Эллиптический оператор

редактировать

Решение уравнения Лапласа, определенного в кольцевом пространстве. Оператор Лапласа является наиболее известным примером эллиптического оператора.

В теории дифференциальных уравнений в частных производных, эллиптические операторы являются дифференциальными операторами., которые обобщают оператор Лапласа. Они определяются условием, что коэффициенты производных высшего порядка должны быть положительными, что подразумевает ключевое свойство, заключающееся в том, что главный символ является обратимым, или, что то же самое, отсутствие реальной характеристики направления.

Эллиптические операторы типичны для теории потенциала и часто встречаются в электростатике и механике сплошных сред. Эллиптическая регулярность означает, что их решения имеют тенденцию быть гладкими функциями (если коэффициенты в операторе гладкие). Стационарные решения гиперболических и параболических уравнений обычно решают эллиптические уравнения.

Содержание

1 Определения
2 Теорема эллиптической регулярности
3 Общее определение
4 См. Также
5 Примечания
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Определения

Линейный дифференциальный оператор L порядка m в области $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ в R, заданной как

L u = ∑ | α | ≤ ма α (Икс) ∂ α U {\ Displaystyle Lu = \ sum _ {| \ alpha | \ leq m} a _ {\ alpha} (x) \ partial ^ {\ alpha} u \,}

Lu = \ sum_ {| \ alpha | \ le m} a_ \ alpha (x) \ partial ^ \ alpha u \,

(где $α = (α 1,..., Α n) {\ displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1},..., \ alpha _ {n})}$ $\ alpha = (\ alpha _ {1},..., \ alpha _ {n})$ является мультииндекс и $∂ α u = ∂ α 1 ⋯ ∂ α nu {\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha} u = \ partial ^ {\ alpha _ {1}} \ cdots \ partial ^ {\ alpha _ {n}} u}$ $\ partial ^ {\ alpha} u = \ partial ^ {{\ alpha _ {1}}} \ cdots \ partial ^ {{\ alpha _ {n}}} u$ ) называется эллиптическим, если для каждого x в $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ и каждого ненулевого $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ в R,

∑ | α | знак равно ма α (Икс) ξ α ≠ 0, {\ Displaystyle \ sum _ {| \ альфа | = м} а _ {\ альфа} (х) \ xi ^ {\ alpha} \ neq 0, \,}

\ sum _ {{| \ alpha | = m}} a _ {\ alpha} (x) \ xi ^ {\ alpha} \ neq 0, \,

где $ξ α = ξ 1 α 1 ⋯ ξ N α N {\ Displaystyle \ xi ^ {\ alpha} = \ xi _ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ cdots \ xi _ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}$ $\ xi ^ {\ alpha} = \ xi _ {1} ^ {{\ alpha _ {1}}} \ cdots \ xi _ { n} ^ {{\ alpha _ {n}}}$ .

Во многих приложениях это условие недостаточно сильное, и вместо этого для операторов порядка m = 2k может быть наложено условие равномерной эллиптичности:

(- 1) k ∑ | α | = 2 k a α (x) ξ α>C | ξ | 2 к, {\ displaystyle (-1) ^ {k} \ sum _ {| \ alpha | = 2k} a _ {\ alpha} (x) \ xi ^ {\ alpha}>C | \ xi | ^ {2k}, \,}

(-1)^k\sum_{|\alpha| = 2k} a_\alpha(x) \xi^\alpha>C | \ xi | ^ {2k}, \,

где C - положительная константа. Обратите внимание, что эллиптичность зависит только от членов высшего порядка.

Нелинейный оператор

L (u) Знак равно F (Икс, U, (∂ α U) | α | ≤ м) {\ Displaystyle L (u) = F (x, u, (\ partial ^ {\ alpha} u) _ {| \ альфа | \ leq m}) \,}

{\ displaystyle L (u) = F (x, u, (\ partial ^ {\ alpha} u) _ {| \ alpha | \ leq m}) \,}

является эллиптическим, если его разложение Тейлора первого порядка по u и его производным относительно любой точки является линейным эллиптическим оператором.

Пример 1

Отрицательное значение оператора лапласиан в R, задаваемый

- Δ u = - ∑ i = 1 d ∂ i 2 u {\ displaystyle - \ Delta u = - \ sum _ {i = 1 } ^ {d} \ partial _ {i} ^ {2} u \,}

- \ Delta u = - \ sum_ {i = 1} ^ d \ partial_i ^ 2u \,

- равномерно эллиптический оператор. Оператор Лапласа часто встречается в электростатике. Если ρ - плотность заряда в некоторой области Ω, потенциал Φ должен сидеть Получим уравнение

- Δ Φ = 4 π ρ. {\ displaystyle - \ Delta \ Phi = 4 \ pi \ rho. \,}

- \ Delta \ Phi = 4 \ pi \ rho. \,

Пример 2

Дана матричнозначная функция A (x), симметричная и положительно определенная для каждого x, имеющая компоненты a, оператор

L u = - ∂ i (aij (x) ∂ ju) + bj (x) ∂ ju + cu {\ displaystyle Lu = - \ partial _ {i} \ left (a ^ {ij } (x) \ partial _ {j} u \ right) + b ^ {j} (x) \ partial _ {j} u + cu \,}

{\ displaystyle Lu = - \ partial _ {i} \ left (a ^ {ij} (x) \ partial _ {j} u \ right) + b ^ {j} (x) \ partial _ {j} u + cu \,}

является эллиптическим. Это наиболее общая форма линейного эллиптического дифференциального оператора второго порядка с дивергентной формой. Оператор Лапласа получается, если взять A = I. Эти операторы также встречаются в электростатике в поляризованных средах.

Пример 3

Для неотрицательного числа p p-лапласиан является нелинейным эллиптическим оператор, определенный как

L (u) = - ∑ i = 1 d ∂ i (| ∇ u | p - 2 ∂ iu). {\ displaystyle L (u) = - \ sum _ {i = 1} ^ {d} \ partial _ {i} \ left (| \ nabla u | ^ {p-2} \ partial _ {i} u \ right). \,}

{\ displaystyle L (u) = - \ sum _ {i = 1} ^ {d} \ partial _ {i} \ left (| \ nabla u | ^ {p-2} \ partial _ {i} u \ right). \,}

Аналогичный нелинейный оператор встречается в механике ледников. тензор напряжений Коши льда, согласно закону течения Глена, определяется как

τ ij = B (∑ k, l = 1 3 (∂ luk) 2) - 1 3 ⋅ 1 2 ( ∂ jui + ∂ iuj) {\ displaystyle \ tau _ {ij} = B \ left (\ sum _ {k, l = 1} ^ {3} \ left (\ partial _ {l} u_ {k} \ right) ^ {2} \ right) ^ {- {\ frac {1} {3}}} \ cdot {\ frac {1} {2}} \ left (\ partial _ {j} u_ {i} + \ partial _ {i} u_ {j} \ right) \,}

{\ displaystyle \ tau _ {ij} = B \ left (\ sum _ {k, l = 1 } ^ {3} \ left (\ partial _ {l} u_ {k} \ right) ^ {2} \ right) ^ {- {\ frac {1} {3}}} \ cdot {\ frac {1} {2}} \ left (\ partial _ {j} u_ {i} + \ partial _ {i} u_ {j} \ right) \,}

для некоторой постоянной B. Скорость ледяного покрова в установившемся режиме будет решать нелинейную эллиптическую систему

∑ j = 1 3 ∂ j τ ij + ρ gi - ∂ ip знак равно Q, {\ Displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ partial _ {j} \ tau _ {ij} + \ rho g_ {i} - \ partial _ {i} p = Q, \,}

\ sum_ {j = 1} ^ 3 \ partial_j \ tau_ {ij} + \ rho g_i - \ partial_ip = Q, \,

где ρ - плотность льда, g - вектор гравитационного ускорения, p - давление, а Q - фактор воздействия.

Теорема эллиптической регулярности

Пусть L - эллиптический оператор порядка 2k с коэффициентами, имеющими 2k непрерывных производных. Задача Дирихле для L состоит в том, чтобы найти функцию u для данной функции f и некоторых подходящих граничных значений, таких, что Lu = f и такая, что u имеет подходящие граничные значения и нормальные производные. Теория существования эллиптических операторов, использующая неравенство Гординга и лемму Лакса – Милграма, только гарантирует, что слабое решение u существует в пространстве Соболева. Х.

Эта ситуация в конечном итоге неудовлетворительна, так как слабое решение u может не иметь достаточно производных, чтобы выражение Lu даже имело смысл.

Теорема эллиптической регулярности гарантирует, что при условии, что f интегрируем с квадратом, u будет иметь 2k интегрируемых с квадратом слабых производных. В частности, если f бесконечно-часто дифференцируема, то u тоже.

Любой дифференциальный оператор, демонстрирующий это свойство, называется гипоэллиптическим оператором ; таким образом, любой эллиптический оператор гипоэллиптичен. Это свойство также означает, что каждое фундаментальное решение эллиптического оператора бесконечно дифференцируемо в любой окрестности, не содержащей 0.

В качестве приложения предположим, что функция $f {\ displaystyle f}$ $f$ удовлетворяет уравнениям Коши – Римана. Поскольку уравнения Коши-Римана образуют эллиптический оператор, отсюда следует, что $f {\ displaystyle f}$ $f$ является гладким.

Общее определение

Пусть $D {\ displaystyle D}$ $D$ будет (возможно, нелинейным) дифференциальным оператором между векторными расслоениями любого ранга. Возьмем его главный символ $σ ξ (D) {\ displaystyle \ sigma _ {\ xi} (D)}$ $\ sigma_ \ xi (D)$ по отношению к однократной форме $ξ { \ Displaystyle \ xi}$ $\ xi$ . (По сути, мы заменяем ковариантные производные высшего порядка $∇ {\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ векторными полями $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ .)

Мы говорим, что $D {\ displaystyle D}$ $D$ слабо эллиптический, если $σ ξ (D) {\ displaystyle \ sigma _ {\ xi} (D)}$ $\ sigma_ \ xi (D)$ является линейным изоморфизмом для любого ненулевого $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ .

Мы говорим $D {\ displaystyle D }$ $D$ является (равномерно) сильно эллиптическим, если для некоторой константы $c>0 {\ displaystyle c>0}$ $c>0$ ,

([σ ξ (D)] (v), v) ≥ c ‖ v ‖ 2 {\ displaystyle \ left ([\ sigma _ {\ xi} (D)] (v), v \ right) \ geq c \ | v \ | ^ {2}}

{\ displaystyle \ left ([\ sigma _ {\ xi} (D)] (v), v \ справа) \ geq с \ | v \ | ^ {2}}

для всех $‖ ξ ‖ = 1 {\ displaystyle \ | \ xi \ | = 1}$ $\ | \ xi \ | = 1$ и все $v {\ displaystyle v}$ $v$ . Важно отметить, что определение эллиптичности в предыдущей части статьи я сильная эллиптичность. Здесь $(⋅, ⋅) {\ displaystyle (\ cdot, \ cdot)}$ $(\ cdot, \ cdot)$ - внутренний продукт. Обратите внимание, что $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ являются ковекторными полями или одноформами, а $v {\ displaystyle v}$ $v$ являются элементами векторного пучка. на который действует $D {\ displaystyle D}$ $D$ .

Типичным примером (строго) эллиптического оператора является лапласиан (или его отрицательный, в зависимости от соглашения). Нетрудно понять, что $D {\ displaystyle D}$ $D$ должен быть четного порядка, чтобы сильная эллиптичность даже была возможной. В противном случае просто подумайте о подключении как $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ , так и его отрицательного значения. С другой стороны, слабоэллиптический оператор первого порядка, такой как оператор Дирака, может возводиться в квадрат, чтобы стать сильно эллиптическим оператором, таким как лапласиан. Композиция слабоэллиптических операторов слабоэллиптическая.

Слабая эллиптичность, тем не менее, достаточно сильна для альтернативы Фредгольма, оценок Шаудера и теоремы об индексе Атьи – Сингера. С другой стороны, нам нужна сильная эллиптичность для принципа максимума и гарантия того, что собственные значения дискретны, а их единственная предельная точка - бесконечность.

См. Также

Портал математики

Примечания

Ссылки

Эванс, Л.К. (2010) [1998], уравнения в частных производных, Аспирантура по математике, 19(2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4974-3, MR 2597943. Обзор:. Раух, Дж. (2000). «Уравнения с частными производными, Л. К. Эванс» (pdf). Журнал Американского математического общества. 37 (3): 363–367. doi : 10.1090 / s0273-0979-00-00868-5.
Gilbarg, D.; Trudinger, NS (1983) [1977], Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 224 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13025-3, MR 0737190
Шубин, MA (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press

Внешние ссылки

Linear Elliptic Equations в EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Nonlinear Elliptic Equations в EqWorld: The World of Mathematical Equations.