Полулинейная форма

Скалярная функция двух переменных, линейная по одной переменной и сопряженно-линейная по другой

В математике, полуторалинейная форма является обобщением билинейной формы, которая, в свою очередь, является обобщением концепции скалярного произведения из Евклидова пространства. Билинейная форма является линейной в каждом из своих аргументов, но полуторалинейная форма позволяет «скручивать» один из аргументов полулинейным способом, отсюда и имя; который происходит от латинского числового префикса sesqui-, означающего «полтора». Основная концепция скалярного произведения - создание скаляра из пары векторов - может быть обобщена, допуская более широкий диапазон скалярных значений и, возможно, одновременно, расширяя определение вектора.

Мотивирующим частным случаем является полуторалинейная форма на комплексном векторном пространстве, V. Это отображение V × V → C, которое является линейным по одному аргументу и "искажает" линейность другого аргумента посредством комплексного сопряжения (упоминаемого как антилинейный в другом аргументе). Этот случай естественно возникает в приложениях математической физики. Другой важный случай позволяет скалярам происходить из любого поля , а поворот обеспечивается полевым автоморфизмом .

Приложение в проективной геометрии требует, чтобы скаляры происходили из делительное кольцо (тело), ​​K, и это означает, что «векторы» должны быть заменены элементами K-модуля. В очень общих условиях полуторалинейные формы могут быть определены над R-модулями для произвольных колец R.

• 1 Соглашение
• 2 Комплексные векторные пространства
  • 2.1 Матричное представление
  • 2.2 Эрмитова форма
  • 2.3 Косоэрмитова форма
• 3 Над телом
  • 3.1 Определение
  • 3.2 Ортогональность
  • 3.3 Рефлексивность
  • 3.4 Эрмитовы вариации
  • 3.5 Пример
• 4 В проективной геометрии
• 5 По произвольным кольцам
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки
• 9 Внешние ссылки

Соглашения относительно того, какой аргумент должен быть линейным, различаются. В коммутативном случае мы будем считать первый линейным, как это принято в математической литературе, за исключением раздела, посвященного полуторалинейным формам на комплексных векторных пространствах. Здесь мы используем другое соглашение и считаем первый аргумент сопряженно-линейным (т. Е. Антилинейным), а второй - линейным. Это соглашение, используемое в основном физиками, происходит от нотации Дирака бюстгальтера в квантовой механике.

. В более общем некоммутативном контексте с правильными модулями мы берем второй аргумент должен быть линейным, а с левыми модулями мы считаем первый аргумент линейным.

Предположение : в этом разделе полуторалинейные формы антилинейны (соответственно линейные ) в их первом (соответственно втором)

В комплексном векторном пространстве V отображение φ: V × V → C является полуторалинейным, если

$\phi \; (x\; +\; y,\; z\; +\; w)\; =\; \phi \; (Икс,\; Z)\; +\; \phi \; (Икс,\; W)\; +\; \phi \; (Y,\; Z)\; +\; \phi \; (Y,\; W)\; \phi \; (Ax,\; by)\; =\; a\; ¯\; b\; \phi \; (x,\; y)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\; \}\; \backslash \; varphi\; (x\; +\; y,\; z\; +\; w)\; =\; \backslash \; varphi\; (x,\; z)\; +\; \backslash \; varphi\; (x,\; w)\; +\; \backslash \; varphi\; (y,\; z)\; +\; \backslash \; varphi\; (y,\; w)\; \backslash \backslash \; \backslash \; varphi\; (ax,\; by)\; =\; \{\backslash \; overline\; \{a\}\}\; b\; \backslash ,\; \backslash \; varphi\; (x,\; y)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

для всех x, y, z, w в V и всех a, b в С . a - комплексное сопряжение с a.

Сложную полуторалинейную форму также можно рассматривать как сложное билинейное отображение

$V\; ¯\; \times \; V\; \to \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{V\}\}\; \backslash \; times\; V\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{C\; \}\}$

где V - комплексно-сопряженное векторное пространство с V. По универсальному свойству тензорных произведений они находятся во взаимно однозначном соответствии с комплексными линейными отображениями

$V\; ¯\; \otimes \; V\; \to \; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{V\}\}\; \backslash \; otimes\; V\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{C\}.\}$

Для фиксированного z в V отображение w ↦ φ (z, w) является линейным функционалом на V (т.е. элемент двойного пространства V). Точно так же отображение w ↦ φ (w, z) является сопряженно-линейным функционалом на V.

Для любой сложной полуторалинейной формы φ на V мы можем определить вторая комплексная полуторалинейная форма ψ через сопряженное транспонирование :

$\psi \; (w,\; z)\; =\; \phi \; (z,\; w)\; ¯.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (w,\; z)\; =\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; varphi\; (z,\; w)\}\}.\}$

В общем случае ψ и φ будут разными. Если они совпадают, то φ называется эрмитовым. Если они противоположны друг другу, то ф называется косоэрмитовым. Каждую полуторалинейную форму можно записать как сумму эрмитовой и косоэрмитовой форм.

Матричное представление

Если V является конечномерным комплексным векторным пространством, то относительно любого базиса {ei} V, полуторалинейная форма представлена ​​матрица Φ, w вектором-столбцом w, а z вектором столбцом z:

$\phi \; (w,\; z)\; =\; \phi \; (\sum \; iwiei,\; \sum \; jzjej)\; =\; \sum \; i\; \sum \; jwi\; ¯\; zj\; \phi \; (ei,\; ej)\; =\; w\; ¯\; T\; \Phi \; z.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (w,\; z)\; =\; \backslash \; varphi\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; w\_\; \{i\}\; e\_\; \{i\},\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; z\_\; \{j\}\; e\_\; \{j\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{i\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \{\backslash \; overline\; \{w\_\; \{i\}\}\}\; z\_\; \{j\}\; \backslash \; varphi\; (e\_\; \{i\},\; e\_\; \{j\})\; =\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathbf\; \{w\}\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; Phi\}\; \backslash \; mathbf\; \{z\}.\}$

Компоненты Φ задаются формулой Φ ij = φ (e i, e j).

Эрмитова форма

Термин Эрмитова форма может также относиться к другому понятию, нежели описанное ниже: он может относиться к определенной дифференциальной форме на Эрмитово многообразие.

Комплексная эрмитова форма (также называемая симметричной полуторалинейной формой ) - это полуторалинейная форма h: V × V → C такая что

$h\; (w,\; z)\; =\; h\; (z,\; w)\; ¯.\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (w,\; z)\; =\; \{\backslash \; overline\; \{h\; (z,\; w)\}\}.\}$

Дана стандартная эрмитова форма на C (опять же, используя "физическое" соглашение линейности по второй и сопряженной линейности по первой переменной) на

$⟨w,\; z⟩\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; nwi\; ¯\; zi.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; w,\; z\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; overline\; \{w\_\; \{i\}\}\}\; z\_\; \{i\}.\}$

В более общем смысле, внутренний произведение на любом комплексном гильбертовом пространстве является эрмитовой формой.

Знак минус вводится в эрмитовой форме $ww\; \ast \; -\; zz\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; ww\; ^\; \{*\}\; -\; zz\; ^\; \{*\}\}$для определения группы SU (1,1).

Векторное пространство с эрмитовой формой (V, h) называется эрмитовым пространством .

Матричное представление комплексной эрмитовой формы - это эрмитова матрица.

Сложная эрмитова форма, примененная к одному вектору

$|\; z\; |\; час\; =\; час\; (z,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; z\; |\; \_\; \{h\}\; =\; h\; (z,\; z)\}$

всегда вещественный. Можно показать, что комплексная полуторалинейная форма является эрмитовой тогда и только тогда, когда ассоциированная квадратичная форма вещественна для всех z ∈ V.

Косоэрмитова форма

Комплекс косоэрмитова форма (также называемая антисимметричной полуторалинейной формой ) - это сложная полуторалинейная форма s: V × V → C такая, что

$s\; (w,\; z)\; =\; -\; s\; (z,\; w)\; ¯.\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (w,\; z)\; =\; -\; \{\backslash \; overline\; \{s\; (z,\; w)\}\}.\}$

Каждая сложная косоэрмитова форма может быть записана как я раз эрмитову форму.

Матричное представление сложной косоэрмитовой формы - это косоэрмитова матрица.

Комплексная косоэрмитова форма, примененная к одному вектору

$|\; z\; |\; s\; =\; s\; (z,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; z\; |\; \_\; \{s\}\; =\; s\; (z,\; z)\}$

всегда чистый мнимый.

Это раздел применяется без изменений, когда тело K является коммутативным. Тогда также применима более конкретная терминология: тело - это поле, антиавтоморфизм также является автоморфизмом, а правый модуль - это векторное пространство. Следующее относится к левому модулю с подходящим переупорядочиванием выражений.

Определение

A σ-полуторалинейная форма над правым K-модулем M - это биаддитивное отображение φ: M × M → K с ассоциированным анти -автоморфизм σ тела K такой, что для всех x, y в M и всех α, β в K

$\phi \; (x\; \alpha ,\; y\; \beta )\; =\; \sigma \; (\alpha )\; \phi \; (x,\; y)\; \beta .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x\; \backslash \; alpha,\; y\; \backslash \; beta)\; =\; \backslash \; sigma\; (\backslash \; alpha)\; \backslash ,\; \backslash \; varphi\; (x,\; y)\; \backslash ,\; \backslash \; beta.\}$

Соответствующий антиавтоморфизм σ для любой ненулевой полуторалинейной формы φ однозначно определяется φ.

Ортогональность

Для заданной полуторалинейной формы φ над модулем M и подпространством (подмодулем ) W модуля M, ортогональное дополнение к W с относительно φ равен

$W\; \perp \; =\; \{v\; \in \; M\; \mid \; \phi \; (v,\; w)\; =\; 0,\; \forall \; w\; \in \; W\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; ^\; \{\backslash \; perp\}\; =\; \backslash \; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; in\; M\; \backslash \; mid\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; mathbf\; \{v\},\; \backslash \; mathbf\; \{w\})\; =\; 0,\; \backslash \; \backslash \; forall\; \backslash \; mathbf\; \{w\}\; \backslash \; in\; W\; \backslash \}.\}$

Аналогично, x ∈ M ортогонален к y ∈ M относительно φ, записывается x ⊥ φ y (или просто x ⊥ y, если φ может следует выводить из контекста), когда φ (x, y) = 0. Это отношение не обязательно должно быть симметричным, то есть x ⊥ y не подразумевает y ⊥ x (но см. § Рефлексивность ниже).

Рефлексивность

Полуторалинейная форма φ является рефлексивной, если для всех x, y в M

$\phi \; (x,\; y)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x,\; y)\; =\; 0\}$подразумевает $\phi \; (y,\; x)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (y,\; x)\; =\; 0.\}$

То есть полуторалинейный форма рефлексивна именно тогда, когда производное отношение ортогональности симметрично.

Эрмитовы вариации

σ-полуторалинейная форма φ называется (σ, ε) -эрмитовой, если существует ε в K такое, что для всех x, y в M,

$\phi \; (x,\; y)\; =\; \sigma \; (\phi \; (y,\; x))\; \epsilon .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; sigma\; (\backslash \; varphi\; (y,\; x))\; \backslash ,\; \backslash \; varepsilon.\}$

Если ε = 1, форма называется σ-эрмитовой, а если ε = −1, он называется σ-антиэрмитовым. (Когда подразумевается σ, соответственно, просто эрмитова или антиэрмитова.)

Для ненулевой (σ, ε) -эрмитовой формы следует, что для всех α в K

$\sigma \; (\epsilon )\; =\; \epsilon \; -\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; сигма\; (\backslash \; varepsilon)\; =\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{-\; 1\}\}$

$\sigma \; (\sigma \; (\alpha ))\; =\; \epsilon \; \alpha \; \epsilon \; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (\backslash \; sigma\; (\backslash \; alpha))\; =\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; alpha\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{-\; 1\}.\}$

Отсюда также следует, что φ (x, x) является фиксированной точкой отображения α ↦ σ (α) ε. Неподвижные точки этого отображения из подгруппы из аддитивной группы группы K.

A (σ, ε) -эрмитова форма рефлексивна, и каждая рефлексивная σ -сесквилинейная форма является (σ, ε) -эрмитовой для некоторого ε.

В частном случае, когда σ является тождественным отображением (т.е. σ = id), K коммутативно, φ является билинейной формой и ε = 1. Тогда при ε = 1 билинейная форма называется симметричной, а при ε = -1 - кососимметричной.

Пример

Пусть V - трехмерное векторное пространство над конечным полем F = GF (q), где q - степень простого числа. Относительно стандартного базиса мы можем записать x = (x 1, x 2, x 3) и y = (y 1, y 2, y 3) и определите отображение φ следующим образом:

$\phi \; (x,\; y)\; =\; x\; 1\; y\; 1\; q\; +\; x\; 2\; y\; 2\; q\; +\; x\; 3\; л\; 3\; кв.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x,\; y)\; =\; x\_\; \{1\}\; y\_\; \{1\}\; \{\}\; ^\; \{q\}\; +\; x\_\; \{2\}\; y\_\; \{2\}\; \{\}\; ^\; \{q\}\; +\; x\_\; \{3\}\; y\_\; \{3\}\; \{\; \}\; ^\; \{q\}.\}$

Отображение σ: t ↦ t является инволютивным автоморфизмом F. Тогда отображение φ является σ-полуторалинейной формой. Матрица M φ, связанная с этой формой, является единичной матрицей. Это эрмитовская форма.

Предположение : в этом разделе полуторалинейные формы антилинейны (соответственно линейные ) во втором (соответственно первом) аргумент.

В проективной геометрии G, перестановка δ подпространств, которая инвертирует включение, то есть

S ⊆ T ⇒ T ⊆ S для всех подпространств S, T для G

называется корреляцией. Результат Биркгофа и фон Неймана (1936) показывает, что корреляции дезарговых проективных геометрий соответствуют невырожденным полуторалинейным формам на нижележащем векторном пространстве. Полуторалинейная форма φ невырождена, если φ (x, y) = 0 для всех y в V (если и), только если x = 0.

Для достижения полной общности этого утверждения и поскольку каждая дезаргова проективная геометрия могут быть скоординированы с помощью тела, Рейнхольд Бэр расширил определение полуторалинейной формы до тела, которое требует замены векторных пространств на R-модули. (В геометрической литературе они по-прежнему называются левыми или правыми векторными пространствами над телами.)

Специализация вышеприведенного раздела на телеполях была следствием применения проективной геометрии, а не присущей природе полуторалинейных форм. Только незначительные модификации, необходимые для учета некоммутативности умножения, необходимы для обобщения произвольной полевой версии определения на произвольные кольца.

Пусть R будет кольцом, V - R- модулем и σ - антиавтоморфизмом R.

карта φ: V × V → R является σ-полуторалинейным, если

$\phi \; (x\; +\; y,\; z\; +\; w)\; =\; \phi \; (x,\; z)\; +\; \phi \; (x,\; w)\; +\; \phi \; (y,\; z)\; +\; \phi \; (Y,\; вес)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x\; +\; y,\; z\; +\; w)\; =\; \backslash \; varphi\; (x,\; z)\; +\; \backslash \; varphi\; (x,\; w)\; +\; \backslash \; varphi\; (y,\; z)\; +\; \backslash \; varphi\; (Y,\; w)\}$

$\phi \; (cx,\; dy)\; знак\; равно\; с\; \phi \; (x,\; y)\; \sigma \; (d)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (cx,\; dy)\; =\; c\; \backslash ,\; \backslash \; varphi\; (x,\; y)\; \backslash ,\; \backslash \; sigma\; (d)\}$

для всех x, y, z, w в V и всех c, d в R.

Элемент x ортогонален другому элементу y с относительно полуторалинейной формы φ (пишется x ⊥ y), если φ (x, y) = 0. Это соотношение не обязательно должно быть симметричным, т.е. x ⊥ y не влечет y ⊥ x.

Полуторалинейная форма φ: V × V → R является рефлексивной (или ортосимметричной), если φ (x, y) = 0 влечет φ (y, x) = 0 для всех x, y в V.

Полуторалинейная форма φ: V × V → R является эрмитовой, если существует σ такое, что

$\phi \; (x,\; y)\; =\; \sigma \; (\phi \; (y,\; x))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; sigma\; (\backslash \; varphi\; (y,\; x))\}$

для всех x, y в V. Эрмитова форма обязательно рефлексивна, и если она не равна нулю, ассоциированный антиавтоморфизм σ является инволюцией (т.е. порядка 2).

Поскольку для антиавтоморфизма σ мы имеем σ (st) = σ (t) σ (s) для всех s, t в R, если σ = id, то R должно быть коммутативным, а φ - билинейной формой. В частности, если в этом случае R - тело, то R - поле, а V - векторное пространство с билинейной формой.

Антиавтоморфизм σ: R → R также можно рассматривать как изоморфизм R → R, где R - противоположное кольцо кольца R, имеющее ту же основу множество и то же сложение, но операция умножения (∗) которого определяется как a ∗ b = ba, где произведение справа - это произведение в R. Отсюда следует, что правый (левый) R-модуль V может быть превращается в левый (правый) R-модуль, V. Таким образом, полуторалинейная форма φ: V × V → R может рассматриваться как билинейная форма φ ′: V × V → R.

• * - кольцо

• Дембовски, Питер (1968), Конечная геометрия, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Grenzgebiete, Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275
• Gruenberg, KW; Weir, A.J. (1977), Линейная геометрия (2-е изд.), Springer, ISBN 0-387-90227-9
• Джейкобсон, Натан Дж. (2009) [1985], Базовая алгебра I ( 2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47189-1

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]