Оператор Лапласа

редактировать
Дифференциальный оператор

В математике используется оператор Лапласа или Лапласиан - это дифференциальный оператор, задаваемый дивергенцией градиента функции на евклидовом пробел. Обычно его обозначают символами ∇ · ∇, ∇ (где ∇ - оператор набла ) или Δ. В декартовой системе координат лапласиан задается суммой вторых частных производных функции по каждой независимой переменной. В других системах координат, таких как цилиндрические и сферические координаты, лапласиан также имеет полезную форму. Неформально, лапласиан Δf (p) функции f в точке p измеряет, насколько среднее значение f по небольшим сферам или шарам с центром в p отклоняется от f (p).

Оператор Лапласа назван в честь французского математика Пьера-Симона де Лапласа (1749–1827), который первым применил этот оператор для изучения небесной механики, где оператор дает постоянное кратное плотности массы, когда он применяется к гравитационному потенциалу из-за распределения массы с данной плотностью. Решения уравнения Δf = 0, теперь называемого уравнением Лапласа, являются так называемыми гармоническими функциями и представляют возможные гравитационные поля в областях вакуум.

Лапласиан встречается в дифференциальных уравнениях, которые описывают многие физические явления, такие как электрические и гравитационные потенциалы, уравнение диффузии для тепла и потока жидкости, распространения волн и квантовой механики. Лапласиан представляет собой плотность потока градиентного потока функции. Например, чистая скорость, с которой химическое вещество, растворенное в жидкости, движется к некоторой точке или от нее, пропорциональна лапласиану химической концентрации в этой точке; выраженное символически, результирующее уравнение является уравнением диффузии. По этим причинам он широко используется в науке для моделирования всех видов физических явлений. Лапласиан является простейшим эллиптическим оператором и лежит в основе теории Ходжа, а также результатов когомологий де Рама. В обработке изображений и компьютерном зрении оператор Лапласа использовался для различных задач, таких как blob и обнаружение краев.

Содержание

  • 1 Определение
  • 2 Мотивация
    • 2.1 Распространение
    • 2.2 Средние значения
    • 2.3 Плотность, связанная с потенциалом
    • 2.4 Минимизация энергии
  • 3 Выражения координат
    • 3.1 Два измерения
    • 3.2 Три размеры
    • 3,3 N измерения
  • 4 Евклидова инвариантность
  • 5 Спектральная теория
  • 6 Обобщения
    • 6.1 Оператор Лапласа – Бельтрами
    • 6.2 Даламбертиан
  • 7 См. также
  • 8 Примечания
  • 9 Ссылки
  • 10 Внешние ссылки

Определение

Оператор Лапласа - это дифференциальный оператор второго порядка в n-мерном евклидовом пространстве, определяемый как расхождение (∇ ·) градиента (∇f). Таким образом, если f является дважды дифференцируемой вещественнозначной функцией, то лапласиан f определяется следующим образом:

Δ f = ∇ 2 f = ∇ ⋅ ∇ f {\ displaystyle \ Delta f = \ nabla ^ {2} f = \ nabla \ cdot \ nabla f}\ Delta f = \ nabla ^ 2 f = \ nabla \ cdot \ nabla f

(1)

где последние обозначения происходят от формальной записи:

∇ = (∂ ∂ x 1, …, ∂ ∂ xn). {\ displaystyle \ nabla = \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x_ {1}}}, \ ldots, {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {n}}} \ right).}{\ displaystyle \ nabla = \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x_ {1}}}, \ ldots, {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {n}}} \ right).}

Эквивалентно, лапласиан функции f представляет собой сумму всех несмешанных вторых частных производных в декартовых координатах xi:

Δ f = ∑ i = 1 n ∂ 2 f ∂ xi 2 { \ displaystyle \ Delta f = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {i} ^ {2}}}}\ Delta f = \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {\ partial ^ 2 f} {\ partial x ^ 2_i}

(2)

Как дифференциальный оператор второго порядка, оператор Лапласа отображает функции C в функции C для k ≥ 2. Выражение (1) (или, что эквивалентно (2)) определяет оператор Δ: C (ℝ) → C (ℝ), или, в более общем смысле, оператор Δ: C (Ω) → C (Ω) для любого открытого множества Ω.

Мотивация

Диффузия

В физической теории диффузии оператор Лапласа (через уравнение Лапласа ) естественным образом возникает при математическом описании равновесия. В частности, если u - это равновесная плотность некоторой величины, такой как химическая концентрация, то чистый поток u через границу любой гладкой области V равен нулю, при условии, что в V нет источника или стока. :

∫ ∂ V ∇ U ⋅ nd S = 0, {\ displaystyle \ int _ {\ partial V} \ nabla u \ cdot \ mathbf {n} \, dS = 0,}\ int _ {\ partial V} \ nabla u \ cdot \ mathbf {n} \, dS = 0,

где n - внешняя единичная нормаль к границе V. По теореме о расходимости ,

∫ V div ⁡ ∇ ud V = ∫ ∂ V ∇ u ⋅ nd S = 0. {\ displaystyle \ int _ {V} \ operatorname {div} \ nabla u \, dV = \ int _ {\ partial V} \ nabla u \ cdot \ mathbf {n} \, dS = 0.}\ int_V \ operatorname {div} \ nabla u \, dV = \ int _ {\ partial V} \ nabla u \ cdot \ mathbf {n} \, dS = 0.

Поскольку это верно для всех гладких областей V, можно показать, что это означает:

div ⁡ ∇ u = Δ u = 0. {\ displaystyle \ operatorname {div} \ nabla u = \ Delta u = 0.}\ operatorname {div} \ nabla u = \ Delta u = 0.

Левая часть этого уравнения - оператор Лапласа. Сам оператор Лапласа имеет физическую интерпретацию неравновесной диффузии как степень, в которой точка представляет источник или сток химической концентрации, в смысле, уточненном уравнением диффузии.

средними значениями

Для дважды непрерывно дифференцируемой функции f: R n → R {\ displaystyle f: {\ mathbb {R}} ^ {n} \ to {\ mathbb {R}}}{\ displaystyle f: {\ mathbb {R}} ^ {n} \ to {\ mathbb {R}}} , a точка p ∈ R n {\ displaystyle p \ in {\ mathbb {R}} ^ {n}}{\ displaystyle p \ in { \ mathbb {R}} ^ {n}} и вещественное число h>0 {\ displaystyle h>0}h>0 , мы let f ¯ B (p, h) {\ displaystyle {\ overline {f}} _ {B} (p, h)}{\ displaystyle {\ overline {f}} _ { B} (p, h)} быть средним значением f {\ displaystyle f }f над шаром с радиусом h {\ displaystyle h}h с центром в p {\ displaystyle p}p и f ¯ S (p, h) {\ displaystyle {\ overline {f}} _ {S} (p, h)}{\ displaystyle {\ overline {f}} _ {S} (p, h)} быть средним v значение f {\ displaystyle f}f над сферой с радиусом h {\ displaystyle h}h с центром в p {\ displaystyle p}p . Тогда мы имеем:

f B (p, h) = f (p) + Δ f (p) 2 (n + 2) h 2 + o (h 2) для h → 0 {\ displaystyle {f} _ {B} (p, h) = f (p) + {\ frac {\ Delta f (p)} {2 (n + 2)}} h ^ {2} + o (h ^ {2}) \; \; \; \; {\ t_dv {for}} \; \; h \ to 0}{\ displaystyle {f} _ {B} (p, h) = f (p) + {\ frac {\ De lta f (p)} {2 (n + 2)}} h ^ {2} + o (h ^ {2}) \; \; \; \; {\ t_dv {for}} \; \; h \ на 0}

и

f S (p, h) = f (p) + Δ f (p) 2 nh 2 + o (час 2) для h → 0. {\ displaystyle {f} _ {S} (p, h) = f (p) + {\ frac {\ Delta f (p)} {2n}} h ^ { 2} + o (h ^ {2}) \; \; \; \; {\ t_dv {for}} \; \; h \ to 0.}{\ displaystyle {f} _ {S} (p, h) = f (p) + {\ frac {\ Delta f (p)} {2n}} h ^ {2} + o (час ^ {2}) \; \; \; \; {\ t_dv {for}} \; \; h \ to 0.}

Плотность, связанная с потенциалом

Если φ обозначает электростатический потенциал, связанный с распределением заряда q, то само распределение заряда задается отрицательным значением лапласиана φ:

q = - ε 0 Δ φ, {\ displaystyle q = - \ varepsilon _ {0} \ Delta \ varphi,}{\ displaystyle q = - \ varepsilon _ {0} \ Delta \ varphi,}

, где ε 0 - электрическая постоянная.

Это следствие Закон Гаусса. В самом деле, если V - любая гладкая область, то по закону Гаусса поток электростатического поля E пропорционален вложенному заряду:

∫ ∂ VE ⋅ nd S = ∫ V div ⁡ E d V = 1 ε 0 ∫ V qd V. {\ displaystyle \ int _ {\ partial V} \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {n} \, dS = \ int _ {V} \ operatorname {div} \ mathbf {E} \, dV = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ int _ {V} q \, dV.}{\ displaystyle \ int _ {\ partial V} \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {n} \, dS = \ int _ {V} \ operatorname { div} \ mathbf {E} \, dV = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ int _ {V} q \, dV.}

где первое равенство обусловлено теоремой о расходимости. Поскольку электростатическое поле представляет собой (отрицательный) градиент потенциала, теперь это дает:

- ∫ V div ⁡ (grad ⁡ φ) d V = 1 ε 0 ∫ V q d V. {\ displaystyle - \ int _ {V} \ operatorname {div} (\ operatorname {grad} \ varphi) \, dV = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ int _ {V} q \, dV.}{\ displaystyle - \ int _ {V} \ operatorname {div} (\ operatorname {grad} \ varphi) \, dV = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ int _ {V} q \, dV.}

Итак, поскольку это верно для всех регионов V, мы должны иметь

div ⁡ (grad ⁡ φ) = - 1 ε 0 q {\ displaystyle \ operatorname {div} (\ operatorname {grad } \ varphi) = - {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} q}{\ displaystyle \ operatorname {div} (\ operatorname {grad} \ varphi) = - {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} q}

Тот же подход подразумевает, что отрицательное значение лапласиана гравитационного потенциала равно массовое распространение. Часто указывается распределение заряда (или массы), а связанный с ним потенциал неизвестен. Нахождение потенциальной функции при подходящих граничных условиях эквивалентно решению уравнения Пуассона.

Минимизация энергии

Еще одна причина появления лапласиана в физике заключается в том, что решения для Δf = 0 в области U являются функциями которые делают энергию Дирихле функциональной стационарной :

E (f) = 1 2 ∫ U ‖ ∇ f ‖ 2 dx. {\ displaystyle E (f) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {U} \ Vert \ nabla f \ Vert ^ {2} \, dx.}E (f) = \ frac {1} {2} \ int_U \ Vert \ nabla f \ Vert ^ 2 \, dx.

Чтобы увидеть это, предположим, что f: U → ℝ - функция, а u: U → ℝ - функция, обращающаяся в нуль на границе U. Тогда:

dd ε | ε знак равно 0 Е (е + ε U) знак равно ∫ U ∇ е ⋅ ∇ udx = - ∫ U U Δ fdx {\ displaystyle \ left. {\ frac {d} {d \ varepsilon}} \ right | _ {\ varepsilon = 0} E (f + \ varepsilon u) = \ int _ {U} \ nabla f \ cdot \ nabla u \, dx = - \ int _ {U} u \, \ Delta f \, dx}{\ displaystyle \ left. {\ frac {d} {d \ varepsilon}} \ right | _ {\ varepsilon = 0} E (f + \ varepsilon u) = \ int _ {U} \ nabla f \ cdot \ nabla u \, dx = - \ int _ {U} u \, \ Delta f \, dx}

где последнее равенство следует с использованием первого тождества Грина. Этот расчет показывает, что если Δf = 0, то E стационарно около f. И наоборот, если E стационарно вокруг f, то Δf = 0 по фундаментальной лемме вариационного исчисления.

Выражения с координатами

Двухмерный

Оператор Лапласа в двух измерениях равен задается:

In декартовы координаты,

Δ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 {\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y ^ {2}}}}{\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} f} { \ partial y ^ {2}}}}

где x и y - стандартные Декартовы координаты плоскости xy.

В полярных координатах,

Δ f = 1 r ∂ ∂ r (r ∂ f ∂ r) + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 = ∂ 2 f ∂ r 2 + 1 р ∂ е ∂ р + 1 р 2 ∂ 2 е ∂ θ 2, {\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta f = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ частичное r}} \ left (r {\ frac {\ partial f} {\ partial r}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial \ theta ^ {2}}} \\ = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial f} {\ partial r}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial \ theta ^ {2} }}, \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta f = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r { \ frac {\ partial f} {\ partial r}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial \ theta ^ { 2}}} \\ = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial f} { \ partial r}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial \ theta ^ {2}}}, \ end {выровнено}} }

где r представляет радиальное расстояние, а θ угол.

Три измерения

В трех измерениях обычно работают с лапласианом в различных системах координат.

В декартовых координатах,

Δ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2. {\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y ^ {2} }} + {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial z ^ {2}}}.}{\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}} } + {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial z ^ {2}}}.}

В цилиндрических координатах,

Δ f = 1 ρ ∂ ∂ ρ (ρ ∂ е ∂ ρ) + 1 ρ 2 ∂ 2 е ∂ φ 2 + ∂ 2 f ∂ Z 2, {\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ left (\ rho {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} \ right) + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac { \ partial ^ {2} f} {\ partial \ varphi ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial z ^ {2}}},}{\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {1 } {\ rho}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ left (\ rho {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} \ right) + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial \ varphi ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial z ^ {2}} },}

где ρ {\ displaystyle \ rho}\ rho представляет радиальное расстояние, φ - азимутальный угол, а z - высоту.

В сферических координатах :

Δ f = 1 r 2 ∂ ∂ r (r 2 ∂ f ∂ r) + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ (sin ⁡ θ ∂ f ∂ θ) + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 f ∂ φ 2 = 1 r ∂ 2 ∂ r 2 (rf) + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ (sin ⁡ θ ∂ f ∂ θ) + 1 р 2 грех 2 ⁡ θ ∂ 2 е ∂ φ 2 {\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta f = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r }} \ left (r ^ {2} {\ frac {\ partial f} {\ partial r}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac { \ partial} {\ partial \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ partial f} {\ partial \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial \ varphi ^ {2}}} \\ = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial r ^ {2}}} (rf) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta }} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ partial f} {\ partial \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial \ varphi ^ {2}}} \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta f = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {2} {\ frac {\ partial f} {\ partial r}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ partial f} {\ partial \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} } {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial \ varphi ^ {2}}} \\ = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial ^ {2}} { \ partial r ^ {2}}} (rf) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ left (\ sin \ th eta {\ frac {\ partial f} {\ partial \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ partial ^ { 2} f} {\ partial \ varphi ^ {2}}} \ end {align}}}

где φ представляет собой азимутальный угол, а θ зенитный угол или co-широта.

В целом криволинейные координаты (ξ, ξ, ξ):

Δ = ∇ ξ m ⋅ ∇ ξ n ∂ 2 ∂ ξ m ∂ ξ n + ∇ 2 ξ м ∂ ∂ ξ м знак равно gmn (∂ 2 ∂ ξ м ∂ ξ n - Γ mnl ∂ ∂ ξ l), {\ displaystyle \ Delta = \ nabla \ xi ^ {m} \ cdot \ nabla \ xi ^ {n} { \ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ xi ^ {m} \ partial \ xi ^ {n}}} + \ nabla ^ {2} \ xi ^ {m} {\ frac {\ partial} { \ partial \ xi ^ {m}}} = g ^ {mn} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ xi ^ {m} \ partial \ xi ^ {n}}} - \ Gamma _ {mn} ^ {l} {\ frac {\ partial} {\ partial \ xi ^ {l}}} \ right),}{\ displaystyle \ Delta = \ nabla \ xi ^ {m} \ cdot \ nabla \ xi ^ {n} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ xi ^ {m} \ partial \ xi ^ {n}}} + \ nabla ^ {2} \ xi ^ {m} {\ frac {\ partial} {\ partial \ xi ^ {m}}} = g ^ {mn} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ xi ^ {m} \ partial \ xi ^ {n}}} - \ Gamma _ {mn} ^ {l} {\ frac {\ partial } {\ partial \ xi ^ {l}}} \ right),}

где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам, g - это обратный метрический тензор , а Γ mn - символы Кристоффеля для выбранных координат.

N измерений

В произвольных криволинейных координатах в N измерениях (ξ,…, ξ) мы можем записать лапласиан в терминах обратного метрического тензора , gij {\ displaystyle g ^ {ij}}{ \ displaystyle g ^ {ij}} :

Δ = 1 det g ∂ ∂ ξ i (det ggij ∂ ∂ ξ j) {\ displaystyle \ Delta = {\ frac {1} { \ sqrt {\ det g}}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ xi ^ {i}}} \ left ({\ sqrt {\ det g}} g ^ {ij} {\ frac {\ partial } {\ partial \ xi ^ {j}}} \ right)}{\ displaystyle \ Delta = {\ frac {1} {\ sqrt {\ det g}}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ xi ^ { i}}} \ left ({\ sqrt {\ det g}} g ^ {ij} {\ frac {\ partial} {\ partial \ xi ^ {j}}} \ right)} ,

из формулы Voss - Weyl для расхождения.

In сферические координаты в N измерениях, с параметризацией x = rθ ∈ ℝ, где r представляет положительный действительный радиус, а θ - элемент единичной сферы S,

Δ f = ∂ 2 f ∂ r 2 + N - 1 р ∂ е ∂ р + 1 р 2 Δ SN - 1 f {\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial r ^ {2}}} + {\ frac {N -1} {r}} {\ frac {\ partial f} {\ partial r}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} \ Delta _ {S ^ {N-1}} f}{\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial r ^ {2}}} + {\ frac {N- 1} {r}} {\ frac {\ partial f} {\ partial r}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} \ Delta _ {S ^ {N-1}} f}

где Δ S - оператор Лапласа – Бельтрами на (N - 1) -сфере, известной как сферическая La Placian. Два члена с радиальной производной могут быть эквивалентно переписаны как:

1 r N - 1 ∂ ∂ r (r N - 1 ∂ f ∂ r). {\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {N-1}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {N-1} {\ frac {\ partial f} {\ partial r}} \ right).}{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {N-1}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {N-1} {\ frac {\ partial f} {\ partial r}} \ right).}

Как следствие, сферический лапласиан функции, определенной на S ⊂ ℝ, может быть вычислен как обычный лапласиан функции, продолженной на ℝ ∖ {0}, так что он постоянная вдоль лучей, т. е. однородная нулевой степени.

Евклидова инвариантность

Лапласиан инвариантен относительно всех евклидовых преобразований : поворотов и переводов. Например, в двух измерениях это означает, что:

Δ (f (x cos ⁡ θ - y sin ⁡ θ + a, x sin ⁡ θ + y cos ⁡ θ + b)) = (Δ f) (x соз ⁡ θ - Y грех ⁡ θ + a, x sin ⁡ θ + y cos ⁡ θ + b) {\ displaystyle \ Delta (f (x \ cos \ theta -y \ sin \ theta + a, x \ sin \ theta + y \ cos \ theta + b)) = (\ Delta f) (x \ cos \ theta -y \ sin \ theta + a, x \ sin \ theta + y \ cos \ theta + b)}{\ displaystyle \ Delta (f (x \ cos \ theta -y \ sin \ theta + a, x \ sin \ theta + y \ cos \ theta + b)) = (\ Delta f) (x \ cos \ theta -y \ sin \ theta + a, x \ sin \ theta + y \ cos \ theta + b) }

для все θ, a и b. В произвольных размерах

Δ (е ∘ ρ) = (Δ f) ∘ ρ {\ displaystyle \ Delta (f \ circ \ rho) = (\ Delta f) \ circ \ rho}{\ displaystyle \ Delta (f \ circ \ rho) = (\ Delta f) \ circ \ rho}

всякий раз, когда ρ является a вращение, и аналогично:

Δ (е ∘ τ) = (Δ f) ∘ τ {\ displaystyle \ Delta (f \ circ \ tau) = (\ Delta f) \ circ \ tau}{\ displaystyle \ Delta (f \ circ \ tau) = (\ Delta f) \ circ \ tau}

всякий раз, когда τ перевод. (В более общем смысле это остается верным, когда ρ является ортогональным преобразованием, таким как отражение.)

Фактически, алгебра всех скалярных линейных дифференциальных операторов с постоянные коэффициенты, которые коммутируют со всеми евклидовыми преобразованиями, - это алгебра полиномов, порожденная оператором Лапласа.

Спектральная теория

Спектр оператора Лапласа состоит из всех собственных значений λ, для которых существует соответствующая собственная функция f с:

- Δ f = λ f. {\ displaystyle - \ Delta f = \ lambda f.}- \ Delta f = \ lambda f.

Это известно как уравнение Гельмгольца.

Если Ω - ограниченная область в, то собственные функции лапласиана являются ортонормированными базис для гильбертова пространства L (Ω). Этот результат по существу следует из спектральной теоремы о компактных самосопряженных операторах, примененных к обратному лапласиану (который является компактным по Неравенство Пуанкаре и теорема Реллиха – Кондрахова ). Также можно показать, что собственные функции являются бесконечно дифференцируемыми функциями. В более общем смысле, эти результаты верны для оператора Лапласа – Бельтрами на любом компактном римановом многообразии с краем или даже для проблемы собственных значений Дирихле любого эллиптического оператора с гладкими коэффициентами в ограниченной области. Когда Ω является n-сферой, собственными функциями лапласиана являются сферические гармоники.

Обобщения

Версия лапласиана может быть определена везде, где Дирихле Функционал энергии имеет смысл, что является теорией форм Дирихле. Для пространств с дополнительной структурой можно дать более явное описание лапласиана следующим образом.

Оператор Лапласа – Бельтрами

Лапласиан также может быть обобщен до эллиптического оператора, называемого оператором Лапласа – Бельтрами, определенным на Риманово многообразие. Оператор Даламбера обобщается до гиперболического оператора на псевдоримановых многообразиях. Оператор Лапласа – Бельтрами, примененный к функции, представляет собой след (tr) гессиана :

функции Δ f = tr ⁡ (H (f)) {\ displaystyle \ Delta f = \ operatorname {tr} {\ big (} H (f) {\ big)}}{\ displaystyle \ Delta f = \ OperatorName {tr} {\ big (} H (f) {\ big)}}

где след берется относительно инверсии метрического тензора . Оператор Лапласа – Бельтрами также может быть обобщен на оператор (также называемый оператором Лапласа – Бельтрами), который работает с тензорными полями, по аналогичной формуле.

Другое обобщение оператора Лапласа, доступное для псевдоримановых многообразий, использует внешнюю производную, в терминах которой «лапласиан геометра» выражается как

Δ f = δ df. {\ displaystyle \ Delta f = \ delta df.}{\ displaystyle \ Дельта f = \ delta df.}

Здесь δ - кодифференциал , который также можно выразить через звезду Ходжа и внешнюю производную. Этот оператор по знаку отличается от «лапласиана аналитика», определенного выше. В более общем смысле лапласиан «Ходжа» определяется на дифференциальных формах α как

Δ α = δ d α + d δ α. {\ displaystyle \ Delta \ alpha = \ delta d \ alpha + d \ delta \ alpha.}{\ displaystyle \ Delta \ alpha = \ delta d \ alpha + d \ delta \ alpha.}

Это известно как оператор Лапласа – де Рама, который связан к оператору Лапласа – Бельтрами с помощью тождества Вейтценбека.

Д'Аламбертиана

Лапласиан может быть определенным образом обобщен на неевклидовы пространства, где он может быть эллиптический, гиперболический или ультрагиперболический.

В пространстве Минковского оператор Лапласа – Бельтрами становится D 'Оператор Аламбера ⧠ или Д'Аламберта:

◻ = 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 - ∂ 2 ∂ x 2 - ∂ 2 ∂ y 2 - ∂ 2 ∂ z 2. {\ displaystyle \ square = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - {\ frac {\ partial ^ { 2}} {\ partial x ^ {2}}} - {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} - {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}}.}{\ displaystyle \ square = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} - {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} - {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}}.}

Это обобщение оператора Лапласа в том смысле, что это дифференциальный оператор, инвариантный относительно группы изометрий основного пространства, и сводится к оператор Лапласа ограничен функциями, не зависящими от времени. Общий знак метрики здесь выбран таким, чтобы пространственные части оператора допускали отрицательный знак, что является обычным соглашением в физике частиц высоких энергий . Оператор Даламбера также известен как волновой оператор, потому что это дифференциальный оператор, фигурирующий в волновых уравнениях, а также он является частью уравнения Клейна – Гордона, которое сокращает к волновому уравнению в безмассовом случае.

Дополнительный коэффициент c в метрике необходим в физике, если пространство и время измеряются в разных единицах; аналогичный коэффициент потребуется, если, например, направление x измеряется в метрах, а направление y - в сантиметрах. Действительно, физики-теоретики обычно работают с такими единицами, что c = 1, чтобы упростить уравнение.

См. Также

Примечания

Ссылки

  • Evans, L. ( 1998), уравнения с частными производными, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0772-9
  • Feynman, R.; Leighton, R; Сэндс, М. (1970), «Глава 12: Электростатические аналоги», Лекции Фейнмана по физике, 2, Аддисон-Уэсли-Лонгман
  • Гилбарг, Д.; Трудингер, Н. (2001), Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, Springer, ISBN 978-3-540-41160-4.
  • Schey, HM ( 1996), Div, Grad, Curl, and All That, WW Norton, ISBN 978-0-393-96997-9.

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-26 13:25:33
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте