Спектр (функциональный анализ)

В математике, особенно в функциональном анализе, спектр ограниченного линейного оператора (или, в более общем смысле, неограниченного линейного оператора ) является обобщением набора собственных значений оператора матрица. В частности, комплексное число λ находится в спектре ограниченного линейного оператора T, если $T\; -\; \lambda \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; T-\; \backslash \; lambda\; I\}$не является обратимый, где I - оператор идентификации. Изучение спектров и связанных с ними свойств известно как спектральная теория, которая имеет множество приложений, в первую очередь математическая формулировка квантовой механики.

Спектр оператора на конечной мерное векторное пространство - это в точности набор собственных значений. Однако оператор в бесконечномерном пространстве может иметь дополнительные элементы в своем спектре и может не иметь собственных значений. Например, рассмотрим оператор сдвига вправо R в гильбертовом пространстве ℓ,

$(x\; 1,\; x\; 2,\dots )\; \mapsto \; (0,\; x\; 1,\; x\; 2,\dots ).\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; dots)\; \backslash \; mapsto\; (0,\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; dots).\}$

У него нет собственных значений, поскольку если Rx = λx затем, расширяя это выражение, мы видим, что x 1 = 0, x 2 = 0 и т. д. С другой стороны, 0 находится в спектре, потому что оператор R - 0 (т.е. R сам) не обратим: он не сюръективен, поскольку любой вектор с ненулевой первой компонентой не входит в его диапазон. Фактически каждый ограниченный линейный оператор в комплексе банаховом пространстве должен иметь непустой спектр.

Понятие спектра распространяется на неограниченные операторы. В этом случае говорят, что комплексное число λ находится в спектре оператора $T:\; X\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; T:\; \backslash ,\; X\; \backslash \; to\; X\}$определенного. в области $D\; (T)\; \subset \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (T)\; \backslash \; subset\; X\}$, если нет ограниченного обратного $(T\; -\; \lambda \; I)\; -\; 1:\; X\; \to \; D\; (\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; (T-\; \backslash \; lambda\; I)\; ^\; \{-\; 1\}:\; \backslash ,\; X\; \backslash \; to\; D\; (T)\}$. Если T является закрытым оператором (который включает случай, когда T является ограниченным оператором), ограниченность таких обратных операторов следует автоматически, если обратный существует вообще.

Пространство линейных ограниченных операторов B (X) в банаховом пространстве X является примером единицы банаховой алгебры. Поскольку в определении спектра не упоминаются какие-либо свойства B (X), кроме тех, которые есть в любой такой алгебре, понятие спектра может быть обобщено в этом контексте с использованием того же определения дословно.

• 1 Спектр ограниченного оператора
  • 1.1 Определение
  • 1.2 Отношение к собственным значениям
  • 1.3 Базовые свойства
• 2 Спектр неограниченного оператора
  • 2.1 Определение
  • 2.2 Базовое свойства
• 3 Классификация точек в спектре
  • 3.1 Точечный спектр
  • 3.2 Приблизительный точечный спектр
  • 3.3 Непрерывный спектр
  • 3.4 Спектр сжатия
  • 3.5 Остаточный спектр
  • 3.6 Периферийный спектр
  • 3.7 Дискретный спектр
  • 3.8 Существенный спектр
• 4 Пример: атом водорода
• 5 Спектр сопряженного оператора
• 6 Спектры отдельных классов операторов
  • 6.1 Компактные операторы
  • 6.2 Квазинильпотентные операторы
  • 6.3 Самосопряженные операторы
• 7 Спектр действительного оператора
  • 7.1 Действительный спектр
• 8 Спектр унитальной банаховой алгебры
• 9 См. Также
• 10 Список литературы

Определение

Пусть $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$будет ограниченным линейным оператором, действующим в банаховом пространстве $X\; \{\backslash \; displ\; aystyle\; X\}$над комплексным скалярным полем $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$и $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$быть оператором идентификации на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$. спектр из $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$- это набор всех $\lambda \; \in \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$, для которого оператор $T\; -\; \lambda \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; T-\; \backslash \; lambda\; I\}$не имеет обратного, которое является ограниченным линейным оператором.

Поскольку $T\; -\; \lambda \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; T-\; \backslash \; lambda\; I\}$является линейным оператором, обратный оператор является линейным, если он существует; и по ограниченной обратной теореме он ограничен. Следовательно, спектр состоит именно из тех скаляров $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$, для которых $T\; -\; \lambda \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; T-\; \backslash \; lambda\; I\}$равно not bijective.

Спектр данного оператора $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$часто обозначается $\sigma \; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (T)\}$, и его дополнение, набор резольвент, обозначается $\rho \; (T)\; =\; C\; \setminus \; \sigma \; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (T)\; =\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; \backslash \; setminus\; \backslash \; sigma\; (T)\}$. ($\rho \; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (T)\}$иногда используется для обозначения спектрального радиуса $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$)

отношения к собственным значениям

Если $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$является собственным значением $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$, то оператор $T\; -\; \lambda \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; T-\; \backslash \; lambda\; I\}$не является взаимно однозначным, поэтому его обратное значение $(T\; -\; \lambda \; I)\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (T-\; \backslash \; lambda\; I)\; ^\; \{\; -1\}\}$не определено. Однако обратное утверждение неверно: оператор $T\; -\; \lambda \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; T-\; \backslash \; lambda\; I\}$может не иметь обратное, даже если $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$не является собственным значением. Таким образом, спектр оператора всегда содержит все его собственные значения, но не ограничивается ими.

Например, рассмотрим гильбертово пространство $\ell \; 2\; (Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\})\}$, которое состоит из всех би-бесконечных последовательности действительных чисел

$v\; =\; (\dots ,\; v\; -\; 2,\; v\; -\; 1,\; v\; 0,\; v\; 1,\; v\; 2,\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; (\backslash \; ldots,\; v\; \_\; \{-\; 2\},\; v\; \_\; \{-\; 1\},\; v\_\; \{0\},\; v\_\; \{1\},\; v\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots)\}$

, которые имеют конечную сумму квадраты $\sum \; я\; знак\; равно\; -\; \infty \; +\; \infty \; vi\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{+\; \backslash \; infty\}\; v\_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\}$. Оператор двустороннего сдвига $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$просто смещает каждый элемент последовательности на одну позицию; а именно, если $u\; =\; T\; (v)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; T\; (v)\}$, то $ui\; =\; vi\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{i\}\; =\; v\_\; \{i-1\}\; \}$для каждого целого числа $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$. Уравнение собственных значений $T\; (v)\; =\; \lambda \; v\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (v)\; =\; \backslash \; lambda\; v\}$не имеет решения в этом пространстве, поскольку оно подразумевает, что все значения $vi\; \{\; \backslash \; displaystyle\; v\_\; \{i\}\}$имеют одинаковое абсолютное значение (если $|\; \lambda \; |\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vert\; \backslash \; lambda\; \backslash \; vert\; =\; 1\}$) или являются геометрическая прогрессия (если $|\; \lambda \; |\; \ne \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vert\; \backslash \; lambda\; \backslash \; vert\; \backslash \; neq\; 1\}$); в любом случае сумма их квадратов не будет конечной. Однако оператор $T\; -\; \lambda \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; T-\; \backslash \; lambda\; I\}$не обратим, если $|\; \lambda \; |\; Знак\; равно\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; lambda\; |\; =\; 1\}$. Например, последовательность $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$такая, что $ui\; =\; 1\; /\; (|\; i\; |\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{i\}\; =\; 1\; /\; (|\; i\; |\; +1)\}$находится в $\ell \; 2\; (Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\})\}$; но нет последовательности $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$в $\ell \; 2\; (Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\})\}$такое, что $(T\; -\; I)\; v\; =\; u\; \{\backslash \; displaystyle\; (TI)\; v\; =\; u\}$(то есть $vi\; -\; 1\; =\; ui\; +\; vi\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{\; i-1\}\; =\; u\_\; \{i\}\; +\; v\_\; \{i\}\}$для всех $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$).

Основные свойства

Спектр ограниченного оператора T всегда является закрытым, ограниченным и непустым подмножеством комплексной плоскости .

Если бы спектр был пуст, то резольвентная функция

$R\; (\lambda )\; =\; (T\; -\; \lambda \; I)\; -\; 1,\; \lambda \; \in \; C,\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (\backslash \; lambda)\; =\; (T-\; \backslash \; lambda\; I)\; ^\; \{-\; 1\},\; \backslash \; qquad\; \backslash \; lambda\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\},\}$

будет определено всюду на комплексной плоскости и ограничено. Но можно показать, что резольвентная функция R голоморфна в своей области определения. Согласно векторной версии теоремы Лиувилля, эта функция постоянна, то есть везде ноль, поскольку она равна нулю на бесконечности. Это было бы противоречие.

Ограниченность спектра следует из разложения в ряд Неймана по λ; спектр σ (T) ограничен величиной || T ||. Аналогичный результат показывает замкнутость спектра.

Граница || T || по спектру можно несколько уточнить. Спектральный радиус, r (T), T - это радиус наименьшего круга в комплексной плоскости, который центрирован в начале координат и содержит спектр σ (T) внутри него, то есть

$r\; (T)\; =\; sup\; \{|\; \lambda \; |\; :\; \lambda \; \in \; \sigma \; (T)\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; (T)\; =\; \backslash \; sup\; \backslash \; \{|\; \backslash \; lambda\; |:\; \backslash \; lambda\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; (T)\; \backslash \}.\}$

Формула спектрального радиуса говорит, что для любого элемента $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$из банаховой алгебры,

$r\; (T)\; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; \Vert \; T\; n\; \Vert \; 1\; /\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; (T)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; |\; T\; ^\; \{n\}\; \backslash \; |\; ^\; \{1\; /\; n\}.\}$

One может расширить определение спектра для неограниченных операторов на банахово пространство X, операторов, которые больше не являются элементами банаховой алгебры B (X). Действуют аналогично ограниченному случаю.

Определение

Пусть X будет банаховым пространством и $T:\; X\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; T:\; \backslash ,\; X\; \backslash \; to\; X\}$будет линейный оператор на X, определенный в области $D\; (T)\; \subset \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (T)\; \backslash \; subset\; X\}$. Говорят, что комплексное число λ принадлежит резольвентному множеству, то есть дополнению спектра линейного оператора

$T:\; D\; (T)\; \subset \; X\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; T:\; \backslash ,\; D\; (T)\; \backslash \; subset\; X\; \backslash \; to\; X\}$

, если оператор

$T\; -\; \lambda \; I:\; D\; (T)\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; T-\; \backslash \; lambda\; I:\; \backslash ,\; D\; (T)\; \backslash \; to\; X\}$

имеет ограниченный обратный, т.е. если существует ограниченный оператор

$S:\; X\; \to \; D\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; S:\; \backslash ,\; X\; \backslash \; rightarrow\; D\; (T)\}$

такое, что

$S\; (T\; -\; \lambda \; I)\; =\; ID\; (T),\; (T\; -\; \lambda \; I)\; S\; =\; IX.\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (T-\; \backslash \; lambda\; I)\; =\; I\_\; \{D\; (T)\},\; \backslash ,\; (T-\; \backslash \; lambda\; I)\; S\; =\; I\_\; \{X\}.\}$

Тогда комплексное число λ находится в спектр, если это свойство не выполняется.

Чтобы λ находилось в резольвенте (т.е. не в спектре), как и в ограниченном случае, $T\; -\; \lambda \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; T-\; \backslash \; lambda\; I\}$должен быть биективным, поскольку должен иметь двусторонний обратный. Как и раньше, если существует инверсия, то ее линейность сразу же, но в целом она не может быть ограниченной, поэтому это условие необходимо проверять отдельно.

Однако ограниченность обратного прямо следует из его существования, если ввести дополнительное предположение, что T замкнуто ; это следует из теоремы о замкнутом графике. Тогда, как и в ограниченном случае, комплексное число λ лежит в спектре замкнутого оператора T тогда и только тогда, когда $T\; -\; \lambda \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; T-\; \backslash \; lambda\; I\}$не является биективный. Отметим, что в класс замкнутых операторов входят все ограниченные операторы.

Основные свойства

Спектр неограниченного оператора, как правило, представляет собой замкнутое, возможно, пустое подмножество комплексной плоскости. Если оператор T не закрытый, то $\sigma \; (T)\; =\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (T)\; =\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$.

Ограниченный оператор T в банаховом пространстве обратим, т. Е. Имеет ограниченный обратный, если и только если T ограничен снизу и имеет плотный диапазон значений. Соответственно, спектр T можно разделить на следующие части:

1. $\lambda \; \in \; \sigma \; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; (T)\}$, если $T\; -\; \lambda \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; T-\; \backslash \; lambda\; I\}$не ограничен снизу. В частности, это так, если $T\; -\; \lambda \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; T-\; \backslash \; lambda\; I\}$не является инъективным, то есть λ является собственным значением. Набор собственных значений называется точечным спектром T и обозначается σ p (T). В качестве альтернативы, $T\; -\; \lambda \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; T-\; \backslash \; lambda\; I\}$может быть взаимно однозначным, но все же не ограниченным ниже. Такое λ не является собственным значением, но все же является приближенным собственным значением T (сами собственные значения также являются приблизительными собственными значениями). Набор приближенных собственных значений (который включает точечный спектр) называется приближенным точечным спектром оператора T и обозначается σ ap (T).
2. $\lambda \; \in \; \sigma \; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; (T)\}$, если $T\; -\; \lambda \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; T-\; \backslash \; lambda\; I\}$не имеет плотного диапазона. Набор таких λ называется спектром сжатия T, обозначаемым $\sigma \; cp\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{cp\}\}\; (T)\}$. Если $T\; -\; \lambda \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; T-\; \backslash \; lambda\; I\}$не имеет плотного диапазона, но является инъективным, говорят, что λ находится в остаточном спектре T, обозначается $\sigma \; res\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{res\}\}\; (T)\}$.

Обратите внимание, что приблизительный точечный спектр и остаточный спектр не обязательно не пересекаются (однако точечный спектр и остаточный спектр есть).

В следующих подразделах представлена ​​более подробная информация о трех частях σ (T), изображенных выше.

Точечный спектр

Если оператор не инъективен (значит, есть ненулевой x с T (x) = 0), то он явно не обратим. Итак, если λ является собственным значением оператора T, обязательно будет λ ∈ σ (T). Набор собственных значений T также называется точечным спектром T, обозначаемым σ p (T).

Приближенный точечный спектр

В более общем смысле, по ограниченной обратной теореме, T не обратима, если она не ограничена снизу; то есть, если не существует такого c>0, что || Tx || ≥ c || x || для всех x ∈ X. Таким образом, спектр включает набор приближенных собственных значений, которые являются такими λ, что T -λI не ограничено снизу; эквивалентно, это множество λ, для которого существует последовательность единичных векторов x 1, x 2,..., для которых

$lim\; n\; \to \; \infty \; \Vert \; T\; xn\; -\; \lambda \; xn\; \Vert \; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; |\; Tx\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; lambda\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; |\; =\; 0\}$.

Набор приближенных собственных значений известен как, обозначается $\sigma \; ap\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ap\}\}\; (T)\}$.

Легко видеть, что собственные значения лежат в приближенном точечном спектре.

Например, рассмотрим сдвиг вправо R на $l\; 2\; (Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; l\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\})\}$, определяемый

$R:\; ej\; \mapsto \; ej\; +\; 1,\; j\; \in \; Z,\; \{\backslash \; displaystyle\; R:\; \backslash ,\; e\_\; \{j\}\; \backslash \; mapsto\; e\_\; \{j\; +\; 1\},\; \backslash \; quad\; j\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\},\}$

где $(ej)\; j\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; big\; (\}\; e\_\; \{j\}\; \{\backslash \; big)\}\; \_\; \{j\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\}$- стандартный ортонормированный базис в $l\; 2\; (Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; l\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\})\}$. Прямое вычисление показывает, что R не имеет собственных значений, но каждое λ с | λ | = 1 - приблизительное собственное значение; пусть x n будет вектором

$1\; n\; (\dots ,\; 0,\; 1,\; \lambda \; -\; 1,\; \lambda \; -\; 2,\dots ,\; \lambda \; 1\; -\; n,\; 0,\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\}\; (\backslash \; dots,\; 0,1,\; \backslash \; lambda\; ^\; \{-\; 1\},\; \backslash \; lambda\; ^\; \{-\; 2\},\; \backslash \; dots,\; \backslash \; lambda\; ^\; \{1-n\},\; 0,\; \backslash \; dots)\}$

видно, что || x n || = 1 для всех n, но

$\Vert \; R\; xn\; -\; \lambda \; xn\; \Vert \; =\; 2\; n\; \to \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; Rx\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; lambda\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; |\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \}\; \{n\}\}\}\; \backslash \; to\; 0.\}$

Поскольку R - унитарный оператор, его спектр лежит на единичной окружности. Следовательно, приближенный точечный спектр R - это весь его спектр.

Этот вывод верен и для более общего класса операторов. Унитарный оператор - это нормальный. По спектральной теореме ограниченный оператор в гильбертовом пространстве H является нормальным тогда и только тогда, когда он эквивалентен (после отождествления H с пространством L ^ 2) оператору умножения. Можно показать, что приближенный точечный спектр оператора ограниченного умножения равен его спектру.

Непрерывный спектр

Набор всех λ, для которых $T\; -\; \lambda \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; T-\; \backslash \; lambda\; I\}$является инъективным и имеет плотный диапазон, но не сюръективен, называется непрерывным спектром T, обозначается $\sigma \; c\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{c\}\}\; (T)\}$. Следовательно, непрерывный спектр состоит из тех приближенных собственных значений, которые не являются собственными значениями и не лежат в остаточном спектре. То есть

$\sigma \; c\; (T)\; знак\; равно\; \sigma \; ap\; (T)\; \setminus \; (\sigma \; r\; (T)\; \cup \; \sigma \; p\; (T))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{c\}\}\; (T)\; =\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ap\}\}\; (T)\; \backslash \; setminus\; (\backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{r\}\}\; (T)\; \backslash \; cup\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{p\}\}\; (T))\}$.

Например, $A:\; l\; 2\; (N)\; \to \; l\; 2\; (N)\; \{\backslash \; Displaystyle\; A:\; \backslash ,\; l\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{N\})\; \backslash \; к\; l\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{N\})\}$, $ej\; \mapsto \; ej\; /\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{j\}\; \backslash \; mapsto\; e\_\; \{j\}\; /\; j\}$, $j\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$, является инъективный и имеет плотный диапазон, но $R\; an\; (A)\; ⊊\; l\; 2\; (N)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Ran\}\; (A)\; \backslash \; subsetneq\; l\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{N\})\}$. Действительно, если $x\; =\; \sum \; j\; \in \; N\; cjej\; \in \; l\; 2\; (N)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; c\_\; \{j\}\; e\_\; \{j\}\; \backslash \; in\; l\; ^\; \{\; 2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{N\})\}$с $cj\; \in \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{j\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$таким, что , не обязательно иметь , а затем $\sum \; j\; \in \; N\; jcjej\; \notin \; l\; 2\; (N)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; jc\_\; \{j\}\; e\_\; \{j\}\; \backslash \; not\; \backslash \; in\; l\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{N\})\}$.

Спектр сжатия

Набор $\lambda \; \in \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$, для которого $T\; -\; \lambda \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; T-\; \backslash \; lambda\; I\}$не имеет плотного диапазона, известен как спектр сжатия T и обозначается по $\sigma \; cp\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{cp\}\}\; (T)\}$.

Остаточный спектр

Набор $\lambda \; \in \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; лямбда\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$, для которого $T\; -\; \lambda \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; T-\; \backslash \; lambda\; I\}$инъективно, но не имеет плотного диапазона, называется остаточный спектр T и обозначается $\sigma \; r\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{r\}\}\; (T)\}$:

$\sigma \; r\; (T)\; =\; \sigma \; cp\; (T)\; \setminus \; \sigma \; p\; (T).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{r\}\}\; (T)\; =\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{cp\}\}\; (T)\; \backslash \; setminus\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{p\}\}\; (T).\}$

Оператор может быть инъективным, даже ограниченным снизу, но все же не обратимым. Сдвиг вправо на $l\; 2\; (N)\; \{\backslash \; displaystyle\; l\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{N\})\}$, $R:\; l\; 2\; (N)\; \to \; l\; 2\; (N)\; \{\backslash \; displaystyle\; R:\; \backslash ,\; l\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{N\})\; \backslash \; к\; l\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{N\})\}$, $R:\; ej\; \mapsto \; ej\; +\; 1,\; j\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; R:\; \backslash ,\; e\_\; \{j\}\; \backslash \; mapsto\; e\_\; \{j\; +\; 1\},\; \backslash ,\; j\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$, является таким примером. Этот оператор сдвига является изометрией , поэтому ограничен снизу числом 1. Но он не обратим, поскольку не сюръективен ($e\; 1\; \notin \; R\; an\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{1\}\; \backslash \; not\; \backslash \; in\; \backslash \; mathrm\; \{Ran\}\; (R)\}$), и, кроме того, $R\; an\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Ran\}\; (R)\}$не является плотным в $l\; 2\; (N)\; \{\backslash \; displaystyle\; l\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{N\})\}$($e\; 1\; \notin \; R\; an\; (R)\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{1\}\; \backslash \; not\; \backslash \; in\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathrm\; \{Ran\}\; (R)\}\}\}$).

Периферийный спектр

Периферийный спектр оператора определяется как набор точек в его спектре, модуль которых равен его спектральному радиусу.

Дискретный спектр

Дискретный спектр определяется как набор нормальных собственных значений. Эквивалентно, его можно охарактеризовать как набор изолированных точек спектра, таких что соответствующий проектор Рисса имеет конечный ранг.

Существенный спектр

Существует пять аналогичных определений существенного спектра замкнутого плотно определенного линейного оператора $A:\; X\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; A:\; \backslash ,\; X\; \backslash \; to\; X\}$, которые удовлетворяют

$\sigma \; ess,\; 1\; (A)\; \subset \; \sigma \; ess,\; 2\; (A)\; \subset \; \sigma \; ess,\; 3\; (A)\; \subset \; \sigma \; ess,\; 4\; (A)\; \subset \; \sigma \; ess,\; 5\; (A)\; \subset \; \sigma \; (A).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\},\; 1\}\; (A)\; \backslash \; subset\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\},\; 2\}\; (A)\; \backslash \; subset\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\},\; 3\}\; (\; A)\; \backslash \; subset\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\},\; 4\}\; (A)\; \backslash \; subset\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\},\; 5\}\; (A)\; \backslash \; subset\; \backslash \; sigma\; (A).\}$

Все эти спектры $\sigma \; ess,\; k\; (A),\; 1\; \le \; k\; \le \; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\},\; k\}\; (A),\; \backslash \; 1\; \backslash \; leq\; k\; \backslash \; leq\; 5\}$, совпадают в случае самосопряженных операторов.

1. Существенный спектр $\sigma \; ess,\; 1\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\},\; 1\}\; (A)\}$определяется как набор точек $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$спектра так, что $A\; -\; \lambda \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; A-\; \backslash \; lambda\; I\}$не является полуфредгольмовым. (Оператор является полуфредгольмовым, если его диапазон значений замкнут и либо его ядро, либо коядро (или оба) конечномерны.). Пример 1: $\lambda \; =\; 0\; \in \; \sigma \; ess,\; 1\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; 0\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\},\; 1\}\; (A)\}$для оператора $A:\; l\; 2\; (N)\; \to \; l\; 2\; (N)\; \{\backslash \; displaystyle\; A:\; \backslash ,\; l\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{N\})\; \backslash \; to\; l\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{N\})\}$, $A:\; ej\; \mapsto \; ej\; /\; j,\; j\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; A:\; \backslash ,\; e\_\; \{j\}\; \backslash \; mapsto\; e\_\; \{j\}\; /\; j,\; ~\; j\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$(поскольку диапазон этого оператора не закрыт: диапазон не включает в себя все $l\; 2\; (N)\; \{\backslash \; displaystyle\; l\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{N\})\}$, хотя его закрытие включает).. Пример 2 : $\lambda \; =\; 0\; \in \; \sigma \; ess,\; 1\; (N)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; 0\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\},\; 1\}\; (N)\}$для $N:\; l\; 2\; (N)\; \to \; l\; 2\; (N)\; \{\backslash \; Displaystyle\; N:\; \backslash ,\; l\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{N\})\; \backslash \; к\; l\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{N\})\}$, $N:\; v\; \mapsto \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; N:\; \backslash ,\; v\; \backslash \; mapsto\; 0\}$для любого $v\; \in \; l\; 2\; (N)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \backslash \; in\; l\; ^\; \{2\}\; (\; \backslash \; mathbb\; \{N\})\}$(потому что и ядро, и коядро этого оператора бесконечномерны).
2. Существенный спектр $\sigma \; ess,\; 2\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\},\; 2\}\; (A)\; \}$определяется как набор точек $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$спектра таких, что оператор $A\; -\; \lambda \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; A-\; \backslash \; lambda\; I\}$имеет бесконечномерное ядро ​​или имеет незамкнутый диапазон. Его также можно охарактеризовать в терминах критерия Вейля: существует последовательность $(xj)\; j\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{j\})\; \_\; \{j\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; \}$в пространстве X такое, что $\Vert \; xj\; \Vert \; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Vert\; x\_\; \{j\}\; \backslash \; Vert\; =\; 1\}$, $lim\; j\; \to \; \infty \; \Vert \; (A\; -\; \lambda \; I)\; xj\; \Vert \; Знак\; равно\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{j\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; (A-\; \backslash \; lambda\; I)\; x\_\; \{j\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; =\; 0,\}$и такие, что $(xj)\; j\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{j\})\; \_\; \{j\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\}$не содержит сходящейся подпоследовательности. Такая последовательность называется сингулярной последовательностью (или сингулярной последовательностью Вейля).. Пример: $\lambda \; =\; 0\; \in \; \sigma \; ess,\; 2\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; 0\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\},\; 2\}\; (B)\}$для оператора $B:\; l\; 2\; (N)\; \to \; l\; 2\; (N)\; \{\backslash \; displaystyle\; B:\; \backslash ,\; l\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{N\})\; \backslash \; к\; l\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{N\})\}$, $B:\; ej\; \mapsto \; ej\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; B:\; \backslash ,\; e\_\; \{j\}\; \backslash \; mapsto\; e\_\; \{\; j\; /\; 2\}\}$, если j четное, и $ej\; \mapsto \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{j\}\; \backslash \; mapsto\; 0\}$, если j нечетное (ядро бесконечномерно; коядро нульмерно). Обратите внимание, что $\lambda \; =\; 0\; \notin \; \sigma \; ess,\; 1\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; 0\; \backslash \; not\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\},\; 1\}\; (B)\}$.
3. Существенный спектр $\sigma \; ess,\; 3\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\},\; 3\}\; (A)\}$определяется как набор точек $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \}$спектра так, что $A\; -\; \lambda \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; A-\; \backslash \; lambda\; I\}$не является Fredholm. (Оператор является фредгольмовым, если его диапазон замкнут, а его ядро ​​и коядро конечномерны.). Пример :$\lambda \; =\; 0\; \in \; \sigma \; ess,\; 3\; (J)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; 0\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\},\; 3\}\; (J)\}$для оператора $J:\; l\; 2\; (N)\; \to \; l\; 2\; (N)\; \{\backslash \; displaystyle\; J:\; \backslash ,\; l\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{N\})\; \backslash \; к\; l\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{N\})\}$, $J:\; ej\; \mapsto \; e\; 2\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; J:\; \backslash ,\; e\_\; \{\; j\}\; \backslash \; mapsto\; e\_\; \{2j\}\}$(ядро нульмерно, коядро бесконечномерно). Обратите внимание, что $\lambda \; =\; 0\; \notin \; \sigma \; ess,\; 2\; (J)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; 0\; \backslash \; not\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\},\; 2\}\; (J)\}$.
4. Существенный спектр $\sigma \; ess,\; 4\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\},\; 4\}\; (A)\}$определяется как набор точек $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \}$спектра так, что $A\; -\; \lambda \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; A-\; \backslash \; lambda\; I\}$не является Fredholm с нулевым индексом. Его также можно охарактеризовать как самую большую часть спектра A, которая сохраняется за счет компактных возмущений. Другими словами, $\sigma \; ess,\; 4\; (A)\; =\; \bigcap \; K\; \in \; B\; 0\; (X)\; \sigma \; (A\; +\; K)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\},\; 4\}\; (A)\; =\; \backslash \; bigcap\; \_\; \{K\; \backslash \; in\; B\_\; \{0\}\; (X)\}\; \backslash \; sigma\; (A\; +\; K)\}$; здесь $B\; 0\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{0\}\; (X)\}$обозначает набор всех компактных операторов в X.. Пример :$\lambda \; знак\; равно\; 0\; \in \; \sigma \; ess,\; 4\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; 0\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\},\; 4\}\; (R)\}$где $R:\; l\; 2\; (N)\; \to \; l\; 2\; (N)\; \{\backslash \; displaystyle\; R:\; \backslash ,\; l\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{N\})\; \backslash \; to\; l\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{N\})\}$равно оператор сдвига вправо, $R:\; l\; 2\; (N)\; \to \; l\; 2\; (N)\; \{\backslash \; displaystyle\; R:\; \backslash ,\; l\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{N\})\; \backslash \; to\; l\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{N\})\}$, $R:\; ej\; \mapsto \; ej\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; R:\; \backslash ,\; e\_\; \{j\}\; \backslash \; mapsto\; e\_\; \{j\; +\; 1\}\}$для $j\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$(его ядро ​​равно нулю, его коядро одномерно). Обратите внимание, что $\lambda \; =\; 0\; \notin \; \sigma \; ess,\; 3\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; 0\; \backslash \; not\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\},\; 3\}\; (R)\}$.
5. Существенный спектр $\sigma \; ess,\; 5\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\},\; 5\}\; (A)\}$- это объединение $\sigma \; ess,\; 1\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\},\; 1\}\; (A)\}$со всеми компонентами $C\; \setminus \; \sigma \; ess,\; 1\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; \backslash \; setminus\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\},\; 1\}\; (A)\}$, которые не пересекаются с набором резольвент $C\; \setminus \; \sigma \; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; \backslash \; setminus\; \backslash \; sigma\; (А)\}$. Его также можно охарактеризовать как $\sigma \; (A)\; \setminus \; \sigma \; d\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (A)\; \backslash \; setminus\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; (A)\}$.. Пример: рассмотрим оператор $T:\; l\; 2\; (Z)\; \to \; l\; 2\; (Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; T:\; \backslash ,\; l\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\})\; \backslash \; to\; l\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{\; Z\})\}$, $T:\; ej\; \mapsto \; ej\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; T:\; \backslash ,\; e\_\; \{j\}\; \backslash \; mapsto\; e\_\; \{j-1\}\}$для $j\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \backslash \; neq\; 0\}$, $T:\; e\; 0\; \mapsto \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; T:\; \backslash ,\; e\_\; \{0\}\; \backslash \; mapsto\; 0\}$. Поскольку $\Vert \; T\; \Vert \; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Vert\; T\; \backslash \; Vert\; =\; 1\}$, то $\sigma \; (T)\; \subset \; D\; 1\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (T)\; \backslash \; subset\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathbb\; \{D\}\; \_\; \{1\}\}\}\}$. Для любого $z\; \in \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$с $|\; z\; |\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; z\; |\; =\; 1\}$, диапазон $T\; -\; z\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; T-zI\}$плотный, но не замкнутый, следовательно, граница единичного диска принадлежит первому типу существенного спектра: $\partial \; D\; 1\; \subset \; \sigma \; ess,\; 1\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \backslash \; mathbb\; \{D\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; subset\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\},\; 1\}\; (T)\}$. Для любого $z\; \in \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$с , $T\; -\; z\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; T-zI\}$имеет замкнутый диапазон, одномерное ядро ​​и одномерное коядро, поэтому $z\; \in \; \sigma \; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; (T)\}$хотя $z\; \notin \; \sigma \; ess,\; k\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \backslash \; not\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\},\; k\}\; (T)\; \}$для $1\; \le \; k\; \le \; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; leq\; k\; \backslash \; leq\; 4\}$; таким образом, $\sigma \; ess,\; k\; (T)\; =\; \partial \; D\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\},\; k\}\; (T)\; =\; \backslash \; partial\; \backslash \; mathbb\; \{D\}\; \_\; \{1\}\}$для $1\; \le \; k\; \le \; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; leq\; k\; \backslash \; leq\; 4\}$. Есть два компонента $C\; \setminus \; \sigma \; ess,\; 1\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; \backslash \; setminus\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\},\; 1\}\; (T)\}$: $\{z\; \in \; C\; :\; |\; z\; |>1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{z\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}:\; \backslash ,\; |\; z\; |>1\; \backslash \}\}$и . Компонент не пересекается с резольвентным множеством; по определению .

Атом водорода представляет собой пример различных типов спектров.Гамильтониан оператора атома водорода $H\; =\; -\; \Delta \; -\; Z\; |\; х\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; -\; \backslash \; Delta\; -\; \{\backslash \; frac\; \{Z\}\; \{|\; x\; |\}\}\}$, $Z>0\; \{\backslash \; displaystyle\; Z>0\}$, с доменом $D\; (H)\; =\; H\; 1\; (R\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (H)\; =\; H\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\})\}$имеет дискретный набор собственных значений (дискретный спектр $\sigma \; d\; (H)\; \{\backslash \; displaysty\; le\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; (H)\}$, который в данном случае совпадает с точечным спектром $\sigma \; p\; (H)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{p\; \}\}\; (H)\}$, поскольку нет собственных значений, встроенных в непрерывный спектр), которые могут быть вычислены с помощью формулы Ридберга. Соответствующие им собственные функции называются собственными состояниями или связанными состояниями. Конечный результат процесса ионизации описывается непрерывной частью спектра (энергия столкновения / ионизации не «квантуется»), представленной как $\sigma \; cont\; (H)\; =\; [0,\; +\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{cont\}\}\; (H)\; =\; [0,\; +\; \backslash \; infty)\}$(он также совпадает с основным спектром, $\sigma \; ess\; (\; H)\; =\; [0,\; +\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ess\}\}\; (H)\; =\; [0,\; +\; \backslash \; infty)\}$).

Пусть X быть банаховым пространством и $T:\; X\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; T:\; \backslash ,\; X\; \backslash \; to\; X\}$a замкнутый линейный оператор с плотной областью $D\; (T)\; \subset \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (T)\; \backslash \; подмножество\; X\}$. Если X * - пространство, двойственное к X, и $T\; \ast :\; X\; \ast \; \to \; X\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; T\; ^\; \{*\}:\; \backslash ,\; X\; ^\; \{*\}\; \backslash \; to\; X\; ^\; \{*\}\}$- эрмитово сопряженное соединение к T, тогда

$\sigma \; (T\; \ast )\; =\; \sigma \; (T)\; ¯:\; =\; \{z\; \in \; C:\; z\; ¯\; \in \; \sigma \; (T)\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (T\; ^\; \{*\})\; =\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; sigma\; (T)\}\}:\; =\; \backslash \; \{z\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}:\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; (T)\; \backslash \}.\}$

Теорема Для ограниченного (или, в более общем смысле, замкнутого и плотно определенного) оператора T, $\sigma \; r\; (T)\; \subset \; \sigma \; p\; (T\; \ast )\; ¯\; \subset \; \sigma \; r\; (T)\; \cup \; \sigma \; п\; (T)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{r\}\}\; (T)\; \backslash \; subset\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{p\}\}\; (T\; ^\; \{*\})\}\}\; \backslash \; subset\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{r\}\}\; (T)\; \backslash \; cup\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{p\}\}\; (T)\}$.

Пусть $\lambda \; \in \; \sigma \; r\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{r\}\}\; (T)\}$. Итак, $R\; an\; (T\; -\; \lambda \; I)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Ran\}\; (T-\; \backslash \; lambda\; I)\}$не плотно в X. По теореме Хана – Банаха, существует ненулевое $\phi \; \in \; X\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \backslash \; in\; X\; ^\; \{*\}\}$, которое исчезает на $R\; an\; (T\; -\; \lambda \; I)\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Ran\}\; (T-\; \backslash \; lambda\; I)\}$. Для всех x ∈ X

$⟨\phi ,\; (T\; -\; \lambda )\; x⟩\; =\; ⟨(T\; \ast \; -\; \lambda \; ¯\; I)\; \phi ,\; x⟩\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; varphi,\; (T-\; \backslash \; lambda)\; x\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; (T\; ^\; \{*\}\; -\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; lambda\}\}\; I)\; \backslash \; varphi,\; x\; \backslash \; rangle\; =\; 0.\}$

Следовательно, $(T\; \ast \; -\; \lambda \; ¯\; I)\; \phi \; Знак\; равно\; 0\; \in \; Икс\; *\; \{\backslash \; Displaystyle\; (T\; ^\; \{*\}\; -\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; lambda\}\}\; I)\; \backslash \; varphi\; =\; 0\; \backslash \; in\; X\; ^\; \{*\}\}$и $\lambda \; ¯\; \{\; \backslash displaystyle\; \{\backslash bar\; \{\backslash lambda\; \}\}\}$is an eigenvalue of T*. This shows the former inclusion.

Next suppose that $(\; T\; \ast \; -\; \lambda \; ¯\; I)\; \phi \; =\; 0\; \{\backslash displaystyle\; (T^\{*\}-\{\backslash bar\; \{\backslash lambda\; \}\}I)\backslash varphi\; =0\}$with $\phi \; \in \; X\; \ast \; \{\backslash displaystyle\; \backslash varphi\; \backslash in\; X^\{*\}\}$, $\phi \; \ne \; 0\; \{\backslash displaystyle\; \backslash varphi\; \backslash neq\; 0\}$, i.e.

$\forall \; x\; \in \; X,\; ⟨\; (\; T\; \ast \; -\; \lambda \; ¯\; I)\; \phi ,\; x\; ⟩\; =\; ⟨\; \phi ,\; (\; T\; -\; \lambda \; I)\; x\; ⟩\; =\; 0.\; \{\backslash displaystyle\; \backslash forall\; x\backslash in\; X,\backslash ;\backslash langle\; (T^\{*\}-\{\backslash bar\; \{\backslash lambda\; \}\}I)\backslash varphi,x\backslash rangle\; =\backslash langle\; \backslash varphi,(T-\backslash lambda\; I)x\backslash rangle\; =0.\}$

If $R\; a\; n\; (\; T\; -\; \lambda \; I)\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathrm\; \{Ran\}\; (T-\backslash lambda\; I)\}$is dense in X, then φ must be the zero functional, a contradiction. The claim is proved.

We also get $\sigma \; p\; (\; T)\; \subset \; \sigma \; r\; (\; T\; \ast )\; \cup \; \sigma \; p\; (\; T\; \ast )\; ¯\; \{\backslash displaystyle\; \backslash sigma\; \_\{\backslash mathrm\; \{p\}\; \}(T)\backslash subset\; \{\backslash overline\; \{\backslash sigma\; \_\{\backslash mathrm\; \{r\}\; \}(T^\{*\})\backslash cup\; \backslash sigma\; \_\{\backslash mathrm\; \{p\}\; \}(T^\{*\})\}\}\}$by the following argument: X embeds isometrically into X**. Therefore, for every non-zero element in the kernel of $T\; -\; \lambda \; I\; \{\backslash displaystyle\; T-\backslash lambda\; I\}$there exists a non-zero element in X** which vanishes on $R\; a\; n\; (\; T\; \ast \; -\; \lambda \; ¯\; I)\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathrm\; \{Ran\}\; (T^\{*\}-\{\backslash bar\; \{\backslash lambda\; \}\}I)\}$. Thus $R\; a\; n\; (\; T\; \ast \; -\; \lambda \; ¯\; I)\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathrm\; \{Ran\}\; (T^\{*\}-\{\backslash bar\; \{\backslash lambda\; \}\}I)\}$can not be dense.

Furthermore, if X is reflexive, we have $\sigma \; r\; (\; T\; \ast )\; ¯\; \subset \; \sigma \; p\; (\; T)\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash overline\; \{\backslash sigma\; \_\{\backslash mathrm\; \{r\}\; \}(T^\{*\})\}\}\backslash subset\; \backslash sigma\; \_\{\backslash mathrm\; \{p\}\; \}(T)\}$.

Compact operators

If T is a compact operator, or, more generally, an inessential operator, then it can be shown that the spectrum is countable, that zero is the only possible accumulation point, and that any nonzero λ in the spectrum is an eigenvalue.

Quasinilpotent operators

A bounded operator $A\; :\; X\; \to \; X\; \{\backslash displaystyle\; A:\backslash ,X\backslash to\; X\}$is quasinilpotentif $\Vert \; A\; n\; \Vert \; 1\; /\; n\; \to \; 0\; \{\backslash displaystyle\; \backslash Vert\; A^\{n\}\backslash Vert\; ^\{1/n\}\backslash to\; 0\}$as $n\; \to \; \infty \; \{\backslash displaystyle\; n\backslash to\; \backslash infty\; \}$(in other words, if the spectral radius of A equals zero). Such operators could equivalently be characterized by the condition

$\sigma \; (\; A)\; =\; \{\; 0\; \}\; \{\backslash displaystyle\; \backslash sigma\; (A)=\backslash \{0\backslash \}\}$.

An example of such an operator is $A\; :\; l\; 2\; (\; N)\; \to \; l\; 2\; (\; N)\; \{\backslash displaystyle\; A:\backslash ,l^\{2\}(\backslash mathbb\; \{N\})\backslash to\; l^\{2\}(\backslash mathbb\; \{N\})\}$, $e\; j\; \mapsto \; e\; j\; +\; 1\; /\; 2\; j\; \{\backslash displaystyle\; e\_\{j\}\backslash mapsto\; e\_\{j+1\}/2^\{j\}\}$for $j\; \in \; N\; \{\backslash displaystyle\; j\backslash in\; \backslash mathbb\; \{N\}\; \}$.

Self-adjoint operators

If X is a Hilbert space and T is a self-adjoint operator (or, more generally, a normal operator ), then a remarkable result known as the spectral theorem gives an analogue of the diagonalisation theorem for normal finite-dimensional operators (Hermitian matrices, for example).

For self-adjoint operators, one can use spectral measures to define a decomposition of the spectrum into absolutely continuous, pure point, and singular parts.

The definitions of the resolvent and spectrum can be extended to any continuous linear operator $T\; \{\backslash displaystyle\; T\}$acting on a Banach space $X\; \{\backslash displaystyle\; X\}$over the real field $R\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbb\; \{R\}\; \}$(instead of the complex field $C\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbb\; \{C\}\; \}$) via its complexification $T\; C\; \{\backslash displaystyle\; T\_\{\backslash mathbb\; \{C\}\; \}\}$. In this case we define the resolvent set $\rho \; (\; T)\; \{\backslash displaystyle\; \backslash rho\; (T)\}$as the set of all $\lambda \; \in \; C\; \{\backslash displaystyle\; \backslash lambda\; \backslash in\; \backslash mathbb\; \{C\}\; \}$such that $T\; C\; -\; \lambda \; I\; \{\backslash displaystyle\; T\_\{\backslash mathbb\; \{C\}\; \}-\backslash lambda\; I\}$is invertible as an operator acting on the complexified space $X\; C\; \{\backslash displaystyle\; X\_\{\backslash mathbb\; \{C\}\; \}\}$; then we define $\sigma \; (\; T)\; =\; C\; \setminus \; \rho \; (\; T)\; \{\backslash displaystyle\; \backslash sigma\; (T)=\backslash mathbb\; \{C\}\; \backslash setminus\; \backslash rho\; (T)\}$.

Real spectrum

The real spectrum of a continuous linear operator $T\; \{\backslash displaystyle\; T\}$acting on a real Banach space $X\; \{\backslash displaystyle\; X\}$, denoted $\sigma \; R\; (\; T)\; \{\backslash displaystyle\; \backslash sigma\; \_\{\backslash mathbb\; \{R\}\; \}(T)\}$, is defined as the set of all $\lambda \; \in \; R\; \{\backslash displaystyle\; \backslash lambda\; \backslash in\; \backslash mathbb\; \{R\}\; \}$for which $T\; -\; \lambda \; I\; \{\backslash displaystyle\; T-\backslash lambda\; I\}$fails to be invertible in the real algebra of bounded linear operators acting on $X\; \{\backslash displaystyle\; X\}$. В этом случае у нас есть $\sigma \; (T)\; \cap \; R\; =\; \sigma \; R\; (T)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sigma\; (T)\; \backslash \; cap\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; =\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; (T)\}$. Обратите внимание, что реальный спектр может совпадать, а может и не совпадать со сложным спектром. В частности, реальный спектр может быть пустым.

Пусть B - комплексная банахова алгебра, содержащая единицу e. Затем мы определяем спектр σ (x) (или, точнее, σ B (x)) элемента x из B как набор тех комплексных чисел λ, для которых λe - x не обратима в B. Это расширяет определение ограниченных линейных операторов B (X) в банаховом пространстве X, поскольку B (X) - банахова алгебра.

• Существенный спектр
• Дискретный спектр (математика)
• Самосопряженный оператор
• Псевдоспектр
• Набор резольвент

• Дейлс и др., Введение в банаховы алгебры, операторы и гармонический анализ, ISBN 0-521-53584-0
• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]