Гильбертово пространство

редактировать
Внутреннее пространство, которое метрически завершено; банахово пространство, норма которого индуцирует внутренний продукт (норма соответствует тождеству параллелограмма) Состояние колеблющейся струны может быть смоделировано как точка в гильбертовом пространстве. Разложение колеблющейся струны на ее колебании в различных обертонах дается проекция точки на оси координат в пространстве.

математическая концепция Гильбертово пространство, названное в честь Дэвида Гильберта, обобщает понятие евклидова пространства. Он расширяет методы векторной алгебры и исчисления с двумерной евклидовой плоскости и трехмерного пространства на пространстве с любым конечным или бесконечным числом габариты. Гильбертово пространство - это абстрактное новое пространство, обладающее структурой внутреннего продукта , которое позволяет измерять длину и угол. Кроме того, гильбертовы пространства полны : в просторе достаточно ограничений, чтобы можно было использовать методы исчисления.

Гильбертовы пространства возникают естественно и часто в математике и физике, обычно как бесконечномерные функциональные пространства. Самые ранние гильбертовы пространства изучались с этой точки зрения в первом десятилетии20 века Дэвидом Гильбертом, Эрхардом Шмидтом и Фриджесом Риссом. Они являются незаменимыми инструментами в теориях дифференциальных уравнений в частных производных, квантовой механики, Фурье (который включает приложения для обработки сигналов и тепловых переносов) и эргодической теории (которая составляет математическую основу термодинамики ). Джон фон Нейман ввел термин «гильбертовопространство» для обозначения абстрактной концепции, лежащей в основе многих из этих разнообразных приложений. Успех методов гильбертова пространства положил начало очень плодотворной эре для функционального анализа. Помимо классических евклидовых пространств, примеры гильбертовых пространств включают пространства квадратично интегрируемых функций, пространств последовательностей, пространства Соболева, состоящие из обобщенных функций. и Харди из голоморфных функций.

Геометрическая интуиция играет важную роль во многих аспектах теории гильбертовых пространств. Точные аналоги теоремы Пифагора и закона параллелограмма справедливы в гильбертовом пространстве. На более высоком уровне перпендикулярная проекция на подпространство (аналог «падение высоты треугольника) играет роль в задаче оптимизации и другой теории теории. Элемент гильбертова пространства может быть однозначно задан своимикоординатами относительно координатных осей (ортонормированный базис ) по аналогии с декартовыми координатами в плоскости. Когда этот набор осей счетно бесконечен, гильбертово пространство также может быть рассматривать полезно в терминах пространства бесконечных последовательностей, которые суммируются по квадрату. Последнее пространство часто упоминается в более старой литературе как гильбертово пространство. Линейныеоператоры в гильбертовом пространстве также представлены объекты: в том смысле, уточняется изучением их спектр.

Содержание

  • 1 Определение и иллюстрация
    • 1.1 Обосновывающий пример: евклидово векторное пространство
    • 1.2
    • 1.3 Второй пример: пространств последовательностей
  • 2 История
  • 3 Примеры
    • 3.1 Пространства Лебега
    • 3.2 Пространства Соболева
    • 3.3 Пространства голоморфных функций
      • 3.3.1 Пространства Харди
      • 3.3.2 ПространстваБергмана
  • 4 Приложения
    • 4.1 Теория Штурма - Лиувилля
    • 4.2 Уравнения в
    • 4.3 Эргодическая теория
    • 4.4 Фурье-анализ
    • 4.5 Квантовая механика
    • 4.6 Цветовое воспалительное воспалительное вещество
  • 5 Свойства
    • 5.1 Пифагорова идентичность
    • 5.2 Тождественность и поляризация парал лелограмма
    • 5.3 Н лучшее приближение
    • 5.4 Двойственность
    • 5.5 Слабо сходные следующие пространства
    • 5.6 Банаховое расстояние Свойства
  • 6 Операторы вгильбертовых х
    • 6.1 Ограниченные операторы
    • 6.2 Неограниченные операторы
  • 7 Конструкции
    • 7.1 Прямая сумма
    • 7.2 Тензорные произведения
  • 8 Ортонормированные базисы
    • 8.1 Последовательность пространства
    • 8.2 Неравенство Бесселя и формула Парсеваля
    • 8.3 Размерность Гильберта
    • 8.4 Разделимые пространства
  • 9 Ортогональные дополнения и проекции
  • 10 Спектральная теория
  • 11 В массовой культуре
  • 12 См. также
  • 13 Примечания
  • 14Примечания
  • 15 Источники
  • 16 Определение ссылок

и иллюстрации

Пример мотивации: евклидово векторное пространство

Один из наиболее известных примеров гильбертова пространства - это евклидово пространство, состоящее из трехмерных векторов, обозначенных и снабженных скалярным произведением. Скалярное произведение берет два вектора x и y и дает действительное число x· y. Если x и y представлены в декартовых координатах, то скалярное содержание определяется как

(x 1 x 2 x 3) ⋅ (y 1 y 2 y 3) знак равно x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} y_ {1} \\ y_ {2} \ \ y_ {3} \ end {pmatrix}} = x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + x_ {3} y_ {3} \,.}{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix } y_ {1} \\ y_ {2} \\ y_ {3} \ end {pmatrix}} = x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + x_ {3} y_ {3} \,.}

Точечное произведенное удовлетворяет свойства:

  1. Он симметричен в x и y: x· y= y· x.
  2. Он linear в своем первомаргументе: ( a x1+ b x2) · y = a x1· y+ b x2· yдля любых скаляров a, b и векторов x1, x2, и y.
  3. Он положительно определен : для всех векторов x, x· x≥ 0, с равенством тогда и только тогда, когда x= 0.

Операция с парами векторов, которая, как и скалярное произведение, удовлетворяет этим трем свойствам, известна как (реальный) внутренний продукт. Общее пространство , снабженное таким внутренним продуктом, известно как (реальное) внутреннеепространство продукта. Каждое внутреннее пространство продукта также является гильбертовым пространством. Основная особенность скалярного произведения, которая связывает его с евклидовой геометрией, состоит в том, что оно связано как с длиной (или norm ), указанным, обозначенным || x ||, так и с границей θ между двумя днями x и y с помощью формулы

x ⋅ y = ‖ x ‖ y ‖ cos ⁡ θ. {\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} = \ | \ mathbf {x} \ |\, \ | \ mathbf {y} \ | \, \ cos \ theta \,.}{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} = \ | \ mathbf{x} \ | \, \ | \ mathbf {y} \ | \, \ cos \ theta \,.}
Полнота означает, что если частица движется по прерванной траектории (синим цветом), преодоление конечного общего расстояния, то части имеет четко определенное чистое смещение (оранжевым цветом).

Многопараметрические вычисления в Евклидово пространство на способность вычислять пределы и иметь полезные условия для существования о существовании ограничений. Математический ряд

∑ n = 0 ∞ xn {\ displaystyle \sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ mathbf {x} _ {n}}\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ mathbf {x} _ {n}

, состоящий из векторов в ℝ, сход абсолютно сходится при условии, что сумма длинится как обычный ряд действующих чисел:

∑ k = 0 ∞ ‖ xk ‖ < ∞. {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|\mathbf {x} _{k}\|<\infty \,.}{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ | \ m athbf {x} _ {k} \ | <\ infty \,.}

Как и в случае с серией скаляров, серия векторов сходится абсолютно, также сходится к некоторому предельному вектору L в евклидовом пространстве в том смысле, что

‖ L - ∑ k = 0 N xk ‖ → 0 при N → ∞. {\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {L} - \ sum _ {k = 0} ^ {N} \ mathbf {x} _{k} \ right \ | \ to \ mathbf {0} \ quad {\ text {as}} N \ to \ infty \,.}{\ disp Laystyle \ left \ | \ mathbf {L} - \ sum _ {k = 0} ^ {N}\ mathbf {x} _ {k} \ right \ | \ to \ mathbf {0} \ quad {\ text {as }} N \ to \ infty \,.}

Это свойство выражает полноту евклидова пространства: абсолютно сходящийся сходится в обычном смысле.

Гильбертовы пространства часто используются вместо комплексных чисел. комплексная плоскость, обозначенная ℂ, снабжена понятием величины, комплексным модулем | z | который определяется как квадратный корень из произведения z на его комплексное сопряжение :

| z | 2 = zz ¯. {\ displaystyle | z | ^ {2} = z {\ overline {z}} \,.}{\ displaystyle | z | ^ {2} = z {\ overline {z}} \,.}

Если z = x + iy является разложением z на действительную и мнимую части, то модуль является обычным Евклидова двумерная длина:

| z | = х 2 + у 2. {\ displaystyle | z | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}} \,.}{\ displaystyle | z | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \,.}

Внутреннее произведение пары комплексных чисел z и w - это произведение z на комплексно сопряженное к w:

⟨z, w⟩ = Zw ¯. {\ displaystyle \ langle z, w \ rangle = z {\ overline {w}} \,.}{\ displaystyle \ langle z, w \ rangle = z {\ overline {w}} \,.}

Это комплексные значения.Действующая часть ⟨z, w⟩ дает обычное двумерное евклидово скалярное произведение.

Второй пример - пространство ℂ, элементы которого представляют собой пары комплексных чисел z = (z 1, z 2). Тогда скалярное произведение z на другой такой вектор w = (w 1, w 2) определяется как

⟨z, w⟩ = z 1 w 1 ¯ + z 2 w 2 ¯. {\ displaystyle \ langle z, w \ rangle = z_ {1} {\ overline {w_ {1}}} + z_ {2} {\ overline {w_ {2}}} \,.}{\ displaystyle \ langle z, w \ rangle = z_ {1} {\ overline {w_ {1}}} + z_ {2} {\ overline {w_ {2}}} \,.}

Действительная частьиз ⟨Z, w⟩ тогда является двумерным евклидовым скалярным произведением. Это скалярное произведение является эрмитово симметричным, что означает, что результатом перестановки z и w будет комплексное сопряжение:

⟨w, z⟩ = ⟨z, w⟩ ¯. {\ displaystyle \ langle w, z \ rangle = {\ overline {\ langle z, w \ rangle}} \,.}{\ displaystyle \ langle w, z \ rangle = {\ overline {\ langle z, w \ rangle}} \,.}

Определение

Гильбертово пространство H является вещественным или комплекс внутреннее пространство продукта, которое также является полным метрическим пространством по отношению к функциям расстояния, вызванной внутренним продуктом.

То, что H является комплексным векторным пространством, означает, что H является комплексным векторным пространством, на котором есть внутреннее изделие каждого x, y⟩, связывающее комплексное число с каждым парой элементов x, y из H, удовлетворяющее свойства :

  1. Внутреннее произведение сопряженно симметрично; то есть скалярное произведение пары элементов равно комплексносопряженному скалярному произведению замененных элементов:
    ⟨y, x⟩ = ⟨x, y⟩ ¯. {\ displaystyle \ langle y, x \ rangle = {\ overline {\ langle x, y \ rangle}} \,.}{\ displaystyle \ langle y, x \ rangle = {\ overline {\ langle x, y \ rangle}} \,.}
  2. Внутренний продукт linear в своем первом аргументе. Для всех комплексных чисел a и b
    ⟨a x 1 + b x 2, y⟩ = a ⟨x 1, y⟩ + b ⟨x 2, y⟩. {\ displaystyle \ langle ax_ {1} + bx_ {2}, y \ rangle = a \ langle x_ {1}, y \ rangle + b \ langle x_ {2}, y \ rangle \,.}{\ displaystyle \ langle ax_ {1} + bx_ {2}, y \ rangle = a \ langle x_ {1}, y \ rangle + b \ langle x_ {2}, y \ rangle \,.}
  3. внутреннее произведение элемента на себя -положительно определенное :
    {⟨x, x⟩>0 x ≠ 0 ⟨x, x⟩ = 0 x = 0. {\ displaystyle {\ begin {cases} \ langle x, x \ rangle>0 x \ neq 0 \\\ langle x, x \ rangle = 0 x = 0 \,. \ end {cases}}}{\displaystyle {\begin{cases}\langle x,x\rangle>0 x \ neq 0 \\\ langle x, x \ rangle = 0 x = 0 \,. \ End {cases}}}

Из линейных свойств 1 и 2 следует, что сложныйвнутренний продукт сопряженно во втором аргументе>⟨есть ay равно a ¯ ⟨x, y 1⟩ + b ¯ ⟨x, y 2⟩. {\ Displaystyle \ langle x, ay_ {1} + by_ {2} \ rangle = {\ bar {a}} \ langle x, y_ {1} \ rangle + {\ bar {b}} \ langle x, y_ {2} \ rangle \,.}{\ displaystyle \ langle x, ay_ {1} + by_ {2} \ rangle = {\ bar {a}} \ langle x, y_ {1 } \ rangle + {\ bar {b}} \ langle x, y_ {2} \ rangle \,.}

Настоящее внутреннее пространство продукта таким же образом, за исключением Таким внутренним произведением будет билинейное изображение , а (H, H, ⟨⋅, ⋅⟩) будет формировать двойная система <1164.>норма - это функция сдействительным знаком

‖ X ‖ = ⟨x, x ⟩, {\ Displaystyle \ | x \ | = {\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}} \,,}{\ displaystyle \ | х \ | = {\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}} \,,}

, расстояние между двумя точками x, y в H определяется в терминах нормы как

d (x, y) = ‖ X - y y = ⟨x - y, x - y⟩. {\ Displaystyle d (x, y) = \ | ху \ | = {\ sqrt {\ langle xy, xy \ rangle} } \,.}{\ displaystyle d (x, y) = \ | xy \ | = {\ sqrt {\ langle xy, xy \ rangle}} \,.}

То, что эта фун функция между x и y, во-втором, между x и им самим равно нулю, наконец, выполняется неравенство треугольника , что означает, что длина треугольникxyz не может превышать сумму длин двух других катетов:

d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z). {\ displaystyle d (x, z) \ leq d (x, y) + d (y, z) \,.}{\ displaystyle d (x, z) \ leq d (x, y) + d (y, z) \,.}
Неравенство треугольника в метрическом пространстве. Svg

последнее свойство, которое является следствием более фундаментального неравенства Коши - Шварца, что утверждает

| ⟨X, y⟩ | ≤ ‖ Икс ‖ ‖ Y ‖ {\ Displaystyle {\ bigl |} \ langle x, y \ rangle {\ bigr |} \ leq \ | х \ | \, \ | y \ |}{\ displaystyle {\ bigl |} \ langle x, y \ rangle {\ bigr |} \ leq \ | x \ | \, \ | y \ |}

с равенством тогда и только если x и y линейно зависимы.

