Билинейная форма

Скалярная функция двух переменных, которая становится линейной картой при фиксированной одной координате

В математика, билинейная форма в векторном пространстве V - это билинейное отображение V × V → K, где K - поле из скаляров. Другими словами, билинейная форма - это функция B: V × V → K, которая является линейной в каждом аргументе отдельно:

• B(u+ v, w) = B (u, w) + B (v, w) и B (λ u, v) = λB (u, v)
• B(u, v+ w) = B (u, v) + B (u, w) и B (u, λ v ) = λB (u, v)

Определение билинейной формы можно расширить, включив в него модулей над кольцом, с заменой линейных отображений на гомоморфизмы модулей.

Когда K - поле комплексных чисел C, часто больше интересуют полуторалинейные формы, которые похожи на билинейные формы, но являются сопряженными линейными с одним аргументом..

Содержание

• 1 Координатное представление
• 2 Отображение в двойное пространство
• 3 Симметричные, кососимметричные и переменные формы
• 4 Производная квадратичная форма
• 5 Рефлексивность и ортогональность
• 6 Различные пространства
• 7 Связь с тензорными произведениями
• 8 На нормированных векторных пространствах
• 9 Обобщение на модули
• 10 См. Также
• 11 Цитаты
• 12 Ссылки
• 13 Внешние ссылки

Координата r представление

Пусть V ≅ K - n-мерное векторное пространство с базой {e1,..., en}.

Матрица A размера n × n, определенная посредством A ij = B (ei, ej), называется матрицей билинейной формы на основе {e1,..., en}.

Если матрица x размером n × 1 представляет вектор v относительно этого базиса, и аналогично, y представляет другой вектор w, тогда:

$B\; (v,\; w)\; =\; x\; TA\; y\; =\; \sum \; i,\; j\; =\; 1\; nxiaijyj.\; \{\backslash \; Displaystyle\; B\; (\backslash \; mathbf\; \{v\},\; \backslash \; mathbf\; \{w\})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; A\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j\; =\; 1\}\; ^\; \{\; n\}\; x\_\; \{i\}\; a\_\; \{ij\}\; y\_\; \{j\}.\}$

Билинейная форма имеет разные матрицы на разных основаниях. Однако все матрицы билинейной матрицы на разных основаниях конгруэнтны. Точнее, если {f1,..., fn} является другим основанием V, то

$fj\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; S\; i,\; jei,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; \_\; \{j\; \}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; S\_\; \{i,\; j\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\},\}$

где $S\; i,\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{i,\; j\}\}$образуют обратимую матрицу S. Тогда матрица билинейной формы на новом базисе - это SAS.

Отображение в двойственное пространство

Каждая билинейная форма B на V определяет пару линейных отображений из V в его двойное пространство V. Определите B 1, B 2 : V → V как

B1(v)(w) = B (v, w)

B2(v)(w) = B (w, v)

Это часто обозначается как

B1(v) = B (v, ⋅)

B2(v) = B (⋅, v)

, где точка (⋅) указывает слот, в который аргумент для результирующего линейного функционала должен (см. Currying ).

Для конечномерного векторного пространства V, если любой из B 1 или B 2 является изоморфизм, то оба являются, и билинейная форма B называется невырожденной. Более конкретно, для конечномерного векторного пространства невырожденность означает, что каждый ненулевой элемент сопрягается нетривиально с некоторым другой элемент:

$B\; (x,\; y)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (x,\; y)\; =\; 0\; \backslash ,\}$для всех $y\; \in \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; in\; V\}$означает, что x = 0 и

$B\; (x,\; y)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (x,\; y)\; =\; 0\; \backslash ,\}$для всех $x\; \in \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; V\}$подразумевает, что y = 0.

Соответствующее понятие для модуля над коммутативным кольцом состоит в том, что билинейная форма унимодулярна, если V → V - изоморфизм. Для конечно порожденного модуля над коммутативным кольцом спаривание может быть инъективным (следовательно, «невырожденным» в указанном выше смысле), но не унимодулярным. Например, по целым числам пара B (x, y) = 2xy невырожденная, но не унимодулярная, поскольку индуцированное отображение из V = Z в V = Z является умножением на 2.

Если V конечномерно, то можно отождествить V с его двойным двойным V. Затем можно показать, что B 2 - это транспонирование линейного map B 1 (если V является бесконечномерным, то B 2 является транспонированным B 1, ограниченным изображением V в V). Для данного B можно определить транспонирование B как билинейную форму, заданную формулой

B(v, w) = B (w, v).

Левый радикал и правый радикал формы B являются ядра из B 1 и B 2 соответственно; они представляют собой векторы, ортогональные всему пространству слева и справа.

Если V конечномерно, то ранг B 1 равен рангу B 2. Если это число равно dim (V), то B 1 и B 2 являются линейными изоморфизмами из V в V. В этом случае B невырожден. По теореме ранг – недействительность, это эквивалентно условие, что левый и эквивалентный правый радикалы тривиальны. Для конечномерных пространств это часто используется как определение невырожденности:

Определение: B является невырожденным, если B (v, w) = 0 для всех w влечет v= 0.

Для любого линейного отображения A: V → V можно получить билинейную форму B на V с помощью

B(v, w) = A (v)(w).

Эта форма будет невырожденной если и только если A - изоморфизм.

Если V является конечномерным, то относительно некоторого базиса для V билинейная форма является вырожденной тогда и только тогда, когда детерминант связанной матрицы равна нулю. Точно так же невырожденная форма - это форма, для которой определитель связанной матрицы отличен от нуля (матрица невырожденная ). Эти утверждения не зависят от выбранной основы. Для модуля над коммутативным кольцом унимодулярная форма - это форма, для которой определитель ассоциированной матрицы является единицей (например, 1), отсюда и термин; обратите внимание, что форма, матрица которой не равна нулю, но не является единицей, будет невырожденной, но не унимодулярной, например B (x, y) = 2xy по целым числам.

Симметричные, кососимметричные и переменные формы

Мы определяем билинейную форму как

• симметричную, если B (v, w) = B (w, v) для всех v, wв V;
• чередование, если B (v, v) = 0 для всех v в V;
• кососимметричный, если B (v, w) = -B (w, v) для всех v, wв V;

  Утверждение: Каждая чередующаяся форма кососимметрична.

  Доказательство: Это можно увидеть, расширив B (v+ w, v+ w).

Если характеристика для K не равна 2, то верно и обратное: каждая кососимметричная форма является альтернированной. Если, однако, char (K) = 2, то кососимметричная форма совпадает с симметричной формой, и существуют симметричные / кососимметричные формы, которые не меняются.

Билинейная форма является симметричной (соотв. Кососимметричной) тогда и только тогда, когда ее координатная матрица (относительно любого базиса) симметрична (соотв. кососимметричная ). Билинейная форма является альтернированной тогда и только тогда, когда ее координатная матрица кососимметрична и все диагональные элементы равны нулю (что следует из кососимметрии, когда char (K) ≠ 2). 182>

Билинейная форма симметрична тогда и только тогда, когда отображения B 1, B 2 : V → V равны, и кососимметричны тогда и только тогда, когда они отрицательны друг к другу. Если char (K) ≠ 2, то можно разложить билинейную форму на симметрию ic и кососимметричная часть следующим образом:

$B\; +\; =\; 1\; 2\; (B\; +\; t\; B)\; B\; -\; =\; 1\; 2\; (B\; -\; t\; B),\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; ^\; \{+\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (B\; +\; \{\}\; ^\; \{\backslash \; text\; \{t\}\}\; B)\; \backslash \; qquad\; B\; ^\; \{-\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (B\; -\; \{\}\; ^\; \{\backslash \; text\; \{t\}\}\; B),\}$

где B - транспонирование B (определено выше).

Производная квадратичная форма

Для любой билинейной формы B: V × V → K существует ассоциированная квадратичная форма Q: V → K, определяемая Q: V → К: v ↦ B (v, v).

Когда char (K) 2, квадратичная форма Q определяется симметричной частью билинейной формы B и не зависит от антисимметричной части. В этом случае существует взаимно однозначное соответствие между симметричной частью билинейной формы и квадратичной формой, и имеет смысл говорить о симметричной билинейной форме, связанной с квадратичной формой.

Когда char (K) = 2 и dim V>1, это соответствие между квадратичными формами и симметричными билинейными формами нарушается.

Рефлексивность и ортогональность

Определение: Билинейная форма B: V × V → K называется рефлексивной, если B (v, w) = 0 влечет B (w, v) = 0 для всех v, wв V.

Определение: Пусть B: V × V → K - рефлексивная билинейная форма. v, wв V являются ортогональными по отношению к B, если B (v, w) = 0.

Билинейная форма B рефлексивна тогда и только тогда, когда она симметрична или знакопеременна. При отсутствии рефлексивности мы должны различать левую и правую ортогональность. В рефлексивном пространстве левый и правый радикалы совпадают и называются ядром или радикалом билинейной формы: подпространство всех векторов, ортогональных любому другому вектору. Вектор v с матричным представлением x находится в радикале билинейной формы с матричным представлением A тогда и только тогда, когда Ax = 0 ⇔ xA = 0. Радикал всегда является подпространством V. тривиален тогда и только тогда, когда матрица A невырождена, и, следовательно, тогда и только тогда, когда билинейная форма невырождена.

Предположим, W - подпространство. Определим ортогональное дополнение

$W\; \perp \; =\; \{v\; \mid \; B\; (v,\; w)\; =\; 0\; \forall \; w\; \in \; W\}.\; \{\backslash \; Displaystyle\; W\; ^\; \{\backslash \; perp\}\; =\; \backslash \; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; mid\; B\; (\backslash \; mathbf\; \{v\},\; \backslash \; mathbf\; \{w\})\; =\; 0\; \backslash \; \backslash \; forall\; \backslash \; mathbf\; \{w\}\; \backslash \; in\; W\; \backslash \}\; \backslash .\; \}$

Для невырожденной формы на конечномерном пространстве отображение V / W → W биективно, а размерность W равна dim (V) - dim (W).

Различные пространства

Большая часть теории доступна для билинейного отображения из двух векторных пространств над одним и тем же базовым полем в это поле

B: V × W → K.

Здесь мы все еще индуцировали линейные отображения из V в W и из W в V. Может случиться так, что эти отображения являются изоморфизмами; предполагая конечные размеры, если один изоморфизм, другой должен быть. Когда это происходит, B называется идеальной парой .

. В конечных измерениях это эквивалентно невырожденному спариванию (пространства обязательно имеют одинаковые размеры). Для модулей (вместо векторных пространств), точно так же, как невырожденная форма слабее, чем унимодулярная форма, невырожденное спаривание является более слабым понятием, чем идеальное спаривание. Спаривание может быть невырожденным, но не идеальным, например, Z× Z→ Zvia (x, y) ↦ 2xy невырождено, но индуцирует умножение на 2 на карте. Z→ Z.

Терминология зависит от охвата билинейных форм. Например, Ф. Риз Харви обсуждает «восемь типов внутреннего продукта». Для их определения он использует диагональные матрицы A ij, имеющие только +1 или -1 для ненулевых элементов. Некоторые из «внутренних продуктов» являются симплектическими формами, а некоторые - полуторалинейными формами или эрмитовыми формами. Вместо общего поля K прописываются экземпляры с действительными числами R, комплексными числами C и кватернионами H. Билинейная форма

$\sum \; k\; =\; 1\; pxkyk\; -\; \sum \; k\; =\; p\; +\; 1\; nxkyk\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{p\}\; x\_\; \{k\}\; y\_\; \{k\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; p\; +1\}\; ^\; \{n\}\; x\_\; \{k\}\; y\_\; \{k\}\}$

называется действительным симметричным случаем и обозначается R (p, q), где p + q = п. Затем он формулирует связь с традиционной терминологией:

Некоторые из реальных симметричных случаев очень важны. Положительно определенный случай R (n, 0) называется евклидовым пространством, а случай единственного минуса R (n − 1, 1) называется лоренцевым пространством. Если n = 4, то лоренцево пространство также называется пространством Минковского или пространством-временем Минковского. Особый случай R (p, p) будет называться разделенным случаем.

Отношение к тензорным произведениям

По универсальному свойству тензорное произведение, существует каноническое соответствие между билинейными формами на V и линейными отображениями V ⊗ V → K. Если B - билинейная форма на V, соответствующее линейное отображение задается формулой

v⊗ w↦ B (v, w)

В обратном направлении, если F: V ⊗ V → K является линейным отображением, соответствующая билинейная форма задается компоновкой F с билинейным отображением V × V → V ⊗ V, которое отправляет (v, w) в v⊗w.

Множество всех линейных отображений V ⊗ V → K является двойным пространством к V ⊗ V, поэтому билинейные формы можно рассматривать как элементы (V ⊗ V), которые (когда V конечномерно) канонически изоморфна V ⊗ V.

Аналогично, симметричные билинейные формы можно рассматривать как элементы Sym (V) (вторая симметричная степень V), а чередующиеся билинейные формы - как элементы ΛV (вторая внешняя мощность of V).

На нормированных векторных пространствах

Def начало: Билинейная форма на нормированном векторном пространстве (V, ‖ · ‖) является ограниченной, если существует константа C такая, что для всех u, v∈ V,

$B\; (u,\; v)\; \le \; C\; \Vert \; u\; \Vert \; \Vert \; v\; \Vert .\; \{\backslash \; Displaystyle\; B\; (\backslash \; mathbf\; \{u\},\; \backslash \; mathbf\; \{v\})\; \backslash \; leq\; C\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |.\}$

Определение: Билинейная форма на нормированном векторном пространстве (V, · ‖) является эллиптической или коэрцитивной, если существует константа c>0 такая, что для все u ∈ V,

$B\; (u,\; u)\; \ge \; c\; \Vert \; u\; \Vert \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (\backslash \; mathbf\; \{u\},\; \backslash \; mathbf\; \{u\})\; \backslash \; geq\; c\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}.\}$

Обобщение на модули

Для кольца R и правого R-модуля M и его дуального модуля M отображение B: M × M → R называется билинейная форма, если

B (u + v, x) = B (u, x) + B (v, x)

B (u, x + y) = B (u, x) + B (u, y)

B (αu, xβ) = αB (u, x) β

для всех u, v ∈ M, всех x, y ∈ M и всех α, β ∈ R.

Отображение ⟨⋅, ⋅⟩: M × M → R: (u, x) ↦ u (x) известно как естественное спаривание, также называемое каноническая билинейная форма на M × M.

Линейное отображение S: M → M: u ↦ S (u) индуцирует билинейную форму B: M × M → R: (u, x) ↦ ⟨S (u), x⟩, и линейное отображение T: M → M: x ↦ T (x) индуцирует билинейную форму B: M × M → R: (u, x) ↦ ⟨u, T (x))⟩.

И наоборот, билинейная форма B: M × M → R индуцирует R-линейные отображения S: M → M: u ↦ (x ↦ B (u, x)) и T ′: M → M: х ↦ (u ↦ B (u, x)). Здесь M обозначает двойной двойственный M.

См. Также

• Билинейная карта
• Билинейный оператор
• Внутреннее пространство продукта
• Линейная форма
• Многолинейная форма
• Квадратичная форма
• Полулинейная форма
• Полярное пространство

Цитаты

Ссылки

• Adkins, William A.; Вайнтрауб, Стивен Х. (1992), Алгебра: подход через теорию модулей, Тексты для выпускников по математике, 136, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97839-9, Zbl 0768.00003
• Бурбаки, Н. (1970), Алгебра, Спрингер
• Куперштейн, Брюс (2010), «Глава 8: Билинейные формы и карты», Advanced Linear Algebra, CRC Press, стр. 249–88, ISBN 978-1-4398- 2966-0
• Grove, Larry C. (1997), Группы и персонажи, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-16340-4
• Halmos, Paul R. (1974), Конечномерные векторные пространства, Тексты для студентов по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978 -0-387-90093-3, Zbl 0288.15002
• Харви, Ф. Риз (1990), «Глава 2: Восемь типов пространств внутреннего продукта», Спиноры и калибровки, Academic Press, pp. 19–40, ISBN 0-12-329650-1
• Попов В.Л. (1987), «Билинейная форма. ", в Hazewinkel, M. ( ред.), Энциклопедия математики, 1, Академическое издательство Kluwer, стр. 390–392. Также: Билинейная форма, стр. 390, в Google Книги
• Джейкобсон, Натан (2009), Основы алгебры, I (2-е изд.), ISBN 978-0-486- 47189-1
• Milnor, J. ; Хусемоллер, Д. (1973), Симметричные билинейные формы, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Grenzgebiete, 73, Springer-Verlag, ISBN 3-540-06009-X, Zbl 0292.10016
• Портеус, Ян Р. (1995), Алгебры Клиффорда и классические группы, Кембриджские исследования в области высшей математики, 50, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55177-9
• Шафаревич, ИК ; А.О. Ремизов (2012), Линейная алгебра и геометрия, Springer, ISBN 978-3-642-30993-9
• Шилов, Георгий Е. (1977), Сильверман, Ричард А. (редактор), Линейная алгебра, Дувр, ISBN 0-486-63518-X
• Желобенко, Дмитрий Петрович (2006), руководитель Структуры и методы теории представлений, Переводы математических монографий, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3731-1

Внешние ссылки

Wikimedia Commons имеет СМИ, относящиеся к Билинейным формам.

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• «Билинейная форма». PlanetMath.

Эта статья включает материал из Unimodular на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.