Векторное поле

Назначение вектора каждой точке в подмножестве евклидова пространства Часть векторного поля (sin y, sin x)

В векторном исчислении и физике векторное поле представляет собой присвоение вектора каждой точке в подмножестве space. Например, векторное поле на плоскости можно визуализировать как набор стрелок с заданной величиной и направлением, каждая из которых прикреплена к точке на плоскости. Векторные поля часто используются для моделирования, например, скорости и направления движущейся жидкости в пространстве или силы и направления некоторой силы, такой как магнитное или гравитационная сила, поскольку она изменяется от одной точки к другой.

Элементы дифференциального и интегрального исчисления естественным образом распространяются на векторные поля. Когда векторное поле представляет собой силу, линейный интеграл векторного поля представляет работу, совершаемую силой, движущейся по траектории, и согласно этой интерпретации закон сохранения энергии представлен как частный случай фундаментальной теоремы исчисления. Векторные поля можно с пользой рассматривать как представление скорости движущегося потока в пространстве, и эта физическая интуиция приводит к таким понятиям, как дивергенция (которая представляет скорость изменения объема потока) и curl (который представляет вращение потока).

В координатах векторное поле в области в n-мерном евклидовом пространстве может быть представлено как вектор-функция, которая связывает кортеж из n вещественных чисел. номера в каждую точку домена. Это представление векторного поля зависит от системы координат, и существует четко определенный закон преобразования при переходе от одной системы координат к другой. Векторные поля часто обсуждаются на открытых подмножествах евклидова пространства, но также имеют смысл и на других подмножествах, таких как поверхности, где они связывают стрелку, касательную к поверхности в каждой точке ( 137>касательный вектор ).

В более общем смысле векторные поля определяются на дифференцируемых многообразиях, которые представляют собой пространства, которые выглядят как евклидово пространство в малых масштабах, но могут иметь более сложную структуру в больших масштабах. В этой настройке векторное поле дает касательный вектор в каждой точке многообразия (то есть, сечение касательного пучка к многообразию). Векторные поля - это один из видов тензорного поля.

• 1 Определение
  • 1.1 Векторные поля на подмножествах евклидова пространства
  • 1.2 Закон преобразования координат
  • 1.3 Векторные поля на многообразиях
• 2 Примеры
  • 2.1 Градиентное поле в евклидовых пространствах
  • 2.2 Центральное поле в евклидовых пространствах
• 3 Операции с векторными полями
  • 3.1 Интеграл по прямой
  • 3.2 Дивергенция
  • 3.3 Изгиб в трех измерениях
  • 3.4 Индекс векторного поля
• 4 Физическая интуиция
• 5 Кривые потока
  • 5.1 Полные векторные поля
• 6 f-связь
• 7 Обобщения
• 8 См. Также
• 9 Ссылки
• 10 Библиография
• 11 Внешние ссылки

Векторные поля на подмножествах евклидова пространства

Два представления одного и того же векторного поля: v (x, y) = - г . Стрелки изображают поле в дискретных точках, однако поле существует везде.

Для подмножества S в R векторное поле представлено вектором оцененная функция V: S → R в стандартных декартовых координатах (x 1,..., x n). Если каждый компонент V является непрерывным, то V является непрерывным векторным полем, и в более общем плане V является векторным полем C, если каждый компонент V k раз непрерывно дифференцируем.

Векторное поле можно визуализировать как присваивающее вектор к отдельным точкам в n-мерном пространстве.

Для двух C-векторных полей V, W, определенных на S, и вещественной C-функции f, определенной на S, две операции скалярного умножения и сложения векторов

$(е\; В)\; (п):\; знак\; равно\; е\; (п)\; В\; (р)\; \{\backslash \; Displaystyle\; (fV)\; (р):\; =\; е\; (р)\; V\; (р)\; \backslash ,\}$

$(V\; +\; W)\; (\; p):\; =\; V\; (p)\; +\; W\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; (V\; +\; W)\; (p):\; =\; V\; (p)\; +\; W\; (p)\; \backslash ,\}$

определить модуль C-векторных полей над кольцом C-функций, где умножение функций определено поточечно (следовательно, оно коммутативно с мультипликативным тождеством f id (p): = 1).

Закон преобразования координат

В физике вектор дополнительно различается тем, как меняются его координаты, когда один и тот же вектор измеряется относительно другой системы координат фона. Свойства преобразования векторов отличают вектор как геометрически отличную сущность от простого списка скаляров или от ковектора .

Таким образом, предположим, что (x 1,..., x n) - выбор декартовых координат, в терминах которых компоненты вектора V равны

$V\; x\; =\; (V\; 1,\; x,\dots ,\; V\; n,\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{x\}\; =\; (V\_\; \{1,\; x\},\; \backslash \; dots,\; V\_\; \{n,\; x\})\}$

и предположим, что (y 1,..., y n) - n функций от x i, определяющих другую систему координат. Тогда компоненты вектора V в новых координатах должны удовлетворять закону преобразования

$V\; i,\; y\; =\; \sum \; j\; =\; 1\; n\; \partial \; y\; i\; \partial \; x\; j\; V\; j,\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{i,\; y\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\}\}\; V\_\; \{j,\; x\}.\}$

(1)

Такой закон преобразования называется контравариантным. Аналогичный закон преобразования характерен для векторных полей в физике: в частности, векторное поле представляет собой спецификацию n функций в каждой системе координат, подчиняющейся закону преобразования (1), относящемуся к различным системам координат.

Векторные поля, таким образом, противопоставляются скалярным полям, которые связывают число или скаляр с каждой точкой в ​​пространстве, а также противопоставляются простым спискам скалярных полей, которые не преобразуются под действием координат. изменения.

Векторные поля на многообразиях

Векторное поле на сфере

Для дифференцируемого многообразия $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$, векторное поле на $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$представляет собой присвоение касательного вектора каждой точке в $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$. Точнее, векторное поле $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$представляет собой отображение из $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$в касательная связка $TM\; \{\backslash \; displaystyle\; TM\}$, так что $p\; \circ \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; circ\; F\}$- отображение идентичности, где $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$обозначает проекцию из $TM\; \{\backslash \; displaystyle\; TM\}$на $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$. Другими словами, векторное поле - это раздел касательного пучка .

. Альтернативное определение: гладкое векторное поле $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$на многообразие $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$- линейное отображение $X:\; C\; \infty \; (M)\; \to \; C\; \infty \; (M)\; \{\backslash \; displaystyle\; X:\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (M)\; \backslash \; rightarrow\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (M)\}$так, что $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$является производной : $X\; (fg)\; =\; е\; Икс\; (g)\; +\; X\; (f)\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (fg)\; =\; fX\; (g)\; +\; X\; (f)\; g\}$для всех $f,\; g\; \in \; C\; \infty \; (M)\; \{\backslash \; displaystyle\; f,\; g\; \backslash \; in\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (M)\}$.

Если многообразие $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$гладкое или аналитическое, то есть, смена координат гладкая (аналитическая) - тогда можно понять понятие гладких (аналитических) векторных полей. Совокупность всех гладких векторных полей на гладком многообразии $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$часто обозначается $\Gamma \; (TM)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (TM)\}$или $C\; \infty \; (M,\; TM)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (M,\; TM)\}$(особенно если рассматривать векторные поля как разделы ) ; набор всех гладких векторных полей также обозначается $X\; (M)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{X\}\}\; (M)\}$(a fraktur " ИКС").

Поле потока вокруг самолета - это векторное поле в R, здесь визуализированное пузырьками, которые следуют за линиями тока , показывая вихрь на концах крыла . Векторные поля обычно используются для создания узоров в компьютерной графике. Здесь: абстрактная композиция кривых, следующих за векторным полем, созданным с помощью шума OpenSimplex.

• Векторное поле для движения воздуха на Земле будет связывать для каждой точки на поверхности Земли вектор со скоростью и направлением ветра для этот момент. Его можно нарисовать стрелками, чтобы обозначить ветер; длина (величина ) стрелки будет показывать скорость ветра. «Высокий» на обычной карте барометрического давления тогда будет действовать как источник (стрелки указывают в сторону), а «низкий» будет служить опусканием (стрелки указывают в сторону), поскольку воздух имеет тенденцию перемещаться с высокого области давления в области низкого давления.
• Поле скорости движущейся жидкости. В этом случае вектор скорости связан с каждой точкой в ​​жидкости.
• Линии тока, штриховые линии и траектории - это 3 типа линий, которые могут быть построены из (зависящих от времени) векторных полей.. Это:

штриховые линии - линия, образованная частицами, проходящими через определенную фиксированную точку в разное время

траектории - показывающие путь, по которому будет следовать данная частица (нулевой массы).

линии тока (или силовые линии) - путь частицы, на которую влияет мгновенное поле (т.е. путь частицы, если поле удерживается фиксированным).

• Магнитные поля. Линии поля могут быть обнаружены с помощью небольших железных опилок.
• Уравнения Максвелла позволяют нам использовать заданный набор начальных и граничных условий для вывода для каждой точки в евклидовом пространстве, величина и направление силы, испытываемой заряженной пробной частицей в этой точке; результирующее векторное поле - это электромагнитное поле.
• A гравитационное поле, создаваемое любым массивным объектом, также является векторным полем. Например, все векторы гравитационного поля для сферически-симметричного тела будут указывать в сторону центра сферы, причем величина векторов будет уменьшаться по мере увеличения радиального расстояния от тела.

Градиентное поле в евклидовом пространстве

Векторное поле, которое имеет циркуляцию вокруг точки нельзя записать как градиент функции.

Векторные поля могут быть построены из скалярных полей с использованием оператора gradient (обозначается del : ∇).

Векторное поле V, определенное на открытом наборе S, называется градиентным полем или консервативным полем если существует вещественная функция (скалярное поле) f на S такая, что

$V\; =\; \nabla \; f\; =\; (\partial \; f\; \partial \; x\; 1,\; \partial \; f\; \partial \; x\; 2,\; \partial \; f\; \partial \; x\; 3,\dots ,\; \partial \; f\; \partial \; xn).\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \backslash \; nabla\; f\; =\; \{\backslash \; bigg\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{1\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{2\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{3\}\}\},\; \backslash \; dots,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{n\}\}\}\; \{\backslash \; bigg)\}.\}$

Связанные поток называется градиентным потоком и используется в методе градиентного спуска.

интеграл по пути вдоль любой замкнутой кривой γ (γ (0) = γ (1)) в консервативном поле равно нулю:

$\oint \; \gamma \; V\; (x)\; \cdot \; dx\; =\; \oint \; \gamma \; \nabla \; f\; (x)\; \cdot \; dx\; =\; f\; (\gamma \; (1))\; -\; f\; (\gamma \; (0)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; gamma\}\; V\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\})\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\; =\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; gamma\}\; \backslash \; nabla\; f\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\; x\}\})\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\; =\; f\; (\backslash \; gamma\; (1))\; -\; f\; (\backslash \; gamma\; (0)).\}$

Центральное поле в евклидовых пространствах

C-векторное поле над R \ {0} называется центральным полем, если

$V\; (T\; (p))\; =\; T\; (V\; (p))\; (\; T\; \in \; O\; (N,\; R))\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; (T\; (p))\; =\; T\; (V\; (p))\; \backslash \; qquad\; (T\; \backslash \; in\; \backslash \; mathrm\; \{O\}\; (n,\; \backslash \; mathbf\; \{R\}))\}$

, где O (n, R ) - это ортогональная группа. Мы говорим, что центральные поля инвариантны относительно ортогональных преобразований вокруг 0.

Точка 0 называется центром поля.

Поскольку ортогональные преобразования на самом деле являются вращениями и отражениями, условия инвариантности означают, что векторы центрального поля всегда направлены к 0 или от него; это альтернативное (и более простое) определение. Центральное поле всегда является полем градиента, так как определение его на одной полуоси и интегрирование дает антиградиент.

Линейный интеграл

Распространенным методом в физике является интегрирование векторного поля по кривой, также называемое определением его линейный интеграл. Интуитивно это суммирует все компоненты вектора по касательным к кривой, выраженные как их скалярные произведения. Например, для частицы в силовом поле (например, гравитации), где каждый вектор в некоторой точке пространства представляет силу, действующую там на частицу, линейный интеграл вдоль определенного пути представляет собой работу, совершаемую частицей, когда она движется. по этому пути. Интуитивно это сумма скалярных произведений вектора силы и вектора малой касательной в каждой точке кривой.

Линейный интеграл строится аналогично интегралу Римана и существует, если кривая спрямляема (имеет конечную длину) и векторное поле непрерывно.

Для векторного поля V и кривой γ, параметризованного параметром t в [a, b] (где a и b - действительные числа ), линейный интеграл определяется как

$\int \; \gamma \; V\; (x)\; \cdot \; dx\; =\; \int \; ab\; V\; (\gamma \; (t))\; \cdot \; \gamma \; \dot{}\; (t)\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; gamma\}\; V\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\})\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; V\; (\backslash \; gamma\; (\; t))\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; (t)\; \backslash ;\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t.\}$

Дивергенция

Дивергенция векторного поля на евклидовом пространство - это функция (или скалярное поле). В трехмерном пространстве дивергенция определяется как

$div\; \; F\; =\; \nabla \; \cdot \; F\; =\; \partial \; F\; 1\; \partial \; x\; +\; \partial \; F\; 2\; \partial \; y\; +\; \partial \; F\; 3\; \partial \; z,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{div\}\; \backslash \; mathbf\; \{\; F\}\; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; +\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\},\}$

с очевидным обобщением на произвольные размеры. Дивергенция в точке представляет собой степень, в которой небольшой объем вокруг точки является источником или стоком для векторного потока, результат, который уточняется теоремой дивергенции.

Дивергенция также может быть определена на риманово многообразие, то есть многообразие с римановой метрикой, которое измеряет длину векторов.

Curl в трех измерениях

curl - это операция, которая берет векторное поле и создает другое векторное поле. Изгиб определяется только в трех измерениях, но некоторые свойства изгиба могут быть зафиксированы в более высоких измерениях с помощью внешней производной. В трех измерениях он определяется как

$curl\; F\; =\; \nabla \; \times \; F\; =\; (\partial \; F\; 3\; \partial \; y\; -\; \partial \; F\; 2\; \partial \; z)\; e\; 1\; -\; (\partial \; F\; 3\; \partial \; x\; -\; \partial \; F\; 1\; \partial \; z)\; e\; 2\; +\; (\partial \; F\; 2\; \partial \; х\; -\; \partial \; F\; 1\; \partial \; у)\; е\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{curl\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; -\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{3\}.\}$

Ротор измеряет плотность углового момента векторный поток в точке, то есть степень, до которой поток циркулирует вокруг фиксированной оси. Это интуитивное описание уточняется теоремой Стокса.

Индекс векторного поля

Индекс векторного поля - это целое число, которое помогает описать поведение векторного поля вокруг изолированного нуля. (т. е. изолированная особенность поля). На плоскости индекс принимает значение -1 в сингулярности седла, но +1 в сингулярности источника или стока.

Пусть размерность многообразия, на котором определено векторное поле, равна n . Возьмем небольшую сферу S вокруг нуля так, чтобы никакие другие нули не лежали внутри S. Отображение этой сферы на единичную сферу размерности n - 1 может быть построено путем деления каждого вектора на этой сфере на его длину, чтобы сформировать вектор единичной длины, который является точкой на единичной сфере S. Это определяет непрерывное отображение от S до S. Индекс векторного поля в точке равен степени этой карты. Можно показать, что это целое число не зависит от выбора S, а значит, зависит только от самого векторного поля.

Индекс векторного поля в целом определяется, когда он имеет лишь конечное число нулей. В этом случае все нули изолированы, а индекс векторного поля определяется как сумма индексов во всех нулях.

Индекс не определен ни в одной неособой точке (т. Е. В точке, где вектор не равен нулю). он равен +1 вокруг источника и, в более общем смысле, равен (-1) вокруг седла, которое имеет k сжимающихся размеров и n-k расширяющихся размеров. Для обычной (2-мерной) сферы в трехмерном пространстве можно показать, что индекс любого векторного поля на сфере должен быть 2. Это показывает, что каждое такое векторное поле должно иметь нуль. Отсюда следует теорема о волосатом шарике, которая гласит, что если вектор в R назначается каждой точке единичной сферы S непрерывным образом, то невозможно «зачесать волосы плоско», т. Е. выбрать векторы непрерывным образом так, чтобы все они были ненулевыми и касались S.

Для векторного поля на компактном многообразии с конечным числом нулей теорема Пуанкаре-Хопфа утверждает, что индекс векторного поля равен эйлеровой характеристике многообразия.

Магнитные силовые линии железного стержня (магнитный диполь )

Майкл Фарадей, в своей концепции силовых линий, подчеркнул, что само поле должно быть объектом изучения, которым оно стало во всей физике в форме теории поля.

Помимо магнитного поля, другие явления, которые моделировались Фарадеем, включают электрическое поле и световое поле.

Рассмотрим поток жидкости через область пространства. В любой момент времени любая точка жидкости имеет определенную скорость, связанную с ней; таким образом, существует вектор поле, связанное с любым потоком. Верно и обратное: можно связать поток с векторным полем, имеющим это векторное поле в качестве его скорости.

Учитывая векторное поле V, определенное на S, можно определить кривые γ (t) на S так, что для каждого t в интервале I

$\gamma \; \prime \; (t)\; =\; V\; (\gamma \; (t)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \text{'}(t)\; =\; V\; (\backslash \; gamma\; (t))\; \backslash ,.\}$

Согласно Пикар-Линделёф По теореме, если V липшицево, существует единственная C-кривая γ x для каждой точки x в S, так что для некоторого ε>0

$\gamma \; Икс\; (0)\; знак\; равно\; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; гамма\; \_\; \{х\}\; (0)\; =\; х\; \backslash ,\}$

$\gamma \; x\; \prime \; (t)\; =\; V\; (\gamma \; x\; (t))\; \forall \; t\; \in \; (-\; \epsilon ,\; +\; \epsilon )\; \subset \; R.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \text{'}\_\; \{x\}\; (t)\; =\; V\; (\backslash \; gamma\; \_\; \{x\}\; (t))\; \backslash \; qquad\; \backslash \; forall\; t\; \backslash \; in\; (-\; \backslash \; varepsilon,\; +\; \backslash \; varepsilon)\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathbf\; \{R\}.\; \}$

Кривые γ x называются интегральными кривыми или траекториями (или, реже, линиями тока) векторного поля V и разбивают S на классы эквивалентности. Не всегда можно расширить интервал (−ε, + ε) на всю строку вещественных чисел. Поток может, например, достичь края S за конечное время. В двух или трех измерениях можно визуализировать векторное поле как порождающее поток на S. Если мы уроним частицу в этот поток в точке p, она будет двигаться по кривой γ p в потоке в зависимости от начальной точки p. Если p - стационарная точка V (т.е. векторное поле равно нулевому вектору в точке p), то частица останется в p.

Типичными приложениями являются линия пути в жидкости, геодезический поток и однопараметрические подгруппы и экспоненциальная карта в группах Ли.

Полные векторные поля

По определению векторное поле называется полным, если каждая из его кривых потока существует всегда. В частности, векторные поля с компактным носителем на многообразии полны. Если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$- полное векторное поле на $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$, тогда однопараметрическая группа диффеоморфизмов, генерируемых потоком вдоль $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, существует всегда. На компактном многообразии без края любое гладкое векторное поле полно. Пример неполного векторного поля $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$на вещественной линии $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$задается формулой $V\; (x)\; =\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (x)\; =\; x\; ^\; \{2\}\}$. Для дифференциального уравнения $dxdt\; =\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dt\}\}\; =\; x\; ^\; \{2\}\}$с начальным условием $x\; (0)\; =\; x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (0)\; =\; x\_\; \{0\}\}$, имеет уникальное решение $x\; (t)\; =\; x\; 0\; 1\; -\; tx\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{x\_\; \{0\}\}\; \{1-tx\_\; \{0\}\}\}\}$если $x\; 0\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\; \backslash \; neq\; 0\}$( и $x\; (t)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; 0\}$для всех $t\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, если $x\; 0\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\; =\; 0\}$). Следовательно, для $x\; 0\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\; \backslash \; neq\; 0\}$, $x\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\}$не определено в $t\; =\; 1\; x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\_\; \{0\}\}\}\}$поэтому не может быть определен для всех значений $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$.

Для гладкой функции между многообразиями, f: M → N, производная является индуцированным отображением на касательных расслоениях, f * : TM → TN. Для векторных полей V: M → TM и W: N → TN мы говорим, что W является f-связанным с V, если выполняется равенство W ∘ f = f ∗ ∘ V.

Если V i связано с f с W i, i = 1, 2, то скобка Ли [V1, V 2 ] связано с f [W 1, W 2 ].

Замена векторов на p-векторы (p-я внешняя степень векторов) дает p-векторные поля; взяв двойное пространство и внешние силы, получим дифференциальные k-формы, а их объединение даст общие тензорные поля.

Алгебраически векторные поля можно охарактеризовать как производные алгебры гладких функций на многообразии, что приводит к определению векторного поля на коммутативной алгебре как дифференцирования на алгебре, развиваемой в теории дифференциального исчисления над коммутативными алгебрами.

• Математический портал

• Формула сигнатуры Эйзенбуда – Левина – Химшиашвили
• Линия поля
• Напряженность поля
• Градиентный поток и сбалансированный поток в атмосферная динамика
• Производная Ли
• Скалярное поле
• Зависящее от времени векторное поле
• Векторные поля в цилиндрических и сферических координатах
• Тензорные поля

• Hubbard, JH ; Хаббард, Б. Б. (1999). Векторное исчисление, линейная алгебра и дифференциальные формы. Единый подход. Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 0-13-657446-7.
• Уорнер, Фрэнк (1983) [1971]. Основания дифференцируемых многообразий и групп Ли. Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90894-3.
• Бутби, Уильям (1986). Введение в дифференцируемые многообразия и риманову геометрию. Чистая и прикладная математика, том 120 (второе изд.). Орландо, Флорида: Academic Press. ISBN 0-12-116053-X.

Викискладе есть носители, связанные с векторными полями.

• Онлайн-редактор векторных полей
• , Энциклопедия of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Векторное поле - Mathworld
• Векторное поле - PlanetMath
• 3D Magnetic средство просмотра полей
• Векторные поля и линии полей
• Моделирование векторного поля Интерактивное приложение для отображения эффектов векторных полей