Тензор кривизны Римана

редактировать

В математической области дифференциальной геометрии, то тензор кривизны Римана или тензор Римана-Кристоффеля (после Бернхарда Римана и Кристоффель ) является наиболее распространенным способом используется, чтобы выразить преобразование кривизны. Он сопоставляет тензор каждой точке риманова многообразия (т. Е. Это тензорное поле ). Это локальный инвариант римановой метрики, который измеряет неспособность вторых ковариантных производных коммутировать. Риманово многообразие имеет нулевую кривизну тогда и только тогда, когда она является плоской, т.е. локально изометрическая в евклидове пространства. Тензор кривизны также можно определить для любого псевдориманова многообразия или любого многообразия, снабженного аффинной связностью.

Это центральный математический инструмент в общей теории относительности, современной теории гравитации, а кривизна пространства-времени в принципе наблюдается через уравнение геодезического отклонения. Тензор кривизны представляет собой приливную силу, испытываемую твердым телом, движущимся по геодезической, в смысле, уточненном уравнением Якоби.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Определение
  • 2 Геометрическое значение
    • 2.1 Неформально
    • 2.2 Формально
  • 3 Координатное выражение
  • 4 Симметрии и идентичности
  • 5 Кривизна Риччи
  • 6 Особые случаи
    • 6.1 Поверхности
    • 6.2 Космические формы
  • 7 См. Также
  • 8 цитат
  • 9 ссылки

Определение

Пусть ( M, g) риманово или псевдориманово многообразие и пространство всех векторных полей на M. Определим тензор кривизны Римана как отображение по следующей формуле, которая выражается в терминах связности Леви-Чивиты : Икс ( M ) {\ Displaystyle {\ mathfrak {X}} (М)} р : Икс ( M ) × Икс ( M ) × Икс ( M ) Икс ( M ) {\ Displaystyle R \ двоеточие {\ mathfrak {X}} (M) \ times {\ mathfrak {X}} (M) \ times {\ mathfrak {X}} (M) \ rightarrow {\ mathfrak {X}} ( M)} {\ displaystyle \ nabla}

р ( Икс , Y ) Z знак равно Икс Y Z - Y Икс Z - [ Икс , Y ] Z {\ Displaystyle R (X, Y) Z = \ nabla _ {X} \ nabla _ {Y} Z- \ nabla _ {Y} \ nabla _ {X} Z- \ nabla _ {[X, Y]} Z }

или эквивалентно

р ( Икс , Y ) знак равно [ Икс , Y ] - [ Икс , Y ] {\ Displaystyle R (X, Y) = [\ nabla _ {X}, \ nabla _ {Y}] - \ nabla _ {[X, Y]}}

где [ X, Y ] - скобка Ли векторных полей и коммутатор дифференциальных операторов. Для каждой пары касательных векторов u, v, R ( u, v) является линейным преобразованием касательного пространства многообразия. Он линейен по u и v и, таким образом, определяет тензор. Иногда тензор кривизны определяется с противоположным знаком. [ Икс , Y ] {\ displaystyle [\ nabla _ {X}, \ nabla _ {Y}]}

Если и являются координатными векторными полями, то формула упрощается до Икс знак равно / Икс я {\ Displaystyle X = \ partial / \ partial x ^ {i}} Y знак равно / Икс j {\ Displaystyle Y = \ partial / \ partial x ^ {j}} [ Икс , Y ] знак равно 0 {\ displaystyle [X, Y] = 0}

р ( Икс , Y ) Z знак равно Икс Y Z - Y Икс Z . {\ Displaystyle R (X, Y) Z = \ nabla _ {X} \ nabla _ {Y} Z- \ nabla _ {Y} \ nabla _ {X} Z.}

Тензор кривизны измеряет некоммутативность ковариантной производной и, как таковой, является препятствием к интегрируемости для существования изометрии с евклидовым пространством (называемым в данном контексте плоским пространством). Линейное преобразование также называется преобразованием кривизны или эндоморфизмом. ш р ( ты , v ) ш {\ Displaystyle ш \ mapsto R (и, v) ш}

Формула кривизны также может быть выражена через вторую ковариантную производную, определяемую как:

ты , v 2 ш знак равно ты v ш - ты v ш {\ displaystyle \ nabla _ {u, v} ^ {2} w = \ nabla _ {u} \ nabla _ {v} w- \ nabla _ {\ nabla _ {u} v} w}

который линейен по u и v. Потом:

р ( ты , v ) знак равно ты , v 2 - v , ты 2 {\ displaystyle R (u, v) = \ nabla _ {u, v} ^ {2} - \ nabla _ {v, u} ^ {2}}

Таким образом, в общем случае некоординатных векторов u и v тензор кривизны измеряет некоммутативность второй ковариантной производной.

Геометрический смысл

Иллюстрация мотивации римановой кривизны на сфере -как многообразие. Тот факт, что этот перенос может определять два разных вектора в начальной точке, приводит к появлению тензора кривизны Римана. Символ прямого угла обозначает, что внутренний продукт (заданный метрическим тензором ) между перемещенными векторами (или касательными векторами кривых) равен 0.

Неофициально

Эффект искривления пространства можно увидеть, сравнив теннисный корт и Землю. Начните с правого нижнего угла теннисного корта, держа ракетку на севере. Затем, прогуливаясь по контуру площадки, на каждом шаге следите за тем, чтобы теннисная ракетка удерживалась в той же ориентации, параллельно ее предыдущему положению. По завершении петли теннисная ракетка будет параллельна своему исходному положению. Это потому, что теннисные корты построены с ровной поверхностью. С другой стороны, поверхность Земли изогнута: мы можем образовать петлю на поверхности Земли. Начиная с экватора, направьте теннисную ракетку на север вдоль поверхности Земли. Еще раз, теннисная ракетка всегда должна оставаться параллельной своему предыдущему положению, используя локальную плоскость горизонта в качестве ориентира. Для этого пути сначала пройдите к северному полюсу, затем поверните на 90 градусов и спуститесь к экватору, и, наконец, поверните на 90 градусов и вернитесь к началу. Однако теперь теннисная ракетка будет направлена ​​назад (на восток). Этот процесс похож на параллельную транспортировку вектора по пути, и разница определяет, как линии, которые кажутся «прямыми», являются «прямыми» только локально. Каждый раз, когда петля будет завершена, теннисная ракетка будет отклоняться дальше от своего исходного положения на величину, зависящую от расстояния и кривизны поверхности. Можно определить пути вдоль изогнутой поверхности, где работает параллельный транспорт, как на ровном пространстве. Это геодезические пространства, например любой отрезок большого круга сферы.

Представление о искривленном пространстве в математике отличается от разговорного использования. Например, если описанный выше процесс был завершен на цилиндре, можно было бы обнаружить, что он не искривлен в целом, поскольку кривизна вокруг цилиндра компенсируется плоскостностью вдоль цилиндра, это является следствием гауссовой кривизны и теоремы Гаусса – Бонне. Знакомый пример этого - гибкий кусок пиццы, который останется жестким по всей длине, если он будет изогнут по своей ширине.

Тензор кривизны Римана - это способ получить меру внутренней кривизны. Когда вы записываете его в терминах его компонентов (например, записываете компоненты вектора), он состоит из многомерного массива сумм и произведений частных производных (некоторые из этих частных производных можно рассматривать как сродни захвату кривизна, накладываемая на человека, идущего по прямой линии по изогнутой поверхности).

Формально

Когда вектор в евклидовом пространстве параллельно переносится по петле, он снова будет указывать в исходном направлении после возвращения в исходное положение. Однако в общем случае это свойство не выполняется. Тензор кривизны Римана непосредственно измеряет несостоятельность этого в общем римановом многообразии. Этот сбой известен как неголономия многообразия.

Пусть х т кривая в риманова многообразия М. Обозначим через τ x t  : T x 0 M → T x t M параллельную транспортную карту вдоль x t. Параллельные карты переноса связаны с ковариантной производной соотношением

Икс ˙ 0 Y знак равно Lim час 0 1 час ( Y Икс 0 - τ Икс час - 1 ( Y Икс час ) ) знак равно d d т ( τ Икс т Y ) | т знак равно 0 {\ displaystyle \ nabla _ {{\ dot {x}} _ {0}} Y = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {1} {h}} \ left (Y_ {x_ {0}} - \ tau _ {x_ {h}} ^ {- 1} \ left (Y_ {x_ {h}} \ right) \ right) = \ left. {\ frac {d} {dt}} \ left (\ tau _ {x_ {t}} Y \ right) \ right | _ {t = 0}}

для каждого векторного поля Y, определенного вдоль кривой.

Предположим, что X и Y - пара коммутирующих векторных полей. Каждое из этих полей порождает однопараметрическую группу диффеоморфизмов в окрестности точки x 0. Обозначим через τ tX и τ tY соответственно параллельные перевозки по потокам X и Y за время t. Параллельный перенос вектора Z ∈ T x 0 M вокруг четырехугольника со сторонами tY, sX, - tY, - sX задается формулой

τ s Икс - 1 τ т Y - 1 τ s Икс τ т Y Z . {\ displaystyle \ tau _ {sX} ^ {- 1} \ tau _ {tY} ^ {- 1} \ tau _ {sX} \ tau _ {tY} Z.}

Эти меры, отказ параллельного переноса для возврата Z в исходное положение в касательном пространстве Т х 0 М. Уменьшение цикла путем отправки s, t → 0 дает бесконечно малое описание этого отклонения:

d d s d d т τ s Икс - 1 τ т Y - 1 τ s Икс τ т Y Z | s знак равно т знак равно 0 знак равно ( Икс Y - Y Икс - [ Икс , Y ] ) Z знак равно р ( Икс , Y ) Z {\ displaystyle \ left. {\ frac {d} {ds}} {\ frac {d} {dt}} \ tau _ {sX} ^ {- 1} \ tau _ {tY} ^ {- 1} \ tau _ {sX} \ tau _ {tY} Z \ right | _ {s = t = 0} = \ left (\ nabla _ {X} \ nabla _ {Y} - \ nabla _ {Y} \ nabla _ {X } - \ nabla _ {[X, Y]} \ right) Z = R (X, Y) Z}

где R - тензор кривизны Римана.

Координатное выражение

При переходе к обозначениям тензорного индекса тензор кривизны Римана имеет вид

р ρ σ μ ν знак равно d Икс ρ ( р ( μ , ν ) σ ) {\ Displaystyle R ^ {\ rho} {} _ {\ sigma \ mu \ nu} = dx ^ {\ rho} \ left (R \ left (\ partial _ {\ mu}, \ partial _ {\ nu} \ справа) \ partial _ {\ sigma} \ right)}

где - координатные векторные поля. Вышеупомянутое выражение можно записать с помощью символов Кристоффеля : μ знак равно / Икс μ {\ Displaystyle \ partial _ {\ mu} = \ partial / \ partial x ^ {\ mu}}

р ρ σ μ ν знак равно μ Γ ρ ν σ - ν Γ ρ μ σ + Γ ρ μ λ Γ λ ν σ - Γ ρ ν λ Γ λ μ σ {\ Displaystyle R ^ {\ rho} {} _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} \ Gamma ^ {\ rho} {} _ {\ nu \ sigma} - \ partial _ {\ nu} \ Gamma ^ {\ rho} {} _ {\ mu \ sigma} + \ Gamma ^ {\ rho} {} _ {\ mu \ lambda} \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ nu \ sigma } - \ Gamma ^ {\ rho} {} _ {\ nu \ lambda} \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ mu \ sigma}}

(см. также список формул в римановой геометрии ).

Тензор кривизны Римана также является коммутатором ковариантной производной произвольного ковектора с самим собой: А ν {\ displaystyle A _ {\ nu}}

А ν ; ρ σ - А ν ; σ ρ знак равно А β р β ν ρ σ , {\ Displaystyle A _ {\ nu; \ rho \ sigma} -A _ {\ nu; \ sigma \ rho} = A _ {\ beta} R ^ {\ beta} {} _ {\ nu \ rho \ sigma},}

поскольку связность без кручения, значит, тензор кручения обращается в нуль. Γ α β μ {\ displaystyle \ Gamma ^ {\ alpha} {} _ {\ beta \ mu}} Γ λ μ ν - Γ λ ν μ {\ displaystyle \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ mu \ nu} - \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ nu \ mu}}

Эту формулу часто называют тождеством Риччи. Это классический метод, используемый Риччи и Леви-Чивита для получения выражения для тензора кривизны Римана. Таким образом, доказывается тензорный характер множества величин. р β ν ρ σ {\ Displaystyle R ^ {\ beta} {} _ {\ nu \ rho \ sigma}}

Это тождество можно обобщить, чтобы получить коммутаторы для двух ковариантных производных произвольных тензоров следующим образом

