Уравнение Гельмгольца

редактировать
Два источника излучения в плоскости, заданных математически функцией ƒ, которая равна нулю в синей области действительная часть результирующего поля A, A является решением неоднородного уравнения Гельмгольца (∇ - k) A = −f.

В математике проблема собственных значений для Оператор Лапласа известен как уравнение Гельмгольца. Он соответствует линейному уравнению в частных производных :

∇ 2 f = - k 2 f {\ displaystyle \ nabla ^ {2} f = -k ^ {2} f}{\ displaystyle \ nabla ^ {2} f = -k ^ {2} f}

, где ∇ - оператор Лапласа (или «лапласиан»), k - собственное значение, а f - (собственная) функция. Когда уравнение применяется к волнам, k известно как волновое число. Уравнение Гельмгольца имеет множество приложений в физике, включая волновое уравнение и уравнение диффузии, а также находит применение в других науках.

Содержание

  • 1 Мотивация и использование
  • 2 Решение уравнения Гельмгольца с использованием разделения переменных
    • 2.1 Вибрирующая мембрана
    • 2.2 Трехмерные решения
  • 3 Параксиальное приближение
  • 4 Неоднородное уравнение Гельмгольца
  • 5 См. Также
  • 6 Примечания
  • 7 Ссылки
  • 8 Внешние ссылки

Мотивация и использование

Уравнение Гельмгольца часто возникает при исследовании физических проблем, связанных с частным дифференциальные уравнения (PDE) как в пространстве, так и во времени. Уравнение Гельмгольца, которое представляет собой не зависящую от времени форму волнового уравнения, является результатом применения техники разделения переменных для уменьшения сложности анализа..

Например, рассмотрим волновое уравнение

(∇ 2 - 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2) u (r, t) = 0. {\ displaystyle \ left (\ nabla ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ right) u (\ mathbf {r}, t) = 0.}{\ displaystyle \ left (\ nabla ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ right) u (\ mathbf {r}, т) знак равно 0.}

Разделение переменных начинается с предположения, что волновая функция u (r, t) фактически разделима:

u (r, t) = A (r) Т (т). {\ displaystyle u (\ mathbf {r}, t) = A (\ mathbf {r}) T (t).}{\ displaystyle u (\ mathbf {r}, t) = A (\ mathbf {r}) T (t).}

Подставляя эту форму в волновое уравнение и затем упрощая, мы получаем следующее уравнение:

∇ 2 AA знак равно 1 c 2 T d 2 T dt 2. {\ displaystyle {\ frac {\ nabla ^ {2} A} {A}} = {\ frac {1} {c ^ {2} T}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} T} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}.}{\ displaystyle {\ frac {\ nabla ^ {2} A} {A}} = {\ frac {1} {c ^ {2} T}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} T} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}.}

Обратите внимание, что выражение в левой части зависит только от r, тогда как правое выражение зависит только от t. В результате это уравнение справедливо в общем случае тогда и только тогда, когда обе части уравнения равны постоянному значению. Этот аргумент является ключевым в методике решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных путем разделения переменных. Из этого наблюдения мы получаем два уравнения: одно для A (r ), другое для T (t):

∇ 2 AA = - k 2 {\ displaystyle {\ frac {\ nabla ^ {2} A} {A}} = - k ^ {2}}{\ displaystyle {\ frac {\ nabla ^ {2} A} {A}} = - k ^ {2}}
1 c 2 T d 2 T dt 2 = - k 2, {\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2} T }} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} T} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = - k ^ {2},}{\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2} T}} {\ frac {\ mathrm { d} ^ {2} T} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = - k ^ {2},}

где мы выбрали, без потери Вообще говоря, выражение −k для значения константы. (Также можно использовать любую константу k в качестве константы разделения; −k выбрано только для удобства в получаемых решениях.)

Преобразуя первое уравнение, мы получаем уравнение Гельмгольца:

∇ 2 A + К 2 A знак равно (∇ 2 + К 2) A = 0. {\ Displaystyle \ nabla ^ {2} A + k ^ {2} A = (\ nabla ^ {2} + k ^ {2}) A = 0.}{\ displaystyle \ nabla ^ {2} A + k ^ {2} A = (\ nabla ^ {2} + k ^ {2}) A = 0.}

Аналогично, после замены ω = kc, где k - волновое число , а ω - угловая частота , второе уравнение принимает вид

d 2 T dt 2 + ω 2 T знак равно (d 2 dt 2 + ω 2) T = 0. {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} T} {\ mathrm {d} t ^ { 2}}} + \ omega ^ {2} T = \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + \ omega ^ {2} \ right) T = 0.}{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} T} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + \ omega ^ { 2} T = \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + \ omega ^ {2} \ right) T = 0.}

Теперь у нас есть уравнение Гельмгольца для пространственной переменной r и обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка во времени. Временным решением будет линейная комбинация функций синус и косинус, точная форма которой определяется начальными условиями, а форма решения в пространстве будет зависеть от граничных условий. В качестве альтернативы, интегральное преобразование, такое как преобразование Лапласа или Фурье, часто используется для преобразования гиперболического PDE в форму Уравнение Гельмгольца.

Из-за своей связи с волновым уравнением уравнение Гельмгольца возникает в таких областях физики, как изучение электромагнитного излучения, сейсмологии и акустика.

Решение уравнения Гельмгольца с использованием разделения переменных

Решение пространственного уравнения Гельмгольца:

∇ 2 A = - k 2 A {\ displaystyle \ nabla ^ {2} A = -k ^ {2} A}{\ displaystyle \ nabla ^ {2} A = -k ^ {2} A}

можно получить для простой геометрии с помощью разделения переменных.

Вибрирующая мембрана

Двумерный аналог вибрирующей струны вибрирующая мембрана с зажатыми краями в неподвижном состоянии. Уравнение Гельмгольца было решено для многих основных форм в XIX веке: прямоугольная мембрана Симеоном Дени Пуассоном в 1829 году, равносторонний треугольник Габриэлем Ламе в 1852 году и круглая мембрана Альфред Клебш в 1862 году. Эллиптическая пластина барабана была изучена Эмилем Матье, что привело к дифференциальному уравнению Матье.

Если края фигуры являются отрезками прямых линий, то решение является интегрируемым или познаваемым в замкнутой форме только в том случае, если оно выражается в виде конечной линейной комбинации плоских волн, удовлетворяющих граничным условиям (ноль на границе, т. е. мембрана зажата).

Если область представляет собой окружность радиуса a, то целесообразно ввести полярные координаты r и θ. Уравнение Гельмгольца принимает вид

A rr + 1 r A r + 1 r 2 A θ θ + k 2 A = 0. {\ displaystyle A_ {rr} + {\ frac {1} {r}} A_ { r} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} A _ {\ theta \ theta} + k ^ {2} A = 0.}{\ displaystyle A_ {rr} + {\ frac {1} {r}} A_ {r} + {\ frac {1} {r ^ {2} }} A _ {\ theta \ theta} + k ^ {2} A = 0.}

Мы можем наложить граничное условие, что A обращается в нуль, если r = а; таким образом,

A (a, θ) = 0. {\ displaystyle A (a, \ theta) = 0.}{\ displaystyle A (a, \ theta) = 0.}

Метод разделения переменных приводит к пробным решениям вида

A (r, θ) знак равно R (r) Θ (θ), {\ displaystyle A (r, \ theta) = R (r) \ Theta (\ theta),}{\ displaystyle A (r, \ theta) = R (r) \ Theta (\ theta),}

где Θ должно быть периодическим с периодом 2π. Это приводит к

Θ ″ + n 2 Θ = 0, {\ displaystyle \ Theta '' + n ^ {2} \ Theta = 0,}{\displaystyle \Theta ''+n^{2}\Theta =0,}
r 2 R ″ + r R ′ + r 2 k 2 R - n 2 R = 0. {\ displaystyle r ^ {2} R '' + rR '+ r ^ {2} k ^ {2} Rn ^ {2} R = 0.}{\displaystyle r^{2}R''+rR'+r^{2}k^{2}R-n^{2}R=0.}

Это следует из условие периодичности, которое

Θ = α cos ⁡ N θ + β sin ⁡ n θ, {\ displaystyle \ Theta = \ alpha \ cos n \ theta + \ beta \ sin n \ theta,}{\ displaystyle \ Theta = \ alpha \ cos n \ theta + \ beta \ sin n \ theta,}

и что n должно быть целым числом. Радиальная составляющая R имеет вид

R (r) = γ J n (ρ), {\ displaystyle R (r) = \ gamma J_ {n} (\ rho), \,}R (r) = \ гамма J_ {n} (\ rho), \,

где Функция Бесселя Jn(ρ) удовлетворяет уравнению Бесселя

ρ 2 J n ″ + ρ J n ′ + (ρ 2 - n 2) J n = 0, {\ displaystyle \ rho ^ {2} J_ { n} '' + \ rho J_ {n} '+ (\ rho ^ {2} -n ^ {2}) J_ {n} = 0,}\rho ^{2}J_{n}''+\rho J_{n}'+(\rho ^{2}-n^{2})J_{n}=0,

и ρ = kr. Радиальная функция J n имеет бесконечно много корней для каждого значения n, обозначенного ρ m, n. Граничное условие, что A обращается в нуль при r = a, будет выполнено, если соответствующие волновые числа заданы как

k m, n = 1 a ρ m, n. {\ displaystyle k_ {m, n} = {\ frac {1} {a}} \ rho _ {m, n}.}{\ displaystyle k_ {m, n} = {\ frac {1} {a} } \ rho _ {m, n}.}

Общее решение A тогда принимает форму обобщенного ряда Фурье членов, включающих произведения J n(km, n r) и синуса (или косинуса) nθ. Эти решения представляют собой режимы вибрации круглой головки барабана.

Трехмерные решения

В сферических координатах решение:

A (r, θ, φ) = ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = - ℓ ℓ (a ℓ mj ℓ (kr) + b ℓ my ℓ (kr)) Y ℓ m (θ, φ). {\ displaystyle A (r, \ theta, \ varphi) = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = - \ ell} ^ {\ ell} \ left (a _ {\ ell m} j _ {\ ell} (kr) + b _ {\ ell m} y _ {\ ell} (kr) \ right) Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ varphi).}{\ displaystyle A (r, \ theta, \ varphi) = \ sum _ {\ el l = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = - \ ell} ^ {\ ell} \ left (a _ {\ ell m} j _ {\ ell} (kr) + b _ {\ ell m} y_ { \ ell} (kr) \ right) Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ varphi).}

Это решение возникает из пространственного решения волнового уравнения и уравнения диффузии. Здесь j ℓ (kr) и y ℓ (kr) - это сферические функции Бесселя, а Y. ℓ(θ, φ) - сферические гармоники (Abramowitz, Stegun, 1964). Обратите внимание, что эти формы являются общими решениями и требуют указания граничных условий для использования в любом конкретном случае. Для бесконечных внешних областей также может потребоваться условие излучения (Sommerfeld, 1949).

Запись r0= (x, y, z) функция A (r 0) имеет асимптотику

A (r 0) = eikr 0 r 0 f (r 0 r 0, k, u 0) + о (1 r 0) как r 0 → ∞ {\ displaystyle A (r_ {0}) = {\ frac {e ^ {ikr_ {0}}} {r_ {0}}} f \ left ({\ frac {\ mathbf {r} _ {0}} {r_ {0}}}, k, u_ {0} \ right) + o \ left ({\ frac {1} {r_ {0 }}} \ right) {\ text {as}} r_ {0} \ to \ infty}{\ displaystyle A (r_ {0}) = {\ frac {e ^ {ikr_ {0}}} {r_ {0}}} f \ left ({\ frac {\ mathbf {r} _ {0}} {r_ {0}}}, k, u_ {0} \ right) + o \ left ({\ frac {1} {r_ {0}}} \ right) {\ text {as}} r_ {0} \ to \ infty}

где функция f называется амплитудой рассеяния, а u 0(r0) - значение A в каждой граничной точке r 0.

Параксиальное приближение

В параксиальном приближении уравнения Гельмгольца комплексная амплитуда A выражается как

A (r) = u (r) eikz {\ displaystyle A (\ mathbf {r}) = u (\ mathbf {r}) e ^ {ikz}}A (\ mathbf {r}) = u (\ mathbf {r}) е ^ {ikz}

где u представляет комплексную амплитуду, которая модулирует синусоидальную плоскую волну, представленную экспоненциальным множителем. Тогда при подходящем предположении u приближенно решает

∇ ⊥ 2 u + 2 ik ∂ u ∂ z = 0, {\ displaystyle \ nabla _ {\ perp} ^ {2} u + 2ik {\ frac {\ partial u } {\ partial z}} = 0,}\ nabla _ {\ perp} ^ 2 u + 2ik \ frac {\ partial u} {\ partial z} = 0,

где ∇. ⊥≝ ∂ / ∂x + ∂ / ∂y - поперечная часть лапласиана.

Это уравнение имеет важные приложения в науке. из оптики, где он предоставляет решения, описывающие распространение электромагнитных волн (свет) в форме либо параболоидальных волн, либо гауссовых лучей. Большинство лазеров излучают лучи этой формы.

Предположение, при котором допустимо параксиальное приближение, состоит в том, что производная по z амплитудной функции u является медленно меняющейся функцией от z:

| ∂ 2 u ∂ z 2 | ≪ | k ∂ u ∂ z |. {\ displaystyle {\ bigg |} {\ partial ^ {2} u \ over \ partial z ^ {2}} {\ bigg |} \ ll {\ bigg |} {к {\ partial u \ over \ partial z} } {\ bigg |}.}\ bigg | {\ partial ^ 2 u \ over \ partial z ^ 2} \ bigg | \ ll \ bigg | {k {\ partial u \ over \ partial z}} \ bigg |.

Это условие эквивалентно тому, что угол θ между волновым вектором kи оптической осью z мал: θ ≪ 1.

параксиальная форма уравнения Гельмгольца находится путем подстановки приведенного выше выражения для комплексной амплитуды в общий вид уравнения Гельмгольца следующим образом:

∇ 2 (u (x, y, z) eikz) + k 2 u (Икс, Y, Z) eikz = 0. {\ Displaystyle \ nabla ^ {2} (и \ влево (х, у, г \ вправо) е ^ {ikz}) + к ^ {2} и \ влево (х, y, z \ right) e ^ {ikz} = 0.}\ nabla ^ {2} (u \ left (x, y, z \ right) e ^ {ikz}) + k ^ 2 u \ left ( x, y, z \ справа) e ^ {ikz} = 0.

Расширение и сокращение дает следующее:

(∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2) u (x, y, z) eikz + (∂ 2 ∂ Z 2 u (x, y, z)) eikz + 2 (∂ ∂ zu (x, y, z)) ikeikz = 0. {\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial ^ { 2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} \ right) u (x, y, z) e ^ {ikz } + \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}} u (x, y, z) \ right) e ^ {ik z} +2 \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial z}} u (x, y, z) \ right) ik {e ^ {ikz}} = 0.}{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} \ right) u (x, y, z) e ^ {ikz} + \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}} u (x, y, z) \ right) e ^ {ikz} +2 \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial z}} u (x, y, z) \ right) ik {e ^ {ikz}} = 0.}

Из-за параксиального В соответствии с указанным выше неравенством член ∂u / ∂z не учитывается по сравнению с членом k · ∂u / ∂z. Это дает параксиальное уравнение Гельмгольца. Подстановка u (r ) = A (r ) e затем дает параксиальное уравнение для исходной комплексной амплитуды A:

∇ ⊥ 2 A + 2 ik ∂ A ∂ z = 0. {\ displaystyle \ nabla _ {\ perp} ^ {2} A + 2ik {\ frac {\ partial A} {\ partial z}} = 0.}{\ displaystyle \ nabla _ {\ perp} ^ {2} A + 2ik {\ frac {\ partial A} {\ partial z}} = 0.}

Интеграл дифракции Френеля является точным решением параксиального уравнения Гельмгольца.

Существует даже предмет под названием «Оптика Гельмгольца», основанный на уравнении, названном в честь Гельмгольца.

Неоднородное уравнение Гельмгольца

неоднородное уравнение Гельмгольца - это уравнение

∇ 2 A (x) + k 2 A (x) = - f (x) в R n, {\ displaystyle \ nabla ^ {2} A (x) + k ^ {2} A (x) = - f (x) \ {\ text {in}} \ mathbb {R} ^ {n},}{\ displaystyle \ nabla ^ {2} A (x) + k ^ {2} A (x) = - f (x) \ {\ text {in}} \ mathbb {R} ^ {n},}

где ƒ: R→ C- функция с компактной опорой и n = 1, 2, 3. Это уравнение очень похоже на экранированное уравнение Пуассона и будет идентичным, если знак плюс (перед k член) заменяется знаком минус.

Чтобы однозначно решить это уравнение, необходимо указать граничное условие на бесконечности, которое обычно является условием излучения Зоммерфельда

lim r → ∞ rn - 1 2 (∂ ∂ р - ik) A (rx ^) = 0 {\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} r ^ {\ frac {n-1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial r}} - ik \ right) A (r {\ hat {x}}) = 0}\ lim _ {{r \ to \ infty}} r ^ {{{\ frac {n-1} {2}}}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial r}} - ik \ right) A (r {\ шляпа {x}}) = 0

равномерно в x ^ {\ displaystyle {\ hat {x}}}{\ hat {x}} с | x ^ | = 1 {\ displaystyle | {\ hat {x}} | = 1}| {\ hat {x}} | = 1 , где вертикальные полосы обозначают евклидову норму.

С этим условием решение неоднородного уравнения Гельмгольца свертка

A (x) = (G ∗ f) (x) = ∫ R n G (x - y) f (y) dy {\ displaystyle A (x) = (G * f) ( x) = \ int \ limits _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \! G (xy) f (y) \, \ mathrm {d} y}{\ Displaystyle A (x) = (G * f) (x) = \ int \ limits _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \! G (xy) f (y) \, \ mathrm {d} y}

(обратите внимание, что этот интеграл на самом деле находится по конечному область, поскольку f имеет компактный носитель). Здесь G - функция Грина этого уравнения, то есть решение неоднородного уравнения Гельмгольца с ƒ, равным дельта-функции Дирака, поэтому G удовлетворяет

∇ 2 G (x) + k 2 G (x) = - δ (x) ∈ R n. {\ displaystyle \ nabla ^ {2} G (x) + k ^ {2} G (x) = - \ delta (x) \ in \ mathbb {R} ^ {n}. \,}{\ displaystyle \ nabla ^ {2} G (x) + k ^ {2} G (x) = - \ delta (x) \ in \ mathbb {R} ^ {n}. \,}

Выражение для функции Грина зависит от размерности пространства n. Имеется

G (x) = i e i k | х | 2 К {\ Displaystyle G (x) = {\ frac {ie ^ {ik | x |}} {2k}}}G (x) = {\ frac {ie ^ {{ik | x |}}} {2k}}

для n = 1,

G (x) = i 4 H 0 (1) (k | x |) {\ displaystyle G (x) = {\ frac {i} {4}} H_ {0} ^ {(1)} (k | x |)}G (x) = {\ frac {i} {4}} H_ {0} ^ {{(1)}} (k | x |)

для n = 2, где H. 0- это функция Ханкеля, а

G (x) = eik | х | 4 π | х | {\ displaystyle G (x) = {\ frac {e ^ {ik | x |}} {4 \ pi | x |}}}G (x) = {\ frac {e ^ {{ik | x |}}} {4 \ pi | x |}}

для n = 3. Обратите внимание, что мы выбрали граничное условие, что функция - уходящая волна для | x | → ∞.

См. Также

Примечания

Ссылки

  • Riley, K.F.; Hobson, M. P.; Бенс, С. Дж. (2002). «Глава 19». Математические методы для физики и техники. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-89067-0.
  • Райли, К. Ф. (2002). «Глава 16». Математические методы для ученых и инженеров. Саусалито, Калифорния: Научные книги университета. ISBN 978-1-891389-24-5.
  • Салех, Бахаа Э. А.; Тейч, Малвин Карл (1991). "Глава 3". Основы фотоники. Серия Wiley в чистой и прикладной оптике. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. С. 80–107. ISBN 978-0-471-83965-1.
  • Зоммерфельд, Арнольд (1949). «Глава 16». Уравнения с частными производными в физике. Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 978-0126546569.
  • Хау, М.С. (1998). Акустика взаимодействия жидкость-структура. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-63320-8.

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-23 07:57:38
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте