Войти
Спектральная геометрия - это область в математике, которая касается отношений между геометрическими структурами многообразий и спектры канонически определенных дифференциальных операторов. Случай оператора Лапласа – Бельтрами на замкнутом римановом многообразии изучался наиболее интенсивно, хотя другие операторы Лапласа в дифференциальной геометрии также были исследованы. Эта область занимается двумя видами вопросов: прямыми задачами и обратными задачами.
Обратные задачи стремятся идентифицировать особенности геометрии на основе информации о собственных значениях лапласиана. Один из первых результатов такого рода был получен Германом Вейлем, который использовал теорию Дэвида Гильберта для интегрального уравнения в 1911 году, чтобы показать, что объем ограниченная область в евклидовом пространстве может быть определена из асимптотического поведения собственных значений для краевой задачи Дирихле оператора оператора Лапласа. Этот вопрос обычно выражается так: «Можно ли услышать форму барабана? », популярная фраза из-за Марка Каца. Уточнение асимптотической формулы Вейля, полученное Плейжелем и Минакшисундарамом, дает серию локальных спектральных инвариантов, включающих ковариантные дифференцирования тензора кривизны , которые можно использовать для установления спектральная жесткость для специального класса многообразий. Однако, как показывает пример, приведенный Джоном Милнором, информации о собственных значениях недостаточно для определения класса изометрии многообразия (см. изоспектральный ). Общий и систематический метод, созданный Тошиказу Сунада, дал начало настоящей кустарной индустрии таких примеров, проясняющих феномен изоспектральных многообразий.
Прямые задачи пытаются вывести поведение собственных значений риманова многообразия на основе знания геометрии. Решения прямых проблем типичны неравенством Чигера, которое устанавливает связь между первым положительным собственным значением и изопериметрической константой (константа Чигера ). Многие версии неравенства были установлены со времен работы Чигера (например, Р. Бруксом и П. Бузером).
