Конформная карта

Прямоугольная сетка (вверху) и ее изображение под конформной картой $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$(внизу). Видно, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$отображает пары линий, пересекающихся под углом 90 °, в пары кривых, все еще пересекающихся под углом 90 °.

В математике конформная карта - это функция , которая локально сохраняет углы, но не обязательно длины.

Более формально, пусть $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$и $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$будут открытыми подмножествами $R\; n\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$. Функция $f:\; U\; \to \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; U\; \backslash \; to\; V\}$называется конформной (или сохраняющей угол ) в точке $u\; 0\; \in \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{0\}\; \backslash \; in\; U\}$, если он сохраняет углы между направленными кривыми с по $u\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{0\}\; \}$, а также с сохранением ориентации. Конформные карты сохраняют как углы, так и формы бесконечно малых фигур, но не обязательно их размер или кривизну.

Конформное свойство может быть описано в терминах производной матрицы Якобиана преобразование координат. Преобразование конформно, если якобиан в каждой точке является положительным скаляром, умноженным на матрицу вращения (ортогональную с определителем). Некоторые авторы определяют конформность, включающую в себя отображения, меняющие ориентацию, якобианы которых могут быть записаны как любое скалярное умножение на любую ортогональную матрицу.

Для двухмерных отображений (сохраняющие ориентацию) конформные отображения в точности являются локально обратимыми>комплексные аналитические функции. В трех и более измерениях теорема Лиувилля резко ограничивает конформные отображения несколькими типами.

Понятие конформности естественным образом обобщается на отображения между римановыми или полуримановыми многообразиями.

• 1 Конформные отображения в двух измерениях
  • 1.1 Глобальные конформные карты на сфере Римана
• 2 Конформные карты в трех или более измерениях
  • 2.1 Риманова геометрия
  • 2.2 Евклидово пространство
• 3 Приложения
  • 3.1 Картография
  • 3.2 Физика и инженерия
  • 3.3 Уравнения Максвелла
  • 3.4 Общая теория относительности
• 4 Псевдориманова геометрия
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Дополнительная литература
• 8 Внешние ссылки

Если $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$является открытым подмножеством комплексной плоскости $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$, тогда функция $f:\; U\; \to \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; U\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$конформна тогда и только тогда, когда он голоморфен, а его производная везде отлична от нуля на $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$. Если $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$антиголоморфен (сопряжен с голоморфной функцией), он сохраняет углы, но меняет их ориентацию.

В литературе есть другое определение конформности: отображение $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, которое взаимно однозначно и голоморфно на открытом множестве на плоскости.. Теорема об открытом отображении заставляет обратную функцию (определенную на изображении $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$) быть голоморфной. Таким образом, согласно этому определению, отображение конформно тогда и только тогда, когда оно биголоморфно. Два определения конформных отображений не эквивалентны. Взаимно однозначность и голоморфность подразумевают наличие ненулевой производной. Однако экспоненциальная функция является голоморфной функцией с ненулевой производной, но не взаимно однозначной, поскольку является периодической.

Теорема об отображении Римана, один из важных результатов комплексный анализ, утверждает, что любое непустое открытое односвязное собственное подмножество $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$допускает биективное конформное отображение открытого единичного диска в $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$.

Глобальные конформные отображения на сфере Римана

Карта сферы Римана на сам является конформным тогда и только тогда, когда это преобразование Мёбиуса.

Комплексно сопряженное преобразование Мёбиуса сохраняет углы, но меняет ориентацию. Например, инверсия окружности.

Риманова геометрия

В римановой геометрии две римановы метрики $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$и $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$на гладком коллекторе $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$называются конформным эквивалентом, если $g\; =\; uh\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; uh\}$для некоторой положительной функции $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$на $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$. Функция $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$называется конформным фактором .

A диффеоморфизмом между двумя римановыми многообразиями и называется конформным отображением, если вытянутый обратная метрика конформно эквивалентна исходной. Например, стереографическая проекция сферы на плоскость , дополненная точкой на бесконечности, является конформной картой.

Можно также определить конформную структуру на гладком многообразии как класс конформно эквивалентных римановых метрик.

евклидова пространства

A классическая теорема из Джозеф Лиувилль показывает, что в высших измерениях гораздо меньше конформных карт, чем в двух измерениях. Любая конформная карта на части евклидова пространства размерности три или больше может быть составлена ​​из трех типов преобразований: гомотетия, изометрия и специальное конформное преобразование.

Картография

В картографии несколько названных картографических проекций, включая проекцию Меркатора и стереографическая проекция являются конформными. Они обладают тем свойством, что искажение форм можно сделать настолько маленьким, насколько желательно, сделав диаметр отображаемой области достаточно малым.

Физика и инженерия

Конформные отображения неоценимы для решения инженерных и физических задач, которые могут быть выражены в терминах функций сложной переменной, но имеют неудобную геометрию. Выбрав подходящее отображение, аналитик может превратить неудобную геометрию в гораздо более удобную. Например, можно рассчитать электрическое поле, $E\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (z)\}$, возникающее от точечного заряда, расположенного около угла двух проводящих плоскостей, разделенных определенный угол (где $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$- комплексная координата точки в двухмерном пространстве). Эта проблема сама по себе является довольно неуклюжим, чтобы решить в замкнутой форме. Однако, используя очень простое конформное отображение, неудобный угол преобразуется в один из точно $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$радиан, что означает, что угол двух плоскостей преобразуется в прямую линию.. В этой новой области довольно легко решить задачу (задача расчета электрического поля, создаваемого точечным зарядом, расположенным возле проводящей стенки). Решение получается в этой области, $E\; (w)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (w)\}$, а затем отображается обратно в исходную область, отмечая, что $w\; \{\backslash \; displaystyle\; w\}$был получен как функция (а именно, композиция из $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$и $w\; \{\backslash \; displaystyle\; w\}$) из $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$, откуда $E\; (w)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (w)\}$можно рассматривать как $E\; (w\; (z))\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (w\; (z))\}$, который является функцией от $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$, исходного координатная база. Обратите внимание, что это приложение не противоречит тому факту, что конформные отображения сохраняют углы, они делают это только для точек внутри своей области, а не на границе. Другой пример - применение техники конформного отображения для решения задачи с граничными значениями для плескания жидкости в резервуарах.

Если функция гармоническая (то есть удовлетворяет уравнению Лапласа $\nabla \; 2\; f\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; f\; =\; 0\}$) в плоской области (которая равна двум -мерный), и преобразуется через конформное отображение в другую плоскую область, преобразование также является гармоническим. По этой причине любая функция, которая определяется потенциалом, может быть преобразована конформным отображением и все же оставаться управляемой потенциалом. Примеры в физике уравнений, определяемых потенциалом, включают электромагнитное поле, гравитационное поле и, в гидродинамику, потенциальный поток, который является приближением к потоку текучей среды при постоянной плотности, нулевой вязкости и безвихревом потоке. Одним из примеров жидкостного динамического применения конформной карты является преобразование Жуковского.

. Для дискретных систем Кейван представил способ преобразования дискретных систем корневого локуса в непрерывный корневой локус через хорошо известное конформное отображение в геометрии (также известное как инверсионное отображение ).

Уравнения Максвелла

Большая группа конформных отображений для связи решений уравнений Максвелла была идентифицирована Эбенезером Каннингемом (1908) и Гарри Бейтман (1910). Их обучение в Кембриджском университете дало им возможность пользоваться методом зарядов изображений и связанными с ними методами изображений для сфер и инверсии. Как рассказал Эндрю Уорвик (2003) Masters of Theory:

Каждое четырехмерное решение может быть инвертировано в четырехмерную гиперсферу псевдорадиуса $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$

Уорвик выделяет эту «новую теорему относительности» как ответ Кембриджа Эйнштейну, основанный на упражнениях с использованием метода инверсии, например, в Джеймс Хопвуд Джинс Учебник «Математическая теория электричества и магнетизма».

Общая теория относительности

В общей теории относительности конформные отображения являются самым простым и, следовательно, наиболее распространенным типом причинных преобразований. Физически они описывают разные вселенные, в которых все одни и те же события и взаимодействия все еще (причинно) возможны, но для этого необходима новая дополнительная сила (т. Е. Повторение всех тех же траекторий потребует отклонения от геодезических, поскольку метрический тензор другой). Его часто используют, чтобы попытаться сделать модели поддающимися расширению за пределы сингулярностей кривизны, например, чтобы позволить описание Вселенной еще до Большого взрыва.

В дифференциальной геометрии отображение конформно, если сохраняются углы. Когда угол связан с метрикой, достаточно, чтобы отображение привело к метрике, пропорциональной исходной, как выражено выше для римановой геометрии или в случае конформного многообразия с типом метрического тензора, используемого в общей теории относительности. Элементарное рассмотрение отображения поверхности и линейной алгебры выявляет потенциально три типа углов: круговой угол, гиперболический угол и наклон :

. 190>f: U → C {\ displaystyle f: U \ rightarrow \ mathbb {C}}- отображение поверхностей, параметризованное $(x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\; \}$и $(u,\; v)\; \{\backslash \; displaystyle\; (u,\; v)\}$. Матрица Якоби для $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$образована четырьмя частными производными от $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$и $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$относительно $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$.

Если якобиан $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$имеет ненулевой определитель, то $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$равно конформный по отношению к одному из трех типов углов, в зависимости от вещественной матрицы, выраженной якобианом $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$.

В самом деле, любой такой $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$лежит в определенном плоском коммутативном подкольце, а $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$имеет полярное разложение определяется параметрами радиального и углового характера. Радиальный параметр соответствует отображению подобия и может быть принят за 1 для целей конформного исследования. Угловой параметр $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$является одним из трех типов: наклонный, гиперболический или круговой:

• Когда подкольцо изоморфно двойному числу плоскость, то $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$действует как отображение сдвига и сохраняет двойной угол.
• Когда подкольцо изоморфно составное комплексное число, тогда $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$действует как отображение сжатия и сохраняет гиперболический угол.
• Когда подкольцо изоморфно плоскости обычного комплексного числа, тогда $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$действует как поворот и сохраняет круговой угол.

При описании аналитических функций двумерной переменной У. Бенчивенга и Дж. Фокс написали о конформных отображениях, сохраняющих гиперболический угол. В общем, дробно-линейное преобразование на любом из перечисленных типов комплексной плоскости обеспечивает конформное отображение.

• Теорема Каратеодори - Конформное отображение непрерывно продолжается до границы
• Диаграмма Пенроуза
• Отображение Шварца – Кристоффеля - конформное преобразование верхней полуплоскости на внутреннюю часть простого многоугольника
• Специальная линейная группа - преобразования, сохраняющие объем (в отличие от углов) и ориентацию

• Альфорс, Ларс В. ( 1973), Конформные инварианты: разделы геометрической теории функций, Нью-Йорк: McGraw – Hill Book Co., MR 0357743
• Константин Каратеодори (1932) Конформное представление, Cambridge Tracts in Mathematics and Physics
• Chanson, H. (2009), Прикладная гидродинамика: введение в идеальные и реальные потоки жидкости, CRC Press, Taylor Francis Group, Лейден, Нидерланды, 478 страниц, ISBN 978-0-415-49271-3
• Черчилль, Руэль В. (1974), Комплексные переменные и приложения, Нью-Йорк: McGraw – Hill Book Co., ISBN 978-0-07-010 855-4
• Э.П. Долженко (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
• Рудин, Вальтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw –Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157
• Вайсштейн, Эрик У. «Конформное отображение». MathWorld.

Викискладе есть материалы, относящиеся к конформному отображению.

• Интерактивная визуализация многих конформных карт
• конформных карт Майкла Тротта, Wolfram Demonstrations Project.
• Конформное отображение изображений течения в различных геометриях без магнитного поля и с магнитным полем. Автор Герхард Брунталер.
• Конформное преобразование: от круга к квадрату.
• Онлайн-график конформной карты.
• Joukowski Transform Interactive WebApp
• Конформное отображение, нарисованное M. К. Эшер