Ортогональное дополнение

редактировать

В полях Mathematical полей линейной алгебры и функционального анализа, ортогональное дополнение подпространства W векторного пространства V, снабженного билинейной формой B, является множеством W всех векторы в V, которые ортогональны каждому вектору в W. Неформально это называется perp, сокращенно от перпендикулярное дополнение . Это подпространство V.

Содержание

1 Пример
2 Общие билинейные формы
- 2.1 Свойства
3 Внутренние пространства продукта
- 3.1 Свойства
- 3.2 Конечные размеры
4 Банаховы пространства
5 Приложения
6 См. Также
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Пример

В случае, когда W является подпространством $V = R 5 {\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {5}}$ ${ \ Displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {5}}$ (с обычным скалярным произведением ), охватываемый строками следующей матрицы,

$(1 0 0 1 2 3 5 6 9 3) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ begin {array} {cc} 1 0 \\ 0 1 \\\ end {array}} {\ begin {array} {ccc} 2 3 5 \ \\ hline 6 9 3 \\\ hline \ end {array}} \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ begin {array} {cc} 1 0 \\ 0 1 \\\ end {array}} {\ begin {array} {ccc} 2 3 5 \\\ hline 6, 9 и 3 \\\ hline \ end {array}} \ end {pmatrix}}}$

его ортогональное дополнение W натянуто на три вектора-строки

$(- 2 - 6 - 3 - 9 - 5 - 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ begin {array} {c | c |} -2 -6 \\ - 3 -9 \\ - 5 -3 \\\ end {array}} {\ begin {array} {ccc} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \\\ end {array}} \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ begin {array} {c | c |} -2 -6 \\ - 3 -9 \\ - 5 -3 \\\ end {array}} {\ begin {array} {ccc} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \\\ end {array}} \ end {pmatrix}}}$ .

Тот факт, что каждый вектор на первый список ортогонален каждому вектору o n второй список можно проверить прямым вычислением. Тот факт, что промежутки этих векторов ортогональны, следует из билинейности скалярного произведения. Наконец, тот факт, что эти пространства являются ортогональными дополнениями, следует из соотношений размерностей, приведенных ниже.

Общие билинейные формы

Пусть $V {\ displaystyle V}$ $V$ будет векторным пространством над полем $F {\ displaystyle F}$ $F$ с билинейной формой $B {\ displaystyle B}$ $B$ . Мы определяем $u {\ displaystyle u}$ $u$ как левоортогональное по отношению к $v {\ displaystyle v}$ $v$ и $v {\ displaystyle v}$ $v$ быть ортогональным вправо к $u {\ displaystyle u}$ $u$ , когда $B (u, v) = 0 {\ displaystyle B (u, v) = 0 }$ $B (u, v) = 0$ . Для подмножества $W {\ displaystyle W}$ $W$ из $V {\ displaystyle V}$ $V$ мы определяем левое ортогональное дополнение $W ⊥ {\ displaystyle W ^ {\ bot}}$ $W ^ {\ bot}$ должно быть

W ⊥ = {x ∈ V: B (x, y) = 0 для всех y ∈ W}. {\ displaystyle W ^ {\ bot} = \ left \ {x \ in V: B (x, y) = 0 {\ t_dv {для всех}} y \ in W \ right \}.}

{\ displ aystyle W ^ {\ bot} = \ left \ {x \ in V: B (x, y) = 0 {\ t_dv {для всех}} y \ in W \ right \}.}

Есть соответствующее определение правого ортогонального дополнения. Для рефлексивной билинейной формы, где $B (u, v) = 0 {\ displaystyle B (u, v) = 0}$ $B (u, v) = 0$ подразумевает $B (v, u) = 0 {\ displaystyle B (v, u) = 0}$ $B (v, u) = 0$ для всех $u {\ displaystyle u}$ $u$ и $v {\ displaystyle v}$ $v$ в $V {\ displaystyle V}$ $V$ левое и правое дополнения совпадают. Это будет иметь место, если $B {\ displaystyle B}$ $B$ является симметричной или альтернативной формой.

Определение распространяется на билинейную форму на свободный модуль над коммутативным кольцом и до полуторалинейной формы, расширенный для включения любого свободного модуля над коммутативным кольцом с сопряжением.

Свойства

Ортогональное дополнение - это подпространство $V {\ displaystyle V}$ $V$ ;
Если $X ⊂ Y {\ displaystyle X \ subset Y}$ $X \ подмножество Y$ , то $X ⊥ ⊃ Y ⊥ {\ displaystyle X ^ {\ bot} \ supset Y ^ {\ bot}}$ $X ^ {\ bot} \ supset Y ^ {\ bot}$ ;
радикал $V ⊥ {\ displaystyle V ^ {\ bot}}$ $V ^ {\ bot}$ из $V {\ displaystyle V}$ $V$ - подпространство каждого ортогонального дополнения;
$W ⊂ (W ⊥) ⊥ {\ displaystyle W \ subset (W ^ {\ bot}) ^ { \ bot}}$ $W \ subset (W ^ {\ bot}) ^ {\ bot}$ ;
Если $B {\ displaystyle B}$ $B$ является невырожденным и $V {\ displaystyle V}$ $V$ равно конечномерным, тогда $тусклый ⁡ (W) + тусклый ⁡ (W ⊥) = тусклый ⁡ V {\ displaystyle \ dim (W) + \ dim (W ^ {\ bot}) = \ dim V}$ $\ dim (W) + \ dim (W ^ {\ bot}) = \ dim V$ .
Если $L 1, L 2,…, L r {\ displaystyle L_ {1}, L_ {2}, \ ldots, L_ {r}}$ ${\ displaystyle L_ {1}, L_ {2}, \ ldots, L_ {r}}$ - подпространства конечномерного пространства $V {\ displaystyle V }$ $V$ и $L ∗ = L 1 ∩ L 2 ∩… ∩ L r {\ displaystyle L _ {*} = L_ {1} \ cap L_ {2} \ cap \ ldots \ cap L_ { r}}$ ${\ displaystyle L_ { *} = L_ {1} \ cap L_ {2} \ cap \ ldots \ cap L_ {r}}$ , затем $L ∗ ⊥ = L 1 ⊥ + L 2 ⊥ +… + L r ⊥ {\ displaystyle L _ {*} ^ {\ bot} = L_ {1} ^ { \ bot} + L_ {2} ^ {\ bot} + \ ldots + L_ {r} ^ {\ bot}}$ ${\ displaystyle L _ {*} ^ {\ bot} = L_ {1} ^ {\ bot} + L_ {2} ^ {\ bot} + \ ldots + L_ {r} ^ {\ bot}}$ .

Внутренние пространства продукта

В этом разделе рассматриваются ортогональные дополнения в внутреннем продукте пробелы.

Свойства

Ортогональное дополнение всегда замкнуто в метрической топологии. В конечномерных пространствах это просто пример того факта, что все подпространства векторного пространства замкнуты. В бесконечномерных гильбертовых пространствах некоторые подпространства не замкнуты, но все ортогональные дополнения замкнуты. В таких пространствах ортогональное дополнение к ортогональному дополнению $W {\ displaystyle W}$ $W$ является закрытием $W {\ displaystyle W}$ $W$ , то есть

(W ⊥) ⊥ = W ¯ {\ displaystyle (W ^ {\ bot}) ^ {\ bot} = {\ overline {W}}}

(W ^ {\ bot}) ^ {\ bot} = \ overline W

Некоторые другие полезные свойства, которые всегда держать следующие. Пусть $H {\ displaystyle H}$ $H$ будет гильбертовым пространством и пусть $X {\ displaystyle X}$ $X$ и $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ - его линейные подпространства. Тогда:

$Икс ⊥ = Икс ¯ ⊥ {\ displaystyle X ^ {\ bot} = {\ overline {X}} ^ {\ bot}}$ $X ^ {\ bot } = \ overline X ^ {\ bot}$ ;
, если $Y ⊂ X {\ displaystyle Y \ subset X}$ $Y \ подмножество X$ , затем $X ⊥ ⊂ Y ⊥ {\ displaystyle X ^ {\ bot} \ subset Y ^ {\ bot}}$ $X ^ {\ bot} \ subset Y ^ {\ bot}$ ;
$X ∩ X ⊥ = {0} {\ displaystyle X \ cap X ^ {\ bot} = \ {0 \}}$ $X \ cap X ^ {\ bot} = \ {0 \}$ ;
$X ⊆ (X ⊥) ⊥ {\ displaystyle X \ substeq (X ^ {\ bot}) ^ {\ bot}}$ ${\ displaystyle X \ substeq (X ^ {\ bot}) ^ {\ bot}}$ ;
если $X {\ displaystyle X}$ $X$ - замкнутое линейное подпространство $H {\ displaystyle H}$ $H$ , затем $(X ⊥) ⊥ = X {\ displaystyle (X ^ {\ bot}) ^ {\ bot} = X}$ $(X ^ {\ bot}) ^ {\ bot} = X$ ;
, если $X {\ displaystyle X}$ $X$ является замкнутым линейным подпространством $H {\ displaystyle H }$ $H$ , затем $H = X ⊕ X ⊥ {\ displaystyle H = X \ oplus X ^ {\ bot}}$ $H = X \ oplus X ^ {\ bot}$ , (внутренняя) прямая сумма.

Ортогональное дополнение обобщается на аннигилятор и дает связь Галуа на подмножествах внутреннего пространства произведения с ассоциированным оператором замыкания топологическим замыканием пролет.

Конечные измерения

Для конечномерного внутреннего продукта пространства размерности n ортогональным дополнением k-мерного подпространства является (n - k) -мерное подпространство, а двойное ортогональное дополнение - это исходное подпространство:

(W) = W.

Если A - матрица размера m × n, где строка A, столбец A и нуль A относятся к пространству строк, пространство столбца и пустое пространство из A (соответственно), мы имеем

(строка A) = Null A

(Col A) = Null A.

Банаховы пространства

Существует естественный аналог этого понятия в общем случае Банаховы пространства. В этом случае ортогональное дополнение к W определяется как подпространство двойственного к V, определяемого аналогично аннулятор

W ⊥ = {x ∈ V ∗: ∀ y ∈ W, х (у) = 0}. {\ Displaystyle W ^ {\ bot} = \ left \ {\, x \ in V ^ {*}: \ forall y \ in W, x (y) = 0 \, \ right \}. \,}

W ^ \ bot = \ left \ {\, ​​x \ in V ^ *: \ forall y \ in W, x (y) = 0 \, \ right \}. \,

Это всегда замкнутое подпространство V. Существует также аналог свойства двойного дополнения. W теперь подпространство V (которое не идентично V). Однако рефлексивные пространства имеют естественный изоморфизм i между V и V. В этом случае мы имеем

i W ¯ = W ⊥ ⊥. {\ displaystyle i {\ overline {W}} = W ^ {\ bot \, \ bot}.}

i \ overline {W} = W ^ {\ bot \, \ bot}.

Это довольно прямое следствие теоремы Хана – Банаха.

Приложения

В специальной теории относительности ортогональное дополнение используется для определения одновременной гиперплоскости в точке мировой линии. Билинейная форма η, используемая в пространстве Минковского, определяет псевдоевклидово пространство событий. Начало координат и все события на световом конусе самоортогональны. Когда событие время и событие пробел оцениваются как ноль в билинейной форме, тогда они являются гиперболо-ортогональными. Эта терминология основана на использовании двух сопряженных гипербол в псевдоевклидовой плоскости: сопряженные диаметры этих гипербол являются гиперболо-ортогональными.

См. Также

Ссылки

Adkins, William A.; Вайнтрауб, Стивен Х. (1992), Алгебра: подход через теорию модулей, Тексты для выпускников по математике, 136, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97839-9, Zbl 0768.00003
Халмос, Пол Р. (1974), Конечномерные векторные пространства, Тексты для бакалавриата по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90093-3, Zbl 0288.15002
Милнор, Дж. ; Хусемоллер, Д. (1973), Симметричные билинейные формы, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Grenzgebiete, 73, Springer-Verlag, ISBN 3-540-06009-X, Zbl 0292.10016

Внешние ссылки

Обучающее видео с описанием ортогональных дополнений (Khan Academy)