Корневой локус

Spirule

В теории управления и теории устойчивости, корень Анализ локуса - это графический метод изучения того, как корни системы меняются с изменением определенного параметра системы, обычно усиления в системе обратной связи. Этот метод используется в качестве критерия устойчивости в области классической теории управления, разработанной Уолтером Р. Эвансом, который может определять устойчивость системы. Корневой геометрический рисунок отображает полюса передаточной функции замкнутого контура в комплексной s-плоскости как функцию параметра усиления (см. pole– нулевой участок ).

Графический метод, в котором используется специальный транспортир, называемый «Spirule», когда-то использовался для определения углов и рисования корневых локусов.

Содержание

• 1 Использует
• 2 Определение
  • 2.1 Угол condition
  • 2.2 Условие величины
• 3 Построение корневого геометрического пятна
• 4 Построение корневого геометрического пятна
  • 4.1 Пример
• 5 Z-плоскость в сравнении с s-плоскостью
• 6 См. также
• 7 Ссылки
• 8 Дополнительная литература
• 9 Внешние ссылки

Использует

Влияние положения полюса на собственную частоту и коэффициент затухания системы второго порядка. Комплексное сопряжение этого полюса (которое обязательно существует, поскольку этот полюс имеет ненулевую мнимую составляющую) не показан.

Помимо определения устойчивости системы, корневой годограф может использоваться для проектирования коэффициент демпфирования (ζ) и собственная частота (ωn) системы обратной связи. Линии постоянного коэффициента демпфирования могут быть проведены радиально от начала координат, а линии постоянной собственной частоты могут быть нарисованы в виде арккосинуса, центральные точки которого совпадают с началом координат. Путем выбора точки вдоль корневого геометрического пятна, которая совпадает с желаемым коэффициентом демпфирования и собственной частотой, коэффициент усиления K может быть вычислен и реализован в контроллере. Более сложные методы проектирования контроллеров с использованием корневого локуса доступны в большинстве учебников по управлению: например, контроллеры с задержкой , опережением, PI, PD и PID могут быть разработаны приблизительно с помощью этой техники.

Определение коэффициента демпфирования и собственной частоты предполагает, что вся система обратной связи хорошо аппроксимируется системой второго порядка; т.е. система имеет доминирующую пару полюсов. Часто это не так, поэтому рекомендуется смоделировать окончательный проект, чтобы проверить, удовлетворены ли цели проекта.

Определение

Корневой геометрический объект системы обратной связи - это графическое представление в сложной s-плоскости возможных положений ее полюсов замкнутого контура для варьирования значений определенного параметра системы. Точки, которые являются частью корневого годографа, удовлетворяют угловому условию . Значение параметра для определенной точки корневого годографа можно получить, используя условие величины .

Предположим, что существует система обратной связи с входным сигналом $X\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (s)\}$и выходной сигнал $Y\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; (s)\}$. Передаточная функция прямого пути равна $G\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (s)\}$; передаточная функция пути обратной связи: $H\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (s)\}$.

Для этой системы передаточная функция с обратной связью задается как

$T\; (s)\; Знак\; равно\; Y\; (s)\; Икс\; (s)\; =\; G\; (s)\; 1\; +\; G\; (s)\; H\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Y\; (s)\}\; \{X\; (s)\}\}\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{G\; (s)\}\; \{1\; +\; G\; (s)\; H\; (s)\}\}\}$

Таким образом, полюса замкнутого контура передаточной функции являются корнями характеристического уравнения $1\; +\; G\; (s)\; H\; (s)\; =\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; 1\; +\; G\; (s)\; H\; (s)\; =\; 0\}$. Корни этого уравнения можно найти везде, где $G\; (s)\; H\; (s)\; =\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (s)\; H\; (s)\; =\; -\; 1\}$.

В системах без чистой задержки произведение $G\; (s)\; H\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (s)\; H\; (s)\}$является рациональной полиномиальной функцией и может быть выражена как

$G\; (s)\; H\; (s)\; =\; К\; (s\; +\; z\; 1)\; (s\; +\; z\; 2)\; \cdots \; (s\; +\; zm)\; (s\; +\; p\; 1)\; (s\; +\; p\; 2)\; \cdots \; (s\; +\; pn)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (s)\; H\; (s)\; =\; K\; \{\backslash \; frac\; \{(s\; +\; z\_\; \{1\})\; (s\; +\; z\_\; \{2\})\; \backslash \; cdots\; (s\; +\; z\_\; \{m\})\}\; \{(s\; +\; p\_\; \{1\})\; (s\; +\; p\_\; \{2\})\; \backslash \; cdots\; (s\; +\; p\_\; \{n\})\}\}\}$

где $-\; zi\; \{\backslash \; displaystyle\; -z\_\; \{i\}\}$- $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$нули, $-\; pi\; \{\backslash \; displaystyle\; -p\_\; \{i\}\}$- полюсы $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, а $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$- скалярное усиление. Обычно диаграмма корневого годографа указывает положения полюсов передаточной функции для различных значений параметра $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$. График корневого годографа - это все те точки в s-плоскости, где $G\; (s)\; H\; (s)\; =\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (s)\; H\; (s)\; =\; -\; 1\}$для любого значения $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$.

Факторизация $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$и использование простых одночленов означает, что вычисление рационального многочлена может быть выполнено с векторными методами, которые складывают или вычитают углы, а также умножают или делят величины. Векторная формулировка возникает из того факта, что каждый мономиальный член $(s\; -\; a)\; \{\backslash \; displaystyle\; (sa)\}$в разложенном на множитель $G\; (s)\; H\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (s)\; H\; (s)\}$представляет вектор от $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$до $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$в s-самолет. Полином можно оценить, учитывая величины и углы каждого из этих векторов.

Согласно векторной математике, угол результата рационального полинома - это сумма всех углов в числителе минус сумма всех углов в знаменателе. Таким образом, чтобы проверить, находится ли точка в s-плоскости на корневом геометрическом месте, необходимо учитывать только углы ко всем полюсам и нулям разомкнутого контура. Это известно как условие угла .

Аналогично, величина результата рационального полинома - это произведение всех величин в числителе, деленное на произведение всех величин в знаменателе. Оказывается, вычисление величины не требуется, чтобы определить, является ли точка в s-плоскости частью корневого годографа, потому что $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$изменяется и может принимать произвольное значение. реальная стоимость. Для каждой точки корневого годографа может быть вычислено значение $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$. Это известно как условие величины.

Корневой геометрический рисунок дает только местоположение полюсов замкнутого контура, поскольку коэффициент усиления $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$изменяется. Значение $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$не влияет на расположение нулей. Нули разомкнутого контура такие же, как нули замкнутого контура.

Угловое условие

Точка $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$комплексной s-плоскости удовлетворяет угловому условию, если

$\angle \; (G\; (s)\; H\; (s))\; =\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; angle\; (G\; (s)\; H\; (s))\; =\; \backslash \; pi\}$

что означает то же самое, что сказать, что

$\sum \; i\; =\; 1\; m\; \angle \; (s\; +\; zi)\; -\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; \angle \; (s\; +\; pi)\; знак\; равно\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{m\}\; \backslash \; angle\; (s\; +\; z\_\; \{i\})\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; angle\; (s\; +\; p\_\; \{i\})\; =\; \backslash \; pi\}$

то есть сумма углов от нулей разомкнутого контура до точки $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$(измеряется на ноль относительно горизонтального прохода через этот ноль) минус углы от полюсов разомкнутого контура до точки $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$(измеряются на полюс относительно горизонтального прохода через этот полюс) должен быть равен $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$или 180 градусов. Обратите внимание, что эти интерпретации не следует принимать за разницу углов между точкой $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$и нулями / полюсами.

Условие величины

Значение $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$удовлетворяет условию величины для данного $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$точка корневого годографа, если

$|\; G\; (s)\; H\; (s)\; |\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; G\; (s)\; H\; (s)\; |\; =\; 1\}$

что то же самое, что сказать, что

$K\; |\; s\; +\; z\; 1\; |\; |\; s\; +\; z\; 2\; |\; \cdots \; |\; s\; +\; z\; m\; |\; |\; s\; +\; p\; 1\; |\; |\; s\; +\; p\; 2\; |\; \cdots \; |\; s\; +\; p\; n\; |\; Знак\; равно\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; \{\backslash \; frac\; \{|\; s\; +\; z\_\; \{1\}\; ||\; s\; +\; z\_\; \{2\}\; |\; \backslash \; cdots\; |\; s\; +\; z\_\; \{m\}\; |\}\; \{|\; s\; +\; p\_\; \{1\}\; ||\; s\; +\; p\_\; \{2\}\; |\; \backslash \; cdots\; |\; s\; +\; p\_\; \{n\}\; |\}\}\; =\; 1\}$.

Набросок корневого годографа

RL = корневой годограф; ZARL = корневое геометрическое место с нулевым углом

Используя несколько основных правил, метод корневого годографа может изобразить общую форму пути (геометрического участка), пройденного корнями, как значение $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$варьируется. Затем график корневого годографа дает представление об устойчивости и динамике этой системы обратной связи для различных значений $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$. Правила следующие:

• Отметить полюса и нули разомкнутого контура
• Отметить часть действительной оси слева от нечетного числа полюсов и нулей
• Найти асимптоты

Пусть P - количество полюсов, а Z - количество нулей:

$P\; -\; Z\; =\; количество\; асимптот\; \{\backslash \; displaystyle\; PZ\; =\; \{\backslash \; text\; \{количество\; асимптот\}\}\; \backslash ,\}$

Асимптоты пересекают действительная ось в точке $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$(которая называется центроидом) и отклоняется под углом $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$, определяемым по формуле:

$\varphi \; l\; =\; 180\; \circ \; +\; (l\; -\; 1)\; 360\; \circ \; P\; -\; Z,\; l\; =\; 1,\; 2,\dots ,\; P\; -\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \_\; \{l\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{180\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; +\; (l-1)\; 360\; ^\; \{\backslash \; circ\}\}\; \{PZ\}\},\; l\; =\; 1,2,\; \backslash \; ldots,\; PZ\}$

$\alpha \; =\; Re\; \; (\sum \; P\; -\; \sum \; Z)\; P\; -\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; альфа\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{Re\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{P\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{Z\}\; \backslash \; right)\}\; \{PZ\}\}\}$

где $\sum \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{P\}\}$- это сумма всех положений полюсов, $\sum \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{Z\}\}$- это сумма всех положений явных нулей и $Re\; \; ()\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Re\}\; ()\}$означает, что нас интересует только реальная часть.

• Условие фазы в контрольной точке для определения угла отклонения
• Вычислить точки отрыва / обрыва

Точки отрыва находятся в корнях следующего уравнения:

$d\; G\; (s)\; H\; (s)\; ds\; =\; 0\; или\; d\; GH\; ¯\; (z)\; dz\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dG\; (s)\; H\; (s)\}\; \{ds\}\}\; =\; 0\; \{\backslash \; text\; \{или\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; d\; \{\backslash \; overline\; \{GH\}\}\; (z)\}\; \{dz\}\}\; =\; 0\}$

Как только вы решите для z, настоящие корни дадут вам точки отрыва / возврата. Сложные корни соответствуют отсутствию отрыва / повторного входа.

Построение корневого годографа

Учитывая общий рациональный многочлен замкнутого цикла

$1\; +\; G\; (s)\; H\; (s)\; =\; 1\; +\; K\; bmsm\; +\dots \; +\; b\; 1\; s\; +\; b\; 0\; sn\; +\; an\; -\; 1\; sn\; -\; 1\; +\dots \; +\; a\; 1\; s\; +\; a\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; +\; G\; (s)\; H\; (s)\; =\; 1\; +\; K\; \{\backslash \; frac\; \{b\_\; \{m\}\; s\; ^\; \{m\}\; +\; \backslash \; ldots\; +\; b\_\; \{1\}\; s\; +\; b\_\; \{0\}\}\; \{s\; ^\; \{n\}\; +\; a\_\; \{n-1\}\; s\; ^\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; ldots\; +\; a\_\; \{1\}\; s\; +\; a\_\; \{0\}\}\},\}$

характеристическое уравнение можно упростить до

$sn\; +\; an\; -\; 1\; sn\; -\; 1\; +\dots \; +\; (am\; +\; K\; bm)\; sm\; +\dots \; +\; (a\; 1\; +\; K\; b\; 1)\; s\; +\; (a\; 0\; +\; К\; б\; 0)\; =\; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; s\; ^\; \{n\}\; +\; a\_\; \{n-1\}\; s\; ^\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; ldots\; +\; (a\_\; \{m\}\; +\; Kb\_\; \{m\})\; s\; ^\; \{m\}\; +\; \backslash \; ldots\; +\; (a\_\; \{1\}\; +\; Kb\_\; \{1\})\; s\; +\; (a\_\; \{0\}\; +\; Kb\_\; \{0\})\; =\; 0.\}$

Решения $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$к этому уравнению являются корневыми точками передаточной функции замкнутого контура.

Пример

Дано

$1\; +\; G\; (s)\; H\; (s)\; =\; 1\; +\; K\; s\; +\; 3\; s\; 3\; +\; 3\; s\; 2\; +\; 5\; s\; +\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; +\; G\; (s)\; H\; (s)\; =\; 1\; +\; K\; \{\backslash \; frac\; \{s\; +\; 3\}\; \{s\; ^\; \{3\}\; +\; 3s\; ^\; \{2\}\; +\; 5s\; +\; 1\}\},\}$

мы будем иметь характеристическое уравнение

$s\; 3\; +\; 3\; s\; 2\; +\; (5\; +\; K)\; s\; +\; (1\; +\; 3\; K)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; ^\; \{3\}\; +\; 3s\; ^\; \{2\}\; +\; (5\; +\; K)\; s\; +\; (1+\; 3K)\; =\; 0.\}$

Следующий код MATLAB будет строить корневое геометрическое место передаточной функции с обратной связью как $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$изменяется с использованием описанного ручного метода, а также встроенная функция rlocus:

% Ручной метод K_array = (0: 0.1: 220). '; NK = длина (K_array); x_array = нули (NK, 3); y_array = нули (NK, 3); для nK = 1: NK K = K_array (nK); С = [1, 3, (5 + К), (1 + 3 * К)]; r = корни (C). '; x_array (nK, :) = реальный (г); y_array (nK, :) = образ (г); конечная цифра (); сюжет (x_array, y_array); сетка включена; % Встроенный метод sys = tf ([1, 3], [1, 3, 5, 1]); рисунок (); rlocus (sys);

z-плоскость по сравнению с s-плоскостью

Метод корневого годографа также может использоваться для анализа систем выборочных данных путем вычисления корневого годографа в z-плоскости, дискретный аналог s-плоскости. Уравнение z = e отображает непрерывные полюса s-плоскости (не нули) в z-область, где T - период выборки. Стабильная левая половина s-плоскости отображается внутрь единичной окружности z-плоскости с началом координат s-плоскости, равным | z | = 1 (поскольку e = 1). Диагональная линия постоянного демпфирования в s-плоскости отображается вокруг спирали из (1,0) в плоскости z, когда она изгибается к началу координат. Критерий Найквиста алиасинга графически выражается в плоскости z по оси x, где ωnT = π. Линия постоянного демпфирования, только что описанная, вращается по спирали на неопределенное время, но в системах дискретизированных данных частотное содержание сглаживается до более низких частот на целые кратные частоты Найквиста. То есть дискретизированный отклик выглядит как более низкочастотный и также лучше затухающий, поскольку корень в z-плоскости одинаково хорошо отображается на первый контур другой, лучше затухающей спиральной кривой постоянного демпфирования. Можно описать многие другие интересные и относящиеся к делу свойства отображения, не в последнюю очередь то, что контроллеры z-плоскости, обладающие тем свойством, что они могут быть напрямую реализованы с помощью передаточной функции z-плоскости (отношение нулевого / полюсного полиномов), можно представить графически на График в плоскости z передаточной функции разомкнутого контура, который сразу анализируется с использованием корневого локуса.

Поскольку корневой геометрический рисунок представляет собой метод графического определения угла, правила корневого годографа работают одинаково в плоскостях z и s.

Идея корневого годографа может быть применена ко многим системам, в которых варьируется один параметр K. Например, полезно проверить любой системный параметр, точное значение которого не определено, чтобы определить его поведение.

См. Также

• Фазовый запас
• Критерий стабильности Рауса – Гурвица
• Критерий стабильности Найквиста
• Коэффициент усиления и запас фазы
• График Боде

Ссылки

• Куо, Бенджамин С.. (1967). «Техника корневого локуса». Системы автоматического управления (2-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. С. 329–388. ASIN B000KPT04C. LCCN 67016388. OCLC 3805225.

Дополнительная литература

• Ash, R.H.; Эш, Г. Х. (октябрь 1968 г.), «Численное вычисление корневых локусов с использованием техники Ньютона-Рафсона», IEEE Transactions on Automatic Control, 13 (5): 576–582, doi : 10.1109 / TAC.1968.1098980
• Уильямсон, С.Е. (май 1968 г.), «Расчетные данные для помощи в построении корневых локусов (Часть I)», Control Magazine, 12 (119): 404–407
• Уильямсон, С.Е. (июнь 1968 г.), «Расчетные данные для помощи в построении корневых локусов (часть II)», Control Magazine, 12 (120): 556–559
• Уильямсон, С.Е. (июль 1968 г.), «Расчетные данные для помощи в построении корневых локусов (часть III)», Control Magazine, 12 (121): 645–647
• Уильямсон, SE (15 мая, 1969), «Компьютерная программа для получения временной характеристики систем выборочных данных», Electronics Letters, 5 (10): 209–210, doi : 10.1049 / el : 19690159
• Williamson, SE (июль 1969), «Точное построение графика корневого локуса, включая эффекты чистой временной задержки. Описание компьютерной программы», Proceedings of the Institution инженеров-электриков, 116 (7): 1269–1271, doi : 10.1049 / piee.1969.0235

Внешние ссылки

• Wikibooks: Control Systems / Root Locus
• Карнеги-Меллон / Учебное пособие Мичиганского университета
• Отличные примеры. Начните с примера 5 и переходите в обратном направлении от 4 до 1. Также посетите главную страницу
• Метод корневого локуса: рисование вручную
• «RootLocs»: бесплатный многофункциональный плоттер корневого локуса для Mac и Windows платформы
• «Корневой локус»: бесплатный плоттер / анализатор корневого локуса для Windows
• Анализ корневого локуса систем управления
• Функция MATLAB для вычисления корневого локуса модели открытого цикла SISO
• Wechsler, ER (Январь – март 1983 г.), «Алгоритмы корневого годографа для программируемых карманных калькуляторов» (PDF), Отчет о ходе работы по телекоммуникациям и сбору данных, НАСА, 73 : 60–64, Bibcode : 1983TDAPR..73... 60W
• Функция Mathematica для построения корневого годографа
• Šekara, Tomislav B.; Рапаич, Милан Р. (1 октября 2015 г.). «Доработка метода корневого локуса с приложениями». Журнал управления процессами. 34 : 26–34. doi :10.1016/j.jprocont.2015.07.007.