с особенностями этого,внутреннее пространство является продуктом метрическим пространством, и иногда называют его предгильбертовым пространством. Любое предгильбертово пространство, которое также является полным пространством, является гильбертовым пространством.

Полнота H выражается с использованием критерия Коши для последовательностей в H: прегильбертово пространство H: прегильбертово пространство H: прегильбертово пространство H является полным, если каждая последовательность Коши сходится по норме к элементу в простран. Полноту можно охарактеризовать следующим эквивалентным условием: если серия векторов

∑ k = 0 ∞ uk {\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} u_ {k}}{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} u_ {k}}

абсолютно сходится в том смысле, что

∑ k = 0 ∞ ‖ uk ‖ < ∞, {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|u_{k}\|<\infty \,,}{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ | u_ {k} \ | <\ infty \,,}

, то ряд сходится в H в том смысле, что частичные суммы сходятся к элементу H.

Как полное нормированное пространство, гильбертовы пространства по определению также являются банаховыми пространствами. По сути, они представляют собой топологические данные пространства , в которых топологические понятия, такие как открытость и замкнутость подмножеств, четко. Особое значение имеет понятие замкнутого линейного подпространства гильбертова пространства, со скалярным произведением, индуцированным ограничением, также является полным (замкнутым множеством в полном метрическом пространстве) и, следовательно, гильбертовымпространством праву.

Второй пример: пробелы следовать

пространство следовать l состоит из всех бесконечных последовательностей z= (z 1, z 2,…) комплексных чисел таких, что ряд

∑ n = 1 ∞ | z n | 2 {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | z_ {n} | ^ {2}}\ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} | z_ {n} | ^ {2}

сходится. Внутренний продукт на l определяется выражением

⟨z, w⟩ = ∑ n = 1 ∞ znwn ¯, {\ displaystyle \ langle \ mathbf {z}, \ mathbf {w} \ rangle = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} z_ {n} {\ overline {w_ {n}}} \,,}{\ displaystyle \ langle \ mathbf {z}, \ mathbf {w} \ rangle = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} z_ {n} {\ overline {w_ {n}}} \,,}

, причем последний ряд сходится как следствие неравенства Коши - Шварца.

Полнота пространства выполняется при условии, что всякий раз, когда ряд элементов из l сходится абсолютно (по норме), он сходится к элементу из l. Доказательство является основным в математическом анализе и позволяет манипулировать математическими сериями элементов той же легкости, что и сериями комплексных чисел (или векторов в конечномевклидовом пространстве).

История

Дэвид Гильберт

До развития гильбертовых пространств другие обобщения евклидовых пространств были известны математикам и физикам. В частности, к концу 19 века идея абстрактного линейного пространства (новое пространство) приобрела некоторую популярность: это пространство, элементы которого можно складывать вместе и умножать на скаляры (такие как действительные или комплексные ) без обязательнойидентификации этих элементов с «геометрическими» изображениями, такимими изображениями и импульсами в физических системах. Другие объекты, изучаемые математиками на рубеже 20-го века, в частности пространства пространство (включая рядов ) и пространственных функций, естественно, можно рассматривать как линейные. Функции, например, можно складывать или умножать с помощью постоянных скаляров, выполняются эти операции подчиняются алгебраическим законам, выполняютсясложение и скалярное умножение пространственных векторов.

Первое десятилетие 20-го века параллельные разработки к использованию гильбертовых пространств появления. Первым из них было наблюдение, возникло во время исследования Дэвида Гильберта и Эрхарда Шмидта интегральных движений, о том, что два интегрируемых с квадратом вещественные функции f и g на интервале [a, b] имеют внутренний продукт

⟨f, g⟩ = ∫ abf (x) g (x) dx {\ displaystyle \ l angle f, g \ rangle = \ int _ {a } ^ {b} f (x) g (x) \, \ mathrm {d} x}{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} е (х) г (х) \, \ mathrm {d} x}

, обладающий широкими знакомыми свойствами евклидова скалярного произведения. В частности, имеет значение идея ортогонального семейства функций. Шмидт использовал сходство этого внутреннего произведения с обычным скалярным произведением, чтобы доказать аналог спектрального разложения для оператора вида

f (x) ↦ ∫ ab K (x, y) f (y) dy {\ displaystyle f (x) \ mapsto \ int _ {a} ^ {b} K (x, y) f (y)\, \ mathrm {d} y}{\ displaystyle f (x) \ mapsto \ int _ {a} ^ { б} К (х, у) е (у) \, \ mathrm {d} y}

где K - непрерывный функция, симметричная по x и y. Результирующее разложение по собственной функции выражает функцию K как ряд вида

K (x, y) = ∑ n λ n φ n (x) φ n (y) {\ displaystyle K (x, y) = \ sum _ {n} \ lambda _ {n} \ varphi _ {n} (x) \ varphi _ {n} (y)}{\ displaystyle K (x, y) = \ sum _ {n} \ lambda _ {n} \ varphi _ {n} (x) \ varphi _ {n} (y)}

где функции φ n являются ортогонален в том смысле, что ⟨φ nφm⟩ = 0 для всех n ≠ m. Отдельные термины в этой серии иногда называют элементарными решениями продукта. Отсутствующиеингредиенты, обеспечивающие сходимость, отсутствие подходящих ингредиентов, обеспечивающие интегрируемость с квадратом функций.

Вторым развитием был интеграл Лебега, альтернатива интегралу Римана, введенному Анри Лебегом в 1904 году. Интеграл Лебега позволил интегрировать гораздо более широкий класс функций. В 1907 году Фриджес Рисс и Эрнст Сигизмунд Фишер независимо друг от друга доказали, что пространство L квадратных функций,объединенное по Лебегу, является полным метрическим пространством. Как следствие взаимодействия между геометрией и полнотой, результатами 19-го века Джозеф Фурье, Фридрих Бессель и Марк-Антуан Парсеваль на тригонометрических рядах легко перенесли на эти более общие пространства, что привело к геометрическому и аналитическому аппарату, ныне известному как теорема Рисса - Фишера.

Дальнейшие основные результаты были в начале 20 века.Например, теорема о представлении Рисса была независимо установлена ​​Морисом Фреше и Фриджесом Риссом в 1907 году. Джон фон Нейман ввел термин абстрактный Гильбертово пространство в его работе о неограниченных эрмитовых операторов. Другие математики, такие как Герман Вейль и Норберт Винер, уже очень подробно изучили Хотя гильбертовы пространства, часто с физически мотивированной точки зрения, фон Нейман дал первое полное иаксиоматическое рассмотрение из них. Позднее Нейман использовал их основополагающую работу по основам квантовой механики и продолжающейся работе с Юджином Вигнером. Название «Гильбертово пространство» вскоре было принято другими, например, Германом Вейлем в его книге по квантовой механике и теории групп.

Значение концепции гильбертова пространства было подчеркнуто осознанием того, что он предлагает из математических формулировок квантовой механики. Короче говоря,состояние квантово-механической системы - это состояние в определенном гильбертовом визу, наблюдаемые - это эрмитовы операторы в этом пространстве, симметрии системы - унитарные операторы. и измерения - это ортогональные проекции. Связь между квантово-механическими симметриями и унитарными операторами дала толчок к развитию унитарной теории представлений групп, начатой ​​в 1928 году в работе Германа Вейля. С другойстороны, в начале 1930-х годов стало ясно, что классическая механика может быть описана в терминах гильбертова пространства (классическая механика Купмана - фон Неймана ) и что некоторые свойства классических динамических систем может быть проанализировано с использованием методов гильбертова пространства в рамках эргодической теории.

Алгебра наблюдаемых в квантовой механике, естественно, является алгеброй операторов, определенных в гильбертовомпространстве, согласно Формулировка квантовой теории Вернера Гейзенберга матричной механикой. Фон Нейман начал исследовать операторные алгебры в 1930-х годах как кольца операторов в гильбертовом пространстве. Алгебры, изучаемые фон Нейманом и его современниками, теперь известны как алгебры фон Неймана. В 1940-х годах Израиль Гельфанд, Марк Наймарк и Ирвинг Сигал получили разновидности операторных алгебр,называемых C * -алгебрами это, с одной, не указано, что на лежащее в основе гильбертово пространство, а с другой - экстраполирует многие полезные свойства операторных алгебр, которые ранее были изучены. В частности, спектральная теорема для самосопряженных операторов, лежащая в основе большей части существующей теории гильбертова пространства, была обобщена на C * -алгебры. Эти методы сейчас используются в абстрактном гармоническом анализе и теории представлений.

Примеры

Пространства Лебега

Пространства Лебега - это функциональные пространства, связанные с пространствами мер (X, M, μ), где X - множество, M - σ-алгебра подмножеств X, а μ - счетно-аддитивная мера на M. L (X, μ) пространство те комплексно-измеримые функции на X, для которого интеграл Лебега квадрата модуля функции конечен, т. е. для функций f в L (X, μ),

∫ X | f | 2 d μ < ∞, {\displaystyle \int _{X}|f|^{2}\mathrm {d} \mu <\infty \,,}{\ displaystyle \ int _ {X} | е | ^ {2} \ mathrm {d} \ mu <\ infty \,,}

и где функции идентифицируются тогда итолько тогда, когда они отличаются только на наборе нулевой меры.

Внутреннее произведение функций f и g в L (X, μ) определяется как

⟨е, г⟩ знак равно ∫ Икс е (T) g (T) ¯ d μ (t) {\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {X} f (t) {\ overline {g (t)} } \, \ mathrm {d} \ mu (t) \}{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} \mu (t)\ }или ∫ X f (t) ¯ g (t) d μ (t), {\ displaystyle \ \ int _ { X} {\ overline {f (t)}} g (t) \, \ mathrm {d} \ mu (t) \,,}{\ displaystyle \ \ int _ {X} {\ overline {f (t)}} g (t) \, \ mathrm {d} \ mu (t) \,,}

где форма вторая (сопряжение первого элемента) обычновстречается в литературе по теоретической физике. Для f и g в L интеграл из-за неравенства Коши - Шварца и определяет скалярное произведение на пространство. Оснащенный этим внутренним продуктом, L фактически завершен. Интеграл Лебега необходим для обеспечения полноты: например, в областях реальных чисел недостаточных функций интегрируемых по Риману.

Пространства Лебега во многих естественных условиях. Пространство L (ℝ ) и L ([0,1]) квадратично интегрируемых функцийотносительно меры Лебега на вещественной прямой и единичном интервале соответственно естественны. области, на которых нужно определить преобразование Фурье и ряды Фурье. В других ситуациях может быть нечто иное, чем обычная мера Лебега на действительной прямой прямой. Например, если w - любая положительная измеримая функция, пространство всех измеримых функций на интервале [0, 1], удовлетворяющих

∫ 0 1 | f (t) | 2 w (t) d t < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{1}{\bigl |}f(t){\bigr |}^{2}w(t)\,\mathrm {d} t<\infty }{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ bigl |} е (т) {\ bigr |} ^ {2} ш (т) \, \ mathrm {d} t <\ infty}

взвешенным пространством L L. w([0, 1]), а wназывается весовой функцией. Внутреннее произведение определяется как

⟨f, g⟩ = ∫ 0 1 f (t) g (t) ¯ w (t) d t. {\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {0} ^ {1} f (t) {\ overline {g (t)}} w (t) \, \ mathrm {d} t \,. }{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {0} ^ {1} f (t) {\ overline {g (t)}} w (t) \, \ mathrm {d} t \,.}

Весовое пространство L. w([0, 1]) идентично гильбертову пространству L ([0, 1], μ), где мера μ измеримого по Лебегу множества A определяется следующим образом:

μ (A) = ∫ A w (t) dt. {\ displaystyle \ mu (A) = \ int _ {A} w (t) \, \ mathrm {d} t \,.}{\ displaystyle \ mu (A) = \ int _ {A} w (t) \, \ mathrm {d} t \,.}

Подобные взвешенные L-пространства часто используются для изучения ортогональных многочленов, потому что разные семейства ортогональных многочленов ортогональны относительно различных весовых функций.

Пространства Соболева

Пространства Соболева, обозначаемые H или W, являются гильбертовыми пространствами. Это особый вид в котором функционального пространства , в может быть дифференцирование пространства, но это (в отличие от других банаховыхпространств, таких как Гельдера ) Содержит внутренний продукт. Условия дифференцирования разрешено, пространство Соболева предоставляет собой удобную установку для теории дифференциальных уравнений в частных производных. Они также составляют основу теории прямые методы вариационного исчисления.

Для целого неотрицательного числа и Ω ⊂ ℝ пространство Соболева H (Ω) содержит L функций, слабые производные порядка до s также являются L.Внутреннее произведение в H (Ω) равно

⟨f, g⟩ = ∫ Ω f (x) g ¯ (x) dx + ∫ Ω D е (Икс) ⋅ D g ¯ (x) dx + ⋯ + ∫ Ω D sf (x) ⋅ D sg ¯ (x) dx {\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {\ Omega} f (x) {\ bar {g}} (x) \, \ mathrm {d} x + \ int _ {\ Omega} Df (x) \ cdot D {\ bar {g}} (x) \, \ mathrm {d} x + \ cdots + \ int _ {\ Omega } D ^ {s} f (x) \ cdot D ^ {s} {\ bar {g}} (x) \, \ mathrm {d} x}{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {\ Omega} f (x) {\ bar {g}} (x) \, \ mathrm {d} x + \ int _ {\ Omega} Df (x) \ cdot D {\ bar {g}} (x) \, \ math rm { d} x + \ cdots + \ int _ {\ Omega} D ^ {s} f (x) \ cdot D ^ {s} {\ bar {g}} (x) \, \ mathrm {d} x}

где точка указывает скалярное произведение в евклидовом пространстве частных производныхкаждого порядка. Соболева также может быть численностью.

Соболевские пространства изучаются также с точки зрения спектральной теории, конкретно опираясь на структуру гильбертова пространства. Если Ω - подходящая область, то можно определить пространство Соболева H (Ω) как пространство бесселевых потенциалов ; грубо говоря,

H s (Ω) = {(1 - Δ) - s 2 f | f ∈ L 2 (Ω)}. {\ Displaystyle H ^ {s} (\ Omega) = \ влево. \ left \ {(1- \ Delta) ^ {- {\ frac {s} {2}}} f \, \ right |\, f \ in L ^ {2} (\ Omega) \ right \} \,.}{\ displaystyle H ^ {s} (\ Omega) = \ left. \ left \ {(1- \ Дельта) ^ {- {\ frac {s} {2}}} f \, \ right | \, f \ in L ^ {2} (\ Omega) \ right \} \,.}

Здесь Δ - лапласиан, а (1 - Δ) понимается в терминах теоремы о спектральном отображении. Помимо обеспечения работоспособного определения пространств Соболева для нецелых объектов, это определение также имеет особенно желательные свойства при преобразовании Фурье, которые делают его идеальным для изучения псевдодифференциальных операторов. Используя эти методы на компактном римановом множестве,можно получить, например, разложение Ходжа, которое является источником теории Ходжа.

Пространства голоморфных функций

пространства Харди

пространства Харди - это функциональные пространства, содержащие в комплексном анализе и гармоническом анализе, элементы которого являются некоторыми голоморфными функциями в комплексной области. Пусть U обозначает единичный диск в комплексной плоскости. Тогдапространство Харди H (U) определяется как пространство голоморфных функций f на U таких, что средние

M r (f) = 1 2 π ∫ 0 2 π | f (r e i θ) | 2 d θ {\ displaystyle M_ {r} (f) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ left | f \ left (re ^ {i \ theta} \ right) \ right | ^ {2} \, \ mathrm {d} \ theta}{\ displaystyle M_ {r} (f) = {\ frac { 1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ left | f \ left (re ^ {i \ theta} \ right) \ right | ^ {2} \, \ mathrm {d } \ theta}

остаются ограниченными для r < 1. The norm on this Hardy space is defined by

‖ f ‖ 2 = lim r → 1 M r (f). {\ displaystyle \ left \ | е \ право \ | _ {2} = \ lim _ {r \ to 1} {\ sqrt {M_ {r} (f)}} \,.}{\ displaystyle \ left \ | f \ right \ | _ {2} = \ lim _ {r \ to 1} {\ sqrt {M_ {r} ( е)}} \,.}

Пробелы Харди вдиске к ряду Фурье. Функция f находится в H (U) тогда и только тогда, когда

f (z) = ∑ n = 0 ∞ anzn {\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}}{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}}

где

∑ n = 0 ∞ | а п | 2 < ∞. {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{2}<\infty \,.}{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} | a_ {n} | ^ {2} <\ infty \,.}

Таким образом, H (U) состоит из тех функций, которые являются L на окружности, и отрицательные частотные коэффициенты Фурье равны нулю.

Пространства Бергмана

Пространства Бергмана - еще одно семейство гильбертовых пространств голоморфных функций. Пусть D -ограниченное открытое множество в комплексной плоскости (или в многомерном комплексном пространстве), и пусть L (D) - пространство голоморфных функций в D, которые также находятся в L (D) в том смысле, что

‖ f ‖ 2 = ∫ D | f (z) | 2 d μ (z) < ∞, {\displaystyle \|f\|^{2}=\int _{D}|f(z)|^{2}\,\mathrm {d} \mu (z)<\infty \,,}{\ displaystyle \ | f \| ^ {2} = \ int _ {D} | f (z) | ^ {2} \, \ mathrm {d} \ mu (z) <\ infty \,,}

где интеграл берется по мере Лебега в D. Ясно, что L (D) является подпространством в L (D); фактически, это замкнутое подпространство, а значит, гильбертово пространство само по себе. Это следствие оценки, справедливой для компактных подмножеств K в D, что

sup z ∈ K | f (z) | ≤ CK ‖ е ‖ 2, {\ Displaystyle \ sup _ {z \ in K} \ влево | е (г) \ вправо | \ Leq C_ {K} \ влево \ | е \ вправо \ | _ {2} \,,}{\ displaystyle \ sup _ {z \ in K} \ left | f (z) \ right | \ leq C_ {K} \ left \ | f \ right \ | _ {2} \,,}

что, в свою очередь, следует из интегральной формулы Коши. Таким образом, сходимость следовать голоморфных функций в L (D) влечет также компактную сходимость, и поэтому предельная функция также голоморфна. Другое следствие этого неравенства состоит в том, что линейный функционал,вычисляющий функцию функции в точке D, непрерывен на L (D). Теорема Рисса о представлении подразумевает что оценочный функционал может быть представлен как элемент L (D). Таким образом, для любого z ∈ D существует функция η z ∈ L (D) такая, что

f (z) = ∫ D f (ζ) η z (ζ) ¯ d μ (ζ) {\ Displaystyle е (z) = \ int _ {D} е (\ zeta) {\ overline {\ eta _ {z} (\ zeta)}} \, \ mathrm {d} \ mu (\ zeta)}{\ displaystyle f (z) = \ int _ {D} f (\ zeta) {\ overline {\ eta _ {z} (\ zeta)}} \, \ mathrm {d} \ mu (\ zeta)}

для всех f ∈ L (D). Подынтегральное выражение

K (ζ, z) = η z (ζ) ¯ {\ displayst yle K (\ zeta, z) = {\ overline {\ eta _ {z} (\ zeta)}}}{\ displaystyle K (\ zeta, z) = {\ overline {\ eta _ {z} (\ zeta)}}}

известное как ядро ​​Бергмана матрицы D. Это интегральное ядро ​​ удовлетворяет воспроизводящему свойству

f (z) = ∫ D f (ζ) K (ζ, z) d μ (ζ). {\ displaystyle f (z) = \ int _ {D} f (\ zeta) K (\ zeta, z) \, \ mathrm {d} \ mu (\ zeta) \,.}{\ displaystyle f (z) = \ int _ {D} f (\ zeta) K (\ zeta, z) \, \ mathrm {d} \ mu (\ zeta) \,.}

Пространство Бергмана пример воспроизводящего ядра Гильбертово пространство, которое является гильбертовым пространством функций вместе с ядром K (ζ, z),которое проверяет воспроизводящее свойство, аналогичное этому. Пространство Харди H (D) также допускает воспроизводящее ядро, известное как ядро ​​Сеге. Воспроизводящие ядра распространены и в других областях математики. Например, в гармоническом анализе ядро ​​Пуассона является воспроизводящим ядром для гильбертова пространства интегрируемых с квадратом гармонических функций в единичном шаре. То, что последнее вообще является гильбертовымпространством, является следствием теоремы о среднем значении для гармонических функций.

Приложения

Многие приложения гильбертовых пространств используют тот факт, что гильбертовы пространства поддерживают обобщения простых геометрических понятий, таких как проекция и изменение базиса из их обычных конечномерных условий. В частности, спектральная теория непрерывных самосопряженных линейных операторов в гильбертовомпространстве обобщает обычное спектральное разложение матрицы , и это часто играет важную роль в приложениях теории к другим областям математики и физики.

Теория Штурма – Лиувилля

обертоны колеблющейся струны. Это собственные функции связанной задачи Штурма – Лиувилля. Собственные значения 1, 1/2, 1/3,... образуют (музыкальный) гармонический ряд.

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений спектральные методы наподходящем гильбертовом используется для изучения собственных значений и различных функций. Например, проблема Штурма – Лиувилля возникает при изучении гармоник волн в скрипичной струне или барабане и является центральной проблемой в обыкновенных дифференциальных уравнениях. Задача представляет собой дифференциальное уравнение вида

- ddx [p (x) dydx] + q (x) y = λ w (x) y {\ displaystyle - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ м athrm {d} x}}\left[p(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y}{\ displaystyle - {\ frac {\ mathrm { d}} {\ mathrm {d} x}} \ left [p (x) {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x}} \ right] + q (x) y = \ лямбда w (x) y}

for an unknown function y on an interval [a, b], satisfying general homogeneous Robin boundary conditions

{ α y ( a) + α ′ y ′ ( a) = 0 β y ( b) + β ′ y ′ ( b) = 0. {\displaystyle {\begin{cases}\alpha y(a)+\alpha 'y'(a)=0\\\beta y(b)+\beta 'y'(b)=0\,.\end{cases}}}{\displaystyle {\begin{cases}\alpha y(a)+\alpha 'y'(a)=0\\\beta y(b)+\beta 'y'(b)=0\,.\end{cases}}}

The functions p, q, and w are given in advance, and the problem is to find the function y and constants λ for which theуравнение имеет решение. У проблемы есть решения только для определенных значений λ, называемых собственными значениями системы, и это является следствием спектральной теоремы для компактных операторов, примененной к интегральному оператору, определяемому Функция Грина для системы. Кроме того, другим следствием этого общего результата является то, что собственные значения λ системы могут быть расположены в возрастающей последовательности, стремящейся к бесконечности.

Уравнения в частных производных

Гильбертовы пространства являются основным инструментом при изучении дифференциальных уравнений в частных производных. Для многих классов дифференциальных уравнений в частных производных, таких как линейные эллиптические уравнения, можно рассматривать обобщенное решение (известное как слабое решение) путем расширения класса функций. Многие слабые формулировки включают класс функций Соболева, который является гильбертовым пространством. Подходящая слабая формулировка сводит к геометрической задаче аналитическую задачу finding a solution or, often what is more important, showing that решение существует и уникально для заданных граничных данных. Для линейных эллиптических уравнений одним геометрическим результатом, который обеспечивает однозначную разрешимость большого класса задач, является теорема Лакса – Милграма. Эта стратегия составляет рудимент метода Галеркина (метод конечных элементов ) для численного решения уравнений в частных производных.

Типичным примеромявляется метод Пуассона. уравнение −Δu = g с граничными условиями Дирихле в ограниченной области Ω в ℝ . Слабая формулировка состоит в нахождении такой функции u, что для всех непрерывно дифференцируемых функций v из Ω, обращающихся в нуль на границе:

∫ Ω ∇ u ⋅ ∇ v = ∫ Ω g v. {\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla u \ cdot \ nabla v = \ int _ {\ Omega} gv \,.}{\ di splaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla u \ cdot \ nabla v = \ int _ {\ Omega} gv \,.}

Это можно преобразовать в терминах гильбертова пространства H. 0(Ω), состоящий из такихфункций u, что u вместе со своими слабыми частными производными интегрируемы с квадратом на Ω и обращаются в нуль на границе. Затем вопрос сводится к нахождению u в этом пространстве так, чтобы для всех v в этом пространстве

a (u, v) = b (v) {\ displaystyle a (u, v) = b (v)}{\ displaystyle a (u, v) = b (v)}

где a - непрерывная билинейная форма, а b - непрерывный линейный функционал, задаваемый соответственно как

a (u, v) = ∫ Ω ∇ u ⋅ ∇ v, b (v) = ∫ Ω gv. {\ displaystyle a (u, v) = \ int _ {\Omega} \ nabla u \ cdot \ nabla v, \ quad b (v) = \ int _ {\ Omega} gv \,.}{\ displaystyle a (u, v) = \ int _ {\ Omega} \ nabla u \ cdot \ nabla v, \ quad b (v) = \ int _ {\ Omega} gv \,.}

Поскольку Уравнение Пуассона эллиптическое, из неравенства Пуанкаре следует, что билинейная форма a коэрцитивна. Тогда теорема Лакса – Милграма гарантирует существование и единственность решений этого уравнения.

Гильбертовы пространства позволяют формулировать многие эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными аналогичным образом, и теорема Лакса – Милграма тогдаявляется основным инструментом в их анализе. С соответствующими изменениями аналогичные методы могут быть применены к параболическим уравнениям в частных производных и некоторым гиперболическим уравнениям в частных производных.

эргодической теории

Путь бильярдного шара в стадион Бунимовича описывается эргодической динамической системой.

Область эргодической теории - это изучение долгосрочного поведения хаотической динамические системы. Типичным случаем поля, к которому применяется эргодическая теория, является термодинамика, в которой - хотя микроскопическое состояние системы чрезвычайно сложно (невозможно понять совокупность индивидуальных столкновений между частицами большего размера) - среднее поведение за достаточно длительные промежутки времени поддается обработка. законы термодинамики - утверждение о таком среднем поведении. В частности, одна формулировка нулевогозакона термодинамики утверждает, что в течение длительного времени единственным функционально независимым измерением термодинамической системы, находящейся в равновесии, является ее полная энергия в виде температура.

Эргодическая динамическая система - это система, для которой, кроме энергии, измеряемой с помощью гамильтониана, нет других функций независимых сохраняющих величин на фазе . пробел. Более явно предположим, что энергия E фиксирована, ипусть Ω E будет подмножеством фазового пространства, состоящего из всех состояний энергии E (энергетическая поверхность), и пусть T t обозначим оператор эволюции фазовом пространстве. Динамическая система является эргодической, если на Ω E нет непрерывных непостоянных функций, что таких

f (T tw) = f (w) {\ displaystyle f (T_ {t} w) = f (w)}{\ displaystyle f (T_ {t} w) = е (ш)}

для всех w на Ω E и за все время t. Теорема Лиувилля подразумевает, что существует мера μ на поверхности энергии, которая инвариантна относительно сдвига времени. В результате сдвиг во времени является унитарным преобразованием гильбертова пространства L (Ω E, μ), состоящего из интегрируемых с квадратом функций на поверхности энергии Ω E <401.>относительно внутреннего произведения

⟨f, g⟩ L 2 (Ω E, μ) = ∫ E fg ¯ d μ. {\ displaystyle \ left \ langle f, g \ right \ rangle _ {L ^ {2} \ left (\ Omega _ {E}, \ mu \ right)} = \ int _ {E} f{\ bar {g }} \, \ mathrm {d} \ mu \,.}{ \ displaystyle \ left \ langle f, g \ right \ rangle _ {L ^ {2} \ left (\ Omega _ {E}, \ mu \ right)} = \ int _ {E} f {\ bar {g} } \, \ mathrm {d} \ mu \,.}

Эргодическая теорема фон Неймана о среднем утверждает следующее:

  • Если U t является (сильно непрерывной) однопараметрической полугруппой унитарных операторов в гильбертовом H, а P - ортогональная проекция на пространстве общих пространственных точек U t, {x ∈H | U t x = x, ∀t>0}, тогда
    P x = lim T → ∞ 1 T ∫ 0 T U t x d t. {\ Displaystyle Px = \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} U_ {t} x\, \ mathrm {d} t \,.}{\ displaystyle Px = \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} U_{t} x \, \ mathrm {d} t \,.}

Для эргодической системы фиксированного набора временной эволюции следует использовать следующие функции: для любой функции f ∈ L (Ω E, μ),

L 2 - lim T → ∞ 1 T ∫ 0 T f (T tw) dt = ∫ Ω E f (y) d μ (y). {\ displaystyle {\ underset {T \ to \ infty} {L ^ {2} - \ lim}} {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} f (T_ {t} w) \, \ mathrm {d} t = \ int _ {\ Omega _ {E}} f (y) \, \ mathrm {d} \ mu (y) \,.}{\ displaystyle {\ underset {T \ to \ infty} {L ^ {2} - \ lim}} {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} f (T_ {t } w) \, \ mathrm {d} t = \ int _ {\ Omega _ {E}} f (y) \, \ mathrm {d} \ mu (y) \,.}

То есть длинный средний по времени наблюдаемой f равно еематематическому ожиданию по поверхности энергии.

Анализ Фурье

Суперпозиция базисных функций синусоидальной волны (внизу) для формирования пилообразной волны (вверху) Сферические гармоники, ортонормированный базис для гильбертова пространства интегрируемых с квадратом функций на сфера, изображенная на графике в радиальном направлении

Одна из основных целей анализа Фурье - разложить функцию на (возможно, бесконечную) линейную комбинацию заданныхбазисных функций: соответствующий ряд Фурье. Классический Фурье, связанный с функцией ряд f, определенном на интервале [0, 1], представляет собой ряд вида

∑ n = - ∞ ∞ ane 2 π в θ {\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {2 \ pi in \ theta}}\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {2 \ pi in \ theta}

где

an = ∫ 0 1 f (θ) e - 2 π в θ d θ. {\ displaystyle a_ {n} = \ int _ {0} ^ {1} f (\ theta) e ^ {- 2 \ pi in \ theta} \, \ mathrm {d} \ theta \,.}{\ displaystyle a_ {n} = \ int _ {0} ^ {1} f (\ theta) e ^ {- 2 \ pi in \ theta} \, \ mathrm {d} \ theta \,.}

Пример сложения первых элементов в ряду Фурье дляпилообразной функции показано на рисунке. Базисные функции - это синусоидальные волны с длиной волн λ / n (для целого числа n) короче длины волны λ самой пилообразной (за исключением n = 1 формы, основной волны). Все базовые функции имеют узлы в узлах пилообразной формы, но все, кроме основных, имеют дополнительные узлы. Колебание суммированных членов относительно пилообразной формы называется феноменом Гиббса ..

Существенная проблема классических рядов Фурье заключается в том, в какомсмысле ряд Фурье сходится, если вообще сходится, к функциям f. Один из способов ответов на этот вопрос дают методы гильбертова пространства. Функции e n (θ) = e образуют ортогональный базис гильбертова пространства L ([0, 1]). Следовательно, любую интегрируемую с квадратом функцию можно выразить в виде ряда

f (θ) = ∑ nanen (θ), an = ⟨f, en⟩ {\ displaystyle f (\ theta) = \ sum _ {n} a_ { n} e_ {n} (\ theta) \,, \ quad a_ {n} = \ langle f, e_ {n} \ rangle}{\ displaystyle f (\ theta) = \ сумма _ {n} a_ {n} e_ {n} (\ theta) \,, \ quad a_ {n} = \ langle f, e_ {n} \ rangle}

и, кроме того, этотряд сходится в смысле гильбертова пространства (то есть, в L означает ).

Проблема также может быть изучена с абстрактной точки зрения: каждый гильбертово пространство имеет ортонормированный базис, и каждый элемент гильбертова пространства может быть записан уникальным образом в виде суммы кратных этих базовых элементов. Стандартные, развивающие на этих базисных элементах, иногда абстрактно называют коэффициентами Фурье элемента пространства. Абстракция особеннополезна, когда более естественно использовать различные базисные функции для такого пространства, как L ([0, 1]). Во многих случаях желательно не разлагать функцию на тригонометрические функции, например, на ортогональные многочлены или вейвлеты, а в более высоких измерениях - на сферические гармоники.

, if e n - любые ортонормированные базисные функции L [0, 1], то функция в L [0, 1] может быть аппроксимирована как конечная линейная комбинация

f (х)≈ fn (x) = а 1 е 1 (х) + а 2 е 2 (х) + ⋯ + анен (х). {\ Displaystyle f (x) \ приблизительно f_ {n} (x) = a_ {1} e_ {1} (x) + a_ {2} e_ {2} (x) + \ cdots + a_ {n} e_ { n} (x) \,.}{\ displaystyle f (x) \ приблизительно f_ {n} (x) = a_ {1} e_ {1} (x) + a_ {2} e_ {2} (x) + \ cdots + a_ {n} e_ {n} (x) \,.}

коэффициенты {a j } выбираются так, чтобы получить разности || f - f n || как можно меньше. Геометрически наилучшее приближение - это ортогональная проекция f на подпространство, состоящее из всех линейных комбинаций {e j }, и может быть вычислено с помощью

aj= ∫ 0 1 ej (x) ¯ f (x) dx. {\ displaystyle a_ {j} = \ int _ {0} ^ {1} {\ overline {e_ {j} (x)}} f (x) \, \ mathrm {d} x \,.}{\ displaystyle a_ {j} = \ int _ {0} ^ {1} {\ overline {e_ {j} (x)}} f (x) \, \ mathrm { d} x \,.}

Эта формула минимизирует разницу || f - f n || следствием неравенства Бесселя и формулы Парсеваля.

В различных приложениях к физическим задачам функция может разложиться на физически значимые собственные функции дифференциального оператора (обычно оператор Лапласа ): это формирует основу для спектрального исследованияфункций со ссылкой на спектр дифференциального оператора. Конкретное физическое приложение включает в себя проблему слышать формула барабана : все основные виды вибрации, которые способствуют воспроизведению барабанной пластинки, можно ли сделать вывод о форме самого барабана? Математическая формулировка этого вопроса включает в себя собственные значения Дирихле уравнения Лапласа на плоскости, которые имеют основные моды колебаний в прямой аналогии с целыми числами,которые обеспечивают основные колебания струны скрипки.

Спектральная теория также опирается на некоторые особенности преобразования Фурье функции. В то время как анализ Фурье разлагает функцию, заданную на компакте , на дискретный спектр лапласиана (который соответствует колебаниям струны скрипки или барабана), преобразование Фурье функции - это разложение функций определено на всех евклидовом пространстве на его компоненты в непрерывном спектре лапласиана. Преобразование Фурье также является геометрическим, в некотором смысле, уточненным теоремой Планшереля, которая утверждает, что это изометрия одного гильбертова пространства ("временная область") с другими («частотная область»). Это свойство изометрии преобразования Фурье является повторяющейся темой в абстрактном анализируемом анализе, о чем свидетельствует, например, теорема Планшереля для сферических функций, встречающаяся в некоммутативном гармоническом.

Квантовая механика

орбитали электрона в атоме водорода являются собственными функциями энергии.

В математически строгой формулировке квантовой механики, разработанной Джоном фон Нейманом, возможные состояния (точнее, чистые состояния ) квантово-механической по единичным моментом (называемым данным состоянием), находящимся в сложном сепарабельном гильбертовомпространстве, известном как пространство состояний, хорошо определенном до комплексного числа нормы 1 (фаза коэффициент ). Другими словами, возможные состояния - это точка в проективизации гильбертова пространства, обычно называемого комплексным проективным пространством. Точная природа этого гильбертова пространства зависит от системы; например, состояния положения и импульса для одиночной нерелятивистской частицы с нулевым спином представляют собойпространство всех интегрируемых с квадратом функциями, в то время как состояния для спина одиночного протона являются единичными элементами двухмерного комплексного гильбертово пространства спиноров. Каждая представленная самосопряженным линейным оператором, действующим в визуальном пространстве. Каждое собственное состояние наблюдаемого соответствует собственному вектору оператора, и связанное с ним собственное значение соответствует значению наблюдаемого в этом собственном состоянии.

Внутренний продукт между двумя явлениями состояния - это комплексное число, известное как амплитуда вероятности. Во время идеального измерения квантово-механической системы вероятность того, что система коллапсирует из заданного начального состояния в конкретное собственное состояние, дается квадратом абсолютного значения амплитуды вероятности между начальным и конечным состояниями.. Возможныезначения измерения собственных средств оператора, что объясняет выбор самосопряженных операторов, как все собственные средства быть действительными. Распределение вероятностей ожидаемого вычисления спектрального разложения соответствующего оператора.

Для общей системы состояний обычно не являются чистыми, а вместо этого представляются как статистические смеси чистых состояний или смешанных состояний, задаваемые матрицами плотности : самосопряженные операторы начертите на гильбертовом простор. Более того, для общих квантово-механических систем одного измерения может быть использовано вместо этого описательной операторнозначной мерой . Таким образом, структура как состояний, так и наблюдаемых в общей теории значительно сложнее, чем идеализация для чистых состояний.

Восприятие цвета

Любой истинный физический цвет может быть представлен комбинацией чистых спектральных цветов. Пространство физических цветов может бытьточно представлено гильбертовым пространством над спектральными цветами. У людей есть три типа колбочек для восприятия цвета, воспринимаемые цвета могут быть представлены трехмерным евклидовым пространством. Линейный дисплей `` многие к одному '' из гильбертова пространства физических цветов в евклидовом пространстве воспринимаемых человеком цветов объясняет, почему различные физические цвета воспринимают людей как идентичные (например, чистый желтый свет против смеси красного изеленого света, см. метамеризм ).

Свойства

Пифагорова тождество

Два объекта u и v в гильбертовом пространстве H ортогональны, когда ⟨u, v⟩ = 0. Обозначение для этого - u ⊥ v. В более общем смысле, когда S является подмножеством в H, запись u ⊥ S означает, что u ортогонален каждому элементу из S.

Когда u и v ортогональны, один имеет

‖ u + v ‖ 2 = ⟨U + v, u + v⟩ знак равно ⟨u, u⟩ + 2 Re ⁡ ⟨u, v⟩ + ⟨v, v⟩ = ‖ u ‖ 2 + ‖ v ‖ 2. {\ displaystyle \| и + v \ | ^ {2} = \ langle u + v, u + v \ rangle = \ langle u, u \ rangle +2 \, \ operatorname {Re} \ langle u, v \ rangle + \ langle v, v \ rangle = \ | и \ | ^ {2} + \ | v \ | ^ {2} \,.}{\ displaystyle \ | u + v \ | ^ {2} = \ langle u + v, u + v \ rangle = \ langle u, u \ rangle +2 \, \ operatorname {Re} \ langle u, v \ rangle + \ langle v, v \ rangle = \ | и \ | ^ {2} + \ | v \ | ^ {2} \,.}

Индукцией по n это распространяется на любое семейство u 1,…, u n из n ортогональных векторов,

u 1 + ⋯ + ООН ‖ 2 знак равно ‖ U 1 ‖ 2 + ⋯ + ‖ un ‖ 2. {\ Displaystyle \ | u_ {1} + \ cdots + u_ {n} \ | ^ {2} = \ | u_ {1} \ | ^ {2} + \ cdots + \ | u_ {n} \ | ^ {2} \,.}{\ displaystyle \ | u_ {1} + \ cdots + u_ {n} \ | ^ {2} = \ | u_ {1} \ | ^ {2} + \ cdots + \ | u_ {n} \ | ^ {2} \,.}

В товремя как заявленная пифагорейская идентичность действующей в внутреннем рекламе продукта, для расширения пифагорейской идентичности на ряды требуется полы. Ряд ∑u k ортогональных векторов сходится в H тогда и только тогда, когда сходится ряд квадратов норм и

‖ ∑ k = 0 ∞ uk ‖ 2 = ∑ k = 0 ∞ ‖ uk ‖ 2. { \ Displaystyle \ влево \ | \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} u_ {k} \ right \ | ^ {2} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left \ | u_ {k} \ right \ | ^ {2} \,.}{\ displaystyle \ left \ | \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} u_ {k} \ right \ | ^ {2} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left \ | u_ {k} \ right \ | ^ {2} \,.}

Кроме того, сумма рядаортогональных векторов не зависит от порядка, в котором она берется.

Идентичность и поляризация параллелограмма

Геометрически идентичность параллелограмма утверждает, что AC + BD = 2 (AB + AD). На словах сумма квадратов диагоналей в два раза больше суммы квадратов любых двух смежных сторон.

По определению, каждое гильбертово пространство также является банаховым пространством. Кроме того, в любом гильбертовом выполняется следующее тождество параллелограмма :

‖ u + v ‖ 2 + ‖ u - v ‖ 2 = 2 (‖ u ‖ 2 + ‖ v ‖ 2). {\ Displaystyle \ | U + v \ | ^ {2} + \ | уф \ | ^ {2} = 2 \ left (\ | u \ | ^ {2} + \ | v \ | ^ {2} \ right) \,.}{\ displaystyle \ | u + v \ | ^ {2} + \ | uv \ | ^ {2} = 2 \ left (\ | u \ | ^ {2} + \ | v \ | ^ {2} \ right) \,.}

И наоборот, каждое банахово пространство, в котором выполняется тождество параллелограмма, является гильбертовым пространством, а скалярное произведение однозначно определяется нормой поляризационным тождеством . Для вещественных гильбертовых пространств поляризационное тождество имеет вид

u, v⟩ = 14 (‖ u + v ‖ 2 - ‖ u - v ‖ 2). {\ displaystyle \ langle u, v \ rangle = {\ frac {1} {4}} \ left (\ | u + v \ | ^ {2} - \ | uv \ | ^ {2} \ right) \,.}{\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{4}}\left (\|u+v\|^{2}-\|uv\|^{2}\right)\,.}

Для комплексных гильбертовых пространств это

⟨u, v⟩ = 1 4 (‖ u + v ‖ 2 - ‖ u - v ‖ 2 + i ‖ u + iv ‖ 2 - i ‖ u - iv ‖ 2). {\ Displaystyle \ langle и, v \ rangle = {\ tfrac {1} {4}} \ left (\ | u + v \ | ^ {2} - \ | uv \ | ^ {2} + i \ | u + iv \ | ^ {2} -i \ | u-iv \ | ^ {2} \ right) \,.}{\ displaystyle \ langle u, v \ rangle = {\ tfrac {1} {4}} \ left (\ | u + v \ | ^ {2} - \ | uv \ | ^ {2} +i \ | u + iv \ | ^ {2} -i \ | u-iv \ | ^ {2} \ right) \,.}

Из закона параллелограмма следует, что любоегильбертово является пространством равномерно выпуклым банаховым пространством.

Наилучшее приближение

В этом подразделе используется проекционная теорема Гильберта. Если C - непустое замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства H и x - точка в H, существует единственная точка y ∈ C, которая минимизирует расстояние между x и точками в C,

y ∈ C, ‖ x - y ‖ = dist ⁡ ( x, C) = min {‖ x - z ‖: z ∈ C}. {\ Displaystyle у \ в С \,, \ четырехъядерный \ |ху \ | = \ operatorname {dist} (x, C) = \ min \ {\ | xz \ |: z \ in C \} \,.}{\ displaystyle y \ in C \,, \ quad \ | xy \ | = \ operatorname {dist} (x, C) = \ min \ {\ | xz \ |: z \ in C \} \,.}

Это равносильно утверждению, что существует точка с минимальной нормой в сдвинутом выпуклом множестве D = C - x. Доказательство состоит в том, чтобы показать, что каждая минимизирующая последовательность (d n) ⊂ D Коши (с использованием тождества параллелограмма), следовательно, сходится (используя полноту) к точке в D, имеет минимальную норму. В более общем смысле этоо в любом равномерно выпуклом банахравномерном.

Когда этот результат применяется к замкнутому подпространству F в H, можно показать, что точка y ∈ F, ближайшая к x, представляет

y ∈ F, x - y ⊥ F. {\ displaystyle y \ in F \,, \ quad xy \ perp F \,.}{\ displaystyle y \ в F \,, \ quad xy \ perp F \,.}

Эта точка y является ортогональной проекцией x на F, и отображение P F : x → y является линейным (см. Ортогональные дополнения и проекции). Этот результат особенно важен в прикладной математике, особенно в численном анализе, где он лежит в основе методов наименьших квадратов.

В частности, когда F не равно H, можно найти ненулевой вектор v, ортогональный F (выберите x ∉ F и v = x - y). Очень полезный критерий получается применением этого наблюдения к замкнутому подпространству F, порожденному подмножеством S из H.

Подмножество S из H охватывает плотное векторное подпространство, если (и только если) вектор 0 является единственным вектором v ∈ H, единственным вектором v ∈ H,

Двойственность

дуальное пространство H * - это пространство всех непрерывных линейных функций из пространства H в базовое поле. Он несет естественную норму, определенную следующим образом:

‖ φ ‖ = sup ‖ x ‖ = 1, x ∈ H | φ (x) |. {\ displaystyle \ | \ varphi \ | = \ sup _ {\ | х \ | = 1, x \ in H} | \ varphi (x) | \,.}{\ displaystyle \ | \ varphi \ | = \ sup _{\ | x \ | = 1, x \ in H} | \ varphi (x) | \,.}

Эта норма удовлетворяет закону параллелограмма , и поэтому двойное пространство также является пространством внутреннегопродукта, где этот внутренний продукт может быть определен в терминах этой двойной нормы с помощью поляризационного тождества. Двойственное пространство также полно, поэтому оно является гильбертовым пространством само по себе. Если e • = (e i)i ∈ I - полный ортонормированный базис для H, то скалярное произведение на двойственном пространстве любых двух f, g ∈ H ∗ {\ displaystyle f, g \ in H ^ {*}}{\ displaystyle f, g \ in H ^ {*}} is

⟨f, g⟩ H ∗ = ∑ i ∈ I f (ei) g (ei) ¯ {\ displ aystyle \ langle f, g \ rangle _ {H ^ {*}} = \ sum _ {i \ in I} f (e_ {i}) {\ overline {g (e_ {i})}}}{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {H ^ {*}} = \ sum _ {i \ in I} f (e_ {i}) {\ overline {g (e_ { i})}}}

где все, кроме счетного множества членов этой серии равны нулю.

Теорема о представлении Рисса дает удобное описание двойственного пространства. Каждому элементу u из H соответствует единственный элемент φ u из H *, определенное как

φ u (x) = ⟨x, u⟩ {\ displaystyle \ varphi _ {u} (x) = \ langle x, u \ rangle \,}{\ displaystyle \ varphi _ {u} (x) = \ langle x, u \ rangle \,}

где, кроме того, ‖ φ u ‖ = ‖ U ‖.{\ displaystyle \ left \ | \ varphi _ {u} \ right \ | = \ left \ | u \ right \ |.}{\ displaystyle \ left \ | \ varphi _ {u}\ right \ | = \ left \ | u \ right \ |.}

представление Рисса Теорема утверждает, что отображение из H в H *, определяемое u ↦ φ u, является сюръективным, что делает эту к арту изометрической антилинейной изоморфизм. Таким образом, каждому элементу φ дуа l H * существует один и только один u φ в H такой, что

⟨x, u φ⟩ = φ (x) {\ displaystyle \ langle x, u _ {\ varphi} \ rangle = \ varphi (x)}\ langle x u _ {\ varphi} \ rangle = \ varphi (x)

для всех x ∈ H. Скалярное произведение на двойственном пространстве H * удовлетворяет условию

⟨φ, ψ⟩ = ⟨u ψ, u φ⟩. {\ displaystyle \ langle \ varphi, \ psi \ rangle = \ langle u _ {\ psi}, u _ {\ varphi} \ rangle \,.}{\ displaystyle \ langle \ varphi, \psi \ rangle = \ langle u _ {\ psi}, u _ {\ varphi} \ rangle \,.}

Изменение порядка в правой части восстанавливает линейность по φ от антилинейность u φ. В реальном случае антилинейный изоморфизм от H к двойственному ему на самом деле является изоморфизмом, и поэтому реальные гильбертовы пространства естественноизоморфны своим собственным двойственным.

Представляющий вектор u φ получается следующим образом. Когда φ ≠ 0, ядро ​​ F = Ker (φ) является замкнутым векторным подпространством в H, не равным H, следовательно, существует ненулевой вектор v, ортогональный F. Вектор u является подходящим скаляром кратное λv числа v. Требование φ (v) = ⟨v, u⟩ дает

u = ⟨v, v⟩ - 1 φ (v) ¯ v. {\ displaystyle u = \ langle v, v \ rangle ^ {- 1} \, {\ overline {\ varphi (v)}} \, v \,.}{\ displaystyle u = \ langle v, v \ rangle ^{- 1} \, {\ overline {\ varphi (v)}} \, v \,.}

Это соответствие φ ↔ u используется бюстгальтер-нотация, популярная в физике. В физике принято считать, что скалярное произведение, обозначаемое ⟨x | y⟩, является линейным справа,

⟨x | у⟩ знак равно ⟨у, х⟩. {\ displaystyle \ langle x | y \ rangle = \ langle y, x \ rangle \,.}{ \ displaystyle \ langle x | y \ rangle = \ langle y, x \ rangle \,.}

Результат ⟨x | y⟩ можно рассматривать как действие линейного функционала ⟨x | (бюстгальтер) на векторе | y⟩ (кет).

Теорема о представлении Рисса основывается не только наналичии внутреннего продукта, но и на полноте пространства. Фактически, из теоремы следует, что топологический двойственный элемент любого внутреннего пространства продукта можно отождествить с его завершением. Непосредственным следствием теоремы о представлении Рисса также является то, что гильбертово пространство H рефлексивно, что означает, что естественное отображение из H в его двойное двойственное пространство является изоморфизмом.

Слабо сходящиесяпоследовательности

В гильбертовом пространстве H последовательность {x n } слабо сходится к вектору x ∈ H, когда

lim n ⟨xn, v⟩ = ⟨x, v⟩ {\ displaystyle \ lim _ {n} \ langle x_ {n}, v \ rangle = \ langle x, v \ rangle}\ lim _ {n} \ langle x_ {n}, v \ rangle = \ langle x, v \ rangle

для каждого v ∈ H.

Например, любая ортонормированная последовательность {f n } слабо сходится к 0, как следствие неравенства Бесселя. Каждая слабо сходящаяся последовательность {x n } ограничена принципом равномерной ограниченности.

И наоборот, каждая ограниченная последовательность в гильбертовом пространстве допускает слабо сходящиеся подпоследовательности (теорема Алаоглу ). Этот факт может быть использован для доказательства результатов минимизации для непрерывных выпуклых функционалов точно так же, как теорема Больцано – Вейерштрасса используется для непрерывных функций на ℝ . Среди нескольких вариантов одно простое утверждение выглядитследующим образом:

Если f: H → ℝ - выпуклая непрерывная функция такая, что f (x) стремится к + ∞, когда || x || стремится к ∞, то f допускает минимум в некоторой точке x 0 ∈ H.

Этот факт (и его различные обобщения) являются фундаментальными для прямых методов в вариационное исчисление. Результаты минимизации для выпуклых функционалов также являются прямым следствием несколько более абстрактного факта, что замкнутые ограниченные выпуклыеподмножества в гильбертовом пространстве H являются слабо компактными, поскольку H рефлексивно. Существование слабо сходящихся подпоследовательностей является частным случаем теоремы Эберлейна – Шмулиана.

Свойства банаховых пространств

Любое общее свойство банаховых пространств остается верным для гильбертовых пространств. Теорема об открытом отображении утверждает, что непрерывное сюръективное линейное преобразование изодного банахова пространства в другое является открытым отображением, что означает, что оно отправляет открытое наборы для открытых наборов. Следствием является ограниченная обратная теорема о том, что непрерывная и биективная линейная функция из одного банахова пространства в другое является изоморфизмом (то есть непрерывным линейным отображением, обратное которому также непрерывно). Эту теорему значительно проще доказать в случае гильбертовых пространств, чем вобщих банаховых пространствах. Теорема об открытом отображении эквивалентна теореме о замкнутом графике, которая утверждает, что линейная функция из одного банахова пространства в другое непрерывна тогда и только тогда, когда ее график является замкнутым множеством. В случае гильбертовых пространств это является основным при изучении неограниченных операторов (см. замкнутый оператор ).

(геометрическая) теорема Хана – Банаха утверждает, что замкнутое выпуклое множество может быть отделено от любой точки вне его с помощью гиперплоскости гильбертова пространства. Это непосредственное следствие свойства наилучшего приближения : если y - элемент замкнутого выпуклого множества F, ближайший к x, то разделяющая гиперплоскость - это плоскость, перпендикулярная отрезку xy, проходящему через его середину.

Операторы в гильбертовых пространствах

Ограниченные операторы

Непрерывные линейные операторы A: H 1 → H 2 из гильбертова пространства H 1 во второе гильбертово пространство H 2 являются ограниченными в том смысле, что они отображают ограниченные множества в ограниченные множества. Наоборот, если оператор ограничен, то он непрерывен. Пространство таких линейных ограниченных операторов имеет норму, операторную норму, заданную как

‖ A ‖ = sup {‖ A x‖: ‖ x ‖ ≤ 1}. {\ displaystyle \ lVert A \ rVert = \ sup \ left \ {\, \ lVert Ax \ rVert: \ lVert x \ rVert \ leq 1 \, \ right \} \,.}{\ displaystyle \ lVert A \ rVert = \sup \ left \ {\, \ lVert Ax \ rVert: \ lVert x \ rVert \ leq 1 \, \ right \} \,.}

Сумма и состав два ограниченных линейных оператора снова ограничены и линейны. Для y в H 2 отображение, которое отправляет x ∈ H 1 в ⟨Ax, y⟩, является линейным и непрерывным, и согласно теореме о представлении Рисса поэтому может быть представлен в виде

⟨x, A ∗ y⟩ = ⟨A x, y⟩ {\ displaystyle \ left \ langle x, A ^ {*} y \right \ rangle = \ langle Ax, y \ rangle}{\ displaystyle \ left \ langle x, A ^ {*} y \ right \ rangle = \ langle Ax, y \ rangle}

для некоторого вектора A * y в H 1. Это определяет другой ограниченный линейный оператор A *: H 2 → H 1, сопряженный к A. Сопряженный удовлетворяет A ** = A. Когда оператор Рисса Теорема представления используется для идентификации каждого гильбертова пространства с его непрерывным двойственным пространством, может быть показано, что сопряженное к A идентично, транспонирует A: H 2* → H 1 * элемента A, который по определению отправляет ψ ∈ H 2 ∗ {\ displaystyle \ psi \ in H_ {2} ^ {*}}{\ displaystyle \ psi \ in H_ {2} ^ {*}} в функционал ψ ∘ A ∈ H 1 ∗. {\ displaystyle \ psi \ circ A \ in H_ {1} ^ {*}.}{\ displaystyl e \ psi \ circ A \ in H_ {1} ^ {*}.}

Множество B (H) всех линейных ограниченных операторов на H (то есть операторов H → H) вместе с сложением и композицией операции, норма и сопряженная операция - это C * -алгебра, которая является типом операторной алгебры.

Элемент A из B (H) называется«самосопряженным» или «эрмитовым», если A * = A. Если A эрмитово и ⟨Ax, x⟩ ≥ 0 для любого x, то A называется «неотрицательным», записывается A ≥ 0; если равенство выполняется только при x = 0, то A называется «положительным». Множество самосопряженных операторов допускает частичный порядок, в котором A ≥ B, если A - B ≥ 0. Если A имеет вид B * B для некоторого B, то A неотрицательно; если B обратимо, то A положительно. Обратное также верно в том смысле, что для неотрицательногооператора A существует единственный неотрицательный квадратный корень B такой, что

A = B 2 = B ∗ B. {\ displaystyle A = B ^ {2} = B ^ {*} B \,.}{\ displaystyle A = B ^{2} = B ^ {*} B \,.}

В смысле, уточненном с помощью спектральной теоремы, самосопряженные операторы можно рассматривать как операторы, которые "настоящие". Элемент A из B (H) называется нормальным, если A * A = AA *. Нормальные операторы разлагаются на сумму самосопряженных операторов и мнимое кратное самосопряженного оператора

A = A + A∗ 2 + i A - A ∗ 2 i {\ displaystyle A = {\ frac {A + A ^ {*}} {2}} + i {\ frac {AA ^ {*}} {2i}}}{\ displaystyle A = {\ frac {A + A ^ { *}} {2}} + i {\ frac {AA ^ {*}} {2i}}}

, которые коммутируют друг с другом. Нормальные операторы также можно рассматривать с точки зрения их действительной и мнимой частей.

Элемент U из B (H) называется унитарным, если U обратим, а его обратный равен U *. Это также можно выразить, потребовав, чтобы U находился на и ⟨Ux, Uy⟩ = ⟨x, y⟩ для всех x, y ∈ H. Унитарные операторы образуют группу при композиции,которая является группа изометрии из H.

Элемент B (H) является компактным, если он отправляет ограниченные множества в относительно компактные множества. Эквивалентно, ограниченный оператор T является компактным, если для любой ограниченной последовательности {x k } последовательность {Tx k } имеет сходящуюся подпоследовательность. Многие интегральные операторы компактны и фактически определяют специальный класс операторов,известный как операторы Гильберта – Шмидта, которые особенно важны при изучении интегральных уравнений. Операторы Фредгольма отличаются от компактного оператора кратным тождеством и эквивалентно характеризуются как операторы с конечномерным ядром и коядром. Индекс фредгольмова оператора T определяется как

index ⁡ T = dim ⁡ ker ⁡ T - dim ⁡ coker ⁡ T. {\ displaystyle \ operatorname {index} T = \ dim \ ker T- \ dim \ operatorname {coker} T \,.}{\ displaystyle \ operatorname {index} T = \ dim \ ker T- \ dim \ operatorname {coker} T \,.}

Индекс гомотопия инвариантен и играет важную роль в дифференциальная геометрия с помощью теоремы Атьи – Зингера об индексе.

Неограниченные операторы

Неограниченные операторы также поддаются обработке в гильбертовых пространствах и имеют важные приложения в квантовой механике. Неограниченный оператор T в гильбертовом пространстве H определяется как линейный оператор, область определения D (T) которого является линейным подпространствомв H. Часто область определения D (T) является плотным подпространством в H, и в этом случае T называется плотно определенный оператор.

Сопряженный плотно определенный неограниченный оператор определяется по существу так же, как и для ограниченных операторов. Самосопряженные неограниченные операторы играют роль наблюдаемых в математической формулировке квантовой механики. Примеры самосопряженных неограниченных операторов в гильбертовом пространстве L (ℝ ):

  • Подходящее расширение дифференциального оператора
    (A f) (x) = - iddxf (x), {\ displaystyle (Af) (x) = - i {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} f (x) \,,}{\ displaystyle (Af) (x) = - i {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} f (x) \,,}
    где i - мнимая единица, а f является дифференцируемой функцией компактной опоры.
  • Оператор умножения на x:
    (B f) (x) = xf (x). {\ displaystyle (Bf) (x) = xf (x) \,.}{\ displaystyle (Bf) (x) = xf (x) \,.}

Они соответствуют наблюдаемым импульсу и позиции соответственно. Обратите внимание, что ни A, ни B не определены на всемH, так как в случае A производная может не существовать, а в случае B функция произведения не должна быть интегрируемой с квадратом. В обоих случаях набор возможных аргументов формирует плотные подпространства L (ℝ ).

Конструкции

Прямые суммы

Два гильбертовых пространства H 1 и H 2 могут быть объединены в другое гильбертово пространство, называемое (ортогональная) прямая сумма и обозначенная

H 1 ⊕ H 2, {\ displaystyle H_{1} \ oplus H_ {2} \,,}{\ displaystyl e H_ {1} \ oplus H_ {2} \,,}

, состоящая из множества всех упорядоченные пары (x1, x 2), где x i ∈ H i, i = 1, 2, и внутренний продукт определяется

⟨(X 1, x 2), (y 1, y 2)⟩ H 1 ⊕ H 2 = ⟨x 1, y 1 H 1 + ⟨x 2, y 2 H 2. {\ displaystyle {\ bigl \ langle} (x_ {1}, x_ {2}), (y_ {1}, y_ {2}) {\ bigr \ rangle} _ {H_ {1} \ oplus H_ {2} } = \ left \ langle x_ {1}, y_ {1} \ right \ rangle _ {H_ {1}} + \ left \ langle x_ {2}, y_ {2} \ right \ rangle _ {H_ {2} }\,.}{\ displaystyle {\ bigl \ langle} (x_ {1}, x_ {2}), (y_ {1}, y_ {2}) {\ bigr \ rangle} _ {H_ {1} \ oplusH_ {2}} = \ left \ langle x_ {1}, y_ {1} \ right \ rangle _ {H_ {1}} + \ left \ langle x_ {2}, y_ {2} \ right \ rangle _ {H_ {2}} \,.}

В более общем смысле, если H i - это семейство гильбертовых пространств, индексированных i ∈ I, то прямая сумма H i, обозначенная

⨁ i ∈ IH i {\ displaystyle \ bigoplus _ {i \ in I} H_ {i}}{\ displaystyle \ bigoplus _ {i \ in I} H_ {i}}

состоит из набора всех индексированных семейств

x = (xi ∈ H i | i ∈ I) ∈ ∏ я ∈ IH я {\ displaystyle x = (x_ {i} \ in H_ {i} | i \ in I) \ in \ prod _ {i \ in I} H_ {i}}{\displaystyle x=(x_{i}\in H_{i}| i\in I)\in \prod _{i\in I}H_{i}}

в Декартово произведение H i такое, что

∑ i ∈ I ‖ xi ‖ 2 < ∞. {\displaystyle \sum _{i\in I}\|x_{i}\|^{2}<\infty \,.}{\ displaystyle \ sum _ {i \ in I } \ | x_ {i} \ | ^ {2} <\ infty \,.}

Внутреннее произведение определяется как

⟨x, y⟩ = ∑ i ∈ I ⟨xi, yi⟩ H i. {\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ sum _ {i \ in I} \ left \ langle x_ {i}, y_ {i} \ right \ rangle _ {H_ {i}} \,.}{\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ сумма _ {я \ in I} \ left \ langle x_ {i}, y_ {i} \ right \ rangle _ {H_ {i}} \,.}

Каждое из H i включено как замкнутое подпространство в прямую сумму всех H i. Более того, H i попарно ортогональны. Наоборот, если существует система замкнутых подпространств V i, i ∈ I, в гильбертовом пространстве H, которые попарно ортогональны иобъединение которых плотно в H, то H канонически изоморфна прямая сумма V i. В этом случае H называется внутренней суммой V i. Прямая сумма (внутренняя или внешняя) также снабжена семейством ортогональных проекций E i на i-е прямое слагаемое H i. Эти проекции представляют собой ограниченные самосопряженные идемпотентные операторы, удовлетворяющие условию ортогональности

E i E j = 0, i ≠ j. {\ displaystyle E_ {i} E_ {j} = 0, \ quad i \ neqj \,.}{\ displaystyle E_ {i} E_ {j} = 0, \ quad i \ neq j \,.}

спектральная теорема для компактных самосопряженных операторов на Гильбертово пространство H утверждает, что H разбивается на ортогональную прямую суммусобственных подпространств оператора, а также дает явное разложение оператора как сумму проекций насобственные подпространства. Прямая сумма гильбертовых пространств также появляется в квантовой механике как пространство Фока системы, содержащейпеременное число частиц, где каждое гильбертовопространство в прямой сумме соответствует дополнительной степени свободы для квантово-механической системы. В теории представлений теорема Питера – Вейля гарантирует, что любое унитарное представление компактной группы в гильбертовом пространстве расщепляется как прямое сумма конечномерных представлений.

Тензорные произведения

Если x 1, y 1 ∊ H 1 и x 2, y 2 ∊ H 2,тогда можно определить внутреннее произведение на (обычном) тензорном произведении следующим образом. На простых тензорах пусть

⟨x 1 ⊗ x 2, y 1 ⊗ y 2⟩ = ⟨x 1, y 1⟩ ⟨x 2, y 2⟩. {\ displaystyle \ langle x_ {1} \ otimes x_ {2}, \, y_ {1} \ otimes y_ {2} \ rangle = \ langle x_ {1}, y_ {1} \ rangle \, \ langle x_ { 2}, y_ {2} \ rangle \,.}{\ отображает tyle \ langle x_ {1} \ otim es x_ {2}, \, y_ {1} \ otimes y_ {2} \ rangle = \ langle x_ {1}, y_ {1}\ rangle \, \ langle x_ {2}, y_ {2} \ rangle \,.}

Затем эта формула расширяется на полуторалинейность до внутреннего произведения на H 1 ⊗ H 2.Гильбертово тензорное произведение H 1 и H 2, иногда обозначаемое H 1⊗ ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ otimes}}}\ widehat {\ otimes} H2, является Гильбертово пространство, полученное дополнением H 1 ⊗ H 2 для метрики, связанной с этим внутренним произведением.

Примером является гильбертово пространство L ([0, 1]). Гильбертово тензорное произведение двух копий L ([0, 1]) изометрически и линейно изоморфно пространству L ([0, 1]) квадратично интегрируемыхфункций на квадрате [0, 1]. Этот изоморфизм отправляет простой тензор f 1 ⊗ f 2 в функцию

(s, t) ↦ f 1 (s) f 2 (t) {\ displaystyle (s, t) \ mapsto f_ {1} (s) \, f_ {2} (t)}{\ displaystyle (s, t) \ mapsto f_ {1} (s) \, f_ {2} (t)}

на квадрате.

Этот пример типичен в следующем смысле. С каждым простым тензорным произведением x 1 ⊗ x 2 связан оператор ранга один из H. 1в H 2, который отображает заданный x * ∈ H. 1как

x ∗ ↦ x ∗ (x 1) x 2. {\ displaystyle x ^ {*} \ mapsto x^ {*} (x_ {1}) x_ {2} \,.}{\ displaystyle x ^ {*} \ mapsto x ^ {*} (x_ {1}) x_ {2} \,.}

Это отображение, определенное на простых тензорах, распространяется на линейную идентификацию между H 1 ⊗ H 2 и пространство операторов конечного ранга от H. 1до H 2. Это распространяется на линейную изометрию гильбертова тензорного произведения H 1⊗ ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ otimes}}}\ widehat {\ otimes} H2с гильбертовым пространством HS (H. 1, H 2) операторов Гильберта – Шмидта из H. 1в H 2.

Ортонормированные базисы

Понятие ортонормированного базиса линейной алгебры обобщается на случай гильбертовых пространств. В гильбертовом пространстве H ортонормированный базис - это семейство {e k}k ∈ B элементов H, удовлетворяющих условиям:

  1. Ортогональность: каждые два различных элемента B ортогональны: ⟨e k, e j ⟩ = 0 для всех k, j ∈ B с k ≠ j.
  2. Нормализация: каждый элемент семейства имеет норму 1: || e k || = 1 длявсех k ∈ B.
  3. Полнота: линейная оболочка семейства e k, k ∈ B, плотна в H.

Система векторов, удовлетворяющая базису первых двух условий, называется ортонормированной системой или ортонормированным множеством (или ортонормированной последовательностью, если B счетно ). Такая система всегда линейно независима. Полноту ортонормированной системы векторов гильбертова пространства можно эквивалентно переформулировать как:

если ⟨v,e k ⟩ = 0 для всех k ∈ B и некоторого v ∈ H, то v = 0.

Это связано с тем фактом, что единственный вектор, ортогональный плотному линейному подпространству, - это нулевой вектор, поскольку, если S - любое ортонормированное множество, а v ортогонален S, то v ортогонален замыканию линейной оболочки S, что и есть все пространство.

Примеры ортонормированных баз включают:

  • набор {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} образует ортонормированный базис ℝ с скалярнымпроизведением ;
  • последовательность {f n : n ∈ ℤ } с f n (x) = exp (2πinx) образует ортонормированный базис комплексного пространства L ([0, 1]);

В бесконечномерном случае ортонормированный базис не будет базисом в смысле линейная алгебра ; чтобы различать эти два, последний базис также называется базисом Гамеля. Плотность базисных векторов означает, что каждый вектор в пространстве может быть записан как сумма бесконечногоряда, а ортогональность подразумевает, что это разложение уникально.

Пространства последовательностей

Пространство ℓ 2 {\ displaystyle \ ell _ {2}}\ ell _ {2} суммируемых с квадратом последовательностей комплексных чисел представляет собой набор бесконечных последовательностей

(c 1, c 2, c 3,…) {\ displaystyle (c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}, \ dots)}{\ displaystyle (c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}, \ dot s)}

действительных или комплексных чисел такие, что

| c 1 | 2 + | c 2 | 2 + | c 3 | 2 + ⋯ < ∞. {\displaystyle \left|c_{1}\right|^{2}+\left|c_{2}\right|^{2}+\left|c_{3}\right|^{2}+\cdots <\infty \,.}{\ displaystyle \ left | c_ {1} \ right | ^ {2} + \ left | c_ {2} \ right | ^ {2} + \ влево | c_ {3} \ вправо | ^ {2} + \ cdots <\ infty \,.}

Это пространство имеетортонормированное основание:

e 1 = (1, 0, 0,…) e 2 = (0, 1, 0,…) ⋮ {\ displaystyle {\ begin {align} e_ {1} = (1,0,0, \ точки) \\ e_ {2} = (0,1,0, \ точки) \\ \ \ \ vdots \ end {выровнено}}{\ displaystyle {\ begin {align} e_ {1} = (1,0,0, \ dots) \\e_ {2 } = (0,1,0, \ точки) \\ \ \ \ vdots \ end {выровнено}}}

Это пространство является бесконечным обобщением ℓ 2 n {\ displaystyle \ ell _ {2} ^ {n}}{\ displaystyle \ ell _ {2} ^ {n}} пространственных конечных векторов. Обычно это первый пример, используется, чтобы показать, что в бесконечном множестве пространств является закрытым и ограниченным, необязательно (последовательно) компактным (как имеет место во всех конечных пространств). В самом деле, набор ортонормированных векторов, приведенный выше, показывает: это бесконечная последовательность векторов в единичном шаре (т. Е. Шаре точек с нормой, меньшей или равной единице). Это множество, очевидно, ограничено и замкнуто; тем не менее, никакая подпоследовательность этих векторов не сходится ни к чему, и, следовательно, единичный шар в ℓ 2 {\ displaystyle \ ell _ {2}} \ ell _ {2} не является компактным. Интуитивно это происходит потому, что «всегда есть другое направление координаты», в которое могут уклоняться следующие элементы.

Пространство ℓ 2 {\ displaystyle \ ell _ {2}}\ ell _ {2} можно обобщить способами. Например, если B - любое (бесконечное) множество, то можно сформировать гильбертово пространство последовательностей с индексным множеством B, определенным как

ℓ 2 (B) = {x: B → x C | ∑ b ∈ B | х (б) | 2 < ∞ }. {\displaystyle \ell ^{2}(B)=\left\{x:B{\xrightarrow {x}}\mathbb {C} \,\left|\,\sum _{b\in B}\left|x(b)\right|^{2}<\infty \right.\right\}\,.}{\ displaystyle \ ell ^ {2} (B) = \ left \ {x: B {\ xrightarrow {x}} \ mathbb {C} \, \ left | \, \ sum _ {b \ in B} \ left | x (b) \ right | ^ {2} <\ infty \ right. \ right \} \,.}

Сумма по B здесь определяетсякак

∑ b ∈ B | х (б) | 2 = sup ∑ n = 1 N | х (б п) | 2 {\ displaystyle \ sum _ {b \ in B} \ left | х (б) \ право | ^ {2} = \ sup \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ left | x (b_ {n}) \ right | ^ {2}}{\ displaystyle \ sum _ {b \ in B} \ left | x (b) \ right | ^ {2} = \ sup \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ left | x (b_ {n}) \ right | ^ {2}}

супремум берется по всем конечным подмножествам B. Отсюда следует, что для того, чтобы эта сумма была конечной, каждый элемент l (B) имеет только счетное количество ненулевых членов. Это пространство становится гильбертовым пространством со скалярным продуктом

⟨x, y⟩ = ∑ b ∈ B x (b) y (b)¯ {\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ sum _ {b \ in B} x (b) {\ overline {y (b)}}}\ langle x, y \ rangle = \ sum _ {b \ in B} x (b) {\ overline {y (b)}}

для всех x, y ∈ l (B). Здесь также имеется счетное число ненулевых членов, и она безусловно безусловно в силу неравенства Коши - Шварца.

Ортонормированный базис l (B) индексируется множеством B, заданным как

e b (b ′) = {1, если b = b ′ 0, в случае. {\ displaystyle e_ {b} \ left (b '\ right) = {\ begin {cases} 1 {\ text {if}} b = b' \\ 0 {\ text {в случае потери.}} \ end {cases}}}{\displaystyle e_{b}\left(b'\right)={\begin{cases}1{\text{if }}b=b'\\0{\text{otherwise.}}\end{cases}}}

Неравенство Бесселя и формула Парсеваля

Пусть f 1,..., f n - конечная ортонормированная система в H. Для произвольного объекта x ∈ H, пусть

y = ∑ j = 1 n ⟨x, fj⟩ fj. {\ displaystyle y = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ langle x, f_ {j} \ rangle \, f_ {j} \,.}{\ displaystyle y = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ langle x, f_ {j} \ rangle \, f_ {j} \,.}

Тогда ⟨x, f k ⟩ = ⟨y, f k ⟩ для каждого k = 1,…, n. Отсюда следует, что x - y ортогонален каждому f k, следовательно, x - y ортогонален y. Используя дважды пифагоровотождество, следует, что

‖ x ‖ 2 = ‖ x - y ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 ≥ ‖ y ‖ 2 = ∑ j = 1 n | ⟨X, f j⟩ | 2. {\ Displaystyle \ | х \ | ^ {2} = \ | ху \ | ^ {2} + \ | у \ | ^ {2} \ geq \ | у \ | ^ {2} = \ сумма _ {j = 1} ^ {n} {\ bigl |} \ langle x, f_ {j} \ rangle {\ bigr |} ^ {2} \,.}{\ displaystyle \ | х \ | ^ {2} = \ | xy \ | ^ {2} + \ | у \ | ^ {2} \ geq \ | у \ | ^ {2} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ bigl |} \ langle x, f_ {j} \ rangle {\ bigr |} ^ {2} \,.}

Пусть { f i }, i ∈ I, - произвольная ортонормированная система дает H. Применение неравенства к любому конечному подмножеству J в I неравенство Бесселя:

∑ i ∈ I | ⟨X, f i⟩ | 2 ≤ ‖ x ‖ 2, x ∈ H {\ displ aystyle \ sum _ {i \ in I} {\ bigl |} \ langle x, f_ {i} \ rangle {\ bigr |} ^ {2} \ leq \ | х \ | ^ {2}, \ quad x \ in H}{\ displaystyle \ sum _ {я \ in I} {\ bigl |} \ langle x, f_ {i} \ rangle {\ bigr |} ^ {2} \ leq \ | х \ | ^ {2}, \ quad x \ in H}

(согласно определению суммы произвольного семейства неотрицательных действительных чисел).

Геометрически неравенство Бесселя означает, что ортогональная проекция x на линейное подпространство, натянутое на f i, имеет норму, которая не норму x. В двух измерениях это утверждение, что длина катета прямоугольного треугольника не может бытьбольше длины гипотенузы.

Неравенство Бесселя - это ступенька к более сильному результату, называемому тождеством Парсеваля, который регулирует случай, когда неравенство Бесселя фактически является равенством. По определению, если {e k}k ∈ B является ортонормированным базисом H, то каждый элемент x из H может быть записан как

x = ∑ k ∈ B ⟨x, e k⟩ e k. {\ displaystyle x = \ sum _ {k \ in B} \ left \ langle x, e_ {k} \ right \ rangle \, e_ {k} \,.}{\ displaystyle Икс = \ сумма _ {к \ in B} \ влево \ langle x, e_ {k} \ right \ rangle \, e_ {k} \,.}

Даже еслиB несчетно, неравенство Бесселя гарантирует что выражение хорошо определено и состоит только из счетного числа ненулевых членов. Эта сумма называется разложением Фурье x, а отдельные коэффициенты ⟨x, e k ⟩ коэффициентами Фурье x. Тогда тождество Парсеваля утверждает, что

x ‖ 2 = ∑ k ∈ B | ⟨X, e k⟩ | 2. {\ displaystyle \ | х \ | ^ {2} = \ sum _ {k \ in B} | \ langle x, e_ {k} \ rangle | ^ {2} \,.}{\ displaystyle \ |х \ | ^ {2} = \ sum _ {k \ in B} | \ langle x, e_ {k} \ rangle | ^ {2} \,.}

И наоборот, если {e k } - это ортонормированный набор, такой, чтотождество Парсеваля выполняется для каждого x, тогда {e k } является ортонормированным базисом.

Гильбертова размерность

Как следствие леммы Цорна, каждый гильбертово пространство допускает ортонормированный базис; более того, любые два ортонормированных базиса одного и того же пространства имеют одинаковую мощность, называемую гильбертовым измерением пространства. Например, так как l (B) имеет ортонормированный базис, индексируемый B, егогильбертова размерность равной мощности B (которая может быть конечным целым числом, счетным или несчетным кардинальным числом ).

Как следствие тождества Парсеваля, если {e k}k ∈ B является ортонормированным базисом H, то отображение Φ: H → l (B), определяемое формулой Φ (x) = ⟨X, e k⟩k∈B - изометрический изоморфизм гильбертовых пространств: это биективное линейное отображение такое, что

⟨Φ (x), Φ (y)⟩ l 2 (B) = ⟨Икс, Y⟩ ЧАС {\ Displaystyle {\ bigl \ l angle} \ Phi (x), \ Phi (y) {\ bigr \ rangle} _ {l ^ {2} (B)} = \ left \ langle x, y \ right \ rangle _ {H }}{\ displaystyle {\ bigl \ langle} \ Phi (x), \ Phi (y) {\ bigr \ rangle} _ {l ^ {2} (B)} = \left\langle x,y\right\rangle _{H}}

для всех x, y ∈ H. Кардинальное число B - это гильбертова размерность H. Таким образом, каждое гильбертово пространство изометрически изоморфно пространству последовательностей l (B) для некоторого множества B.

Разделимые пространства

По определению, гильбертово пространство разделимо при условии, что оно содержит плотное счетное подмножество.Наряду с леммой Цорна это означает, что гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно допускает счетный ортонормированный базис. Следовательно, все бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства изометрически изоморфны l.

В прошлом от гильбертовых пространств часто требовалось, чтобы они были разделимы как часть определения. Большинство пространств, используемых в физике, разделимы, и поскольку все они изоморфны друг другу, любоебесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство часто называют «гильбертовым пространством» или просто «гильбертовым пространством». Даже в квантовой теории поля большинство гильбертовых пространств фактически разделимы, как это предусмотрено аксиомами Вайтмана. Однако иногда утверждают, что неразделимые гильбертовы пространства также важны в квантовой теории поля, примерно потому, что системы в теории обладают бесконечным числом степеней свободы и любымибесконечными (пространств размерности больше чем один) неразделимо. Например, бозонное поле можно естественным образом рассматривать как элемент тензорного произведения, факторы которого включают гармонические осцилляторы в каждой точке пространства. С этой точки зрения естественное пространство состояний бозона может показаться не разделенным пространством. Однако только небольшое разделимое подпространство полного тензорного произведения может содержать физически значимые поля (накоторое можно определить). Другое неразделимое гильбертово пространство моделирует состояние бесконечного набора частиц в неограниченной области пространства. Ортонормированный базис пространства индексируется плотностью частиц, непрерывным параметром, и, как набор плотностей неисчислим, базис не исчисляем.

Ортогональные дополнения и проекции

Если S - подмножество гильбертова пространства H, множество векторов, ортогональных S, определяется как

S ⊥ = {x ∈ H: ⟨x, s⟩ = 0 ∀s ∈ S}. {\ Displaystyle S ^ {\ perp} = \ left \ {x \ in H: \ langle x, s \ rangle = 0 \ \ forall s \ in S \ right \} \,.}{\ displaystyle S ^ {\ perp} = \ left \ {x \ in H : \ langle x, s \ rangle = 0 \ \forall s \ in S \ right \} \,.}

S - это замкнутое подпространство в H (можно легко доказать, используя линейность и непрерывность скалярного произведения) и, таким образом, образует гильбертово пространство. Если V - замкнутое подпространство в H, то V называется ортогональным дополнением к V. Фактически, каждый x ∈ H может быть записан однозначно как x = v + w, где v ∈ V и w ∈ V.Следовательно, H - внутренняя прямая сумма Гильберта V и V.

Линейный оператор P V : H → H, переводящий x в v, называется ортогональной проекцией на V. Существует естественное взаимно однозначное соответствие между множеством всех замкнутых подпространств H и множеством ограниченных самосопряженных операторов P таких, что P = P. В частности,

Теорема . Ортогональная проекция P V является самосопряженным линейным оператором H нормы ≤ 1 сосвоимством P. V= P V. Более того, любой самосопряженный линейный оператор E такой, что E = E, имеет вид P V, где V - диапазон значений E. Для любого x в H, P V (x) является единственным средством v из V, который минимизирует расстояние || х - v ||.

Это геометрическую интерпретацию P V (x): наилучшее приближение к x посредством элементов V.

Проекции P U и P V называются взаимно ортогональными, если P UPV= 0. Этоэквивалентно тому, что U и V ортогональны, как подпространства H. Сумма двух проекций P U и P V является проекцией, только если U и V ортогональны друг другу, и в этом случае P U + P V = P U + V. Составной P UPVобычно не является проекцией; на самом деле композиция представляет собой проекцию тогда и только тогда, когда две проекции коммутируют, и в этом случае P UPV= P U∩V.

. Ограниченная область области гильбертовымпространством V, ортогональная проекция P V порождает отображение проекции π: H → V; это сопряжение отображение включения

i: V → H, {\ displaystyle i: V \ to H \,,}{\ displaystyle i: V \ to H \,,}

, что означает, что

⟨ix, y⟩ H = ⟨x π Y⟩ V {\ Displaystyle \ left \ langle ix, y \ right \ rangle _ {H} = \ left \ langle x, \ pi y \ right \ rangle _ {V}}{\ Displaystyle \ влево \ langle ix, у \ right \ rangle _ {H} = \ left \ langle x, \ pi y \ right \ rangle _ {V}}

для всех x ∈ V и y ∈ H.

Операторная норма ортогональной проекции P V на ненулевое замкнутое подпространство V равно 1:

‖ PV ‖ = sup x ∈ H, x ≠ 0 ‖ PV x ‖ ‖ x ‖ = 1. {\ Displaystyle \ | P_ {V} \ | = \ sup _ {x \ in H, x \ not = 0} {\ frac {\ | P_ {V} x \ |} {\ | x \ |}} = 1 \,.}{\displaystyle \|P_{V}\|=\sup _{x\inH,x\not =0}{ \frac {\|P_{V}x\|}{\|x\|}}=1\,.}

Следовательно, каждое замкнутое подпространство V гильбертова пространство является образом оператора P с нормой один такой, что P = P. Свойство обладания подходящими операторами проектирования характеризует гильбертовы пространства:

  • Банахово пространство размер выше 2 является (изометрически) гильбертовым пространством тогда,когда для каждого замкнутого подпространства V существует оператор P V норма один, образ которого равен V, такой что P. V= P V.

Хотя этот результат обеспечивает метрическую структуру гильбертова пространства, структура гильбертова пространства как топологического пространства сама может быть охарактеризована в терминах наличия дополнительных подпространств:

  • Банах пространство X топологически и линейно из подпространственного пространства замкнутому подпространствуV существует такое замкнутое подпространство W, что X равно внутренней прямой ой сумме V ⊕ W.

Ортогональное дополнение удовлетворяет некоторым более элементарный результат полученный. Это монотонная функция в том смысле, что если U ⊂ V, то V ⊆ U с равенством, выполняемым тогда и только тогда, когда V содержится в замыкании U. Этот результат является частным случаем теоремы Хана - Банаха. Замыкание подпространства может быть полностью охарактеризовано втерминах ортогонального дополнения: если V является подпространством H, то замыкание V равно V. Таким образом, ортогональное дополнение является связностью Галуа на частичный порядок подпространств гильбертова пространства. В общем, ортогональное дополнение к сумме подпространств - это пересечение ортогональных дополнений:

(∑ i V i) ⊥ = ⋂ i V i ⊥. {\ displaystyle \ left (\ sum _ {i} V_ {i} \ right) ^ {\ perp} = \ bigcap _ {i} V_ {i} ^ {\ perp} \,.}{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i} V_ {i} \ right) ^ {\ perp} = \ bigcap _ {i} V_ {i} ^ {\ perp } \,.}

Если V iдополнительно закрыты, тогда

∑ i V i ⊥ ¯ = (⋂ i V i) ⊥. {\ displaystyle {\ overline {\ sum _ {i} V_ {i} ^ {\ perp}}} = \ left (\ bigcap _ {i} V_ {i} \ right) ^ {\ perp} \,.}{\ displaystyle {\ overline {\ sum _ {i} V_ {i} ^ {\ perp}}} = \ left (\ bigcap _ {i} V_ {i} \ right) ^ {\ perp} \,.}

Спектральная теория

Существует хорошо развитая спектральная теория для самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, которая примерно аналогична изучению симметричных матриц над действующими или самосопряженными матрицами над комплексными числами. В том же смысле можнополучить «диагонализацию» самосопряженного оператора как вспомогательную службу (фактически интеграл) ортогональных операторов.

Спектр оператора T, обозначаемый σ (T), представляет собой набор комплексных чисел λ таких, что T - λ не имеет непрерывного обратного. Если T ограничено, то спектр всегда представляет собой компакт в комплексной плоскости и лежит внутри круга | z | ≤ || Т ||. Если T самосопряженный, то спектр действительный. Фактически, он содержится винтервале [m, M], где

m = inf ‖ x ‖ = 1 ⟨T x, x⟩, M = sup ‖ x ‖ = 1 ⟨T x, x⟩. {\ Displaystyle м = \ Inf _ {\ | х \ | = 1} \ langle Tx, x \ rangle \,, \ quad M = \ sup _ {\ | х \ | = 1} \ langle Tx, x \ rangle \,.}{\ displaystyle m = \ inf _ {\ | х \ | = 1} \ langle Tx, x \ rangle \,, \ quad M = \ sup _ {\ | х \ | = 1} \ langle Tx, x \ rangle \,.}

Более того, m и M существовали в спектре.

Собственные подпространства оператора T задаются формулой

H λ = ker ⁡ (T - λ). {\ displaystyle H _ {\ lambda} = \ ker (T- \ lambda) \,.}{\ Displaystyle H _ {\ lambda} = \ ker (T- \ lambda) \,.}

В отличие от конечных матриц, не каждый элемент формата T должен бытьнадлежащим: линейный оператор T - λ может только нет обратного, потому что он не сюръективен. Элементы группы в общем смысле известны как спектральные значения. Спектральное разложение часто бывает тонким, чем в конечных измерениях.

Однако спектральная теорема самосопряженного оператора T принимает особенно простую форму, если, кроме того, T считается компактным оператором. Спектральная теорема для компактных самосопряженных операторов утверждает:

  • Компактный самосопряженный оператор T имеет только счетное (или конечное) число спектральных значений. Спектр T не имеет предельной точки в комплексной плоскости, за исключением, возможно, нуля. Собственные подпространства T разлагают H в ортогональную прямую сумму:
    H = ⨁ λ ∈ σ (T) H λ. {\ displaystyle H = \ bigoplus _ {\ lambda \ in \ sigma (T)} H _ {\ lambda} \,.}{\ displaystyle H = \ bigoplus _ {\ lambda \ in \ sigma (T)} H _ {\ lambda} \,.}
Более того, если E λ обозначает ортогональную проекцию на собственное подпространство H λ, тогда
T = ∑ λ ∈ σ (T) λ E λ, {\ displaystyle T = \ sum _ {\ lambda \ in \ sigma (T)} \ lambda E _ {\ lambda } \,,}{\ displaystyle T = \ sum _ {\ lam bda \ in \ sigma (T)} \ lambda E _ {\ lambda} \,,}
где сумма сходится относительно нормы на B (H).

Эта теорема играет фундаментальную роль в теории интегральных уравнений, поскольку многие интегральные операторы компактные, в частности те, которые возникают из операторов Гильберта – Шмидта.

Общая спектральная теорема для самосопряженных операторов включает своего рода операторнозначный интеграл Римана – Стилтьеса, а не бесконечное суммирование. Спектральное семейство, связанное с T, сопоставляет каждому действительному числу λ оператор E λ, который является проекцией на нулевое пространство оператора (T - λ), где положительная часть самосопряженного оператора определяется как

A + = 1 2 (A 2 + A). {\ displaystyle A ^ {+} = {\ tfrac {1} {2}} \ left ({\ sqrt {A ^ {2}}} + A \ right) \,.}{\ displaystyle A ^ {+} = {\ tfrac {1} {2}} \ left ({\ sqrt {A ^ {2}}} + A \ right) \,.}

Операторы E λ монотонно возрастают относительночастичного порядка, определенного на самосопряженных операторах; собственные значения в точности соответствуют скачкам. Есть спектральная теорема, которая утверждает, что

T = ∫ R λ d E λ. {\ displaystyle T = \ int _ {\ mathbb {R}} \ lambda \, \ mathrm {d} E _ {\ lambda} \,.}{\ displaystyle T = \ int _ {\ mathbb {R}} \ lambda \, \ mathrm {d} E _ {\ lambda} \,.}

Интеграл понимается как интеграл Римана – Стилтьеса, сходящийся относительно к норме на B (H). В частности, имеется обычное скалярнозначное интегральное представление

T x, y⟩ = ∫ R λ d ⟨E λ x, y⟩. {\ displayst yle \ langle Tx, y \ rangle = \ int _ {\ mathbb {R}} \ lambda \, \ mathrm {d} \ langle E _ {\ lambda} x, y \ rangle \,.}{\ displaystyle \ langle Tx, y \ rangle = \ int _ {\ mathbb {R}} \ lambda \, \ mathrm {d} \ langle E _ {\ lambda} x, y \ rangle \,.}

A отчасти аналогичное спектральное разложение выполняется для нормальных операторов, хотя, поскольку спектр теперь может содержать не действительные комплексные числа, операторнозначная мера Стилтьеса dE λ должна быть заменена на разрешение тождества.

Основным применением спектральных методов является теорема о спектральном отображении,которая позволяет применить к самосопряженному оператору T любую непрерывную комплексную функцию f, определенную на спектре T, образуя интеграл

f (T) = ∫ σ (T) f (λ) d E λ. {\ displaystyle f (T) = \ int _ {\ sigma (T)} f (\ lambda) \, \ mathrm {d} E _ {\ lambda} \,.}{\ Displaystyle f (T) = \ int _ {\ sigma (T)} f (\ lambda) \, \ mathrm {d} E _ {\ lambd a} \,.}

Получившееся непрерывное функциональное исчисление имеет приложения, в частности, к псевдодифференциальным операторам.

Спектральная теория неограниченных самосопряженных операторов лишь незначительносложнее, чем для ограниченных операторов. Спектр неограниченного оператора определяется точно так же, как и для ограниченных операторов: λ - это спектральное значение, если оператор резольвенты

R λ = (T - λ) - 1 {\ displaystyle R _ {\ lambda } = (T- \ lambda) ^ {- 1}}{\ displaystyle R _ {\ lambda} = (T- \ lambda) ^ {- 1}}

не может быть четко определенным непрерывным оператором. Самосопряженность T по-прежнему гарантирует действительность спектра. Таким образом, основная идея работы с неограниченными операторами состоит в том, чтобывместо этого взглянуть на резольвенту R λ, где λ невещественно. Это ограниченный нормальный оператор, допускающий спектральное представление, которое затем может быть перенесено в спектральное представление самого T. Подобная стратегия используется, например, для изучения спектра оператора Лапласа: вместо того, чтобы обращаться к оператору напрямую, вместо этого он выглядит как ассоциированная резольвента, такая как потенциал Рисса или потенциал Бесселя.

Точнаяверсия спектральной теоремы в этом случае такова:

Для плотно определенного самосопряженного оператора T в гильбертовом пространстве H соответствует единственное разрешение тождества E на борелевском наборы ℝ, такие, что
⟨T x, y⟩ = ∫ R λ d E x, y (λ) {\ displaystyle \ langle Tx, y \ rangle = \ int _ {\ mathbb {R}} \ lambda \, \ mathrm {d} E_ {x, y} (\ lambda)}{\ displaystyle \ langle Tx, y \ rangle = \ int _ {\ mathbb {R}} \ lambda \, \ mathrm {d} E_ {x, y} (\ lambda) }
для всех x ∈ D (T) и y ∈ H. Спектральная мера E сосредоточена на спектре T.

Существует такжеверсия спектральной теоремы, которая применяется к неограниченным нормальным о ператорам.

В популярной культуре

Томас Пинчон представил вымышленного персонажа Сэмми Гильберта-Спесса (игра слов на тему «Гильбертово пространство») в своем романе 1973 года Радуга гравитации. Гильберта-Спесса сначала описывают как «вездесущего двойного агента», а затем как «по крайней мере двойного агента». В романе ранее упоминалась работа немецкого математика Курта Гёделя Теоремы о неполноте, которая показывала, что Программа Гильберта, формализованный план Гильберта по объединению математики в единый набор аксиом был невозможен.

См. также

  • значок Математический портал

Примечания

Примечания

См. ences

Внешние ссылки

В Wikibooks есть книга по теме: Функциональный анализ / Гильбертовы пространства

Последняя правка сделана 2021-05-23 12:16:32
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте