Деривация (дифференциальная алгебра)

В математике производная - это функция на алгебра, которая обобщает некоторые особенности оператора производной. В частности, для данной алгебры A над кольцом или полем K, K-производным является K- линейное отображение D: A → A, которое удовлетворяет Закон Лейбница :

$D\; (ab)\; =\; a\; D\; (b)\; +\; D\; (a)\; b.\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (ab)\; =\; aD\; (b)\; +\; D\; (a)\; b.\}$

В более общем смысле, если M является A- бимодулем, K-линейное отображение D: A → M которое удовлетворяет закону Лейбница, также называется выводом. Совокупность всех K-производных от A к самому себе обозначается Der K (A). Набор K-дифференцирований A в A-модуль M обозначается Der K (A, M).

Выводы происходят в разных контекстах в разных областях математики. частная производная по переменной является R -дифференцируемой алгеброй вещественнозначных дифференцируемых функций на R . Производная Ли по векторному полю является R -дифференцированием алгебры дифференцируемых функций на дифференцируемом многообразии ; в более общем смысле это вывод на тензорной алгебре многообразия. Отсюда следует, что присоединенное представление алгебры Ли является выводом на этой алгебре. Производное Пинчерле является примером производного в абстрактной алгебре. Если алгебра A некоммутативна, то коммутатор относительно элемента алгебры A определяет линейный эндоморфизм алгебры A к себе, который является производным над K. Алгебра A с выделенным выводом d образует дифференциальную алгебру и сама по себе является важным объектом изучения в таких областях, как дифференциальная теория Галуа.

• 1 Свойства
• 2 Градуированные выводы
• 3 Связанные понятия
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Если A - K-алгебра, для K - кольцо и $D:\; A\; \to \; A\; \{\; \backslash \; displaystyle\; D\; \backslash \; двоеточие\; A\; \backslash \; to\; A\}$является производным от K, тогда

• Если A имеет единицу 1, то D (1) = D (1) = 2D (1), поэтому что D (1) = 0. Таким образом, по K-линейности D (k) = 0 для всех $k\; \in \; K.\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; in\; K.\}$
• Если A коммутативно, D (x) = xD (x) + D (x) x = 2xD (x) и D (x) = nxD (x) на правило Лейбница.
• В более общем смысле, для любых x 1, x 2,..., x n ∈ A следует по индукции, что

$D\; (x\; 1\; x\; 2\; \cdots \; xn)\; =\; \sum \; ix\; 1\; \cdots \; xi\; -\; 1\; D\; (xi)\; xi\; +\; 1\; \cdots \; xn\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (x\_\; \{1\}\; x\_\; \{2)\; \}\; \backslash \; cdots\; x\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; x\_\; \{1\}\; \backslash \; cdots\; x\_\; \{i-1\}\; D\; (x\_\; \{i\})\; x\_\; \{i\; +\; 1\}\; \backslash \; cdots\; x\_\; \{n\}\}$

что есть $\sum \; я\; D\; (xi)\; \prod \; j\; \ne \; ixj\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; D\; (x\_\; \{i\})\; \backslash \; prod\; \_\; \{j\; \backslash \; neq\; i\}\; x\_\; \{j\}\}$если для всех $i,\; D\; (xi)\; \{\backslash \; displaystyle\; i,\; \backslash \; D\; (x\_\; \{i\})\}$коммутирует с $x\; 1,\; x\; 2,\; \cdots ,\; xi\; -\; 1\; \{\; \backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; cdots,\; x\_\; \{i-1\}\}$.

• D не является производным, а удовлетворяет правилу Лейбница высшего порядка:

$D\; n\; (uv)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; \cdot \; D\; n\; -\; k\; (u)\; \cdot \; D\; k\; (v).\; \{\backslash \; Displaystyle\; D\; ^\; \{n\}\; (УФ)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{к\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; \backslash \; cdot\; D\; ^\; \{nk\}\; (u)\; \backslash \; cdot\; D\; ^\; \{k\; \}\; (v).\}$

Кроме того, если M является A-бимодулем, запишите

$Der\; K\; \; (A,\; M)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Der\}\; \_\; \{K\}\; (A,\; M)\}$

для набора K-производных от A до M.

• Der K (A, M) - это модуль над K.
• Der K (A) - это алгебра Ли со скобкой Ли, определяемая коммутатором :

$[D\; 1,\; D\; 2]\; =\; D\; 1\; \circ \; D\; 2\; -\; D\; 2\; \circ \; D\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; [D\_\; \{1\},\; D\_\; \{2\}]\; =\; D\_\; \{1\}\; \backslash \; circ\; D\_\; \{2\}\; -D\_\; \{2\}\; \backslash \; circ\; D\_\; \{1\}.\}$

поскольку легко проверить, что коммутатор два производных снова являются производными.

• Существует A-модуль $\Omega \; A\; /\; K\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; \_\; \{A\; /\; K\}\}$(называемый дифференциалами Кэлера ) с K-производным $d:\; A\; \to \; \Omega \; A\; /\; K\; \{\backslash \; displaystyle\; d:\; A\; \backslash \; to\; \backslash \; Omega\; \_\; \{A\; /\; K\}\}$, через которое любое производное $D\; :\; A\; \to \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; D:\; A\; \backslash \; to\; M\}$факторов. То есть для любого производного D существует карта A-модуля $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$с

$D:\; A\; ⟶\; d\; \Omega \; A\; /\; K\; ⟶\; \phi \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; :\; A\; \{\backslash \; stackrel\; \{d\}\; \{\backslash \; longrightarrow\}\}\; \backslash \; Omega\; \_\; \{A\; /\; K\}\; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; varphi\}\; \{\backslash \; longrightarrow\}\}\; M\}$

Соответствие $D\; \leftrightarrow \; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \backslash \; leftrightarrow\; \backslash \; varphi\}$является изоморфизмом A-модулей:

$Der\; K\; \; (A,\; M)\; \simeq \; Hom\; A\; \; (\Omega \; A\; /\; K,\; M)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Der\}\; \_\; \{K\}\; (A,\; M)\; \backslash \; simeq\; \backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; \_\; \{A\}\; (\backslash \; Omega\; \_\; \{A\; /\; K\},\; M)\}$

• Если k ⊂ K является подкольцом, тогда A наследует структуру k-алгебры, поэтому имеется включение

$Der\; K\; \; (A,\; M)\; \subset \; Der\; k\; \; (A,\; M),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Der\}\; \_\; \{K\}\; (A,\; M)\; \backslash \; subset\; \backslash \; operatorname\; \{Der\}\; \_\; \{k\}\; (A,\; M),\}$

, поскольку любое K-производное тем более является k-производным.

Для градуированного алгебра A и однородное линейное отображение D степени | D | на A, D является однородным производным, если

$D\; (a\; b)\; =\; D\; (a)\; b\; +\; \epsilon \; |\; а\; |\; |\; D\; |\; a\; D\; (b)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{D\; (ab)\; =\; D\; (a)\; b\; +\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{|\; a\; ||\; D\; |\}\; aD\; (b)\}\}$

для каждого однородного элемента a и каждого элемента b из A для коммутаторного фактора ε = ± 1. Градуированная производная - это сумма однородных производных с одинаковым ε.

Если ε = 1, это определение сводится к обычному случаю. Если же ε = −1, то

$D\; (a\; b)\; =\; D\; (a)\; b\; +\; (-\; 1)\; |\; а\; |\; a\; D\; (b)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{D\; (ab)\; =\; D\; (a)\; b\; +\; (-\; 1)\; ^\; \{|\; a\; |\}\; aD\; (b)\}\}$

для нечетных | D |, а D называется an анти-производное .

Примеры анти-производных включают внешнее производное и внутренний продукт, действующее на дифференциальные формы.

Градуированные производные супералгебр (т.е. Z2-градуированные алгебры) часто называют супердифференцированием .

Выводы Хассе – Шмидта являются гомоморфизмами K-алгебр

$A\; \to \; A\; [[t]].\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; to\; A\; [[t]].\}$

Дальнейшее построение с картой, которая отправляет формальный степенной ряд $\sum \; antn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; a\_\; \{n\}\; t\; ^\; \{n\}\}$к коэффициенту $a\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\}$дает вывод.

• В дифференциальной геометрии производными являются касательные векторы
• дифференциал Келера
• производная Хассе
• p-производная
• производные Виртингера
• Производная экспоненциального отображения

• Бурбаки, Николас (1989), Алгебра I, Элементы математики, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243- 9.
• Эйзенбуд, Дэвид (1999), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии (3-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94269 -8.
• Мацумура, Хидеюки (1970), Коммутативная алгебра, серия лекций по математике, WA Benjamin, ISBN 978-0-8053-7025-6.
• Коларж, Иван; Slovák, Jan; Michor, Питер В. (1993), Естественные операции в дифференциальной геометрии, Springer-Verlag.