на классах изоморфизма как

[E] ⊕ [E ′] = [E ⊕ E ′] {\ displaystyle [E] \ oplus [E '] = [E \ oplus E']}{\displaystyle [E]\oplus [E']=[E\oplus E']}

Должно быть ясно, что (Vect (X), ⊕) {\ displaystyle ({\ text {Vect}} (X), \ oplus)}{\displaystyle ({\text{Vect}}( X),\oplus)}- абелев моноид, где единица задается тривиальным векторным расслоением R 0 × X → X {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {0} \ times X \ в X}{\displaystyle \mathbb {R} ^{0}\times X\to X}. Затем мы можем применить пополнение Гротендика, чтобы получить абелеву группу из этого абелевого моноида. Это называется K-теорией X {\ displaystyle X}Xи обозначается K 0 (X) {\ displaystyle K ^ {0} (X)}{\ displaystyle K ^ {0} (X)} .

Мы можно использовать теорему Серра – Свана и некоторую алгебру, чтобы получить альтернативное описание векторных расслоений над кольцом непрерывных комплекснозначных функций C 0 (X; C) {\ displaystyle C ^ {0 } (X; \ mathbb {C})}{\ displaystyle C ^ {0} (X; \ mathbb {C})} как проективные модули. Затем их можно отождествить с идемпотентными матрицами в некотором кольце матриц M n × n (C 0 (X; C)) {\ displaystyle M_ {n \ times n} (C ^ { 0} (X; \ mathbb {C}))}{\displaystyle M_{n\times n}(C^{0}(X;\mathbb {C}))}. Мы можем определить классы эквивалентности идемпотентных матриц и сформировать абелев моноид Idem (X) {\ displaystyle {\ textbf {Idem}} (X)}{\ displaystyle {\ textbf {Idem}} (X)} . Его завершение по Гротендику также называется K 0 (X) {\ displaystyle K ^ {0} (X)}{\ displaystyle K ^ {0} (X)} . Один из основных методов вычисления группы Гротендика для топологических пространств исходит из спектральной последовательности Атьи – Хирцебруха, что делает ее очень доступной. Единственные необходимые вычисления для понимания спектральных последовательностей - это вычисление группы K 0 {\ displaystyle K ^ {0}}K ^ {0} для сфер S n {\ displaystyle S ^ {n}}S^{n}.

Группа Гротендика векторных расслоений в алгебраической геометрии

Существует аналогичная конструкция при рассмотрении векторных расслоений в алгебраической геометрии. Для схемы Нетерова X {\ displaystyle X}Xсуществует набор Vect (X) {\ displaystyle {\ text {Vect}} (X)}{\ displaystyle {\ text {Vect}} (X)} всех классов изоморфизма алгебраических векторных расслоений на X {\ displaystyle X}X. Тогда, как и раньше, прямая сумма ⊕ {\ displaystyle \ oplus}\ oplus классов изоморфизмов векторных расслоений определена корректно, что дает абелев моноид (Vect (X), ⊕) {\ displaystyle ({\ text {Vect}} (X), \ oplus)}{\displaystyle ({\text{Vect}}( X),\oplus)}. Тогда группа Гротендика K 0 (X) {\ displaystyle K ^ {0} (X)}{\ displaystyle K ^ {0} (X)} определяется применением конструкции Гротендика к этому абелеву моноиду.

Группа Гротендика когерентных пучков в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии ту же конструкцию можно применить к алгебраическим векторным расслоениям над гладкой схемой. Но есть альтернативная конструкция для любой нётеровой схемы X {\ displaystyle X}X. Если мы посмотрим на классы изоморфизма когерентных пучков Coh ⁡ (X) {\ displaystyle \ operatorname {Coh} (X)}{\displaystyle \operatorname {Coh} (X)}, мы можем изменить соотношение [E] = [E ′] + [E ″] {\ displaystyle [{\ mathcal {E}}] = [{\ mathcal {E}} '] + [{\ mathcal {E}}' '] }{\displaystyle [{\mathcal {E}}]=[{\mathcal {E}}']+[{\mathcal {E}}'']}, если существует короткая точная последовательность

0 → E ′ → E → E ″ → 0. {\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {E}} '\ to {\ mathcal {E}} \ to {\ mathcal {E}} '' \ to 0.}{\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0.}

Это дает группу Гротендика K 0 (X) {\ displaystyle K_ {0} (X)}{\displaystyle K_{0}(X)}который изоморфен K 0 (X) {\ displaystyle K ^ {0} (X)}{\ displaystyle K ^ {0} (X)} if X {\ displaystyle X}Xгладко. Группа K 0 (X) {\ displaystyle K_ {0} (X)}{\displaystyle K_{0}(X)}особенная, потому что существует также кольцевая структура: мы определяем ее как

[E] ⋅ [E ′] = ∑ (- 1) k [Tor k OX ⁡ (E, E ′)]. {\ displaystyle [{\ mathcal {E}}] \ cdot [{\ mathcal {E}} '] = \ sum (-1) ^ {k} \ left [\ operatorname {Tor} _ {k} ^ {{{ \ mathcal {O}} _ {X}} ({\ mathcal {E}}, {\ mathcal {E}} ') \ right].}{\displaystyle [{\mathcal {E}}]\cdot [{\mathcal {E}}']=\sum (-1)^{k}\left[\operatorname {Tor} _{k}^{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}')\right].}

Использование теоремы Гротендика – Римана – Роха, мы имеем, что

ch: K 0 (X) ⊗ Q → A (X) ⊗ Q {\ displaystyle \ operatorname {ch}: K_ {0} (X) \ otimes \ mathbb {Q} \ to A (X) \ otimes \ mathbb {Q}}{\ displaystyle \ operatorname {ch}: K _ {0} (X) \ otimes \ mathbb {Q} \ к A (X) \ otimes \ mathbb {Q}}

- изоморфизм колец. Следовательно, мы можем использовать K 0 (X) {\ displaystyle K_ {0} (X)}{\displaystyle K_{0}(X)}для теории пересечений.

Ранняя история

Предмет может быть сказано, что начинается с Александра Гротендика (1957), который использовал его для формулировки своей теоремы Гротендика – Римана – Роха. Название происходит от немецкого Klasse, что означает «класс». Гротендику нужно было работать с когерентными пучками на алгебраическом многообразии X. Вместо того, чтобы работать напрямую с пучками, он определил группу, используя классы изоморфизма пучков в качестве генераторов группы, с учетом отношения, которое идентифицирует любое расширение двух пучков с их суммой. Результирующая группа называется K (X), если используются только локально свободные пучки, или G (X), когда все являются когерентными пучками. Любая из этих двух конструкций упоминается как группа Гротендика ; K (X) имеет когомологическое поведение, а G (X) имеет гомологическое поведение.

Если X является гладкой разновидностью, эти две группы одинаковы. Если это гладкое аффинное многообразие, то все расширения локально свободных пучков расщепляются, поэтому группа имеет альтернативное определение.

В топологии, применяя ту же конструкцию к векторным расслоениям, Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух определили K ( X) для топологического пространства X в 1959 г. и, используя теорему периодичности Ботта, они сделали его основой экстраординарной теории когомологий. Он сыграл важную роль во втором доказательстве теоремы Атьи – Зингера об индексе (около 1962 г.). Более того, этот подход привел к некоммутативной K-теории для C * -алгебр.

. Уже в 1955 году Жан-Пьер Серр использовал аналогию с векторные расслоения с проективными модулями, чтобы сформулировать гипотезу Серра, которая утверждает, что каждый конечно порожденный проективный модуль над полиномиальным кольцом свободен ; это утверждение верно, но оно было подтверждено только 20 лет спустя. (Теорема Суона - еще один аспект этой аналогии.)

Развитие

Другим историческим источником алгебраической K-теории была работа Дж. Х. К. Уайтхед и другие о том, что позже стало известно как кручение Уайтхеда.

. Затем последовал период, когда появились различные частичные определения функторов высшей K-теории. Наконец, два полезных и эквивалентных определения были даны Дэниелом Квилленом с использованием теории гомотопии в 1969 и 1972 годах. Вариант был также дан Фридхельмом Вальдхаузеном для изучения алгебраическая K-теория пространств, связанная с изучением псевдоизотопий. Многие современные исследования высшей K-теории связаны с алгебраической геометрией и изучением мотивационных когомологий.

. Соответствующие конструкции с использованием вспомогательной квадратичной формы получили общее название L-теория. Это главный инструмент теории хирургии.

. В теории струн, K-теория классификации напряженности поля Рамона – Рамона и зарядов стабильного D -брана была впервые предложена в 1997 году.

Примеры и свойства

K0поля

Самым простым примером группы Гротендика является группа Гротендика точки Spec (F) {\ displaystyle {\ text {Spec}} (\ mathbb {F})}{\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {F })}для поля F {\ displaystyle \ mathbb {F}}\ mathbb {F} . Поскольку векторное расслоение над этим пространством - это просто конечномерное векторное пространство, которое является свободным объектом в категории когерентных пучков, следовательно, проективным, моноид классов изоморфизма равен N {\ displaystyle \ mathbb {N}}\mathbb {N} , соответствующий размерности векторного пространства. Легко показать, что группа Гротендика тогда является Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}\mathbb {Z} .

K0артиновой алгебры над полем

Одно важное свойство группы Гротендика a схема Нётера X {\ displaystyle X}Xсостоит в том, что она инвариантна при редукции, следовательно, K (X) = K (X red) {\ displaystyle K (X) = K (X _ {\ text {красный}})}{\displaystyle K(X)=K(X_{\text{red}})}. Следовательно, группа Гротендика любой артинианской F {\ displaystyle \ mathbb {F}}\ mathbb {F} -алгебры является прямой суммой копий Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}\mathbb {Z} , по одному на каждую компоненту связности своего спектра. Например,

K 0 (Spec (F [x] (x 9) × F)) = Z ⊕ Z {\ displaystyle K_ {0} \ left ({\ text {Spec}} \ left ({\ frac {\ mathbb {F} [x]} {(x ^ {9})}} \ times \ mathbb {F} \ right) \ right) = \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}}{\displaystyle K_{0}\left({\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {F} [x]}{(x^{9})}}\times \mathbb { F} \right)\right)=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }

K0проективного пространства

Одно из наиболее часто используемых вычислений группы Гротендика - это вычисление K (P n) {\ displaystyle K (\ mathbb {P} ^ {n})}{\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})}для проективного пространства над полем. Это связано с тем, что числа пересечения проективного элемента X {\ displaystyle X}Xможно вычислить путем встраивания i: X ↪ P n {\ displaystyle i: X \ hookrightarrow \ mathbb {P } ^ {n}}{\ displaystyle i: X \ hookrightarrow \ mathbb {P} ^ {n}} и используя формулу push pull i ∗ ([i ∗ E] ⋅ [i ∗ F]) {\ displaystyle i ^ {*} ([i _ {*} {\ mathcal {E}}] \ cdot [i _ {*} {\ mathcal {F}}])}{\displaystyle i^{*}([i_{*}{\mathcal {E}}]\cdot [i_{*}{\mathcal {F}}])}. Это позволяет выполнять конкретные вычисления с элементами в K (X) {\ displaystyle K (X)}K (X) без необходимости явно знать его структуру, поскольку

K (P n) = Z [T] (T n + 1) {\ displaystyle K (\ mathbb {P} ^ {n}) = {\ frac {\ mathbb {Z} [T]} {(T ^ {n + 1})}} }{\ displaystyle K (\ mathbb {P} ^ {n}) = {\ frac {\ mathbb {Z} [T]} {(T ^ {n + 1})}}}

Один из способов определения группы гротендика P n {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}\mathbb {P} ^{n}основан на его стратификации как

P n = A n ∐ A n - 1 ∐ ⋯ ∐ A 0 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} = \ mathbb {A} ^ {n} \ coprod \ mathbb {A} ^ {n-1} \ coprod \ cdots \ coprod \ mathbb {A} ^ {0}}{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}=\mathbb {A} ^{n} \coprod \mathbb {A} ^{n-1}\coprod \cdots \coprod \mathbb {A} ^{0}}

, поскольку группа гротендика когерентных пучков на аффинных пространствах изоморфна Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}\mathbb {Z} , а пересечение A n - k 1, A n - k 2 {\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {n-k_ {1}}, \ mathbb {A} ^ {n-k_ {2}}}{\displaystyle \mathbb {A} ^{n-k_{1 }},\mathbb {A} ^{n-k_{2}}}в общем случае

A n - k 1 ∩ A n - k 2 = A n - k 1 - k 2 {\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {n-k_ {1}} \ cap \ mathbb { A} ^ {n-k_ {2}} = \ mathbb {A} ^ {n-k_ {1} -k_ {2}}}{\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {n-k_ {1}} \ cap \ mathbb { A} ^ {n-k_ {2}} = \ mathbb {A} ^ {n-k_ {1} -k_ {2}}}

для k 1 + k 2 ≤ n {\ displaystyle k_ {1} + k_ {2} \ leq n}{\ displaystyle k_ {1} + k_ {2} \ leq n} .

K0проективного расслоения

Другой важной формулой для группы Гротендика является формула проективного расслоения: при заданном векторный набор ранга r E {\ displaystyle {\ mathcal {E}}}{\ mathcal {E}} по нётеровой схеме X {\ displaystyle X}X, группа Гротендика проективный набор P (E) = Proj ⁡ (Sym ∙ ⁡ (E ∨)) {\ displaystyle \ mathbb {P} ({\ mathcal {E}}) = \ operatorname {Proj} (\ operatorname {Sym} ^ {\ bullet} ({\ mathcal {E}} ^ {\ vee}))}{\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} ^{\bullet }({\mathcal {E}}^{\vee }))}- это бесплатный K (X) {\ displaystyle K (X)}K (X) -модуль ранга r с базой 1, ξ,…, ξ n - 1 {\ displaystyle 1, \ xi, \ dots, \ xi ^ {n-1}}{\displaystyle 1,\xi,\dots,\xi ^{n-1} }. Эта формула позволяет вычислить группу Гротендика P F n {\ displaystyle \ mathbb {P} _ {\ mathbb {F}} ^ {n}}{\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{n}}. Это позволяет вычислить K 0 {\ displaystyle K_ {0}}K_{0}или поверхности Хирцебруха. Кроме того, это можно использовать для вычисления группы Гротендика K (P n) {\ displaystyle K (\ mathbb {P} ^ {n})}{\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})}, наблюдая, что это проективное расслоение над поле F {\ displaystyle \ mathbb {F}}\ mathbb {F} .

K0сингулярных пространств и пространств с изолированными факторособенностями

Один из недавних методов вычисления группы пространств Гротендика с малыми особенностями основан на вычислении разница между K 0 (X) {\ displaystyle K ^ {0} (X)}{\ displaystyle K ^ {0} (X)} и K 0 (X) {\ displaystyle K_ {0} (X)}{\displaystyle K_{0}(X)}, что связано с тем, что каждое векторное расслоение можно эквивалентно описать как когерентный пучок. Это делается с использованием группы Гротендика D s g (X) {\ displaystyle D_ {sg} (X)}{\ displaystyle D_ {sg} (X)} из производной некоммутативной алгебраической геометрии. Он дает длинную точную последовательность, начинающуюся с

⋯ → K 0 (X) → K 0 (X) → K sg (X) → 0 {\ displaystyle \ cdots \ до K ^ {0} (X) \ to K_ {0} (X) \ to K_ {sg} (X) \ to 0}{\displaystyle \cdots \to K^{0}(X)\to K_{0}(X)\to K_{sg}(X)\to 0}

где более высокие термины взяты из высшей K-теории. Обратите внимание, что векторные пучки в единственном числе X {\ displaystyle X}Xзадаются векторными пучками E → X sm {\ displaystyle E \ to X_ {sm}}{\ displaystyle E \ to X_ {sm}} на гладком геометрическом месте X sm ↪ X {\ displaystyle X_ {sm} \ hookrightarrow X}{\displaystyle X_{sm}\hookrightarrow X}. Это позволяет вычислить группу Гротендика на весовых проективных пространствах, поскольку они обычно имеют изолированные факторособенности. В частности, если эти особенности имеют группы изотропии G i {\ displaystyle G_ {i}}G_i , тогда отображение

K 0 (X) → K 0 (X) {\ displaystyle K ^ {0} (X) \ to K_ {0} (X)}{\displaystyle K^{0}(X)\to K_{0}(X)}

является инъективным, и коядро уничтожается на lcm (| G 1 |,…, | G k |) n - 1 {\ displaystyle {\ text {lcm}} (| G_ {1} |, \ ldots, | G_ {k} |) ^ {n-1}}{\displaystyle {\text{lcm}}(|G_{1}|,\ldots,|G_{k}|)^{n-1}}для n = dim ⁡ X {\ displaystyle n = \ dim X}{\displaystyle n=\dim X}.

K0гладкой проективной кривой

Для гладкой проективной кривой C {\ displaystyle C}C группа Гротендика

K 0 ( C) = Z ⊕ Pic (C) {\ displaystyle K_ {0} (C) = \ mathbb {Z} \ oplus {\ text {Pic}} (C)}{\displaystyle K_{0}(C)=\mathbb {Z} \oplus {\text{Pic}}(C)}

для группы Пикара из C {\ displaystyle C}C . Это следует из спектральной последовательности Брауна-Герстена-Квиллена алгебраической K-теории. Для регулярной схемы конечного типа над полем существует сходящаяся спектральная последовательность

E 1 p, q = ∐ x ∈ X (p) K - p - q (k (x)) ⇒ К - п - q (Икс) {\ Displaystyle E_ {1} ^ {p, q} = \ coprod _ {x \ in X ^ {(p)}} K ^ {- pq} (k (x)) \ Rightarrow K _ {- pq} (X)}{\ displaystyle E_ {1} ^ {p, q} = \ coprod _ {x \ in X ^ {(p)}} K ^ {- pq} (k (x)) \ Rightarrow K _ {- pq} (X)}

для X (p) {\ displaystyle X ^ {(p)}}{\displaystyle X^{(p)}}набор коразмерности p {\ displaystyle p}p точек, означающих набор подсхем x: Y → X {\ displaystyle x: Y \ to X}{\displaystyle x:Y\to X}коразмерности p {\ displaystyle p}p и k (x) {\ displaystyle k (x)}k(x)поле алгебраических функций подсхемы. Эта спектральная последовательность имеет свойство

E 2 p, - p ≅ CH p (X) {\ displaystyle E_ {2} ^ {p, -p} \ cong {\ text {CH}} ^ {p} (X)}{\ displaystyle E_ {2} ^ {p, -p} \ cong {\ text {CH}} ^ {p} (X)}

для кольца Чау X {\ displaystyle X}X, что по сути дает вычисление K 0 (C) {\ displaystyle K_ {0} (C)}{\ displaystyle K_ {0} (C)} . Обратите внимание: поскольку C {\ displaystyle C}C не имеет коразмерности 2 {\ displaystyle 2}2точек, единственными нетривиальными частями спектральной последовательности являются E 1 0, q, E 1 1, q {\ displaystyle E_ {1} ^ {0, q}, E_ {1} ^ {1, q}}{\ displaystyle E_ {1} ^ {0, q}, E_ {1} ^ {1, q}} , следовательно,

E ∞ 1, - 1 ≅ E 2 1, - 1 ≅ CH 1 (C) E ∞ 0, 0 ≅ E 2 0, 0 ≅ CH 0 (C) {\ displaystyle {\ begin {align} E _ {\ infty} ^ {1, -1} \ cong E_ {2} ^ {1, -1} \ cong {\ text {CH}} ^ {1} (C) \\ E _ {\ infty} ^ {0,0} \ cong E_ {2} ^ {0,0} \ cong {\ text {CH}} ^ {0} (C) \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}E_{\infty }^{1,-1}\cong E_{2}^{1,-1}\cong {\text{CH}}^{1}(C)\\E_{\infty }^{0,0}\cong E_{2}^{0,0}\cong {\text{CH}}^{0}(C)\end{aligned}}}

Затем можно использовать для определения K 0 (C) {\ displaystyle K_ {0} (C)}{\ displaystyle K_ {0} (C)} в качестве желаемой явной прямой суммы, поскольку она дает точную последовательность

0 → F 1 (K 0 (X)) → K 0 (X) → К 0 (Икс) / F 1 (К 0 (X)) → 0 {\ Displaystyle 0 \ к F ^ {1} (K_ {0} (X)) \ к K_ {0} (X) \ к K_ {0} (X) / F ^ {1} (K_ {0} (X)) \ to 0}{\ displaystyle 0 \ to F ^ {1} (K_ {0} (X)) \ to K_ { 0} (X) \ к K_ {0} (X) / F ^ {1} (K_ {0} (X)) \ to 0}

, где левый член изоморфен CH 1 (C) ≅ Pic (C) { \ displaystyle {\ text {CH}} ^ {1} (C) \ cong {\ text {Pic}} (C)}{\displaystyle {\text{CH}}^{1}(C)\cong {\text{Pic}}(C)}, а член справа изоморфен С ЧАС 0 (С) ≅ Z {\ displaystyle CH ^ {0} (C) \ cong \ mathbb {Z}}{\ displaystyle CH ^ {0} (C) \ cong \ mathbb {Z}} . Поскольку Ext Ab 1 (Z, G) = 0 {\ displaystyle {\ text {Ext}} _ {\ text {Ab}} ^ {1} (\ mathbb {Z}, G) = 0}{\displaystyle {\text{Ext}}_{\text{Ab}}^{1}(\mathbb {Z},G)=0}, у нас есть последовательность абелевых групп выше расщеплений, задающая изоморфизм. Обратите внимание: если C {\ displaystyle C}C является гладкой проективной кривой рода g {\ displaystyle g}gнад C {\ displaystyle \ mathbb {C}}\ mathbb {C} , затем

К 0 (C) ≅ Z ⊕ (C g / Z 2 g) {\ displaystyle K_ {0} (C) \ cong \ mathbb {Z} \ oplus (\ mathbb {C} ^ {g} / \ mathbb {Z} ^ {2g})}{\ displaystyle K_ { 0}(C)\cong \mathbb {Z} \oplus (\mathbb {C} ^{g}/\mathbb {Z} ^{2g})}

Более того, описанные выше методы с использованием производной категории особенностей для изолированных особенностей могут быть распространены на изолированные Коэна-Маколея. особенности, дающие методы вычисления группы Гротендика любой сингулярной алгебраической кривой. Это связано с тем, что редукция дает в общем гладкую кривую, а все особенности - Коэна-Маколея.

Приложения

Виртуальные пакеты

Одно из полезных приложений группы Grothendieck - определение виртуальных векторных пакетов. Например, если у нас есть вложение гладких пространств Y ↪ X {\ displaystyle Y \ hookrightarrow X}{\displaystyle Y\hookrightarrow X}, тогда существует короткая точная последовательность

0 → Ω Y → Ω X | Y → CY / X → 0 {\ displaystyle 0 \ to \ Omega _ {Y} \ to \ Omega _ {X} | _ {Y} \ to C_ {Y / X} \ to 0}{\displaystyle 0\to \Omega _{Y}\to \Omega _{X}|_{Y}\to C_{Y/X}\to 0}

где CY / X {\ displaystyle C_ {Y / X}}{\displaystyle C_{Y/X}}- конормальная связка Y {\ displaystyle Y}Y в X {\ displaystyle X}X. Если у нас есть сингулярное пространство Y {\ displaystyle Y}Y , встроенное в гладкое пространство X {\ displaystyle X}X, мы определяем виртуальный конормальный пучок как

[Ω X | Y] - [Ω Y] {\ displaystyle [\ Omega _ {X} | _ {Y}] - [\ Omega _ {Y}]}{\ displaystyle [\ Omega _ {X} | _ {Y}] - [\ Omega _ {Y}]}

Еще одно полезное применение виртуальных связок - определение виртуальной касательной пучок пересечения пространств: Пусть Y 1, Y 2 ⊂ X {\ displaystyle Y_ {1}, Y_ {2} \ subset X}{\ displaystyle Y_ {1}, Y_ {2} \ subset X} - проективные подмногообразия гладкого проективного многообразия. Затем мы можем определить виртуальный касательный пучок их пересечения Z = Y 1 ∩ Y 2 {\ displaystyle Z = Y_ {1} \ cap Y_ {2}}{\ displaystyle Z = Y_ { 1} \ cap Y_ {2}} как

[TZ ] vir = [TY 1] | Z + [T Y 2] | Z - [T X] | Z. {\ displaystyle [T_ {Z}] ^ {vir} = [T_ {Y_ {1}}] | _ {Z} + [T_ {Y_ {2}}] | _ {Z} - [T_ {X}] | _ {Z}.}{\displaystyle [T_{Z}]^{vir}=[T_{Y_{1}}]|_{Z}+[T_{Y_{2}}]|_{Z}-[T_{X}]|_{Z}.}

Концевич использует эту конструкцию в одной из своих статей.

Персонажи Черна

Классы Черна могут быть использованы для построения гомоморфизма колец из топологическая K-теория пространства до (пополнения) его рациональных когомологий. Для линейного расслоения L характер Черна ch определяется как

ch ⁡ (L) = exp ⁡ (c 1 (L)): = ∑ m = 0 ∞ c 1 (L) m m!. {\ displaystyle \ operatorname {ch} (L) = \ exp (c_ {1} (L)): = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {1} (L) ^ {m}} {m!}}.}\operatorname{ch}(L) = \exp(c_{1}(L)) := \sum_{m=0}^\infty \frac{c_1(L)^m}{m!}.

В более общем смысле, если V = L 1 ⊕ ⋯ ⊕ L n {\ displaystyle V = L_ {1} \ oplus \ dots \ oplus L_ {n}}{\ displaystyle V = L_ {1} \ oplus \ dots \ oplus L_ {n }} - прямая сумма линейных пучков с первыми классами Черна xi = c 1 (L i), {\ displaystyle x_ {i} = c_ {1} (L_ {i}),}x_i = c_1 (L_i), символ Черна определяется аддитивно

ch ⁡ (V) = ex 1 + ⋯ + exn: = ∑ m = 0 ∞ 1 m! (х 1 м + ⋯ + х н м). {\ displaystyle \ operatorname {ch} (V) = e ^ {x_ {1}} + \ dots + e ^ {x_ {n}}: = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {m!}} (X_ {1} ^ {m} + \ dots + x_ {n} ^ {m}).}{\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\dots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\dots +x_{n}^{m}).}

Символ Черна полезен отчасти потому, что он облегчает вычисление класс тензорного произведения. Характер Черна используется в теореме Хирцебруха – Римана – Роха.

Эквивариантная K-теория

Эквивариантная алгебраическая K-теория является алгебраической K-теорией., связанный с категорией Coh G ⁡ (X) {\ displaystyle \ operatorname {Coh} ^ {G} (X)}\ operatorname {Coh} ^ G (X) из эквивариантных когерентных пучков на алгебраическая схема X {\ displaystyle X}Xс действием линейной алгебраической группы G {\ displaystyle G}G через Quillen's Q-Construction ; таким образом, по определению

K i G (X) = π i (B + Coh G ⁡ (X)). {\ displaystyle K_ {i} ^ {G} (X) = \ pi _ {i} (B ^ {+} \ operatorname {Coh} ^ {G} (X)).}K_i ^ G (X) = \ pi_i (B ^ + \ operatorname {Coh} ^ G (X)).

В частности, K 0 G (C) {\ displaystyle K_ {0} ^ {G} (C)}K_0^G(C)- это группа Гротендика из Coh G ⁡ (X) {\ displaystyle \ operatorname {Coh} ^ {G} (X)}\ operatorname {Coh} ^ G (X) . Теория была разработана Р. В. Томасоном в 1980-х годах. В частности, он доказал эквивариантные аналоги фундаментальных теорем, таких как теорема локализации.

См. Также

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-25 07:10:55
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте