В математике проблема собственных значений для Оператор Лапласа известен как уравнение Гельмгольца. Он соответствует линейному уравнению в частных производных :
, где ∇ - оператор Лапласа (или «лапласиан»), k - собственное значение, а f - (собственная) функция. Когда уравнение применяется к волнам, k известно как волновое число. Уравнение Гельмгольца имеет множество приложений в физике, включая волновое уравнение и уравнение диффузии, а также находит применение в других науках.
Уравнение Гельмгольца часто возникает при исследовании физических проблем, связанных с частным дифференциальные уравнения (PDE) как в пространстве, так и во времени. Уравнение Гельмгольца, которое представляет собой не зависящую от времени форму волнового уравнения, является результатом применения техники разделения переменных для уменьшения сложности анализа..
Например, рассмотрим волновое уравнение
Разделение переменных начинается с предположения, что волновая функция u (r, t) фактически разделима:
Подставляя эту форму в волновое уравнение и затем упрощая, мы получаем следующее уравнение:
Обратите внимание, что выражение в левой части зависит только от r, тогда как правое выражение зависит только от t. В результате это уравнение справедливо в общем случае тогда и только тогда, когда обе части уравнения равны постоянному значению. Этот аргумент является ключевым в методике решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных путем разделения переменных. Из этого наблюдения мы получаем два уравнения: одно для A (r ), другое для T (t):
где мы выбрали, без потери Вообще говоря, выражение −k для значения константы. (Также можно использовать любую константу k в качестве константы разделения; −k выбрано только для удобства в получаемых решениях.)
Преобразуя первое уравнение, мы получаем уравнение Гельмгольца:
Аналогично, после замены ω = kc, где k - волновое число , а ω - угловая частота , второе уравнение принимает вид
Теперь у нас есть уравнение Гельмгольца для пространственной переменной r и обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка во времени. Временным решением будет линейная комбинация функций синус и косинус, точная форма которой определяется начальными условиями, а форма решения в пространстве будет зависеть от граничных условий. В качестве альтернативы, интегральное преобразование, такое как преобразование Лапласа или Фурье, часто используется для преобразования гиперболического PDE в форму Уравнение Гельмгольца.
Из-за своей связи с волновым уравнением уравнение Гельмгольца возникает в таких областях физики, как изучение электромагнитного излучения, сейсмологии и акустика.
Решение пространственного уравнения Гельмгольца:
можно получить для простой геометрии с помощью разделения переменных.
Двумерный аналог вибрирующей струны вибрирующая мембрана с зажатыми краями в неподвижном состоянии. Уравнение Гельмгольца было решено для многих основных форм в XIX веке: прямоугольная мембрана Симеоном Дени Пуассоном в 1829 году, равносторонний треугольник Габриэлем Ламе в 1852 году и круглая мембрана Альфред Клебш в 1862 году. Эллиптическая пластина барабана была изучена Эмилем Матье, что привело к дифференциальному уравнению Матье.
Если края фигуры являются отрезками прямых линий, то решение является интегрируемым или познаваемым в замкнутой форме только в том случае, если оно выражается в виде конечной линейной комбинации плоских волн, удовлетворяющих граничным условиям (ноль на границе, т. е. мембрана зажата).
Если область представляет собой окружность радиуса a, то целесообразно ввести полярные координаты r и θ. Уравнение Гельмгольца принимает вид
Мы можем наложить граничное условие, что A обращается в нуль, если r = а; таким образом,
Метод разделения переменных приводит к пробным решениям вида
где Θ должно быть периодическим с периодом 2π. Это приводит к
Это следует из условие периодичности, которое
и что n должно быть целым числом. Радиальная составляющая R имеет вид
где Функция Бесселя Jn(ρ) удовлетворяет уравнению Бесселя
и ρ = kr. Радиальная функция J n имеет бесконечно много корней для каждого значения n, обозначенного ρ m, n. Граничное условие, что A обращается в нуль при r = a, будет выполнено, если соответствующие волновые числа заданы как
Общее решение A тогда принимает форму обобщенного ряда Фурье членов, включающих произведения J n(km, n r) и синуса (или косинуса) nθ. Эти решения представляют собой режимы вибрации круглой головки барабана.
В сферических координатах решение:
Это решение возникает из пространственного решения волнового уравнения и уравнения диффузии. Здесь j ℓ (kr) и y ℓ (kr) - это сферические функции Бесселя, а Y. ℓ(θ, φ) - сферические гармоники (Abramowitz, Stegun, 1964). Обратите внимание, что эти формы являются общими решениями и требуют указания граничных условий для использования в любом конкретном случае. Для бесконечных внешних областей также может потребоваться условие излучения (Sommerfeld, 1949).
Запись r0= (x, y, z) функция A (r 0) имеет асимптотику
где функция f называется амплитудой рассеяния, а u 0(r0) - значение A в каждой граничной точке r 0.
В параксиальном приближении уравнения Гельмгольца комплексная амплитуда A выражается как
где u представляет комплексную амплитуду, которая модулирует синусоидальную плоскую волну, представленную экспоненциальным множителем. Тогда при подходящем предположении u приближенно решает
где ∇. ⊥≝ ∂ / ∂x + ∂ / ∂y - поперечная часть лапласиана.
Это уравнение имеет важные приложения в науке. из оптики, где он предоставляет решения, описывающие распространение электромагнитных волн (свет) в форме либо параболоидальных волн, либо гауссовых лучей. Большинство лазеров излучают лучи этой формы.
Предположение, при котором допустимо параксиальное приближение, состоит в том, что производная по z амплитудной функции u является медленно меняющейся функцией от z:
Это условие эквивалентно тому, что угол θ между волновым вектором kи оптической осью z мал: θ ≪ 1.
параксиальная форма уравнения Гельмгольца находится путем подстановки приведенного выше выражения для комплексной амплитуды в общий вид уравнения Гельмгольца следующим образом:
Расширение и сокращение дает следующее:
Из-за параксиального В соответствии с указанным выше неравенством член ∂u / ∂z не учитывается по сравнению с членом k · ∂u / ∂z. Это дает параксиальное уравнение Гельмгольца. Подстановка u (r ) = A (r ) e затем дает параксиальное уравнение для исходной комплексной амплитуды A:
Интеграл дифракции Френеля является точным решением параксиального уравнения Гельмгольца.
Существует даже предмет под названием «Оптика Гельмгольца», основанный на уравнении, названном в честь Гельмгольца.
неоднородное уравнение Гельмгольца - это уравнение
где ƒ: R→ C- функция с компактной опорой и n = 1, 2, 3. Это уравнение очень похоже на экранированное уравнение Пуассона и будет идентичным, если знак плюс (перед k член) заменяется знаком минус.
Чтобы однозначно решить это уравнение, необходимо указать граничное условие на бесконечности, которое обычно является условием излучения Зоммерфельда
равномерно в с , где вертикальные полосы обозначают евклидову норму.
С этим условием решение неоднородного уравнения Гельмгольца свертка
(обратите внимание, что этот интеграл на самом деле находится по конечному область, поскольку f имеет компактный носитель). Здесь G - функция Грина этого уравнения, то есть решение неоднородного уравнения Гельмгольца с ƒ, равным дельта-функции Дирака, поэтому G удовлетворяет
Выражение для функции Грина зависит от размерности пространства n. Имеется
для n = 1,
для n = 2, где H. 0- это функция Ханкеля, а
для n = 3. Обратите внимание, что мы выбрали граничное условие, что функция - уходящая волна для | x | → ∞.