Войти
Ортогональная проекция на линию, m, является линейным оператором на самолете. Это пример эндоморфизма, который не является автоморфизмом.В математике, эндоморфизм - это морфизм из математического объект себе. Эндоморфизм, который также является изоморфизмом , является автоморфизмом . Например, эндоморфизм векторного пространства V - это линейное отображение f: V → V, а эндоморфизм группы G - это групповой гомоморфизм f: G → G. В общем, мы можем говорить об эндоморфизмах в любой категории. В категории наборов эндоморфизмы - это функции из набора S самому себе.
В любой категории композиция любых двух эндоморфизмов X снова является эндоморфизмом X. Отсюда следует, что множество всех эндоморфизмов X образует моноид, моноид полного преобразования и обозначается End (X) (или End C (X), чтобы подчеркнуть категорию C).
обратимый эндоморфизм X называется автоморфизмом. Множество всех автоморфизмов является подмножеством End (X) со структурой группы, называемой группой автоморфизмов X и обозначаемой Aut (X). На следующей диаграмме стрелки обозначают импликацию:
| Автоморфизм | ⇒ | Изоморфизм |
| ⇓ | ⇓ | |
| Эндоморфизм | ⇒ | (Гомо) морфизм |
Любые два эндоморфизма абелевой группы, A, можно сложить по правилу (f + g) (a) = f (a) + g (a). При этом добавлении и с умножением, определяемым как композиция функций, эндоморфизмы абелевой группы образуют кольцо (кольцо эндоморфизмов ). Например, набор эндоморфизмов ℤ - это кольцо всех n × n матриц с целыми элементами. Эндоморфизмы векторного пространства или модуля также образуют кольцо, как и эндоморфизмы любого объекта в предаддитивной категории. Эндоморфизмы неабелевой группы порождают алгебраическую структуру, известную как почти-кольцо. Каждое кольцо с единицей является кольцом эндоморфизмов своего регулярного модуля, а значит, и подкольцом кольца эндоморфизмов абелевой группы; однако есть кольца, которые не являются кольцом эндоморфизмов какой-либо абелевой группы.
В любой конкретной категории, особенно для векторных пространств, эндоморфизмы - это отображение множества в себя, и их можно интерпретировать как унарные операторы на этом наборе, воздействующие на элементы и позволяющие определять понятие орбит элементов и т.д.
В зависимости от дополнительная структура, определенная для данной категории (топология, метрика,...), такие операторы могут иметь такие свойства, как непрерывность, ограниченность и так далее. Более подробную информацию можно найти в статье о теории операторов.
Эндофункция - это функция, домен которой равен ее codomain. Гомоморфная эндофункция - это эндоморфизм.
Пусть S - произвольное множество. Среди эндофункций на S можно найти перестановок S и постоянных функций, связывающих с каждым x в S один и тот же элемент c в S. Каждая перестановка S имеет домен, равный его области определения, и биективен И обратимый. Если S имеет более одного элемента, постоянная функция на S имеет изображение , которое является правильным подмножеством своего домена, и, следовательно, не является биективным (и, следовательно, не обратимым). Функция, связывающая каждое натуральное число n на уровне n / 2, имеет свой образ, равный его codomain, и не является обратимой.
Конечные эндофункции эквивалентны направленным псевдолесам. Для наборов размера n в наборе есть n эндофункций.
Конкретными примерами биективных эндофункций являются инволюции ; т.е. функции, совпадающие со своими обратными.