δ γ Т α 1 α р β 1 β s - γ δ Т α 1 α р β 1 β s знак равно р α 1 ρ δ γ Т ρ α 2 α р β 1 β s + + р α р ρ δ γ Т α 1 α р - 1 ρ β 1 β s - р σ β 1 δ γ Т α 1 α р σ β 2 β s - - р σ β s δ γ Т α 1 α р β 1 β s - 1 σ {\ displaystyle {\ begin {align} amp; \ nabla _ {\ delta} \ nabla _ {\ gamma} T ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ { 1} \ cdots \ beta _ {s}} - \ nabla _ {\ gamma} \ nabla _ {\ delta} T ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} \\ [3pt] = {} amp; R ^ {\ alpha _ {1}} {} _ {\ rho \ delta \ gamma} T ^ {\ rho \ alpha _ {2} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} + \ ldots + R ^ {\ alpha _ {r}} {} _ {\ rho \ delta \ gamma} T ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r-1} \ rho} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} - R ^ {\ sigma} {} _ {\ beta _ {1} \ delta \ gamma} T ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ sigma \ beta _ {2} \ cdots \ beta _ {s}} - \ ldots -R ^ {\ sigma} {} _ {\ beta _ {s} \ delta \ gamma} T ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r} } {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s-1} \ sigma} \ end {align}}}

Эта формула также применяется к тензорным плотностям без изменений, потому что для связи Леви-Чивита ( не общей) получается:

μ ( грамм ) ( грамм ) ; μ знак равно 0 , {\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} \ left ({\ sqrt {g}} \ right) \ Equiv \ left ({\ sqrt {g}} \ right) _ {; \ mu} = 0,}

куда

грамм знак равно | Det ( грамм μ ν ) | . {\ displaystyle g = \ left | \ det \ left (g _ {\ mu \ nu} \ right) \ right |.}

Иногда удобно также определить чисто ковариантную версию с помощью

р ρ σ μ ν знак равно грамм ρ ζ р ζ σ μ ν . {\ Displaystyle R _ {\ rho \ sigma \ mu \ nu} = g _ {\ rho \ zeta} R ^ {\ zeta} {} _ {\ sigma \ mu \ nu}.}

Симметрии и идентичности

Тензор кривизны Римана обладает следующими симметриями и тождествами:

Косая симметрия р ( ты , v ) знак равно - р ( v , ты ) {\ Displaystyle R (u, v) = - R (v, u)} р а б c d знак равно - р а б d c р а б ( c d ) знак равно 0 {\ displaystyle R_ {abcd} = - R_ {abdc} \ Leftrightarrow R_ {ab (cd)} = 0}
Косая симметрия р ( ты , v ) ш , z знак равно - р ( ты , v ) z , ш {\ Displaystyle \ langle R (u, v) w, z \ rangle = - \ langle R (u, v) z, w \ rangle} р а б c d знак равно - р б а c d р ( а б ) c d знак равно 0 {\ displaystyle R_ {abcd} = - R_ {bacd} \ Leftrightarrow R _ {(ab) cd} = 0}
Первое (алгебраическое) тождество Бианки р ( ты , v ) ш + р ( v , ш ) ты + р ( ш , ты ) v знак равно 0 {\ Displaystyle R (u, v) вес + R (v, w) u + R (w, u) v = 0} р а б c d + р а c d б + р а d б c знак равно р а [ б c d ] знак равно 0 {\ displaystyle R_ {abcd} + R_ {acdb} + R_ {adbc} = R_ {a [bcd]} = 0}
Симметрия обмена р ( ты , v ) ш , z знак равно р ( ш , z ) ты , v {\ Displaystyle \ langle R (u, v) w, z \ rangle = \ langle R (w, z) u, v \ rangle} р а б c d знак равно р c d а б {\ Displaystyle R_ {abcd} = R_ {cdab}}
Вторая (дифференциальная) идентичность Бьянки ( ты р ) ( v , ш ) + ( v р ) ( ш , ты ) + ( ш р ) ( ты , v ) знак равно 0 {\ displaystyle \ left (\ nabla _ {u} R \ right) (v, w) + \ left (\ nabla _ {v} R \ right) (w, u) + \ left (\ nabla _ {w} R \ right) (u, v) = 0} р а б c d ; е + р а б d е ; c + р а б е c ; d знак равно р а б [ c d ; е ] знак равно 0 {\ Displaystyle R_ {abcd; e} + R_ {abde; c} + R_ {abec; d} = R_ {ab [cd; e]} = 0}

где скобка относится к скалярному произведению на касательном пространстве, индуцированном метрическим тензором. , {\ Displaystyle \ langle, \ rangle}

Первое (алгебраическое) тождество Бьянки было открыто Риччи, но его часто называют первым тождеством Бьянки или алгебраическим тождеством Бьянки, потому что оно похоже на тождество Бианки, приведенное ниже. (Кроме того, если есть ненулевое кручение, первое тождество Бианки становится дифференциальным тождеством тензора кручения. ). Часто пишут:

р а [ б c d ] знак равно 0 , {\ displaystyle R_ {a [bcd]} = 0,} где скобками обозначена антисимметричная часть на указанных индексах. Это эквивалентно предыдущей версии тождества, потому что тензор Римана уже перекос по своим последним двум индексам.

Первые три тождества образуют полный список симметрий тензора кривизны, т.е. для любого тензора, удовлетворяющего указанным выше тождествам, в некоторой точке можно найти риманово многообразие с таким тензором кривизны. Несложные вычисления показывают, что у такого тензора есть независимые компоненты. Из них следует взаимообменная симметрия. Алгебраические симметрии также эквивалентны тому, что R принадлежит образу симметризатора Юнга, соответствующему разбиению 2 + 2. п 2 ( п 2 - 1 ) / 12 {\ Displaystyle п ^ {2} \ влево (п ^ {2} -1 \ вправо) / 12}

На римановом многообразии имеется ковариантная производная, а тождество Бианки (часто называемое вторым тождеством Бианки или дифференциальным тождеством Бианки) принимает форму последнего тождества в таблице. ты р {\ displaystyle \ nabla _ {u} R}

Кривизна Риччи

Кривизна Риччи тензор является сжатием первых и третьих индексов тензора Римана.

р а б Риччи р c а c б Риман знак равно грамм c d р c а d б Риман {\ displaystyle \ underbrace {R_ {ab}} _ {\ text {Ricci}} \ Equiv \ underbrace {R ^ {c} {} _ {acb}} _ {\ text {Riemann}} = g ^ {cd} \ underbrace {R_ {cadb}} _ {\ text {Riemann}}}

Особые случаи

Поверхности

Для двумерной поверхности тождества Бианки подразумевают, что тензор Римана имеет только одну независимую компоненту, что означает, что скаляр Риччи полностью определяет тензор Римана. Существует только одно допустимое выражение для тензора Римана, которое соответствует требуемой симметрии:

р а б c d знак равно ж ( р ) ( грамм а c грамм d б - грамм а d грамм c б ) {\ displaystyle R_ {abcd} = f (R) \ left (g_ {ac} g_ {db} -g_ {ad} g_ {cb} \ right)}

и, дважды сжимая метрику, мы находим явный вид:

р а б c d знак равно K ( грамм а c грамм d б - грамм а d грамм c б ) , {\ displaystyle R_ {abcd} = K \ left (g_ {ac} g_ {db} -g_ {ad} g_ {cb} \ right),}

где - метрический тензор и функция, называемая гауссовой кривизной, а a, b, c и d принимают значения либо 1, либо 2. Тензор Римана имеет только одну функционально независимую компоненту. Кривизна Гаусса совпадает с кривизной поверхности в разрезе. Это также ровно половина скалярной кривизны 2-многообразия, в то время как тензор кривизны Риччи поверхности просто определяется выражением грамм а б {\ displaystyle g_ {ab}} K знак равно р / 2 {\ Displaystyle К = R / 2}

р а б знак равно K грамм а б . {\ displaystyle R_ {ab} = кг_ {ab}.}

Космические формы

Риманово многообразие является пространственной формой, если ее секционная кривизна равна постоянной K. Тензор Римана пространственной формы задается формулой

р а б c d знак равно K ( грамм а c грамм d б - грамм а d грамм c б ) . {\ displaystyle R_ {abcd} = K \ left (g_ {ac} g_ {db} -g_ {ad} g_ {cb} \ right).}

И наоборот, за исключением размерности 2, если кривизна риманова многообразия имеет этот вид для некоторой функции K, то из тождеств Бианки следует, что K постоянна и, таким образом, многообразие является (локально) пространственной формой.

Смотрите также

Цитаты

использованная литература

Последняя правка сделана 2023-04-13 12:14:30
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте