Дифференциальная форма

редактировать

Обобщение до любой степени f (x) dx и полного дифференциала (которые являются 1-формами)

В математических полях дифференциальной геометрии и тензорного исчисления, дифференциальные формы представить собой подход к многомерному исчислению, который не зависит от Координаты. Дифференциальные формы обеспечивают единый подход к определению интегрантов по кривым, поверхностям, твердым телам и многомерным многообразиям. Современное понятие дифференциальных форм было впервые предложено Эли Картаном. Он имеет множество приложений, особенно в геометрии, топологии и физике.

, выражение f (x) dx из исчисления с одной примером формы 1-может быть интегрировано Пример ориентированному интервалу [a, b] в области определения f:

∫ abf (x) dx. {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx.}

\ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx.

Аналогично выражение f (x, y, z) dx ∧ dy + g (x, y, z) dz ∧ dx + h (x, y, z) dy ∧ dz - это 2-форма, которая имеет поверхностный интеграл по ориентированной поверхности S:

∫ S (f (x, y, z) dx ∧ dy + g (x, y, z) dz ∧ dx + h (x, y, z) dy ∧ dz). {\ Displaystyle \ int _ {S} (е (х, у, z) \, dx \ клин dy + g (x, y, z) \, dz \ клин dx + h (x, y, z) \, dy \ wedge dz).}

{\ displaystyle \ int _ {S} (f (x, y, z) \, dx \ wedge dy + g (x, y, z) \, dz \ wedge dx + h (Икс, Y, Z) \, dy \ клин dz).}

Символ ∧ обозначает внешнее произведение, иногда называемое произведением клина, двух отличий форм. Аналогично, 3-форма f (x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz представляет элемент объема, который может быть интегрирован по ориентированной области пространства. В общем, k-форма - это объект, который может быть интегрирован по k-мерному ориентированному множеству, и он однороден степени k по координатным дифференциалам.

алгебра дифференциальных форм организована таким образом, что естественным образом отражает ориентацию области интеграции. Существует операция над дифференциальными формами, известная как внешняя производная, которая при задании k-формы в качестве входных данных создает (k + 1) -форму в качестве выходных данных. Эта операция расширяет дифференциал функции и напрямую связывает с дивергенцией и curl с помощью поля таким образом, что делает фундаментальная теорема исчисления, теорема о расходимости, теорема Грина и теорема Стокса частные случаи одного и этого же общего результата, известные в контексте также как обобщенная теорема Стокса. Более глубоко эта теорема связывает топологию интегрирования со структурой различных форм; точная связь известна как теорема де Рама.

Общие условия для изучения форм находятся на дифференцируемом разнообразии. Дифференциальные 1-естественным двойственны векторным полям на множестве, а объединение векторных полей и 1-форм расширяется до произвольных дифференциальных форм с помощью внутреннего произведения. Алгебра дифференциальных форм вместе с одной внешней производной с помощью отката при гладких функциях между двумя разнообразиями. Эта функция позволяет перемещать геометрическую информацию из одного пространства в другое посредством отклика при условии, что информация в терминах различных форм. Например, формула замены интеграл для интегрирования становится простым утверждением, что интеграл сохраняется при откате.

Содержание

1 История
2 Концепция
- 2.1 Интеграция и ориентация
- 2.2 Многоиндексная нотация
- 2.3 Внешняя производная
- 2.4 Дифференциальное исчисление
3 Внутренние определения
4 Операции
4.1 Внешнее произведение
4.2 Риманово многообразие
- 4.2.1 Структуры взаимодействия поля
4.3 Внешний дифференциальный комплекс

5 Откат

6 Интегрирование

6.1 Интегрирование в евклидовом пространстве
6.2 Интеграция по цепочкам
6.3 Интеграция с использованием разбиений единицы
6.4 Интеграция по волокнам
6.5 Теорема Стокса
6.6 Связь с мерами
6.7 Токи

7 Приложения в физике

8 Приложения в геометрической теории меры

9 См. Также

10 Примечания

11 Ссылки

12 Внешние ссылки

История

Дифференциальные формы являются частью области дифференциальной геометрии, на которую оказали влияние по линейной алгебре. Хотя понятие дифференциала довольно старое, первоначальная попытка алгебраической организации дифференциальных форм обычно приписывается Эли Картану со ссылкой на его статью 1899 года. Некоторые аспекты внешней алгебры дифференциальных форм появляются в работе Германа Грассмана 1844 г., Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik (Теория линейного расширения, новая ветвь математики).

Концепция

Дифференциальные формы подхода к многомерному исчислению, который не зависит от координат.

Интегрирование и ориентация

Дифференциал k - форма может быть интегрирована в ориентированный коллектор размерности k. Дифференциальную 1-форму можно рассматривать как измерение бесконечно малой ориентированной длины или одномерной ориентированной плотности. Диффциальную 2-форму можно рассматривать как измерение бесконечно малой ориентированной площади или 2-мерной ориентированной плотности. И так далее.

Интеграция дифференциальных форм четко определена только на ориентированных разнообразий. Примером одного разнообразия является интервал [a, b], и интервалы могут иметь ориентацию: они положительно ориентированы, если a < b, and negatively oriented otherwise. If a < b then the integral of the differential 1-form f(x) dx over the interval [a, b] (with its natural positive orientation) is

∫ abf (x) dx {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}

\int _{a}^{b}f(x)\,dx

, которая является отрицательной величиной интеграла той же дифференциальной формы на том же интервале, если используется противоположная ориентация. То есть:

∫ baf (x) dx = - ∫ abf (x) dx {\ displaystyle \ int _ {b} ^ {a} f (x) \, dx = - \ int _ {a} ^ { b} f (x) \, dx}

\int _{b}^{a}f(x)\,dx=-\int _{a}^{b}f(x)\,dx

Это дает геометрический контекст для соглашений для одномерных интегралов, что интер меняется при изменении ориентации на противоположную. В более общем смысле, m-форма - это ориентированная плотность, которая может быть интегрирована в m-мерной ориентированной совокупности (b < a), the increment dx is negative in the direction of integration.

В более общем смысле, m-форма - это ориентированная плотность. например, 1-форма может быть интегрирована по ориентированной кривой, 2-форма может быть интегрирована по ориентированной поверхности и т. д.) Если M - ориентированное m-мерное многообразие, а M ′ - то же самое многообразие с противоположной ориентацией. m-форма, то имеет место:

∫ M ω = - ∫ M ′ ω. {\ displaystyle \ int _ {M} \ omega = - \ int _ {M '} \ omega \,.}

\int _{M}\omega =-\int _{M'}\omega \,.

Эти соглашения соответствуют интерпретации интегрированной по цепочке . меры теории, напротив, подынтегральное выражение интерпретируется как функция f относительно меры μ и интегрирует по подмножеству A без какого-либо понятие ори ентации; записывается $∫ A fd μ = ∫ [a, b] fd μ {\ displaystyle \ textstyle {\ int _ {A} f \, d \ mu = \ int _ {[a, b]} f \, d \ mu}}$ $\ textstyle {\ int _ {A} f \, d \ mu = \ int _ {[a, b]} f \, d \ mu }$ для обозначения интеграции по подмножеству A. Это незначительное различие в одном измерении, но более тонким на многомерных разнообразиях; подробнее см. ниже.

Уточнение понятия ориентированной плотности и, следовательно, дифференциальной формы требует внешней алгебры. Дифференциалы набора, dx,..., dx Программирование в качестве основы для всех 1-форм. Каждый из них представляет собой ковектор в каждой точке коллектора, который можно рассматривать как измерение небольшого смещения в соответствующем координатном направлении. Общая 1-форма - это линейная комбинация этих дифференциалов в каждой точке множества:

f 1 dx 1 + ⋯ + fndxn, {\ displaystyle f_ {1} \, dx ^ {1} + \ cdots + f_ {n} \, dx ^ {n},}

{\ displaystyle f_ {1} \, dx ^ {1} + \ cdots + f_ {n} \, dx ^ {n},}

где f k = f k (x,..., x) значения функций всех координат. Дифференциальная 1-форма интегрируется по ориентированной кривой как линейный интеграл.

Выражения dx ∧ dx, где i ∑ 1 ≤ i < j ≤ n f i, j d x i ∧ d x j {\displaystyle \sum _{1\leq i ${\ displaystyle \ сумма _ {1 \ leq я <j \ leq n} f_ {i, j} \, dx ^ {i} \ wedge dx ^ {j}}$ , и она интегрируется так же, как поверхностный интеграл.

Основная операция, определенная в дифференциальной формех, - это внешний продукт (символ - клин ∧). Это похоже на перекрестное произведение из безопасного исчисления в том, что это переменное произведение. Например,

dx 1 ∧ dx 2 = - dx 2 ∧ dx 1 {\ displaystyle dx ^ {1} \ wedge dx ^ {2} = - dx ^ {2} \ wedge dx ^ {1}}

dx ^ {1} \ клин dx ^ {2} = - dx ^ {2} \ wedge dx ^ {1}

потому что квадрат, первая сторона которого равна dx, а вторая сторона - dx, рассматривать как квадрат, первая сторона которого равна dx, а сторона вторая - dx. Вот почему нам суммировать только выражения dx ∧ dx, при этом i < j; for example: a(dx ∧ dx) + b(dx ∧ dx) = (a − b) dx ∧ dx. The exterior product allows higher-degree differential forms to be built out of lower-degree ones, in much the same way that the перекрестное произведение вектора вном исчислении позволяет вычислить площади, параллелограмма из векторов, направление вверх на две стороны. Чередование также подразумевает, что dx ∧ dx = 0, так же, как перекрестное параллельных векторов, величина которого равна площади параллелограмма, натянутого на эти границы, равно нулю. В более измерениях dx ∧ ⋅⋅⋅ ∧ dx = 0, если любые два из индексов i 1,..., i m равны, точно так же, как "объем", заключенный в параллелоэдр , соединенный ребер которого линейно зависимы, равенство нулю.

Многоиндексная нотация

Распространенной нотацией для произведений клина элементарных 1-форм является так называемой многоиндексная нотация : в n-мерном контексте для $I = (i 1, i 2,…, im), 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i m ≤ n {\displaystyle I=(i_{1},i_{2},\ldots,i_{m}),1\leq i_{1}$ ${\ displaystyle I = (i_ {1}, i_ {2}, \ ldots, i_ {m}), 1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {m } \ leq n}$ , мы определяем $dx I: = dxi 1 ∧ ⋯ ∧ dxim = ⋀ i ∈ I dxi {\ textstyle dx ^ {I}: = dx ^ { i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {i_ {m}} = \ bigwedge _ {i \ in I} dx ^ {i}}$ ${\ textstyle dx ^ {I}: = dx ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {i_ {m}} = \ bigwedge _ {я \ in I} dx ^ {i}}$ . Еще одно полезное обозначение получается путем мульти-определения множества возрастающих индексов длины k в размерности n, обозначаемого $J k, n: = {I = (i 1,…, ik): 1 ≤ я 1 < i 2 < ⋯ < i k ≤ n } {\displaystyle {\mathcal {J}}_{k,n}:=\{I=(i_{1},\ldots,i_{k}):1\leq i_{1}$ ${\mathcal {J}}_{k,n}:=\{I=(i_{1},\ldots,i_{k}):1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\}$ . Затем локально (где бы ни применялись координаты) ${dx I} I ∈ J k, n {\ displaystyle \ {dx ^ {I} \} _ {I \ in {\ mathcal {J}} _ {k, n}}}$ ${\ displaystyle \ {dx ^ {I} \} _ {I \ in {\ mathcal {J}} _ {k, n}}}$ покрывает пространство различных k-форм в многообразии M размерности n, если рассматривать его как модуль над кольцом C (M) гладких функций на M. Вычисляя размер $J k, n {\ displaystyle {\ mathcal {J}} _ {k, n}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {J}} _ {k, n}}$ комбинаторно, модуль k-форм на n-мерном разнообразии и в общем косми -ковекторы в n-мерном векторном пространстве, будет n выбрать k: $| J k, n | знак равно (N К) {\ Displaystyle \ textstyle | {\ mathcal {J}} _ {k, n} | = {\ binom {n} {k}}}$ $\textstyle |{\mathcal {J}}_{k,n}|={\binom {n}{k}}$ . Это также демонстрирует, что не существует ненулевых дифференциальных форм степени выше, лежащего в основе размера.

Внешняя производная

В дополнение к внешнему продукту существует также оператор внешней производной d. Внешняя производная дифференциальной формы является обобщением дифференциала функции в том смысле, что внешняя производная функция f ∈ C (M) = Ω (M) является точностью дифференциалом функции f. При обобщении высших форм, если ω = f dx является простым k-образным, то его внешняя производная dω является (k + 1) -формой, определяемой путем взятия дифференциала функций коэффициентов:

d ω = ∑ i = 1 n ∂ е ∂ xidxi ∧ dx I. {\ displaystyle d \ omega = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {i}}} \, dx ^ {i } \ wedge dx ^ {I}.}

{\ displaystyle d \ omega = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {i}}} \, dx ^ {i} \ wedge dx ^ {I}.}

с расширением до общих форм за счет линейности: если $τ = ∑ I ∈ J k, na I dx I ∈ Ω k (M) {\ displaystyle \ tau = \ sum _ {I \ в {\ mathcal {J}} _ {k, n}} a_ {I} \, dx ^ {I} \ in \ Omega ^ {k} (M)}$ ${\ displaystyle \ tau = \ sum _ {I \ in {\ mathcal {J}} _ {k, n}} a_ {I} \, dx ^ {I} \ in \ Omega ^ {k} (M)}$ , то его внешняя производная

d τ знак равно ∑ I ∈ J k, n (∑ j = 1 n ∂ a I ∂ xjdxj) ∧ dx I ∈ Ω k + 1 (M) {\ displaystyle d \ tau = \ sum _ {I \ in {\ mathcal {J}} _ {k, n}} \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial a_ {I}} {\ частичный x ^ {j}}} \, dx ^ {j} \ right) \ wedge dx ^ {I} \ in \ Omega ^ {k + 1} (M)}

{\ displaystyle d \ tau = \ sum _ { I \ in {\ mathcal {J}} _ {k, n}} \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial a_ {I}} {\ partial x ^ {j }}} \, dx ^ {j} \ right) \ wedge dx ^ {I} \ in \ Omega ^ {k + 1} (M)}

В R, со звездой Ходжа оператора, внешняя производная соответствует градие нту, curl и дивергенции, хотя это соответствие, как и перекрестное произведение, не обобщается на более высокие измерения, и к нему следует относиться с осторожностью.

Сама внешняя производная производная в произвольном примере представляет собой гибкий инструмент с широким применением в дифференциальной геометрии, дифференциальной топологии и многих других областей физики. Следует отметить, что указанное выше определение внешней производной было определено относительно локальных координат, оно может быть определено полностью бескординатным способом, как первообраз степени 1 на внешней алгебре. дифференциальных форм. Преимущество этого общего подхода заключается в том, что он допускает естественный бескоординатный подход к интегрированию на разнообразиях. Он также допускает естественное обобщение фундаментальной теоремы исчисления, принятой (обобщенной) теоремой Стокса, являющейся центральным результатом теории интегрирования на множествах.

Дифференциальное исчисление

Пусть U будет множеством в R . Дифференциальная 0-форма («нулевая форма») определяется как гладкая функция f на U, которая определяет обозначается C (U). Если v - любой вектор в R, то f имеет производную по направлению ∂vf, которая является другой функцией на U, значение которой в точке p ∈ U является изменением скорости (в p) функции f в направлении v:

(∂ vf) (p) = ddtf (p + tv) | т знак равно 0. {\ Displaystyle (\ partial _ {v} е) (р) = \ слева. {\ frac {d} {dt}} f (p + tv) \ right | _ {t = 0}.}

{\ displaystyle (\ partial _ {v} f) (p) = \ left. {\ Frac {d} {dt}} f (p + tv) \ right | _ {t = 0}.}

(Это понятие может быть расширено точечно на случай, когда v является векторным полем на U, вычисляя v в точке p в определении.)

В частности, если v = e j является j-м вектором системы координат , тогда ∂ v f является частной производной функцией f по j -й координатной функции, т. Е. ∂f / ∂x, где x, x,..., x - координатные функции на U. По самому своему определению частные производные зависят от выбора координат: если новые координаты y, y,..., y введено, то

∂ f ∂ xj = ∑ i = 1 n ∂ yi ∂ xj ∂ f ∂ yi. {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {j}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial y ^ {i}} {\ partial x ^ {j}}} {\ frac {\ partial f} {\ partial y ^ {i}}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ parti al f} {\ partial x ^ {j}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial y ^ {i}} {\ partial x ^ {j}}} {\ frac {\ partial f} {\ partial y ^ {i}}}.}

Первая идея, ведущая к дифференциальным формам, - это наблюдение, что ∂ v f (p) является линейной функцией от v:

(∂ v + wf) (p) = (∂ vf) (p) + (∂ wf) (p) (∂ cvf) (p) знак равно с (∂ vf) (p) {\ displaystyle {\ begin {align} (\ partial _ {v + w} f) (p) = (\ partial _ {v} f) (p) + ( \ partial _ {w} f) (p) \\ (\ partial _ {cv} f) (p) = c (\ partial _ {v} f) (p) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} (\ partial _ {v + w} f) (p) = (\ partial _ {v} f) (p) + (\ partial _ {w} f) (p) \\ (\ partial _ {cv} f) (p) = c (\ partial _ {v} f) (p) \ end {align}}}

для любого соответствия v, w и любое действительное число c. В каждой точке p эта линейная карта от R до R обозначается df p и называется производной или дифференциал f на стр. Таким образом, df p (v) = ∂ v f (p). Расширенный по всему набору, объект может рассматривать как функцию, которая возвращает поле функции. Обратите внимание, что для каждого p дифференциал df p является не действующим, а линейным функционалом касательных векторов, и прототипом примера формы формы 1-.

Временный вектор v является линейной комбинация ∑ ve j ее компонентов, df однозначно определяется df p(ej) для каждого j и каждого p ∈ U, которые являются просто частными производными f на U. Таким образом, df обеспечивает способ кодирования частных производных f. Его можно расшифровать, заметив, что координаты x, x,..., x сами по себе функции на U и таким образом определяют дифференциальные 1-dx, dx,..., dx. Пусть f = x. ∂x / ∂x = δ ij, дельта-функция Кронекера, отсюда следует, что

d f = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i d x i. {\ displaystyle df = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {i}}} \, dx ^ {i}.}

df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}.

(*)

Значение этого выражения между двумя сторонами в произвольной точке p: с правой стороны сумма определяется «точечно », так что

dfp = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ xi (p) (dxi) п. {\ displaystyle df_ {p} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {i}}} (p) (dx ^ {i}) _ { p}.}

{\ displaystyle df_ {p} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ частичный x ^ {i}}} (p) (d x ^ {i}) _ {p}.}

Применяя обе стороны к e j, результат с каждой стороны представляет собой j-ю частную производную f в точке p. Это доказывает формулу (*) .

В более общем плане для любых гладких функций g i и h i на U, мы определяем дифференциальную 1-форму α = ∑ igidhiпоточечно с помощью

α p = ∑ igi (p) (dhi) p {\ displaystyle \ alpha _ {p} = \ sum _ {i} g_ {i} (p) (dh_ {i}) _ {p}}

{ \ displaystyle \ alpha _ {p} = \ sum _ {i} g_ {i} (p) (dh_ {i}) _ {p}}

для каждого p ∈ U. Любая дифференциальная 1-форма таким образом возникает при использовании (*)отсюда следует, что любая дифференциальная форма α на U может быть выражена в координатах как

α = ∑ i = 1 nfidxi {\ displaystyle \ alpha = \ sum _ {i = 1} ^ {n} f_ {i} \, dx ^ {i}}

\ alpha = \ sum _ {i = 1} ^ {n } f_ {i} \, dx ^ {i}

для некоторых гладких функций f i на U.

Вторая идея, ведущая к дифференциальным формам, возникает из следующего вопроса: задана дифференциальная 1-форма α на U, когда существует функция f на U такая, что α = df? Приведенное выше разложение сводит этот вопрос к поиску функций f, частные производные ∂f / ∂x которые равны n заданным функциям f i. Для n>1 такая функция не всегда существует: любая гладкая функция удовлетворяет условию

∂ 2 f ∂ xi ∂ xj = ∂ 2 f ∂ xj ∂ xi, {\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {i} \, \ partial x ^ {j}}} = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {j} \, \ partial x ^ {i}} },}

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{j}\,\partial x^{i}}},

так что найти такое f будет невозможно, если

∂ fj ∂ xi - ∂ fi ∂ xj = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {j}} {\ partial x ^ {i }}} - {\ frac {\ partial f_ {i}} {\ partial x ^ {j}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {j}} {\ partial x ^ {i}}} - {\ frac {\ partial f_ {i}} {\ partial x ^ {j}}} = 0}

для всех i и j.

кососимметрия левой части в i и j предлагает ввести антисимметричное произведение ∧ на дифференциальных 1-формах, внешнее произведение, чтобы эти уравнения можно объединить в одно условие

∑ i, j = 1 n ∂ fj ∂ xidxi ∧ dxj = 0, {\ displaystyle \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f_ {j}} {\ partial x ^ {i}}} \, dx ^ {i} \ wedge dx ^ {j} = 0,}

{\ displaystyle \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f_ {j}} {\ partial x ^ {i}}} \, dx ^ {i} \ wedge dx ^ {j} = 0,}

где ∧ определяется так, что:

dxi ∧ dxj = - dxj ∧ dxi. {\ displaystyle dx ^ {i} \ wedge dx ^ {j} = - dx ^ {j} \ wedge dx ^ {i}.}

{\ displaystyle dx ^ {i} \ wedge dx ^ {j} = - dx ^ {j} \ wedge dx ^ {i}.}

Это пример дифференциальной 2-формы. Эта 2-форма называется внешней производной dα от α = ∑. j = 1 fjdx. Он задается как

d α = ∑ j = 1 n d f j ∧ d x j = ∑ i, j = 1 n ∂ f j ∂ x i d x i ∧ d x j. {\ displaystyle d \ alpha = \ sum _ {j = 1} ^ {n} df_ {j} \ wedge dx ^ {j} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f_ {j}} {\ partial x ^ {i}}} \, dx ^ {i} \ wedge dx ^ {j}.}

d\alpha =\sum _{j=1}^{n}df_{j}\wedge dx^{j}=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{j}.

Подводя итог: dα = 0 является необходимым условием для существования функция f с α = df.

Дифференциальные 0-формы, 1-формы и 2-формы являются частными случаями дифференциальных форм. Для каждого k существует пространство дифференциальных k-форм, которое может быть выражено через координаты как

∑ i 1, i 2… ik = 1 nfi 1 i 2… ikdxi 1 ∧ dxi 2 ∧ ⋯ ∧ dxik {\ displaystyle \ sum _ {i_ {1}, i_ {2} \ ldots i_ {k} = 1} ^ {n} f_ {i_ {1} i_ {2} \ ldots i_ {k}} \, dx ^ {i_ {1}} \ wedge dx ^ {i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {i_ {k}}}

\sum _{i_{1},i_{2}\ldots i_{k}=1}^{n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}

для набора функций f i1i2⋅⋅⋅i k. Антисимметрия, которая уже присутствовала для 2-форм, позволяет ограничить сумму теми наборами индексов, для которых i 1< i2<... < ik − 1 < ik.

Дифференциальные формы могут быть умножены вместе с использованием внешнего произведения, и для любого дифференциала k-форма α, существует дифференциальная (k + 1) -форма dα, называемая внешней производной α.

Дифференциальные формы, внешний продукт и внешняя производная не зависят от выбора координат. Следовательно, они могут быть определены на любом гладком многообразии M. Один из способов сделать это - накрыть M координатными картами и определить дифференциальную k-форму на M как семейство дифференциальных k-форм на каждой карте, которые согласуются с перекрытиями. Однако есть более внутренние определения, которые демонстрируют независимость координат.

Внутренние определения

Пусть M - гладкое многообразие. Гладкая дифференциальная форма степени k - это гладкое сечение k-й внешней степени кокасательного расслоения матрицы M. Множество всех дифференциальных k-форм на многообразие M - это векторное пространство, часто обозначаемое Ω (M).

Определение дифференциальной формы можно переформулировать следующим образом. В любой точке p ∈ M k-форма β определяет элемент

β p ∈ ⋀ k T p ∗ M, {\ displaystyle \ beta _ {p} \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} T_ {p} ^ {*} M,}

{\ displaystyle \ beta _ {p} \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} T_ {p} ^ {*} M,}

где T p M - касательное пространство к M в точке p, а T p M - его двойное пространство. Это пространство естественно изоморфно слою в точке p двойственного расслоения k-й внешней степени касательного расслоения к M. То есть β также является линейным функционалом $β p: ⋀ k T p M → R {\ textstyle \ beta _ {p} \ двоеточие {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} T_ {p} M \ to \ mathbf {R}}$ ${\ textstyle \ beta _ {p} \ двоеточие {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} T_ {p} M \ to \ mathbf {R}}$ , т.е. двойное k-я внешняя степень изоморфна k-й внешней степени двойственного:

⋀ k T p ∗ M ≅ (⋀ k T p M) ∗ {\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} T_ {p} ^ {*} M \ cong {\ Big (} {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} T_ {p} M {\ Big)} ^ {*}}

{\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}^{*}M\cong {\Big (}{\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}M{\Big)}^{*}

По универсальному свойству внешних сил это эквивалентно чередующегося полилинейного отображения :

β p: ⨁ n = 1 k T p M → R. {\ displaystyle \ beta _ {p} \ двоеточие \ bigoplus _ {n = 1} ^ {k} T_ {p} M \ to \ mathbf {R}.}

{\ disp Laystyle \ beta _ {p} \ двоеточие \ bigoplus _ {n = 1} ^ {k} T_ {p} M \ to \ mathbf {R}.}

Следовательно, дифференциальная k-форма может быть вычислена против любого набора касательных векторов к одной и той же точке p множества M. Например, дифференциальная 1-форма α сопоставляет каждой точке p ∈ M линейный функционал αpна T p М. При наличии внутреннего произведения на T p M (индуцированного римановой метрикой на M), α p может быть представляет как внутренний продукт с касательным вектором Xp. Дифференциальные 1-формы иногда называют ковариантными векторными полями, ковекторными полями или «дуальными векторными полями», особенно в физике.

Внешняя алгебра может быть вложена в тензорную алгебру с помощью карты чередования. Отображение чередования определяется как отображение

Alt: ⨂ k T ∗ M → ⨂ k T ∗ M. {\ displaystyle \ operatorname {Alt} \ двоеточие {\ bigotimes} ^ {k} T ^ {*} M \ to {\ bigotimes} ^ {k} T ^ {*} M.}

{\ displaystyle \ operatorname {Alt} \ двоеточие {\ bigotimes} ^ {k} T ^ {*} M \ to {\ bigotimes} ^ {k} T ^ {*} M.}

Для тензора в точка p,

Alt ⁡ (ω p) (x 1,…, xk) = 1 k! ∑ σ ∈ S К знак ⁡ (σ) ω п (Икс σ (1),…, Икс σ (К)), {\ Displaystyle \ OperatorName {Alt} (\ omega _ {p}) (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) = {\ frac {1} {k!}} \ sum _ {\ sigma \ in S_ {k}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ omega _ {p} (x_ {\ sigma (1)}, \ dots, x _ {\ sigma (k)}),}

{\ displaystyle \ operatorname {Alt} (\ omega _ {p}) (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) = {\ frac {1} {k !}} \ sum _ {\ sigma \ in S_ {k}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ omega _ {p} (x _ {\ sigma (1)}, \ dots, x _ {\ sigma (k)}),}

где S k - это симметрическая группа на k элементах. Отображение альтернирования постоянно на смежных классах идеала тензорной алгебры, порожденной симметрическими 2-формами, и поэтому спускается до вложения

Alt: ⋀ k T ∗ M → ⨂ k T ∗ M. {\ displaystyle \ operatorname {Alt} \ двоеточие {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} T ^ {*} M \ to {\ bigotimes} ^ {k} T ^ {*} M.}

{\ displaystyle \ operatorname {Alt} \ двоеточие {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} T ^ {*} M \ to { \ bigotimes} ^ {k} T ^ {*} M.}

Эта карта показывает β как полностью антисимметричное ковариантное тензорное поле ранга k. Дифференциальные формы на M находятся во взаимно однозначном соответствии с такими тензорными полями.

Операции

Помимо операций сложения и умножения с помощью скалярных операций, которые возникают из структуры векторного пространства, существует несколько других стандартных операций, определенных для дифференциальных форм. Наиболее важными операциями являются внешнее произведение двух дифференциальных форм, внешняя производная одной дифференциальной формы, внутреннее произведение дифференциальной формы и вектор. поле, производная Ли дифференциальной формы относительно векторного поля и ковариантная производная дифференциальной формы относительно векторного поля на многообразии с определенной связью.

Внешний продукт

Внешний продукт k-формы α и ℓ-формы β является (k + ℓ) -формой, обозначенной α ∧ β. В каждой точке p многообразия M формы α и β являются элементами внешней степени кокасательного пространства в p. Когда внешняя алгебра рассматривается как фактор тензорной алгебры, внешнее произведение соответствует тензорному произведению (по модулю отношения эквивалентности, определяющего внешнюю алгебру).

Антисимметрия, присущая внешней алгебре, означает, что когда α ∧ β рассматривается как полилинейный функционал, он является альтернированным. Однако, когда внешняя алгебра вложила подпространство тензорной алгебры с помощью отображения альтернирования, тензорное произведение α ⊗ β не является альтернированным. Существует явная формула, описывающая внешний вид продукта в этой ситуации. Внешний продукт:

α ∧ β = (k + ℓ)! к! ℓ! Alt ⁡ (α ⊗ β). {\ displaystyle \ alpha \ wedge \ beta = {\ frac {(k + \ ell)!} {k! \ ell!}} \ operatorname {Alt} (\ alpha \ otimes \ beta).}

{\ displaystyle \ alpha \ wedge \ beta = {\ frac {(k + \ ell) !} {k! \ ell!}} \ operatorname {Alt} (\ alpha \ otimes \ beta).}

Это описание полезно для явных вычислений. Например, если k = ℓ = 1, то α ∧ β - это 2-форма, значение которой в точке p представляет собой переменную билинейную форму, определенную как

(α ∧ β) p (v, вес) знак равно α п (v) β п (вес) - α п (вес) β п (v) {\ Displaystyle (\ альфа \ клин \ бета) _ {р} (v, ш) = \ альфа _ {р } (v) \ beta _ {p} (w) - \ alpha _ {p} (w) \ beta _ {p} (v)}

(\ alpha \ wedge \ beta) _ {p} (v, w) = \ alpha _ {p} (v) \ beta _ {p } (w) - \ alpha _ {p} (w) \ beta _ {p} ( v)

для v, w ∈ T p M.

Внешнее произведение билинейно: если α, β и γ - любые дифференциальные формы и если f - любая гладкая функция, то

α ∧ (β + γ) = α ∧ β + α ∧ γ, {\ Displaystyle \ альфа \ клин (\ бета + \ гамма) = \ альфа \ клин \ бета + \ альфа \ клин \ гамма,}

\alpha \wedge (\beta +\gamma)=\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge \gamma,

α ∧ (е ⋅ β) = е ⋅ (α ∧ β). {\ displaystyle \ alpha \ wedge (f \ cdot \ beta) = f \ cdot (\ alpha \ wedge \ beta).}

{\ displaystyle \ alpha \ wedge (f \ cdot \ beta) = f \ cdot (\ alpha \ wedge \ beta).}

Он перекрестно коммутативен (также известен как градуированный коммутатив), что означает, что он удовлетворяет варианту антикоммутативность, которая зависит от степеней форм: если α является k-формой, а β является ℓ-формой, то

α ∧ β = (- 1) k ℓ β ∧ α. {\ displaystyle \ alpha \ wedge \ beta = (- 1) ^ {k \ ell} \ beta \ wedge \ alpha.}

\alpha \wedge \beta =(-1)^{k\ell }\beta \wedge \alpha.

Риманово многообразие

На римановом многообразии, или, в более общем смысле, псевдориманово многообразие, метрика определяет послойный изоморфизм касательного и кокасательного пространств. Это позволяет преобразовывать векторные поля в ковекторные поля и наоборот. Он также позволяет определять дополнительные операции, такие как звездный оператор Ходжа $⋆: Ω k (M) → ∼ Ω n - k (M) {\ displaystyle \ star \ Colon \ Omega ^ { k} (M) \ {\ stackrel {\ sim} {\ to}} \ \ Omega ^ {nk} (M)}$ ${\ displaystyle \ star \ двоеточие \ Omega ^ {k} (M) \ {\ stackrel {\ sim} {\ to}} \ \ Omega ^ {nk} (M) }$ и кодифференциальный $δ: Ω К (М) → Ом К - 1 (М) {\ Displaystyle \ дельта \ двоеточие \ Omega ^ {k} (M) \ rightarrow \ Omega ^ {k-1} (M)}$ ${\ displaystyle \ delta \ двоеточие \ Omega ^ {к} (M) \ rightarrow \ Omega ^ {k-1} (M)}$ , что имеет степень −1 и присоединяется к внешнему дифференциалу d.

Структуры векторных полей

На псевдоримановом многообразии 1-формы можно отождествить с векторными полями; векторные поля имеют дополнительные различные алгебраические структуры, которые перечислены здесь для контекста и во избежание путаницы.

Во-первых, каждое (ко) касательное пространство порождает алгебру Клиффорда, где произведение (ко) вектора на себя задается значением квадратичной формы - в данном случае естественный, индуцированный метрикой . Эта алгебра отличается от внешней алгебры дифференциальных форм, которую можно рассматривать как алгебру Клиффорда, в которой квадратичная форма равна нулю (поскольку внешнее произведение любого вектора на себя равно нулю). Таким образом, алгебры Клиффорда являются неантикоммутативными («квантовыми») деформациями внешней алгебры. Они изучаются в геометрической алгебре.

Другой альтернативой является рассмотрение векторных полей как производных. (Некоммутативная) алгебра дифференциальных операторов, которую они порождают, является алгеброй Вейля и является некоммутативной («квантовой») деформацией симметрической алгебры в векторных полях.

Внешний дифференциальный комплекс

Одним из важных свойств внешней производной является то, что d = 0. Это означает, что внешняя производная определяет коцепной комплекс :

0 → Ω 0 (M) → d Ω 1 (M) → d Ω 2 (M) → d Ω 3 (M) → ⋯ → Ω n (M) → 0. {\ displaystyle 0 \ \ to \ \ Omega ^ {0} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^ {1} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^ {2} (M) \ {\ stackrel {d } {\ to}} \ \ Omega ^ {3} (M) \ \ to \ \ cdots \ \ to \ \ Omega ^ {n} (M) \ \ to \ 0.}

0\ \to \ \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{ \to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \ Omega ^{3}(M)\ \to \ \cdots \ \to \ \Omega ^{n}(M)\ \to \ 0.

Этот комплекс называется комплекс де Рама, и его когомология по определению является когомологией де Рама группы M. По лемме Пуанкаре комплекс де Рама локально точен кроме Ω (M). Ядро в Ω (M) - это пространство локально постоянных функций на M. Следовательно, комплекс является разрешением постоянного пучка R, который, в свою очередь, подразумевает форму уравнения де Рама Теорема: когомологии де Рама вычисляют когомологии пучка из R.

Pullback

. Предположим, что f: M → N гладкая. Дифференциал f - это гладкое отображение df: TM → TN между касательными расслоениями M и N. Это отображение также обозначается f ∗ и называется pushforward . Для любой точки p ∈ M и любого v ∈ T p M существует четко определенный вектор прямой передачи f ∗ (v) в T f (p) N. Однако этого нельзя сказать о векторном поле. Если f не инъективен, скажем, потому что q ∈ N имеет два или более прообраза, то векторное поле может определять два или более различных вектора в T q N. Если f не сюръективен, тогда будет точка q ∈ N, в которой f ∗ вообще не определяет никакого касательного вектора. Поскольку векторное поле на N по определению определяет уникальный касательный вектор в каждой точке N, прямое движение векторного поля не всегда существует.

Напротив, всегда можно отменить дифференциальную форму. Дифференциальную форму на N можно рассматривать как линейный функционал на каждом касательном пространстве. Предварительная композиция этого функционала с дифференциалом df: TM → TN определяет линейный функционал на каждом касательном пространстве M и, следовательно, дифференциальную форму на M. Существование обратных представлений - одна из ключевых особенностей теории дифференциальных форм. Это приводит к существованию обратных отображений в других ситуациях, таких как гомоморфизмы обратного образа в когомологиях де Рама.

Formally, let f : M → N be smooth, and let ω be a smooth k-form on N. Then there is a differential form fω on M, called the pullbackof ω, which captures the behavior of ω as seen relative to f. To define the pullback, fix a point p of M and tangent vectors v1,..., vkto M at p. The pullback of ω is defined by the formula

( f ∗ ω) p ( v 1, …, v k) = ω f ( p) ( f ∗ v 1, …, f ∗ v k). {\displaystyle (f^{*}\omega)_{p}(v_{1},\ldots,v_{k})=\omega _{f(p)}(f_{*}v_{1},\ldots,f_{*}v_{k}).}

(f ^ {*} \ omega) _ {p} (v_ {1}, \ ldots, v_ {k}) = \ omega _ {f (p)} (f _ {*} v_ {1}, \ ldots, f _ {*} v_ {k}).

There are several more abstract ways to view this definition. If ω is a 1-form on N, then it may be viewed as a section of the cotangent bundle TN of N. Using to denote a dual map, the dual to the differential of f is (df) : TN → TM. The pullback of ω may be defined to be the composite

M → f N → ω T ∗ N ⟶ ( d f) ∗ T ∗ M. {\displaystyle M\ {\stackrel {f}{\to }}\ N\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ T^{*}N\ {\stackrel {(df)^{*}}{\longrightarrow }}\ T^{*}M.}

M\ {\stackrel {f}{\to }}\ N\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ T^{*}N\ {\stackrel {(df)^{*}}{\longrightarrow }}\ T^{*}M.

This is a section of the cotangent bundle of M and hence a differential 1-form on M. In full generality, let $⋀ k ( d f) ∗ {\textstyle \bigwedge ^{k}(df)^{*}}$ ${\ textstyle \ bigwedge ^ {k} (df) ^ {*}}$ denote the kth exterior power of the dual map to the differential. Then the pullback of a k-form ω is the composite

M → f N → ω ⋀ k T ∗ N ⟶ ⋀ k ( d f) ∗ ⋀ k T ∗ M. {\displaystyle M\ {\stackrel {f}{\to }}\ N\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}N\ {\stackrel {{\bigwedge }^{k}(df)^{*}}{\longrightarrow }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}M.}

{\ displaystyle M \ {\ stackrel {f} {\ to}} \ N \ {\ stackrel {\ omega} {\ to}} \ {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k } T ^ {*} N \ {\ stackrel {{\ bigwedge} ^ {k} (df) ^ {*}} {\ longrightarrow}} \ {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} T ^ {*} M.}

Another abstract way to view the pullback comes from viewing a k-form ω as a linear functional on tangent spaces. From this point of view, ω is a morphism of vector bundles

⋀ k T N → ω N × R, {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TN\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ N\times \mathbf {R},}

{\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} TN \ {\ stackrel {\ omega} {\ to}} \ N \ times \ mathbf {R},}

where N × Ris the trivial rank one bundle on N. The composite map

⋀ k T M ⟶ ⋀ k d f ⋀ k T N → ω N × R {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TM\ {\stackrel {{\bigwedge }^{k}df}{\longrightarrow }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}TN\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ N\times \mathbf {R} }

{\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} TM \ {\ stackrel {{\ bigwedge} ^ {k} df} {\ longrightarrow}} \ {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} TN \ {\ stackrel {\ omega} {\ to}} \ N \ times \ mathbf {R}}

defines a linear functional on each tangent space of M, and therefore it factors through the trivial bundle M × R. The vector bundle morphism $⋀ k T M → M × R {\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TM\to M\times \mathbf {R} }$ ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TM\to M\times \mathbf {R} }$ defined in this way is fω.

Pullback respects all of the basic operations on forms. If ω and η are forms and c is a real number, then

f ∗ ( c ω) = c ( f ∗ ω), f ∗ ( ω + η) = f ∗ ω + f ∗ η, f ∗ ( ω ∧ η) = f ∗ ω ∧ f ∗ η, f ∗ ( d ω) = d ( f ∗ ω). {\displaystyle {\begin{al igned} f ^ {*} (c \ omega) = c (f ^ {*} \ omega), \\ f ^ {*} (\ omega + \ eta) = f ^ {*} \ omega + f ^ {*} \ eta, \\ f ^ {*} (\ omega \ wedge \ eta) = f ^ {*} \ omega \ wedge f ^ {*} \ eta, \\ f ^ {*} (d \ omega) = d (f ^ {*} \ omega). \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} f ^ {*} (c \ omega) = c (f ^ {*} \ омега), \\ f ^ {*} (\ omega + \ eta) = f ^ {*} \ omega + f ^ {*} \ eta, \\ f ^ {*} (\ omega \ клин \ eta) = f ^ {*} \ omega \ wedge f ^ {*} \ eta, \\ f ^ {*} (d \ omega) = d (f ^ {*} \ omega). \ end {выровнено}}}

Откат формы также можно записать в координатах. Предположим, что x,..., x - координаты на M, y,..., y - координаты на N, и что эти системы координат связаны формулами y = f i (x,..., x) для всех i. Локально на N, ω можно записать как

ω = ∑ i 1 < ⋯ < i k ω i 1 ⋯ i k d y i 1 ∧ ⋯ ∧ d y i k, {\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}<\cdots

{\ displaystyle \ omega = \ sum _ {i_ {1} <\ cdots <i_ {k}} \ omega _ {i_ {1} \ cdots i_ {k}} \, dy ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dy ^ {я_ {к}},}

, где для каждого выбора i 1,..., i k, ω i1⋅⋅⋅i k- вещественная функция от y,..., y. Используя линейность отката и его совместимость с внешним продуктом, откат ω имеет формулу

f ∗ ω = ∑ i 1 < ⋯ < i k ( ω i 1 ⋯ i k ∘ f) d f i 1 ∧ ⋯ ∧ d f i k. {\displaystyle f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots

{\ displaystyle f ^ {*} \ omega = \ sum _ {i_ {1} <\ cdots <i_ {k}} (\ omega _ {i_ {1} \ cdots i_ {k}} \ circ f) \, df_ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge df_ {i_ {k}}.}

Каждая внешняя производная df i может быть разложена в терминах dx,..., dx. Полученная k-форма может быть записана с использованием матриц якобиана :

f ∗ ω = ∑ i 1 < ⋯ < i k ∑ j 1 < ⋯ < j k ( ω i 1 ⋯ i k ∘ f) ∂ ( f i 1, …, f i k) ∂ ( x j 1, …, x j k) d x j 1 ∧ ⋯ ∧ d x j k. {\displaystyle f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots

{\ displaystyle f ^ {*} \ omega = \ sum _ {i_ {1} <\ cdots <i_ {k}} \ sum _ {j_ {1} <\ cdots <j_ {k}} (\ omega _ {i_ {1} \ cdots i_ {k}} \ circ f) {\ frac {\ partial (f_ {i_ {1}}, \ ldots, f_ {i_ {k}})} {\ partial (x ^ {j_ {1}}, \ ldots, x ^ {j_ {k}})}} \, dx ^ {j_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {j_ {k}}.}

Здесь $∂ (fi 1,…, fik) ∂ (xj 1, …, Xjk) {\ displaystyle {\ frac {\ partial (f_ {i_ {1}}, \ ldots, f_ {i_ {k}})} {\ partial (x ^ {j_ {1}}, \ ldots, x ^ {j_ {k}})}}}$ ${\ displaystyle {\ frac { \ partial (f_ {i_ {1}}, \ ldots, f_ {i_ {k}})} {\ partial (x ^ {j_ {1}}, \ ldots, x ^ {j_ {k}})}} }$ обозначает определитель матрицы, элементы которой равны $∂ fim ∂ xjn {\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {i_ {m}} } {\ partial x ^ {j_ {n}}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {i_ {m}}} {\ partial x ^ {j_ {n}}}}}$ , $1 ≤ m, n ≤ k {\ displaystyle 1 \ leq m, n \ leq k}$ $1 \ leq m, n \ leq k$ .

Интегрирование

дифференциал k-форму можно проинтегрировать по ориентированному k-мерному многообразию. Когда k-форма определена на n-мерном многообразии с n>k, то k-форма может быть проинтегрирована по ориентированным k-мерным подмногообразиям. Если k = 0, интегрирование по ориентированным 0-мерным подмногообразиям является просто суммированием подынтегральной функции, вычисленной в точках, с учетом ориентации этих точек. Другие значения k = 1, 2, 3,... соответствуют линейным интегралам, поверхностным интегралам, объемным интегралам и так далее. Существует несколько эквивалентных способов формального определения интеграла дифференциальной формы, и все они зависят от сведения к случаю евклидова пространства.

Интегрирование в евклидовом рекламе

Пусть U - открытое подмножество R . Задайте для R его стандартную ориентацию и U - ограничение этой ориентации. Каждая гладкая n-форма ω на U имеет вид

ω = f (x) dx 1 ∧ ⋯ ∧ dxn {\ displaystyle \ omega = f (x) \, dx ^ {1} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {n}}

\omega =f(x)\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}

для некоторой гладкой функции f: R→ R. Такая функция имеет интеграл в обычном смысле Римана или Лебега. Это позволяет нам определить интеграл от ω как интеграл от f:

∫ U ω = def ∫ U f (x) d x 1 ⋯ d x n. {\ displaystyle \ int _ {U} \ omega \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ int _ {U} f (x) \, dx ^ {1} \ cdots dx ^ {n}.}

{\ displaystyle \ int _ {U} \ omega \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ int _ {U} е (х) \, dx ^ {1} \ cdots dx ^ {n}.}

Чтобы это было четко определено, необходимо зафиксировать ориентацию. Кососимметрия дифференциальных форм означает, что интеграл, скажем, от dx ∧ dx должен быть отрицательным по отношению к интегралу от dx ∧ dx. Интегралы Римана и Лебега не видят этой зависимости от порядка координат, поэтому они оставляют знак интеграла неопределенным. Ориентация разрешает эту двусмысленность.

Интегрирование по цепочкам

Пусть M - n-многообразие, а ω - n-форма на M. Сначала предположим, что существует параметризация M открытым подмножеством евклидова пространства. То есть предположим, что существует диффеоморфизм

φ: D → M {\ displaystyle \ varphi \ двоеточие D \ to M}

{\ displaystyle \ varphi \ двоеточие D \ в M}

, где D ⊆ R . Зададим M ориентации, индуцированную φ. Затем (Рудин 1976) указать интеграл от ω по M как интеграл от φω по D. В координатах это имеет следующее выражение. Зафиксируем карту на M с координатами x,..., x. Тогда

ω = ∑ i 1 < ⋯ < i n a i 1, …, i n ( x) d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i n. {\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}<\cdots

{\ displaystyle \ omega = \ sum _ {i_ {1} <\ cdots <i_ {n}} a_ {i_ {1 }, \ ldots, i_ {n}} ({\ mathbf {x}}) \, dx ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {i_ {n}}.}

Предположим, что φ определяет как

φ (u) = (x 1 (u),…, x n (u)). {\ displaystyle \ varphi ({\ mathbf {u}}) = (x ^ {1} ({\ mathbf {u}}), \ ldots, x ^ {n} ({\ mathbf {u}})). }

\varphi ({\mathbf { u} })=(x^{1}({\mathbf {u} }),\ldots,x^{n}({\mathbf {u} })).

Тогда интеграл можно записать в координатах как

∫ M ω = ∫ D ∑ i 1 < ⋯ < i n a i 1, …, i n ( φ ( u)) ∂ ( x i 1, …, x i n) ∂ ( u 1, …, u n) d u 1 ⋯ d u n, {\displaystyle \int _{M}\omega =\int _{D}\sum _{i_{1}<\cdots

{\ displaystyle \ int _ {M} \ omega = \ int _ {D} \ sum _ {i_ {1} <\ cdots <i_ {n}} a_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n}} (\ varphi ({\ mathbf {u}})) {\ frac {\ partial (x ^ {i_ {1}}, \ ldots, x ^ {i_ {n}})} {\ partial (u ^ {1}, \ dots, u ^ {n})}} \, du ^ {1} \ cdots du ^ {n},}

, где

∂ (xi 1,…, xin) ∂ (u 1,…, un) { \ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ partial (х ^ {i_ {1}}, \ ldots, x ^ {i_ {n}})} {\ partial (u ^ {1}, \ ldots, u ^ {n}))}}}

{\frac {\partial (x^{i_{1}},\ldots,x^{i_{n}})}{\partial (u^{1},\ldots,u^{n})}}

- определитель якобиана. Якобиан существует потому, что φ дифференцируем.

В общем, n-разнообразие может быть параметризовано открытым подмножеством R . Но такая параметры всегда возможна локально, поэтому можно определять интегралы по произвольным группам, определяя их как сумму интегралов по совокупности локальных параметров. Более того, также можно определить параметры k-мерных подмножеств для k < n, and this makes it possible to define integrals of k-forms. To make this precise, it is convenient to fix a standard domain D in R, обычно куба или симплекса. Цепочка k- - это формальная сумма гладких вложений D → M. То есть это набор гладких вложений, каждому из которых присвоена целая кратность. Каждое гладкое вложение определяет k-мерное подмногообразие M. Если имеет вид

c = ∑ i = 1 rmi φ i, {\ displaystyle c = \ sum _ {i = 1} ^ {r} m_ {i} \ varphi _ {i},}

{\ displaystyle c = \ sum _ {i = 1} ^ {r} m_ {i} \ varphi _ {i},}

тогда интеграл k-ω по c определяется как сумма интегралов по члену c:

∫ c ω = ∑ i = 1 rmi ∫ D φ i ∗ ω. {\ displaystyle \ int _ {c} \ omega = \ sum _ {i = 1} ^ {r} m_ {i} \ int _ {D} \ varphi _ {i} ^ {*} \ omega.}

{\ displaystyle \ int _ {c} \ omega = \ sum _ {i = 1} ^ {r} m_ {i} \ int _ { D} \ varphi _ {i} ^ {*} \ omega.}

Этот подход к определению интегрирования по всему прямому представлению М. не менее, это не менее широкое значение может быть гладко триангулировано в незначительном Таким образом, интеграл по M можно определить как интеграл по цепочке, определяемой триангуляцией.

Интеграция с использованием разделов единства

Существует другой подход, изложенный в (Dieudonne 1972) harv error: нет цели: CITEREFDieudonne1972 (help ), что непосредственно придает смысл интегрированию по M, но этот подход требует фиксации ориентации M. Интеграл от n-форм ω на n-мерном разнообразии определяется с помощью диаграмм. Предположим сначала, что имеет носитель на одной положительно ориентированной карте. На этой диаграмме он может быть в открытой подмножестве R . Здесь форма, как и раньше, имеет хорошо определенный интеграл Римана или Лебега. Формула замены и предположение, что диаграмма положительно ориентирована, вместе гарантируют, что интеграл от ω не зависит от выбранной карты. В общем случае нужно записать количество единиц каждого члена в раздел единства, чтобы записать количество единиц каждого члена в раздел единства.

Возможно интегрировать k-формы на ориентированных k-мерных подмногообразиях, используя этот более внутренний подход. Форма возвращается на подмногообразие, где интеграл, как и раньше, определяется с помощью диаграмм. Например, учитывая путь γ (t): [0, 1] → R, интегрирование 1-на пути просто переводит форму обратно в форму f (t) dt на [0, 1], и этот интеграл является интегралом функции f (t) на интервале.

Интегрирование по волокнам

Теорема Фубини утверждает, что интеграл по множеству, являющемуся произведением, может быть вычислен как повторный интеграл по двум факторам в произведении. Это предполагает, что интеграл дифференциальной формы по продукту также должен быть вычислим как повторный интеграл. Геометрическая гибкость дифференциальных форм гарантирует, что это возможно не только для продуктов, но и в более общих положениях. При некоторых гипотезах может быть интегрировано одно изображение, и аналогичные теоремы Фубини - это случай, когда это представление является одним из произведений из его факторов.

Предварительным условием интегрирования волоконно-оптической системы интегрирования требует фиксации ориентации. Пусть M и N - два ориентируемых разнообразия чистых размеров m и n соответственно. Предположим, что f: M → N - сюръективная субмерсия. Отсюда следует, что каждый слой f (y) представляет собой (m - n) -мерным и что вокруг каждой точки M есть карта продукта, которая выглядит как проекция на один из его факторов. Зафиксируем x ∈ M и положим y = f (x). Предположим, что

ω x ∈ ⋀ m T x ∗ M, η y ∈ ⋀ n T y ∗ N, {\ displaystyle {\ begin {align} \ omega _ {x} \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {m} T_ {x} ^ {*} M, \\\ eta _ {y} \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {n} T_ {y} ^ {*} N, \ end {выровнено} }}

{\ displays tyle {\ begin {выровнено} \ omega _ {x} \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {m} T_ {x} ^ {*} M, \\\ eta _ {y} \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {n} T_ {y} ^ {*} N, \ end {align}}}

и что η y не обращается в нуль. После (Dieudonne 1972) harv error: нет цели: CITEREFDieudonne1972 (help ), существует уникальное

σ x ∈ ⋀ m - n T x ∗ (f - 1 (y)) {\ displaystyle \ sigma _ {x} \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {mn} T_ {x} ^ {*} (f ^ {- 1} (y))}

{\ displaystyle \ sigma _ {x} \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {mn} T_ {x} ^ { *} (f ^ {- 1} (y))}

который может быть изучен как фибральная часть ω x относительно η y. Точнее, определим j: f (y) → M как включение. Тогда σ x определяется тем своимством, что

ω x = (f ∗ η y) x ∧ σ x ′ ∈ ⋀ m T x ∗ M, {\ displaystyle \ omega _ {x} = ( е ^ {*} \ eta _ {y}) _ {x} \ wedge \ sigma '_ {x} \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {m} T_ {x} ^ {*} M,}

\omega _{x}=(f^{*}\eta _{y})_{x}\wedge \sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,

где

σ x ′ ∈ ⋀ m - N T x ∗ M {\ displaystyle \ sigma '_ {x} \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {mn} T_ {x} ^ {*} M}

\sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M

- любой (m - n) -ковектор, для которого

σ x = j ∗ σ x ′. {\ displaystyle \ sigma _ {x} = j ^ {*} \ sigma '_ {x}.}

\sigma _{x}=j^{*}\sigma '_{x}.

Форма σ x также может быть обозначена как ω x / η y.

Кроме того, при фиксированном y σ x плавно изменяется относительно x. То есть предположим, что

ω: f - 1 (y) → T ∗ M {\ displaystyle \ omega \ двоеточие f ^ {- 1} (y) \ to T ^ {*} M}

\omega \colon f^{-1}(y)\to T^{*}M

является гладким участок карты проекции; мы говорим, что ω - гладкая дифференциальная m-форма на M вдоль f (y). Тогда существует гладкая дифференциальная (m - n) -форма σ на f (y) такая, что для каждого x ∈ f (y)

σ x = ω x / η y. {\ displaystyle \ sigma _ {x} = \ omega _ {x} / \ eta _ {y}.}

\sigma _{x}=\omega _{x}/\eta _{y}.

Эта форма обозначается ω / η y. Та же конструкция работает, если используется m-образная форма в окрестности слоя, и используются те же обозначения. Как следствие, каждый слой f (y) ориентируем. В частности, выбор форм ориентации на M и N определяет ориентацию каждого слоя f.

Аналог теоремы Фубини выглядит следующим образом. Как и раньше, M и N - два ориентируемых разнообразия чистых размеров m и n, а f: M → N - сюръективная субмерсия. Зафиксируем ориентацию M и N и придадим каждому слою индуцированную ориентацию. Пусть θ - m-форма на M, и пусть ζ - n-форма на N, почти всю положительную относительно ориентацию N. Тогда для почти любого y ∈ N форма θ / ζ y - хорошо определенная интегрируемая форма m - n на f (y). Более того, на N существует интегрируемая n-форма, определяемая формулой

y ↦ (∫ f - 1 (y) θ / ζ y) ζ y. {\ displaystyle y \ mapsto {\ bigg (} \ int _ {f ^ {- 1} (y)} \ theta / \ zeta _ {y} {\ bigg)} \, \ zeta _ {y}.}

{\ displaystyle y \ mapsto {\ bigg (} \ int _ {f ^ {- 1} (y)} \ theta / \ zeta _ {y} {\ bigg)} \, \ zeta _ {y}.}

Обозначим эту форму через

(∫ f - 1 (y) θ / ζ) ζ. {\ displaystyle {\ bigg (} \ int _ {f ^ {- 1} (y)} \ theta / \ zeta {\ bigg)} \, \ zeta.}

{\ displaystyle {\ bigg (} \ int _ {е ^ {- 1} (y)} \ theta / \ zeta {\ bigg)} \, \ zeta.}

Тогда (Dieudonne 1972) harv error: no target: CITEREFDieudonne1972 (help ) доказывает обобщенную формулу Фубини

∫ M θ = ∫ N (∫ f - 1 (y) θ / ζ) ζ. {\ Displaystyle \ int _ {M} \ theta = \ int _ {N} {\ bigg (} \ int _ {f ^ {- 1} (y)} \ theta / \ zeta {\ bigg)} \, \ zeta.}

{\ displaystyle \ int _ {M} \ theta = \ int _ {N} {\ bigg ( } \ int _ {f ^ {- 1} (y) } \ theta / \ zeta {\ bigg)} \, \ zeta.}

Также возможно интегрировать формы других степеней вдоль волоконного кабеля. Предположим, самое предположение, что и раньше, и пусть α - (m - n + k) -форма с компактным носителем на M. Тогда существует k-форма γ на N, которая является результатом интегрирования α вдоль слоев f. Форма α определяется указанием для каждого y ∈ N того, как α соединяется с каждым k-вектором v в y, и пара является интегралом по f (y), который зависит только от α, v, и ориентации M и N.Точнее, для каждого y ∈ N существует изоморфизм

⋀ k T y N → ⋀ m - k T y ∗ N {\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} T_ {y} N \ to {\ textstyle \ bigwedge} ^ {mk} T_ {y} ^ {*} N}

{\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} T_ {y} N \ to {\ textstyle \ bigwedge} ^ {mk} T_ {y} ^ {*} N}

внутренним продуктом

v ↦ v ⌟ ζ y. {\ Displaystyle \ mathbf {v} \ mapsto \ mathbf {v} \, \ lrcorner \, \ zeta _ {y}.}

\mathbf {v} \mapsto \mathbf {v} \, \lrcorner \,\zeta _{y}.

Если x ∈ f (y), то k-вектор v в y определяет (m - k) -ковектор в точке x посредством обратного преобразования:

f ∗ (v ⌟ ζ y) ∈ ⋀ m - k T x ∗ M. {\ displaystyle f ^ {*} (\ mathbf {v} \, \ lrcorner \, \ zeta _ {y}) \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {mk} T_ {x} ^ {*} M.}

{\ displaystyle f ^ {*} (\ mathbf {v} \, \ lrcorner \, \ zeta _ {y}) \ in { \ textstyle \ bigwedge} ^ {mk} T_ {x} ^ {*} M.}

Каждый из этих ковекторов имеет внешнее произведение относительно α, поэтому существует (m - n) -форма β vна M вдоль f (y), определяемая формулой

(β v) x = (α x ∧ f ∗ (v ⌟ ζ y)) / ζ y ∈ ⋀ м - N T Икс * M. {\ Displaystyle (\ beta _ {\ mathbf {v}}) _ {x} = \ left (\ alpha _ {x} \ клин f ^ {*} (\ mathbf { v} \, \ lrcorner \, \ zeta _ {y}) \ right) {\ big /} \ zeta _ {y} \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {mn} T_ {x} ^ {*} M.}

{\ displaystyle (\ beta _ {\ mathbf {v}}) _ {x} = \ left (\ alpha _ {x } \ клин е ^ {*} (\ mathbf {v} \, \ lrcorner \, \ zeta _ {y}) \ right) {\ big /} \ zeta _ {y} \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {mn} T_ {x} ^ {*} M.}

Эта форма зависит от ориентации N, но не выбор ζ. Тогда k-форма γ однозначно определяется своим

⟨γ y, v⟩ = ∫ f - 1 (y) β v (x), {\ displaystyle \ langle \ gamma _ {y}, \ mathbf {v} \ rangle = \ int _ {f ^ {- 1} (y)} \ beta _ {\ mathbf {v}} (x),}

\langle \gamma _{y},\mathbf {v} \rangle =\int _{f^{-1}(y)}\beta _{\mathbf {v} }(x),

и γ гладкий (Dieudonne 1972) harv error: нет цели: CITEREFDieudonne1972 (справка ). Эта форма также обозначается α и называется интегралом α вдоль слоев f . Интегрирование по слоям важно для построения отображений Гизена в когомологиях де Рама.

Интегрирование вдоль покрывает формуле проекции (Dieudonne 1972). Ошибка: нет цели: CITEREFDieudonne1972 (help ). Если λ - любая ℓ-форма на N, то

α ♭ ∧ λ = (α ∧ f ∗ λ) ♭. {\ displaystyle \ alpha ^ {\ flat} \ wedge \ lambda = (\ alpha \ wedge f ^ {*} \ lambda) ^ {\ flat}.}

\alpha ^{\flat }\wedge \lambda =(\alpha \wedge f^{*}\lambda)^{\flat }.

Теорема Стокса

Фундаментальная взаимосвязь между внешней производная и интегрирование задаются теоремой Стокса : если ω является (n - 1) -формой с компактным носителем на M, а ∂M обозначает границу M с его индуцированная ориентация, тогда

∫ M d ω = ∫ ∂ M ω. {\ displaystyle \ int _ {M} d \ omega = \ int _ {\ partial M} \ omega.}

{\ displaystyle \ int _ {M} d \ omega = \ int _ {\ partial M} \ omega.}

Ключевым следствием является то формы, что «интеграл замкнутой по гомологичным цепям равенство»: если ω - замкнутая k -форма, а M и N - гомологичные k-цепи (такие, что M - N является границей (k + 1) -цепи W), то $∫ M ω = ∫ N ω {\ displaystyle \ textstyle {\ int _ {M} \ omega = \ int _ {N} \ omega}}$ $\textstyle {\int _{M}\omega =\int _{N}\omega }$ , поскольку разница составляет интеграл $∫ W d ω = ∫ W 0 = 0 {\ displaystyle \ textstyle \ int _ { W} d \ omega = \ int _ {W} 0 = 0}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {W} d \ omega = \ int _ {W} 0 = 0}$ .

, если ω = df - производная потенциальной функции на плоскости или R, то интеграл от ω по пути от a до b не зависит от выбора пути (интеграл равенство f (b) - f (a)), поскольку разные пути с заданными конечными точками равны гомотопный, следовательно, гомологичный (более слабое условие). Этот случай называется градиентной теоремой и обобщает фундаментальные теорему исчисления. Эта независимость пути очень полезна в интегрировании контуров.

Эта теорема также основана на двойственности между когомологиями де Рама и гомологиями цепочек.

Связь с мерами

На общем дифференцируемом множестве (без дополнительных структур) дифференциальные не могут быть интегрированы по формам подмноже разнообразия; это различие является ключом к различию между различными формами, которые интегрируются по цепочкам или ориентированным подмногообразиям, и мерами, которые интегрируются по подмножествам. Самый простой пример - попытка интегрировать 1-форму dx на интервале [0, 1]. Предполагаемое обычное расстояние (и, следовательно, меру) на действительной прямой, этот интеграл равен 1 или -1, в зависимости от ориентации: $∫ 0 1 dx = 1 {\ displaystyle \ textstyle {\ int _ {0} ^ { 1} dx = 1}}$ $\tex tstyle {\int _{0}^{1}dx=1}$ , а $∫ 1 0 dx = - ∫ 0 1 dx = - 1 {\ displaystyle \ textstyle {\ int _ {1} ^ {0} dx = - \ int _ {0} ^ {1} dx = -1}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ int _ {1} ^ {0} dx = - \ int _ {0} ^ {1} dx = -1}}$ . Напротив, интеграл меры | dx | на интервале однозначно равно 1 (т.е. интеграл постоянной функции 1 по этой мере равенству 1). Аналогично при изменении изменяемая n-форма изменяется на определитель Якоби J, тогда как мера изменяется на абсолютное значение определителя Якоби | J, что другой отражает проблему ориентации. Например, при отображении x ↦ −x на прямой дифференциальной форме dx возвращается к −dx; ориентация изменилась; в то как мера Лебега, которую мы здесь обозначаем | dx |, возвращается к | dx |; это не меняется.

При наличии дополнительных данных ориентации можно интегрировать n-формы (многомерные формы) по всему разнообразию или по компактным подмножествам; интегрирование по множеству интегрированию формы по фундаментальному классу многообразия [M]. Формально при наличии ориентации можно идентифицировать n-формы с плотностями на множестве ; плотность, в свою очередь, определяет меру и таким образом, могут быть интегрированы (Folland 1999, раздел 11.4, стр. 361–362).

На ориентируемом, но не ориентированном многообразии есть два варианта ориентации; любой выбор позволяет интегрировать n-по компактным подмножествам, причем эти два варианта отличаются знаком. На неориентируемых множественных формах нет форм, но нет исчезающих нигде плотности - таким образом, хотя можно интегрировать, что любая многомерная форма должна где-то исчезнуть (на неориентируемых разнообразиях нет форм ) плотности по компактным подмножествам, нельзя интегрировать n-формы. Вместо этого можно идентифицировать плотность с помощью многомерных псевдоформ.

. Даже при наличии ориентации в целом нет значимого параметра интегрированной формы по подмножествам для k < n because there is no consistent way to use the ambient orientation to orient k-dimensional subsets. Geometrically, a k-dimensional subset can be turned around in place, yielding the same subset with the opposite orientation; for example, the horizontal axis in a plane can be rotated by 180 degrees. Compare the определителя Грама множества k векторов в n-мерном пространстве, которое, в отличие от определителя n векторов, всегда положительно, что соответствует квадрату числа. Следовательно, k-подмногообразия - это дополнительные данные, которые нельзя получить из объемлющего разнообразия.

На римановом множестве можно определить k-мерную меру Хаусдорфа для любого k (целого или вещественного), которая может быть проинтегрирована по k-мерным подмножествам многообразия. Функция затем, умноженная на эту меру Хаусдорфа, может быть проинтегрирована по k-мерным подмножествам, что дает теоретико-мерный аналог интегрирования k-форм. N-мерная мера Хаусдорфа дает плотность, как указано выше.

Токи

Дифференциальный аналог распределения или обобщенной функции называется током. Пространство к-токов на M - это пространство, сопряженное с подходящим пространством дифференциальных к-форм. Токи играют роль обобщенных областей интеграции, подобных цепям, но даже более гибких.

Приложения в физике

Дифференциальные формы возникают в некоторых важных конкретных контекстах. Например, в теории Максвелла электромагнетизма, 2-форма Фарадея или напряженность электромагнитного поля равна

F = 1 2 fabdxa ∧ dxb, {\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {1} {2}} f_ {ab} \, dx ^ {a} \ wedge dx ^ {b} \,,}

{\textbf {F}}={\frac {1}{2}}f_{ab}\,dx^{a}\wedge dx^{b}\,,

где f ab формируются из электромагнитных полей $E → {\ displaystyle {\ vec {E}}}$ ${\ vec {E}}$ и $B → {\ displaystyle {\ vec {B}}}$ ${\ vec {B}}$ ; например, f 12 = E z / c, f 23 = -B z или эквивалентные определения.

Эта форма является частным случаем формы кривизны на U(1) главной связке, на которой и электромагнетизм, и общие калибровочные теории могут быть батареи. Форма связи для основного пучка - это потенциал, обычно обозначаемый A, когда он представлен в некоторой шкале. Тогда

F = d A. {\ displaystyle {\ textbf {F}} = d {\ textbf {A}}.}

{\textbf {F}}=d{\textbf {A}}.

Текущая 3-форма равна

J = 1 6 ja ε abcddxb ∧ dxc ∧ dxd, {\ displaystyle {\ textbf {J}} = {\ frac {1} {6}} j ^ {a} \, \ varepsilon _ {abcd} \, dx ^ {b} \ wedge dx ^ {c} \ wedge dx ^ {d} \,,}

{\ displaystyle {\ textbf {J}} = {\ frac {1} {6}} j ^ {a} \, \ vareps ilon _ {abcd} \, dx ^ {b} \ wedge dx ^ {c} \ wedge dx ^ {d} \,,}

где j - четыре компонента плотности тока. (Здесь принято писать F ab вместо f ab, то есть использовать заглавные буквы и писать J вместо j. Однако вектор rsp. Тензор компоненты и вышеуказанные формы имеют разные физические размеры. Более того, по решению международной комиссии Международного союза чистой и прикладной физики вектор магнитной поляризации назван $J → {\ displaystyle {\ vec {J}}}$ ${\ vec {J}}$ в течение нескольких десятилетий, и некоторыми издателями J, т.е. одно и то же имя используется для разных количеств.)

Использование вышеуказанного -упомянутые определения, уравнения Максвелла могут быть записаны очень компактно в геометрических единицах как

d F = 0 d ⋆ F = J, {\ displaystyle {\ begin {align} d {\ textbf {F}} = {\ textbf {0}} \\ d {\ star {\ textbf {F}}} = {\ textbf {J}}, \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {выровнено } d {\ textbf {F}} = {\ textbf {0}} \\ d {\ star {\ textbf {F}}} = {\ textbf {J}}, \ end {align}}}

где $⋆ {\ displaystyle \ star}$ $\ star$ обозначает оператор звезды Ходжа. Подобные соображения описывают геометрию калибровочных теорий в целом.

2-форма $⋆ F {\ displaystyle {\ star} \ mathbf {F}}$ ${\ displaystyle {\ star} \ mathbf {F}}$ , которая двойственна форме Фарадея, является также называемый 2-формой Максвелла .

Электромагнетизм является примером U(1) калибровочной теории. Здесь группа Ли - это U (1), одномерная унитарная группа, которая, в частности, является абелевой. Существуют калибровочные теории, такие как теория Янга – Миллса, в которых группа Ли не абелева. В этом случае получаются отношения, аналогичные описанным здесь. Аналогом поля F в таких теориях является форма кривизны связности, которая представлена в калибровке алгеброй Ли -значной однозначной формой A . Поле Янга – Миллса F затем определяется как

F = d A + A ∧ A. {\ displaystyle \ mathbf {F} = d \ mathbf {A} + \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A}.}

\ mathbf {F} = d \ mathbf {A} + \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A}.

В абелевом случае, таком как электромагнетизм, A∧ A= 0, но это не держит в целом. Аналогичным образом уравнения поля модифицируются дополнительными членами, включающими внешние произведения A и F, благодаря структурным уравнениям калибровочной группы.

Приложения в геометрической теории меры

Многочисленные результаты о минимальности для комплексных аналитических многообразий основаны на неравенстве Виртингера для 2-форм. Краткое доказательство можно найти в классическом тексте Герберта Федерера «Теория геометрической меры». Неравенство Виртингера также является ключевым элементом неравенства Громова для сложного проективного пространства в систолической геометрии.

См. Также

Примечания

Ссылки

Bachman, David (2006), A Geometric Подход к дифференциальным формам, Биркхойзер, ISBN 978-0-8176-4499-4
Бахман, Дэвид (2003), Геометрический подход к дифференциальным формам, arXiv : math / 0306194v1, Bibcode : 2003math...... 6194B
Картан, Генри (2006), Differential Forms, Dover, ISBN 0-486-45010-4 - Перевод Formes différentielles (1967)
Дьедонне, Жан (1972), Трактат по анализу, 3, Нью-Йорк-Лондон: Academic Press, Inc., MR 0350769
Эдвардс, Гарольд М. (1994), Advanced Calculus; Подход с помощью дифференциальных форм, Бостон, Базель, Берлин: Birkhäuser, doi : 10.1007 / 978-0-8176-8412-9, ISBN 978 -0-8176-8411-2
Фолланд, Джеральд Б. (1999), Реальный анализ: современные методы и их приложения (второе издание), ISBN 978-0 -471-31716-6, в последнем разделе дается краткое обсуждение интегрирования на многообразиях с точки зрения теории меры.
Flanders, Harley (1989) [1964], Дифференциальные формы с приложения к физическим наукам, Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-66169-5
Флеминг, Венделл Х. (1965), «Глава 6: Внешняя алгебра и дифференциальное исчисление ", Функции нескольких переменных, Addison-Wesley, pp. 205–238. Этот учебник по многомерному исчислению вводит внешнюю алгебру дифференциальных форм на уровне колледжа.
Морита, Шигеюки (2001), Геометрия дифференциальных форм, AMS, ISBN 0-8218-1045-6
Рудин, Уолтер (1976), Принципы математического анализа, Нью-Йорк: McGraw-Hill, ISBN 0 -07-054235-X
Спивак, Майкл (1965), Исчисление на многообразиях, Менло-Парк, Калифорния: WA Benjamin, ISBN 0-8053 -9021-9, стандартный вводный текст
Tu, Loring W. (2008), An Introduction to Manifolds, Universitext, Springer, doi : 10.1007 / 978- 1-4419-7400-6, ISBN 978-0-387-48098-5
Зорич, Владимир А. (2004), Математический анализ II, Springer, ISBN 3-540-40633-6

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик У. « Дифференциальная форма». MathWorld.
Sjamaar, Reyer (2006), Конспект лекций по многообразиям и дифференциальным формам, курс, преподаваемый в Корнельском университете.
Бахман, Дэвид (2003), Геометрический подход к Дифференциальные формы, arXiv : math / 0306194, Bibcode : 2003math...... 6194B, текст для студентов.
Джонс, Фрэнк, Интегрирование на многообразиях (PDF)