Операторы Лапласа в дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии существует ряд линейных эллиптических дифференциальные операторы с именем лапласианские. В этой статье представлен обзор некоторых из них.

• 1 Лапласиан связи
• 2 Лапласиан Ходжа
• 3 Лапласиан Бохнера
• 4 Лапласиан Лихнеровича
• 5 Конформный лапласиан
• 6 См. Также
• 7 Ссылки

Лапласиан связности, также известный как грубый лапласиан, представляет собой дифференциальный оператор, действующий на различные тензорные пучки многообразия, определенный в терминах Риманова - или псевдориманова метрика. Применительно к функциям (т. Е. Тензорам ранга 0) лапласиан связности часто называют оператором Лапласа – Бельтрами. Он определяется как след второй ковариантной производной :

$\Delta \; T\; =\; tr\; \nabla \; 2\; T,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; T\; =\; \{\backslash \; text\; \{tr\}\}\; \backslash ;\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; T,\}$

где T - любой тензор, $\nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\}$- связь Леви-Чивита, связанная с метрикой, и трассировка берется относительно метрика. Напомним, что вторая ковариантная производная T определяется как

$X,\; Y\; 2\; T\; =\; \nabla \; X\; \nabla \; Y\; T\; -\; \nabla \; \nabla \; X\; Y\; T.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{X,\; Y\}\; ^\; \{2\}\; T\; =\; \backslash \; nabla\; \_\; \{X\}\; \backslash \; nabla\; \_\; \{Y\}\; T-\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; nabla\; \_\; \{X\}\; Y\}\; T.\}$

Примечание что при этом определении лапласиан связности имеет отрицательный спектр. Что касается функций, это согласуется с оператором, заданным как дивергенция градиента.

Если интересующей нас связью является связь Леви-Чивиты, можно найти удобную формулу для лапласиана скалярной функции в терминах частных производных по системе координат:

$\Delta \; \varphi \; =\; |\; г\; |\; -\; 1/2\; \partial \; \mu \; (|\; g\; |\; 1/2\; g\; \mu \; \nu \; \partial \; \nu \; \varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; phi\; =\; |\; g\; |\; ^\; \{-\; 1/2\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; left\; (|\; g\; |\; ^\; \{1/2\}\; g\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\}$

где $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$- скалярная функция, $|\; г\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; g\; |\}$- абсолютное значение определителя метрики (абсолютное значение необходимо в псевдоримановом случае, например, в общей теории относительности ) и $g\; \mu \; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; g\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\}$обозначает , обратный метрическому тензору.

Лапласиан Ходжа, также известный как оператор Лапласа – де Рама, является дифференциальным оператором, действующим на дифференциальные формы. (Абстрактно, это оператор второго порядка на каждой внешней степени кокасательного расслоения .) Этот оператор определен на любом многообразии, снабженном римановым - или псевдоримановым метрика.

$\Delta \; знак\; равно\; d\; \delta \; +\; \delta \; d\; знак\; равно\; (d\; +\; \delta )\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; =\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; delta\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; =\; (\backslash \; mathrm\; \{d\}\; +\; \backslash \; delta)\; ^\; \{2\},\; \backslash ;\}$

, где d - внешняя производная или дифференциал, а δ - кодифференциал. Лапласиан Ходжа на компактном многообразии имеет неотрицательный спектр.

Лапласиан связности может также действовать на дифференциальные формы, ограничивая его действием на кососимметричные тензоры. Лапласиан связности отличается от лапласиана Ходжа посредством тождества Вайтценбека.

лапласиан Бохнера определяется иначе, чем лапласиан связности, но отличается только знаком, если первое определено. Пусть M - компактное ориентированное многообразие с метрикой. Пусть E - векторное расслоение над M, снабженное волоконной метрикой и совместимой связью, $\nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\}$. Эта связь порождает дифференциальный оператор

$\nabla :\; \Gamma \; (E)\; \to \; \Gamma \; (T\; \ast \; M\; \otimes \; E)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla:\; \backslash \; Gamma\; (E)\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; Gamma\; (T\; ^\; \{*\}\; M\; \backslash \; otimes\; E)\}$

, где $\Gamma \; (E)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (E)\}$обозначает гладкие участки E, а TM - это котангенсный пучок M. Можно взять $L\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\}$-сопряженное с $\nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\}$, давая дифференциальный оператор

$\nabla \; \ast :\; \Gamma \; (T\; \ast \; M\; \otimes \; E)\; \to \; \Gamma \; (E).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{*\}:\; \backslash \; Gamma\; (T\; ^\; \{*\}\; M\; \backslash \; otimes\; E)\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; Gamma\; (E).\}$

Лапласиан Бохнера задается как

$\Delta \; =\; \nabla \; \ast \; \nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; =\; \backslash \; nabla\; ^\; \{*\}\; \backslash \; nabla\}$

, который является оператором второго порядка, действующим на сечениях векторного расслоения E. Обратите внимание, что лапласиан связности и лапласиан Бохнера отличаются только знак:

$\nabla \; \ast \; \nabla \; =\; -\; tr\; \nabla \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{*\}\; \backslash \; nabla\; =\; -\; \{\backslash \; text\; \{tr\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\}$

Лапласиан Лихнеровича определяется на симметричных тензорах следующим образом: $\nabla :\; \Gamma \; (Sym\; k\; \; (TM))\; \to \; \Gamma \; (Sym\; k\; +\; 1\; \; (TM))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; :\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; operatorname\; \{Sym\}\; ^\; \{k\}\; (TM))\; \backslash \; to\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; operatorname\; \{Sym\}\; ^\; \{k\; +\; 1\}\; (TM))\}$чтобы быть симметризованной ковариантной производной. Тогда лапласиан Лихнеровича определяется выражением $\Delta \; L\; =\; \nabla \; \ast \; \nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{L\}\; =\; \backslash \; nabla\; ^\; \{*\}\; \backslash \; nabla\}$, где $\nabla \; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{*\}\}$- формальное сопряжение. Лапласиан Лихнеровича отличается от обычного тензорного лапласиана формулой Вайтценбока, включающей тензор кривизны Римана, и имеет естественные приложения при изучении потока Риччи и заданная задача кривизны Риччи.

На римановом многообразии можно определить конформный лапласиан как оператор на гладких функциях; он отличается от оператора Лапласа – Бельтрами членом, включающим скалярную кривизну базовой метрики. В размерности n ≥ 3 конформный лапласиан, обозначаемый L, действует на гладкую функцию u следующим образом:

$L\; u\; =\; -\; 4\; n\; -\; 1\; n\; -\; 2\; \Delta \; u\; +\; R\; u,\; \{\backslash \; displaystyle\; Lu\; =\; -4\; \{\backslash \; frac\; \{n-1\}\; \{n-2\}\}\; \backslash \; Delta\; u\; +\; Ru,\}$

где Δ - оператор Лапласа-Бельтрами (отрицательного спектра), а R - скалярная кривизна. Этот оператор часто появляется при изучении того, как скалярная кривизна ведет себя при конформной замене римановой метрики. Если n ≥ 3 и g - метрика, а u - гладкая положительная функция, то конформная метрика

$g\; ~\; =\; u\; 4\; /\; (n\; -\; 2)\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{\; g\}\}\; =\; u\; ^\; \{4\; /\; (n-2)\}\; g\; \backslash ,\}$

имеет скалярную кривизну, заданную как

$R\; ~\; =\; u\; -\; (n\; +\; 2)\; /\; (n\; -\; 2)\; L\; u.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{R\}\}\; =\; u\; ^\; \{-\; (n\; +\; 2)\; /\; (n-2)\}\; Lu.\; \backslash ,\}$

• идентичность Weitzenböck

1. ^Чоу, Беннетт; Лу, Пэн; Ни, Лей (2006), поток Риччи Гамильтона, Аспирантура по математике, 77, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0- 8218-4231-7, MR 2274812, ISBN 978-0-8218-4231-7