Воображаемое число

редактировать

Комплексное число, определяемое действительным числом, умноженным на мнимую единицу «i»

... (повторяет шаблон. из синей области)

i = i

i = −1

i = −i

i = 1

i = i

i = −1

i = −i

i = 1

i = i

i = −1

i = i, где m ≡ n mod 4

мнимое число является комплексным числом который может быть записан как действительное число, умноженное на мнимую единицу i, которая определяется его свойством i = -1. Квадрат мнимого числа bi равен −b. Например, 5i - мнимое число, а его квадрат равен −25. По определению, ноль считается как действительным, так и мнимым. Набор мнимых чисел иногда обозначается с помощью жирного шрифта на доске буквы $I {\ displaystyle \ mathbb {I}}$ $\ mathbb {I}$ .

Первоначально придумал в 17 веке Рене Декарт как уничижительный термин и рассматриваемый как вымышленный или бесполезный, концепция получила широкое признание после работ Леонарда Эйлера (в 18 веке) и Огюстена-Луи Коши и Карла Фридрих Гаусс (в начале 19 века).

Мнимое число bi может быть добавлено к действительному числу a, чтобы образовать комплексное число формы a + bi, где действительные числа a и b называются соответственно действительной и мнимой частью комплексное число.

Содержание

1 История
2 Геометрическая интерпретация
3 Квадратные корни из отрицательных чисел
4 См. также
5 Примечания
6 Ссылки
7 Библиография
8 Внешние ссылки

История

Иллюстрация комплексной плоскости. Мнимые числа нанесены на вертикальную координатную ось.

Хотя греческий математик и инженер герой Александрии отмечен как первый, кто придумал эти числа, Рафаэль Бомбелли первым составил правила умножения комплексных чисел в 1572 году. Эта концепция появилась в печати раньше, например, в работе Джероламо Кардано. В то время мнимые числа (а также отрицательные числа) были плохо поняты и рассматривались некоторыми как вымышленные или бесполезные, как раньше. Многие другие математики не спешили использовать мнимые числа, в том числе Рене Декарт, который писал о них в своей La Géométrie, где термин «мнимые» использовался как уничижительный. Использование мнимых чисел не было широко распространено до работ Леонарда Эйлера (1707–1783) и Карла Фридриха Гаусса (1777–1855). Геометрическое значение комплексных чисел как точек на плоскости было впервые описано Каспаром Весселем (1745–1818).

В 1843 году Уильям Роуэн Гамильтон расширил эту идею оси мнимых чисел на плоскости в четырехмерное пространство кватернионных мнимых, в котором три измерения аналогичны мнимым числам в комплексном поле.

С развитием колец частных или колец многочленов концепция мнимого числа стала более существенной, но затем можно найти и другие мнимые числа, такие как j of tessarines, квадрат которого равен +1. Эта идея впервые возникла в статьях Джеймса Кокла начиная с 1848 года.

Геометрическая интерпретация

Поворот на 90 градусов в комплексной плоскости

Геометрически мнимые числа встречаются на вертикальная ось плоскости комплексных чисел, позволяющая представить их перпендикулярно действительной оси. Один из способов просмотра мнимых чисел - рассмотреть стандартную числовую строку , положительно увеличивающуюся по величине справа и отрицательно возрастающую по величине слева. В 0 на этой оси x можно нарисовать ось y с «положительным» направлением вверх; «положительные» мнимые числа затем увеличиваются по величине вверх, а «отрицательные» мнимые числа увеличиваются по величине вниз. Эта вертикальная ось часто называется «мнимой осью» и обозначается iℝ, $I {\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {I}}$ $\ scriptstyle \ mathbb {I}$ или ℑ.

В этом представлении умножение на –1 соответствует повороту на 180 градусов относительно начала координат. Умножение на i соответствует повороту на 90 градусов в «положительном» направлении против часовой стрелки, а уравнение i = -1 интерпретируется как говорящее о том, что если мы применим два поворота на 90 градусов относительно начала координат, конечный результат будет одним 180 -градус вращения. Обратите внимание, что поворот на 90 градусов в «отрицательном» направлении (то есть по часовой стрелке) также удовлетворяет этой интерпретации. Это отражает тот факт, что −i также решает уравнение x = −1. В общем, умножение на комплексное число аналогично вращению вокруг начала координат на аргумент комплексного числа с последующим масштабированием по его величине.

Квадратные корни из отрицательных чисел

Следует проявлять осторожность при работе с мнимыми числами, которые выражаются как основные значения из квадратных корней из отрицательных чисел. Например:

6 = 36 = (- 4) (- 9) ≠ - 4 - 9 = (2 i) (3 i) = 6 i 2 = - 6. {\ displaystyle 6 = {\ sqrt {36 }} = {\ sqrt {(-4) (- 9)}} \ neq {\ sqrt {-4}} {\ sqrt {-9}} = (2i) (3i) = 6i ^ {2} = - 6.}

{\ displaystyle 6 = {\ sqrt {36}} = {\ sqrt {(-4) (- 9) }} \ neq {\ sqrt {-4}} {\ sqrt {-9}} = (2i) (3i) = 6i ^ {2} = - 6.}

Иногда это записывается как:

- 1 = i 2 = - 1 - 1 = (ошибка) (- 1) (- 1) = 1 = 1. {\ displaystyle -1 = i ^ {2} = {\ sqrt {-1}} {\ sqrt {-1}} {\ stackrel {\ text {(error)}} {=}} {\ sqrt {(-1) (- 1)}} = {\ sqrt {1}} = 1.}

{\ displaystyle -1 = i ^ {2} = {\ sqrt {-1}} {\ sqrt {-1}} {\ stackrel {\ text {(error)}} {=}} {\ sqrt {(-1) (- 1) }} = {\ sqrt {1}} = 1.}

Ошибка возникает как равенство $xy = xy {\ displaystyle {\ sqrt {xy}} = {\ sqrt {x} } {\ sqrt {y}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {xy}} = {\ sqrt {x}} {\ sqrt {y }}}$ завершается ошибкой, если переменные не ограничены подходящим образом. В этом случае равенство не выполняется, поскольку оба числа отрицательны. Это можно продемонстрировать следующим образом:

- x - y = ixiy = i 2 xy = - xy ≠ xy, {\ displaystyle {\ sqrt {-x}} {\ sqrt {-y}} = i {\ sqrt { x}} \ i {\ sqrt {y}} = i ^ {2} {\ sqrt {x}} {\ sqrt {y}} = - {\ sqrt {xy}} \ neq {\ sqrt {xy}},}

{\ displaystyle {\ sqrt {-x}} {\ sqrt {-y}} = i {\ sqrt {x}} \ i {\ sqrt {y}} = i ^ {2} {\ sqrt {x}} {\ sqrt {y} } = - {\ sqrt {xy}} \ neq {\ sqrt {xy}},}

где и x, и y - неотрицательные действительные числа.

См. Также

Найдите мнимое число в Викисловаре, бесплатном словаре.

Примечания

Ссылки

Библиография

Нахин, Пол (1998). Воображаемая сказка: история квадратного корня −1. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02795-1., объясняет многие применения мнимых выражений.

Внешние ссылки

Как можно показать, что мнимые числа действительно существуют? - статья, в которой обсуждается существование мнимых чисел.
Программа 5Numbers 4 Программа BBC Radio 4
Зачем нужны мнимые числа? Основное объяснение и использование мнимых чисел