Точечное произведение

редактировать
Алгебраическая операция, возвращающая одно число из двух последовательностей одинаковой длины

В математике, скалярное произведение или скалярное произведение - это алгебраическая операция, которая принимает две последовательности чисел одинаковой длины (обычно координатных векторов ), и возвращает одно число. В евклидовой геометрии широко используется скалярное произведение декартовых координат двух векторов. Его часто называют «внутренним продуктом (или реже продуктом проекции ) евклидова пространства, хотя это не единственный внутренний продукт, который может быть определен в евклидовом пространстве (см. Внутреннее пространство продукта для подробностей).

Алгебраически скалярное произведение представляет собой сумму произведений соответствующих записей двух последовательностей чисел. Геометрически это произведение евклидовых величин двух векторов и косинуса угла между ними. Эти определения эквивалентны при использовании декартовых координат. В современной геометрии, евклидовы пространства часто определяются с помощью векторных пространств. В этом случае скалярное произведение используется для определения длин (длина вектора - это квадратный корень из скалярного произведения вектора сам по себе) и углов (косинус угла двух векторов равен частное их скалярного произведения на произведение их длин).

Название «скалярное произведение» происходит от центрированной точки «⋅ {\ displaystyle \ cdot}\ cdot », которая часто используется для обозначения этого операция; альтернативное название «скалярное произведение» подчеркивает, что результатом является скаляр, а не вектор, как в случае векторного произведения в трехмерном Космос.

Содержание

  • 1 Определение
    • 1.1 Алгебраическое определение
    • 1.2 Геометрическое определение
    • 1.3 Скалярная проекция и первые свойства
    • 1.4 Эквивалентность определений
  • 2 Свойства
    • 2.1 Применение к закон косинусов
  • 3 Тройное произведение
  • 4 Физика
  • 5 Обобщения
    • 5.1 Комплексные векторы
    • 5.2 Внутреннее произведение
    • 5.3 Функции
    • 5.4 Весовая функция
    • 5.5 Диадика и матрицы
    • 5.6 Тензоры
  • 6 Вычисления
    • 6.1 Алгоритмы
    • 6.2 Библиотеки
  • 7 См. Также
  • 8 Примечания
  • 9 Ссылки
  • 10 Внешние ссылки

Определение

Скалярное произведение может быть определено алгебраически или геометрически. Геометрическое определение основано на понятиях угла и расстояния (величины векторов). Эквивалентность этих двух определений зависит от наличия декартовой системы координат для евклидова пространства.

В современных представлениях евклидовой геометрии точки пространства определяются в терминах их декартовых координат, а само евклидово пространство обычно отождествляется с реальным координатным пространством R. В такой презентации понятия длины и углов определяются с помощью скалярного произведения. Длина вектора определяется как квадратный корень из скалярного произведения вектора, а косинус (неориентированного) угла двух векторов длины один равен определяется как их скалярный продукт. Таким образом, эквивалентность двух определений скалярного произведения является частью эквивалентности классической и современной формулировок евклидовой геометрии.

Алгебраическое определение

Скалярное произведение двух векторов a = [a 1, a 2,…, a n ] и b = [b 1, b 2,…, b n ] определяется как :

a ⋅ b = ∑ i = 1 naibi = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + anbn {\ displaystyle \ mathbf {\ color {red} a} \ cdot \ mathbf {\ color {blue} b} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ color {red} a} _ {i} {\ color {blue} b} _ {i} = {\ color {red} a} _ { 1} {\ color {blue} b} _ {1} + {\ color {red} a} _ {2} {\ color {blue} b} _ {2} + \ cdots + {\ color {red} a } _ {n} {\ color {blue} b} _ {n}}{\ displaystyle \ mathbf {\ color {red} a} \ cdot \ mathbf {\ color {blue} b} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ color {red} a} _ {i} {\ color {blue} b} _ {i} = {\ color {red} a} _ {1} {\ color {blue} b} _ {1} + {\ color {red} a} _ {2} {\ color {blue} b} _ {2} + \ cdots + {\ color {re d} a} _ {n} {\ color {blue} b} _ {n}}

где Σ обозначает суммирование, а n - размер векторного пространства . Например, в трехмерном пространстве скалярное произведение векторов [1, 3, −5] и [4, −2, −1] равно:

[1, 3, - 5 ] ⋅ [4, - 2, - 1] = (1 × 4) + (3 × - 2) + (- 5 × - 1) = 4 - 6 + 5 = 3 {\ displaystyle {\ begin {align} \ [{\ color {red} 1,3, -5}] \ cdot [{\ color {blue} 4, -2, -1}] = ({\ color {red} 1} \ times {\ color { синий} 4}) + ({\ color {red} 3} \ times {\ color {blue} -2}) + ({\ color {red} -5} \ times {\ color {blue} -1}) \\ = 4-6 + 5 \\ = 3 \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ [{\ color {red} 1,3, -5}] \ cdot [{\ color {blue} 4, -2, -1}] = ({\ color {red} 1} \ times {\ color {blue} 4}) + ({\ color {red} 3} \ times {\ color {blue} -2}) + ({\ color {red} -5} \ раз {\ цвет {синий} -1}) \\ = 4-6 + 5 \\ = 3 \ конец {выровнено}}}

Если векторы идентифицируются с помощью матриц-строк, скалярное произведение также может быть записано как матричный продукт

a ⋅ b = ab T, {\ displaystyle \ mathbf {\ color {red} a} \ cdot \ mathbf {\ color {blue} b} = \ mathbf {\ color {red} a} \ mathbf {\ color {blue} b} ^ {\ mathsf {T}},}{\ displaystyle \ mathbf {\ color {re d} a} \ cdot \ mathbf {\ color {blue} b} = \ mathbf {\ color {red} a} \ mathbf {\ color {blue} b} ^ {\ mathsf {T}},}

где b T {\ displaystyle \ mathbf {\ color {blue} b} ^ {\ mathsf {T}}}{\ displaystyle \ mathbf {\ color {blue} b} ^ {\ mathsf {T}}} обозначает транспонирование из b {\ displaystyle \ mathbf {\ color {blue} b}}{ \ displaystyle \ mathbf {\ color {blue} b}} .

Выражая приведенный выше пример таким образом, матрица 1 × 3 ( вектор-строка ) умножается на 3 Матрица × 1 (вектор-столбец ), чтобы получить матрицу 1 × 1, которая идентифицируется с ее уникальной записью:

[1 3 - 5] [4 - 2 - 1] = 3 {\ displaystyle { \ begin {bmatrix} \ color {red} 1 \ color {red} 3 \ color {red} -5 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ color {blue} 4 \\\ color {blue} - 2 \\\ color {blue} -1 \ end {bmatrix}} = \ color {purple} 3}{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ color {red} 1 \ color {red} 3 \ color {red} -5 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ color {blue} 4 \\\ color {blue} -2 \\\ color {blue} -1 \ end {bmatrix}} = \ color {purple} 3} .

Геометрическое определение

Иллюстрация, показывающая, как найти угол между векторами с помощью скалярного произведения Расчет связи углов симметричной тетраэдрической молекулярной геометрии с использованием скалярного произведения

В евклидовом пространстве евклидов вектор представляет собой геометрический объект, который обладает как величиной, так и направление. Вектор можно представить в виде стрелки. Его величина - это его длина, а его направление - это направление, на которое указывает стрелка. Величина вектора a обозначается ‖ a ‖ {\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ |}{\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ |} . Скалярное произведение двух евклидовых векторов a и b определяется как

a ⋅ b = ‖ a ‖ ‖ b ‖ cos ⁡ θ, {\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ | \ mathbf {a} \ | \ \ | \ mathbf {b} \ | \ cos \ theta,}{\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ | \ mathbf {a} \ | \ \ | \ mathbf {b} \ | \ cos \ theta,}

, где θ - угол между a и b.

В частности, если векторы a и b являются ортогональными (т. е. их угол равен π / 2 или 90 °), тогда cos ⁡ π 2 = 0 {\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {2}} = 0}{\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {2}} = 0} , что означает, что

a ⋅ b = 0. {\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = 0.}{\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = 0.}

С другой стороны, если они сонаправлены, то угол между ними равен нулю с cos ⁡ 0 = 1 {\ displaystyle \ cos 0 = 1}{\ displaystyle \ cos 0 = 1} и

a ⋅ b = ‖ a ‖ ‖ b ‖ {\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ left \ | \ mathbf { a} \ right \ | \, \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}{\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf { b} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \, \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}

Это означает, что скалярное произведение вектора a с самим собой равно

a ⋅ a Знак равно ‖ a ‖ 2, {\ Displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | ^ {2}, }{\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | ^ {2},}

который дает

‖ a ‖ = a ⋅ a, {\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | = {\ sqrt {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} }},}{\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | = {\ sqrt {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}}},}

формула для евклидовой длины вектора.

Скалярная проекция и первые свойства

Скалярная проекция

скалярная проекция (или скалярная составляющая) евклидова вектора a в направлении евклидова вектор b задается как

ab = ‖ a ‖ cos ⁡ θ, {\ displaystyle a_ {b} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ cos \ theta,}{\ displaystyle a_ {b} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ cos \ theta,}

где θ - угол между a и b.

. С точки зрения геометрического определения скалярного произведения это можно переписать

ab = a ⋅ b ^, {\ displaystyle a_ { b} = \ mathbf {a} \ cdot {\ widehat {\ mathbf {b}}},}{\ displaystyle a_ {b} = \ mathbf {a} \ cdot {\ widehat {\ mathbf {b}}},}

где b ^ = b / ‖ b ‖ {\ displaystyle {\ widehat {\ mathbf {b} }} = \ mathbf {b} / \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}{\ displaystyle {\ widehat {\ mathbf {b}}} = \ mathbf {b} / \ left \ | \ mathbf {b } \ right \ |} - это единичный вектор в направлении b.

Закон распределения для скалярное произведение

скалярное произведение, таким образом, геометрически характеризуется как

a ⋅ b = ab ‖ b ‖ = ba ‖ a ‖. {\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = a_ {b} \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ | = b_ {a} \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ |.}{\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = a_ {b} \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ | = b_ {a} \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ |.}

Скалярное произведение, определенное таким образом, является однородным при масштабировании по каждой переменной, что означает, что для любого скаляра α

(α a) ⋅ b = α (a ⋅ b) = a ⋅ ( а б). {\ Displaystyle (\ альфа \ mathbf {a}) \ cdot \ mathbf {b} = \ alpha (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) = \ mathbf {a} \ cdot (\ alpha \ mathbf { b}).}{\ displaystyle (\ alpha \ mathbf {a}) \ cdot \ mathbf {b} = \ alpha (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) = \ mathbf {a} \ cdot (\ alpha \ mathbf {b}).}

Он также удовлетворяет закону распределения, что означает, что

a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c. {\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} + \ mathbf {c}) = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}. }{\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} + \ mathbf {c}) = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}.}

Эти свойства можно резюмировать, сказав, что скалярное произведение представляет собой билинейную форму. Более того, эта билинейная форма положительно определена, что означает, что a ⋅ a {\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}}{\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}} никогда не является отрицательным, и равен нулю тогда и только тогда, когда a = 0 {\ displaystyle \ mathbf {a} = \ mathbf {0}}{\ displaystyle \ mathbf {a} = \ mathbf {0}} - нулевой вектор.

Скалярное произведение, таким образом, эквивалентно умножению нормы (длины) b на норму проекции a на b.

Эквивалентность определений

Если e1,..., enявляются стандартными базисными векторами в R, то мы можем записать

a = [a 1, …, An] = ∑ iaieib = [b 1,…, bn] = ∑ ibiei. {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {a} = [a_ {1}, \ dots, a_ {n}] = \ sum _ {i} a_ {i} \ mathbf {e} _ {i} \\\ mathbf {b} = [b_ {1}, \ dots, b_ {n}] = \ sum _ {i} b_ {i} \ mathbf {e} _ {i}. \ end {выравнивается}} }{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {a} = [a_ {1}, \ dots, a_ {n}] = \ sum _ {i} a_ {i} \ mathbf {e} _ {i} \\\ mathbf {b} = [b_ {1}, \ dots, b_ {n}] = \ sum _ {i} b_ {i} \ mathbf {e} _ { я}. \ конец {выровнен}}}

Векторы eiявляются ортонормированным базисом, что означает, что они имеют единичную длину и расположены под прямым углом друг к другу. Следовательно, поскольку эти векторы имеют единичную длину

ei ⋅ ei = 1 {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} _ {i} = 1}\ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} _ {i} = 1

и поскольку они образуют прямые углы друг с другом, если i ≠ j,

ei ⋅ ej = 0. {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} _ {j} = 0.}\ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} _ {j} = 0.

Таким образом, в В общем, можно сказать, что:

ei ⋅ ej = δ ij. {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} _ {j} = \ delta _ {ij}.}\ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} _ {j} = \ delta _ { ij}.

Где δ ij - кронекер delta.

Компоненты вектора в ортонормированном базисе

Также, согласно геометрическому определению, для любого вектора eiи вектора a мы отмечаем

a ⋅ ei = ‖ a ‖ ‖ ei ‖ соз ⁡ θ я знак равно ‖ a ‖ соз ⁡ θ я = ai, {\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {e} _ {i} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \, \ left \ | \ mathbf {e} _ {i} \ right \ | \ cos \ theta _ {i} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ cos \ theta _ {i} = a_ {i},}{\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {e} _ {i} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \, \ left \ | \ mathbf { e} _ {i} \ right \ | \ cos \ theta _ {i} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ cos \ theta _ {i} = a_ {i},}

, где a i - это компонент вектора a в направлении ei. Последний шаг в равенстве видно из рисунка.

Теперь применение дистрибутивности геометрической версии скалярного произведения дает

a ⋅ b = a ⋅ ∑ ibiei = ∑ ibi (a ⋅ ei) = ∑ ibiai = ∑ iaibi, {\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ cdot \ sum _ {i} b_ {i} \ mathbf {e} _ {i} = \ sum _ {i} b_ {i} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {e} _ {i}) = \ sum _ {i} b_ {i} a_ {i} = \ sum _ {i} a_ {i} b_ {i},}{ \ Displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ cdot \ sum _ {i} b_ {i} \ mathbf {e} _ {i} = \ sum _ {i} b_ { i} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {e} _ {i}) = \ sum _ {i} b_ {i} a_ {i} = \ sum _ {i} a_ {i} b_ {i},}

что и есть алгебраическое определение скалярного произведения. Таким образом, геометрическое скалярное произведение равно алгебраическому скалярному произведению.

Свойства

Скалярное произведение удовлетворяет следующим свойствам, если a, bи c являются действительными векторами, а r - скаляром.

  1. Коммутативный :
    a ⋅ b = b ⋅ a, {\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {a},}\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {a},
    , который следует из определения (θ - это угол между a и b):
    a ⋅ b = ‖ a ‖ ‖ b ‖ cos ⁡ θ = ‖ b ‖ ‖ a cos ⁡ θ = b ⋅ a. {\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ | \ cos \ theta = \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ cos \ theta = \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {a}.}\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ | \ cos \ theta = \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ cos \ theta = \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {a}.
  2. Дистрибутивное сложение векторов :
    a ⋅ (b + c) знак равно a ⋅ b + a ⋅ c. {\ Displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} + \ mathbf {c}) = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}.}\ mathbf {a } \ cdot (\ mathbf {b} + \ mathbf {c}) = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}.
  3. Билинейный :
    a ⋅ (rb + c) = r (a ⋅ b) + (a ⋅ c). { \ Displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (r \ mathbf {b} + \ mathbf {c}) = r (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) + (\ mathbf {a} \ cd ot \ mathbf {c}).}\ mathbf {a} \ cdot (r \ mathbf {b} + \ mathbf {c}) = r (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) + (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}).
  4. Скалярное умножение :
    (c 1 a) ⋅ (c 2 b) = c 1 c 2 (a ⋅ b). {\ Displaystyle (c_ {1} \ mathbf {a}) \ cdot (c_ {2} \ mathbf {b}) = c_ {1} c_ {2} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}).}(c_ {1} \ mathbf {a}) \ cdot (c_ {2} \ mathbf {b}) = c_ {1} c_ {2} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}).
  5. Не ассоциативно, потому что скалярное произведение между скаляром (a ⋅ b ) и вектором (c ) не определено, что означает, что выражения, участвующие в ассоциативном свойстве, (a ⋅ b ) ⋅ c или a ⋅ (b ⋅ c ) оба плохо определены. Однако обратите внимание, что ранее упомянутое свойство скалярного умножения иногда называют «законом ассоциации для скалярного и скалярного произведения», или можно сказать, что «скалярное произведение ассоциативно относительно скалярного умножения», потому что c (a⋅ b) = (c a ) ⋅ b= a⋅ (c b).
  6. Ортогональный :
    Два ненулевых вектора a и b ортогональны тогда и только тогда, когда a⋅ b= 0.
  7. Нет отмена :
    В отличие от умножения обычных чисел, где, если ab = ac, то b всегда равно c, если a не равно нулю, скалярное произведение не подчиняется отмене закон :
    Если a⋅ b= a⋅ cи a≠ 0, то мы можем написать: a ⋅ (b− c) = 0 по закону распределения ; результат выше говорит, что это просто означает, что a перпендикулярно (b− c), что по-прежнему допускает (b− c) ≠ 0 и, следовательно, позволяет b≠ c.
  8. Правило продукта : Если a и b являются функциями, то производная (, обозначенная штрихом ′) от a⋅ bравна a ′ ⋅ b+ a⋅ b′.

Применение к Ла w косинусов

Треугольник с векторными ребрами a и b, разделенными углом θ.

Даны два вектора a и b разделенные углом θ (см. Изображение справа), они образуют треугольник с третьей стороной c= a− b. Скалярное произведение этого самого на себя:

c ⋅ c = (a - b) ⋅ (a - b) = a ⋅ a - a ⋅ b - b ⋅ a + b ⋅ b = a 2 - a ⋅ b - a ⋅ b + b 2 знак равно a 2 - 2 a ⋅ b + b 2 c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab cos ⁡ θ {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {\ color {gold} c } \ cdot \ mathbf {\ color {gold} c} = (\ mathbf {\ color {red} a} - \ mathbf {\ color {blue} b}) \ cdot (\ mathbf {\ color {red} a) } - \ mathbf {\ color {blue} b}) \\ = \ mathbf {\ color {red} a} \ cdot \ mathbf {\ color {red} a} - \ mathbf {\ color {red} a} \ cdot \ mathbf {\ color {blue} b} - \ mathbf {\ color {blue} b} \ cdot \ mathbf {\ color {red} a} + \ mathbf {\ color {blue} b} \ cdot \ mathbf {\ color {blue} b} \\ = {\ color {red} a} ^ {2} - \ mathbf {\ color {red} a} \ cdot \ mathbf {\ color {blue} b} - \ mathbf {\ color {red} a} \ cdot \ mathbf {\ color {blue} b} + {\ color {blue} b} ^ {2} \\ = {\ color {red} a} ^ {2} - 2 \ mathbf {\ color {red} a} \ cdot \ mathbf {\ color {blue} b} + {\ color {blue} b} ^ {2} \\ {\ color {gold} c} ^ {2} = {\ color {red} a} ^ {2} + {\ color {blue} b} ^ {2} -2 {\ color {red} a} {\ color {blue} b} \ cos {\ color {фиолетовый} \ theta} \\ \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {\ color {gold} c} \ cdot \ mathbf {\ color {gold} c} = (\ mathbf {\ color {red} a} - \ mathbf { \ color {blue} b}) \ cdot (\ mathbf {\ color {red} a} - \ mathbf {\ color {blue} b}) \\ = \ mathbf {\ color {red} a} \ cdot \ mathbf {\ color {red} a} - \ mathbf {\ color {red} a} \ cdot \ mathbf {\ color {blue} b} - \ mathbf {\ color {blue} b} \ cdot \ mathbf {\ color {красный} a} + \ mathbf {\ color {blue} b} \ cdot \ mathbf {\ color {blue} b} \\ = {\ color {red} a} ^ {2} - \ mathbf {\ color {красный} a} \ cdot \ mathbf {\ color {blue} b} - \ mathbf {\ color {red} a} \ cdot \ mathbf {\ color {blue} b} + {\ color {blue} b} ^ {2} \\ = {\ color {красный} a} ^ {2} -2 \ mathbf {\ color {red} a} \ cdot \ mathbf {\ color {blue} b} + {\ color {blue} b} ^ {2} \\ {\ color {gold} c} ^ {2} = {\ color {red} a} ^ {2} + {\ color {blue} b} ^ {2} -2 { \ color {red} a} {\ color {blue} b} \ cos {\ color {purple} \ theta} \\\ end {al igned}}}

который является законом косинусов.

Тройное произведение

Есть две тернарные операции, включающие скалярное произведение и кросс-произведение.

скалярное тройное произведение трех векторов определяется как

a ⋅ (b × c) = b ⋅ (c × a) = c ⋅ (a × b). {\ Displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) = \ mathbf { c} \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}).}{\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) = \ mathbf {c} \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}).}

Его значение является определителем матрицы, столбцы которой являются декартовыми координатами три вектора. Это подписанный том параллелепипеда , заданный тремя векторами.

Векторное тройное произведение определяется как

a × (b × c) = b (a ⋅ c) - c (a ⋅ b). {\ displaystyle \ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) - \ mathbf {c} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}).}{\ displaystyle \ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} \ раз \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) - \ mathbf {c} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}).}

Это тождество, также известное как формула Лагранжа, можно запомнить как «BAC минус CAB», имея в виду, какие векторы являются точки вместе. Эта формула применяется для упрощения векторных вычислений в физике.

физике

В физике величина вектора является скаляром в физическом смысле (т. Е. физическая величина, не зависящая от системы координат), выраженная как произведение числового значения и физической единицы, а не просто число. Скалярное произведение также является скаляром в этом смысле, задаваемым формулой, независимо от системы координат. Например:

Обобщения

Комплексные векторы

Для векторов с сложными записями использование данного определения скалярного произведения приведет к совершенно другому свойства. Например, скалярное произведение вектора с самим собой было бы произвольным комплексным числом и могло бы быть нулем, если бы вектор не был нулевым вектором (такие векторы называются изотропными ); это, в свою очередь, будет иметь последствия для таких понятий, как длина и угол. Такие свойства, как положительно определенная норма, могут быть сохранены за счет отказа от симметричных и билинейных свойств скалярного произведения с помощью альтернативного определения

a ⋅ b = ∑ aibi ¯, {\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ sum {a_ {i} {\ overline {b_ {i}}}},}\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ sum {a_ {i} {\ overline {b_ {i}}}},

где b i - комплексное сопряжение из б и. Это также может быть выражено в терминах сопряженного транспонирования (обозначенного верхним индексом H):

a ⋅ b = a b H. {\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ mathbf {b} ^ {H}.}{\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ mathbf {b} ^ {H}.}

где векторы предполагались представленными как векторы-строки. Тогда скалярное произведение любого вектора на себя является неотрицательным действительным числом, и оно не равно нулю, за исключением нулевого вектора. Однако это скалярное произведение, таким образом, полуторалинейное, а не билинейное: оно сопряжено линейно и не линейно в a, а скалярное произведение не является симметричным, поскольку

a ⋅ b = b ⋅ a ¯. {\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = {\ overline {\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {a}}}.}\ mat hbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = {\ overline {\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {a}}}.

Тогда угол между двумя комплексными векторами определяется как

cos ⁡ θ = Re ⁡ (a ⋅ b) ‖ a ‖ ‖ b ‖. {\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {\ operatorname {Re} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b})} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \, \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ |}}.}\ cos \ theta = {\ frac {\ operatorname {Re} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b})} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \, \ left \ | \ mathbf {b} \ вправо \ |}}.

Этот тип скалярного произведения, тем не менее, полезен и приводит к понятиям эрмитовой формы и общих пространств внутреннего произведения. Самостоятельное скалярное произведение сложного вектора a ⋅ a {\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}}{\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}} является обобщением абсолютного квадрата комплексный скаляр.

Внутреннее произведение

Внутреннее произведение обобщает скалярное произведение на абстрактные векторные пространства по полю из скаляров, будучи либо поле вещественных чисел R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R} , либо поле комплексных чисел C {\ displaystyle \ mathbb {C}}{\ displaystyle \ mathbb {C}} . Обычно это обозначается с помощью угловых скобок как ⟨a, b⟩ {\ displaystyle \ left \ langle \ mathbf {a} \,, \ mathbf {b} \ right \ rangle}\ left \ langle \ mathbf {a} \,, \ mathbf {b} \ right \ rangle .

Внутреннее произведение двух векторов над полем комплексных чисел, как правило, является комплексным числом и является полуторалинейным вместо билинейного. Внутреннее пространство продукта - это нормированное векторное пространство , а внутреннее произведение вектора на себя является действительным и положительно определенным.

Функции

Скалярное произведение определяется для векторов, которые имеют конечное число элементов. Таким образом, эти векторы можно рассматривать как дискретные функции : вектор u длины n, следовательно, является функцией с областью определения {k ∈ ℕ ∣ 1 ≤ k ≤ n}, а u i - обозначение изображения i функцией / вектором u.

Это понятие можно обобщить на непрерывные функции : так же, как внутреннее произведение векторов использует сумму по соответствующим компонентам, внутреннее произведение функций определяется как интеграл по некоторому интервал a ≤ x ≤ b (также обозначается [a, b]):

⟨u, v⟩ = ∫ abu (x) v (x) dx {\ displaystyle \ left \ langle u, v \ right \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} u (x) v (x) dx}\ left \ langle u, v \ right \ rangle = \ int _ { a} ^ {b} u (x) v (x) dx

Обобщено далее на комплексные функции ψ (x) и χ (x) по аналогии с сложное скалярное произведение выше дает

⟨ψ, χ⟩ = ∫ ab ψ (x) χ (x) ¯ dx. {\ displaystyle \ left \ langle \ psi, \ chi \ right \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} \ psi (x) {\ overline {\ chi (x)}} dx.}\ left \ langle \ psi, \ chi \ right \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} \ psi (x) {\ overline {\ chi (x)}} dx.

Вес function

Внутренние продукты могут иметь весовую функцию (т. е. функцию, которая взвешивает каждый член внутреннего продукта со значением). Явно внутреннее произведение функций u (x) {\ displaystyle u (x)}u(x)и v (x) {\ displaystyle v (x)}v (x) относительно весовой функции r (x)>0 {\ displaystyle r (x)>0}{\displaystyle r(x)>0} is

⟨u, v⟩ = ∫ abr (x) u (x) v (x) dx. { \ displaystyle \ left \ langle u, v \ right \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} r (x) u (x) v (x) dx.}{\ displaystyle \ left \ langle u, v \ right \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} р (x) u (x) v (x) dx.}

Диадики и матрицы

Матрицы имеют внутреннее произведение Фробениуса, которое аналогично векторному внутреннему произведению. Оно определяется как сумма произведений соответствующих компонентов двух матриц A и B того же размера:

A: B = ∑ i ∑ j A ij B ij ¯ = tr (BHA) = tr (ABH). {\ Displaystyle \ mathbf {A}: \ mathbf {B} = \ sum _ {i} \ sum _ {j} A_ {ij} {\ overline {B_ {ij}}} = \ mathrm {tr} (\ mathbf {B} ^ {\ mathrm {H}} \ mathbf { A}) = \ mathrm {tr} (\ mathbf { A} \ mathbf {B} ^ {\ mathrm {H}}).}{\ displaystyle \ mathbf {A}: \ mathbf {B} = \ sum _ {i} \ sum _ {j} A_ {ij} {\ overline {B_ {ij}}} = \ mathrm {tr} (\ mathbf {B} ^ {\ mathrm {H}} \ mathbf {A}) = \ mathrm {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B} ^ {\ mathrm {H}}).}
A: B = ∑ i ∑ j A ij B ij = tr (BTA) = tr (ABT) = tr (ATB) = tr ( ЛЕТУЧАЯ МЫШЬ). {\ displaystyle \ mathbf {A}: \ mathbf {B} = \ sum _ {i} \ sum _ {j} A_ {ij} B_ {ij} = \ mathrm {tr} (\ mathbf {B} ^ {\ mathrm {T}} \ mathbf {A}) = \ mathrm {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B} ^ {\ mathrm {T}}) = \ mathrm {tr} (\ mathbf {A} ^ {\ mathrm {T}} \ mathbf {B}) = \ mathrm {tr} (\ mathbf {B} \ mathbf {A} ^ {\ mathrm {T}}).}{\ displaystyle \ mathbf {A}: \ mathbf {B} = \ sum _ {i} \ sum _ { j} A_ {ij} B_ {ij} = \ mathrm {tr} (\ mathbf {B} ^ {\ mathrm {T}} \ mathbf {A}) = \ mathrm {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B} ^ {\ mathrm {T}}) = \ mathrm {tr} (\ mathbf {A} ^ {\ mathrm {T}} \ mathbf {B}) = \ mathrm {tr} (\ mathbf {B} \ mathbf {A} ^ {\ mathrm {T}}).} (Действительно матриц)

Диадики имеют скалярное произведение и "двойное" скалярное произведение, определенные на них, см. Диадики § Произведение диадических и диадических для их определений.

Тензоры

Внутреннее произведение между тензором порядка n и тензором порядка m является тензором порядка n + m - 2, см. Тензор сжатие для получения подробной информации.

Вычисление

Алгоритмы

Простой алгоритм для вычисления скалярного произведения векторов с плавающей запятой может пострадать от катастрофической отмены. Чтобы избежать этого, используются такие подходы, как алгоритм суммирования Кахана.

Библиотеки

Функция скалярного произведения включена в BLAS уровень 1.

См. Также

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

На Wikimedia Commons есть материалы, связанные с Скалярным продуктом.
Последняя правка сделана 2021-05-17 13:51:11
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте