Теория операторов

редактировать

В математике, теория операторов - это изучение линейных операторов в функциональных пространствах, начиная с дифференциальных операторов и интегральных операторов. Операторы могут быть представлены абстрактно с помощью их характеристик, таких как ограниченные линейные операторы или закрытые операторы, и можно рассмотреть нелинейные операторы. Исследование, которое во многом зависит от топологии функциональных пространств, является ветвью функционального анализа.

. Если набор операторов образует алгебру над полем, то это алгебра операторов . Описание операторных алгебр является частью теории операторов.

Содержание

  • 1 Теория единственного оператора
    • 1.1 Спектр операторов
      • 1.1.1 Нормальные операторы
    • 1.2 Полярное разложение
    • 1.3 Связь с комплексным анализом
  • 2 Операторные алгебры
    • 2.1 C * -алгебры
  • 3 См. Также
  • 4 Ссылки
  • 5 Дополнительная литература
  • 6 Внешние ссылки

Теория одного оператора

Теория одного оператора имеет дело со свойствами и классификацией операторов рассматривается по одному. Например, в эту категорию попадает классификация нормальных операторов с точки зрения их спектров.

Спектр операторов

спектральная теорема - это любой из ряда результатов о линейных операторах или о матрицах. В общих чертах спектральная теорема предоставляет условия, при которых оператор или матрица могут быть диагонализованы (то есть представлены в виде диагональной матрицы в какой-то базе). Эта концепция диагонализации относительно проста для операторов в конечномерных пространствах, но требует некоторой модификации для операторов в бесконечномерных пространствах. В общем, спектральная теорема определяет класс линейных операторов, которые можно моделировать с помощью операторов умножения, которые настолько просты, насколько можно надеяться найти. Говоря более абстрактным языком, спектральная теорема - это утверждение о коммутативных C * -алгебрах. См. Также спектральную теорию для исторической перспективы.

Примеры операторов, к которым применима спектральная теорема: самосопряженные операторы или, в более общем смысле, нормальные операторы в гильбертовых пространствах.

Спектральная теорема также обеспечивает каноническое разложение, называемое спектральным разложением, разложением по собственным значениям или разложением по собственным значениям базового вектора пространство, на котором действует оператор.

Нормальные операторы

A нормальный оператор в комплексном гильбертовом пространстве H - это непрерывный линейный оператор N: H → H что коммутирует с его эрмитово сопряженным элементом N *, то есть: NN * = N * N.

Нормальные операторы важны, потому что спектральная теорема Для них справедливо. Сегодня класс нормальных операторов хорошо изучен. Примерами нормальных операторов являются

Спектральная теорема распространяется на более общий класс матриц. Пусть A - оператор в конечномерном внутреннем пространстве произведения. A называется нормальным, если AA = A A. Можно показать, что A является нормальным тогда и только тогда, когда оно унитарно диагонализуемо: с помощью разложения Шура мы имеем A = UTU, где U унитарна, а T верхнетреугольная. Поскольку A нормальна, T T = T T. Следовательно, T должна быть диагональной, поскольку нормальные верхнетреугольные матрицы диагональны. Обратное очевидно.

Другими словами, A является нормальным тогда и только тогда, когда существует унитарная матрица U такая, что

A = UDU ∗ {\ displaystyle A = UDU ^ {*} \; }A = UDU ^ * \;

где D - диагональная матрица . Тогда элементы диагонали D являются собственными значениями матрицы A. Векторы-столбцы матрицы U являются собственными векторами матрицы A, и они ортонормированы. В отличие от эрмитовского случая, записи D не обязательно должны быть реальными.

Полярное разложение

Полярное разложение любого линейного ограниченного оператора A между комплексными гильбертовыми пространствами является канонической факторизацией как произведение частичной изометрии и неотрицательного оператора.

Полярное разложение для матриц обобщается следующим образом: если A - ограниченный линейный оператор, то существует уникальная факторизация A как произведение A = UP, где U - частичная изометрия, P - неотрицательный самосопряженный оператор, а начальное пространство U - это замыкание диапазона P.

Оператор U должен быть ослаблен до частичная изометрия, а не унитарная, из-за следующих проблем. Если A - односторонний сдвиг на l (N ), то | A | = {A * A} = I. Итак, если A = U | A |, U должно быть A, которое не является унитарным.

Существование полярного разложения является следствием леммы Дугласа :

Лемма Если A, B - ограниченные операторы в гильбертовом пространстве H и A * A ≤ B * B, то существует сжатие C такое, что A = CB. Кроме того, C уникален, если Ker (B *) ⊂ Ker (C).

Оператор C может быть определен как C (Bh) = Ah, продолженный по непрерывности до замыкания Ran (B) и нулем на ортогональное дополнение к Ran (B). Оператор C определен корректно, поскольку из A * A ≤ B * B следует Ker (B) ⊂ Ker (A). Далее следует лемма.

В частности, если A * A = B * B, то C - частичная изометрия, которая уникальна, если Ker (B *) ⊂ Ker (C). В общем, для любого ограниченного оператора A

A ∗ A = (A ∗ A) 1 2 (A ∗ A) 1 2, {\ displaystyle A ^ {*} A = (A ^ {*} A) ^ {\ frac {1} {2}} (A ^ {*} A) ^ {\ frac {1} {2}},}A ^ * A = (A ^ * A) ^ {\ frac {1} {2}} (A ^ * A) ^ {\ frac {1} {2}},

где (A * A) - единственный положительный квадратный корень из A * A дается обычным функциональным исчислением. Итак, по лемме мы имеем

A = U (A ∗ A) 1 2 {\ displaystyle A = U (A ^ {*} A) ^ {\ frac {1} {2}}}A = U (A ^ * A) ^ {\ frac {1} {2}}

для некоторая частичная изометрия U, которая единственна, если Ker (A) ⊂ Ker (U). (Обратите внимание: Ker (A) = Ker (A * A) = Ker (B) = Ker (B *), где B = B * = (A * A).) Возьмем P равным (A * A) и получим полярное разложение A = UP. Обратите внимание, что аналогичный аргумент можно использовать, чтобы показать A = P'U ', где P' положительно, а U '- частичная изометрия.

Когда H конечномерно, U может быть расширен до унитарного оператора; в целом это неверно (см. пример выше). В качестве альтернативы полярное разложение может быть показано с использованием операторной версии разложения по сингулярным значениям.

По свойству непрерывного функционального исчисления, | A | находится в C * -алгебре, порожденной A. Аналогичное, но более слабое утверждение справедливо для частичной изометрии: полярная часть U находится в алгебре фон Неймана, порожденной A. Если A обратима, U будет в C * -алгебре, также порожденной A.

Связь с комплексным анализом

Многие изучаемые операторы являются операторами в гильбертовых пространствах голоморфных функций, и изучение оператора тесно связано с вопросами теории функций. Например, теорема Беллинга описывает инвариантные подпространства одностороннего сдвига в терминах внутренних функций, которые являются ограниченными голоморфными функциями на единичном круге с унимодулярными граничными значениями почти всюду на окружности. Беллинг интерпретировал односторонний сдвиг как умножение на независимую переменную в пространстве Харди. Успех в изучении операторов умножения и, в более общем смысле, операторов Теплица (которые представляют собой умножение с последующей проекцией на пространство Харди) вдохновил на изучение аналогичных вопросов в других пространствах, таких как пространство Бергмана..

.

Операторные алгебры

Теория операторных алгебр выдвигает на первый план алгебры операторов, таких как C * -алгебры.

C * -алгебры

AC * -алгебра, A, является банаховой алгеброй над полем комплексных чисел вместе с map *: A → A. Один записывает x * для изображения элемента x из A. Карта * имеет следующие свойства:

x ∗ ∗ = (x ∗) ∗ = x {\ displaystyle x ^ {**} = (x ^ {*}) ^ {*} = x}x ^ {**} = (x ^ {*}) ^ {*} = x
  • Для всех x, y в A:
(x + y) ∗ = x ∗ + y ∗ {\ displaystyle (x + y) ^ {*} = x ^ {*} + y ^ {*}}(x + y) ^ {*} = x ^ {*} + y ^ {*}
(xy) ∗ = y ∗ x ∗ {\ displaystyle (xy) ^ {*} = y ^ {*} x ^ {*}}(xy) ^ {*} = y ^ {*} x ^ { *}
  • Для каждого λ в C и каждого x в A:
( λ x) ∗ = λ ¯ x ∗. {\ displaystyle (\ lambda x) ^ {*} = {\ overline {\ lambda}} x ^ {*}.}(\ lambda x) ^ {*} = {\ overline {\ lambda}} x ^ {* }.
  • Для всех x в A:
‖ x ∗ x ‖ = ‖ x ‖ ‖ х * ‖. {\ displaystyle \ | x ^ {*} x \ | = \ | x \ | \ | x ^ {*} \ |.}\ | x ^ {*} x \ | = \ | x \ | \ | x ^ {*} \ |.

Примечание. Первые три тождества говорят, что A - это * -алгебра. Последнее тождество называется тождеством C * и эквивалентно:

‖ xx ∗ ‖ = ‖ x ‖ 2, {\ displaystyle \ | xx ^ {*} \ | = \ | x \ | ^ {2},}\ | xx ^ {*} \ | = \ | x \ | ^ {2},

C * -идентичность - очень строгое требование. Например, вместе с формулой спектрального радиуса это означает, что C * -норма однозначно определяется алгебраической структурой:

‖ x ‖ 2 = ‖ x ∗ x ‖ = sup {| λ | : x ∗ x - λ 1 не обратимо}. {\ displaystyle \ | x \ | ^ {2} = \ | x ^ {*} x \ | = \ sup \ {| \ lambda |: x ^ {*} x- \ lambda \, 1 {\ text {это необратимый}} \}.}\ | x \ | ^ {2} = \ | x ^ {*} x \ | = \ sup \ {| \ lambda |: x ^ {*} x- \ lambda \, 1 {\ text {необратимо}} \}.

См. также

Ссылки

Дополнительная литература

  • Conway, JB : Курс функционального анализа, 2-е место издание, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5
  • Yoshino, Takashi (1993). Введение в теорию операторов. Чепмен и Холл / CRC. ISBN 978-0582237438.

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-01 13:13:36
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте