Прослушивание формы барабана

Математически идеальные барабаны с мембранами этих двух разных форм (но в остальном идентичны) будут звучать одинаково, потому что собственные частоты равны, поэтому тембровые спектры будут содержать одинаковые обертоны. Этот пример был построен Гордоном, Уэббом и Вольпертом. Обратите внимание, что оба многоугольника имеют одинаковую площадь и периметр.

Чтобы услышать форму барабана, нужно вывести информацию о форме пластика барабана по издаваемому им звуку, т. Е., из списка обертонов, с использованием математической теории.

«Можно ли услышать форму барабана?» - это заголовок статьи Марка Каца 1966 года в American Mathematical Monthly, которая сделала этот вопрос знаменитым, хотя эта конкретная формулировка происходит от Липмана Берса. Подобные вопросы можно проследить вплоть до Германа Вейля. За свою статью Кац был удостоен Премии Лестера Р. Форда в 1967 году и Премии Шовене в 1968 году.

Частоты, на которых может вибрировать пластина барабана, зависят от его форма. Уравнение Гельмгольца вычисляет частоты, если форма известна. Эти частоты являются собственными значениями лапласиана в пространстве. Центральный вопрос заключается в том, можно ли предсказать форму, если известны частоты; например, можно ли таким образом распознать кругообразный треугольник. Кац признал, что не знает, возможно ли, чтобы две разные формы давали одинаковый набор частот. На вопрос, определяют ли частоты форму, окончательно ответили отрицательно в начале 1990-х Гордон, Уэбб и Вольперт.

• 1 Формальное утверждение
• 2 Ответ
• 3 Формула Вейля
• 4 Гипотеза Вейля – Берри
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Более формально барабан задуман как эластичная мембрана, граница которой зажата. Он представлен как домен D в плоскости. Обозначим через λ n собственные значения Дирихле для D: то есть собственные значения задачи Дирихле для лапласиана :

$\{\Delta \; u\; +\; \lambda \; u\; =\; 0\; u\; |\; \partial \; D\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; \backslash \; Delta\; u\; +\; \backslash \; lambda\; u\; =\; 0\; \backslash \backslash \; u\; |\; \_\; \{\backslash \; partial\; D\}\; =\; 0\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Два домена называются изоспектрально (или гомофонно), если они имеют одинаковые собственные значения. Термин «гомофонический» оправдан, поскольку собственные значения Дирихле - это в точности основные тона, которые способен воспроизводить барабан: они естественным образом появляются как коэффициенты Фурье в решении волновое уравнение с фиксированной границей..

Следовательно, вопрос можно переформулировать так: что можно вывести на D, если известно только значения λ n ? Или, более конкретно: существуют ли два различных домена, которые являются изоспектральными?

Связанные проблемы могут быть сформулированы для задачи Дирихле для лапласиана на областях более высоких размерностей или на римановых многообразиях, а также для других эллиптических дифференциальных операторов, таких как оператор Коши – Римана или оператор Дирака. Могут быть наложены другие граничные условия, помимо условия Дирихле, такие как граничное условие Неймана. См. Статьи по теме спектральная геометрия и изоспектральная.

Однопараметрическое семейство изоспектральных барабанов

Почти сразу же Джон Милнор заметил, что теорема, принадлежащая Эрнсту Витту, подразумевает существование пара 16-мерных торов, имеющих одинаковые собственные значения, но разную форму. Однако проблема в двух измерениях оставалась открытой до 1992 года, когда Кэролин Гордон, Дэвид Уэбб и Скотт Уолперт построили на основе метода Сунада пару областей на плоскости, имеющих разную форму, но одинаковые собственные значения. Области представляют собой вогнутые многоугольники. Доказательство того, что обе области имеют одинаковые собственные значения, использует симметрии лапласиана. Эта идея была обобщена Бузером и др., Построившими множество подобных примеров. Итак, ответ на вопрос Каца: для многих форм невозможно полностью услышать форму барабана. Однако некоторую информацию можно вывести.

С другой стороны, Стив Зельдич доказал, что ответ на вопрос Каца положительный, если наложить ограничения на определенные выпуклые плоские области с аналитическим граница. Неизвестно, могут ли две невыпуклые аналитические области иметь одинаковые собственные значения. Известно, что множество областей, изоспектральных данной, компактно в топологии C. Более того, сфера (например) спектрально жесткая, согласно теореме сравнения собственных значений Ченга. Из результатов Осгуда, Филлипса и Сарнака также известно, что пространство модулей римановых поверхностей данного рода не допускает непрерывного изоспектрального потока через любую точку и компактно в топологии Фреше – Шварца.

Формула Вейля утверждает, что можно вывести площадь A барабана, посчитав, насколько быстро растут λ n. Мы определяем N (R) как количество собственных значений, меньших, чем R, и получаем

$A\; =\; \omega \; d\; -\; 1\; (2\; \pi )\; d\; lim\; R\; \to \; \infty \; N\; (R)\; R\; d\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; омега\; \_\; \{d\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{d\}\; \backslash \; lim\; \_\; \{R\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{N\; (R)\}\; \{R\; ^\; \{d\; /\; 2\}\}\}\; \backslash ,\; \}$

где d - размер, а $\omega \; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{d\}\}$- объем d-мерного единичного шара. Вейль также предположил, что следующий член в приближении ниже даст периметр D. Другими словами, если L обозначает длину периметра (или площадь поверхности в более высоком измерении), то должно быть

$N\; (R)\; =\; (2\; \pi )\; -\; d\; \omega \; d\; AR\; d\; /\; 2\; +\; 1\; 4\; (2\; \pi )\; -\; d\; +\; 1\; \omega \; d\; -\; 1\; LR\; (d\; -\; 1)\; /\; 2\; +\; o\; (R\; (d\; -\; 1)\; /\; 2).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash ,\; N\; (R)\; =\; (2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{-\; d\}\; \backslash \; omega\; \_\; \{d\}\; AR\; ^\; \{d\; /\; 2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; (2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{-d\; +\; 1\}\; \backslash \; omega\; \_\; \{d-1\}\; LR\; ^\; \{(d-1)\; /\; 2\}\; +\; o\; (R\; ^\; \{(d-1)\; /\; 2\}).\; \backslash ,\}$

Для гладкого граница, это было доказано Виктором Иври в 1980 году. Многообразие также не может иметь двухпараметрическое семейство периодических геодезических, таких как сфера.

Для негладких границ Майкл Берри в 1979 году предположил, что поправка должна быть порядка

$RD\; /\; 2\; \{\; \backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{D\; /\; 2\}\; \backslash ,\}$

где D - размерность Хаусдорфа границы. Это было опровергнуто Дж. Броссардом и Р. А. Кармона, которые затем предложили заменить размерность Хаусдорфа на размерность верхнего блока. На плоскости это было доказано, если граница имеет размерность 1 (1993 г.), но в основном опровергнута для более высоких измерений (1996 г.); оба результата получены по Лапидусу и Померансу.

• Вибрации круглой мембраны
• Тройной Гассманн
• Изоспектральный
• Спектральная геометрия
• расширением до 108>система повторяющихся функций фракталы

1. ^«Можно ли услышать форму барабана? | Математическая ассоциация Америки».
2. ^Кац, Марк (апрель 1966 г.). «Можно ли услышать форму барабана?» (PDF). American Mathematical Monthly. 73(4, часть 2): 16.
3. ^Arrighetti, W.; Героса, Г. (2005). Вы слышите фрактальное измерение барабана? Прикладная и промышленная математика в Италии. Серия достижений математики для прикладных наук. 69 . World Scientific. С. 65–75. arXiv : math.SP / 0503748. doi : 10.1142 / 9789812701817_0007. ISBN 978-981-256-368-2.

• Уильям Абикофф (январь 1995 г.), «Вспоминая Липмана Берс» (PDF), Уведомления AMS, 42(1): 8–18
• Brossard, Jean; Кармона, Рене (1986). «Можно ли услышать размерность фрактала?». Comm. Математика. Phys. 104 (1): 103–122. Bibcode : 1986CMaPh.104..103B. doi : 10.1007 / BF01210795.
• Базз, Питер ; Конвей, Джон ; Дойл, Питер; Семмлер, Клаус-Дитер (1994), "Некоторые плоские изоспектральные области", International Mathematics Research Notices, 9 : 391ff
• Chapman, S.J. (1995). «Барабаны, которые звучат одинаково». Американский математический ежемесячник. 102 (февраль): 124–138. DOI : 10.2307 / 2975346. JSTOR 2975346.
• Жиро, Оливье; Тас, Коэн (2010). «Формы слуха барабанов - математические и физические аспекты изоспектральности». Обзоры современной физики. 82 (3): 2213–2255. arXiv : 1101.1239. Bibcode : 2010RvMP... 82.2213G. doi : 10.1103 / RevModPhys.82.2213.
• Гордон, Кэролайн ; Уэбб, Дэвид, «Вы не можете услышать форму барабана», American Scientist, 84(январь – февраль): 46–55
• Гордон, К. ; Уэбб Д. ; Wolpert, S. (1992), "Изоспектральные плоские области и поверхности через римановы орбифолды", Inventiones Mathematicae, 110 (1): 1–22, Bibcode : 1992InMat. 110.... 1G, doi : 10.1007 / BF01231320
• Ivrii, V. Ja. (1980), «Второй член спектральной асимптотики для оператора Лапласа – Бельтрами на многообразиях с краем», Функц. Анальный. И Приложен, 14 (2): 25–34, doi : 10.1007 / BF01086550 (На русском ).
• Кац, Марк (Апрель 1966 г.). «Можно ли услышать форму барабана?» (PDF). American Mathematical Monthly. 73(4, часть 2): 1–23. doi : 10.2307 / 2313748. JSTOR 2313748.
• Лапидус, Мишель Л. (1991), «Можно ли услышать форму фрактального барабана? Частичное разрешение гипотезы Вейля – Берри », Геометрический анализ и компьютерная графика (Беркли, Калифорния, 1988), Math. Sci. Res. Inst. Publ., Нью-Йорк: Springer, 17 (17): 119– 126, doi : 10.1007 / 978-1-4613-9711-3_13, ISBN 978-1-4613-9713-7
• Лапидус, Мишель Л. (1993), «Колебания фрактальных барабанов, гипотеза Римана, волны во фрактальных средах и гипотеза Вейля – Берри», в BD Sleeman; RJ Jarvis (eds.), Ordinary и уравнения в частных производных, Том IV, Протокол Двенадцатой Международной конференции (Данди, Шотландия, Великобритания, июнь 1992 г.), Pitman Research Notes in Math. Series, 289, Лондон: Longman and Technical, стр. 126–209
• Lapidus, M. L.; ван Франкенхейзен, М. (2000), Фрактальная геометрия и теория чисел: комплексные измерения фрактальных цепочек и нули дзета-функций, Бостон: Birkhauser. (Отредактированное и дополненное второе издание выйдет в 2005 г.)
• Lapidus, Michel L.; Померанс, Карл (1993), «Дзета-функция Римана и одномерная гипотеза Вейля-Берри для фрактальных барабанов», Proc. Лондонская математика. Soc., Series 3, 66 (1): 41–69, CiteSeerX 10.1.1.526.854, doi : 10,1112 / плмс / с3-66.1.41
• Lapidus, Michel L.; Померанс, Карл (1996), "Контрпримеры к модифицированной гипотезе Вейля – Берри о фрактальных барабанах", Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 119 (1): 167–178, Bibcode : 1996MPCPS.119..167L, doi : 10.1017 / S0305004100074053
• Милнор, Джон (1964), «Собственные значения оператора Лапласа на некоторых многообразиях», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 51 (4): 542ff, Bibcode : 1964PNAS... 51..542M, doi : 10.1073 / pnas.51.4.542, PMC 300113, PMID 16591156
• Sunada, T. (1985), «Римановы покрытия и изоспектральные многообразия», Ann. of Math., 2, 121 (1): 169–186, doi : 10.2307 / 1971195, JSTOR 1971195
• Зельдич, С. (2000), «Спектральное определение аналитических биосимметричных плоских доменов», Геометрический и функциональный анализ, 10 (3): 628–677, arXiv : math / 9901005, doi : 10.1007 / PL00001633

• Изоспектральные барабаны Тоби Дрисколла из Делавэрского университета
• Некоторые плоские изоспектральные области Питера Бузера, Джона Хортона Конвея, Питера Дойла и Клауса-Дитера Семмлера
• Барабаны, которые звучат одинаково Иварса Петерсона на веб-сайте Математической ассоциации Америки
• Вайсштейн, Эрик У. «Изоспектральные многообразия». MathWorld.
• Бенгурия, Рафаэль Д. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press